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七年级下册数学期末复习压轴题 解答题试题及答案解答

一、解答题
1．已知a，b，c是△ABC的三边，若a，b，c满足a2+c2=2ab+2bc-2b2，请你判断△ABC的形状，并说明理由．
2．南通某校为了了解家长和学生参与南通安全教育平台“防灾减灾”专题教育活动的情况，在本校学生中随机抽取部分学生做调查，把收集的数据分为以下类情形：
A．仅学生自己参与；
B．家长和学生一起参与；
C．仅家长参与；
D．家长和学生都未参与

请根据上图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查了多少名学生？
（2）补全条形统计图，并在扇形统计图中计算类所对应扇形的圆心角的度数；
（3）根据抽样调查结果，估计该校名学生中“家长和学生都未参与”的人数．
3．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即.例如：是的一种形式的配方；所以，，，是的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项）.
请根据阅读材料解决下列问题：
（1）比照上面的例子，写出三种不同形式的配方；
（2）已知，求的值；
（3）已知，求的值.
4．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
①如图a，若，点在、外部，则、、之间有何数量关系？
解：．
证明：∵，∴，
又∵______，
在中，由三角形内角和定理可得，
故，从而得．
②若，将点移到、内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论；
③在图b中，将直线绕点逆时针方向旋转一定角度交直线于点，如图c，则、、、之间有何数量关系？请证明你的结论；

5．己知关于x、y的二元一次方程组的解互为相反数，求k的值。
6．如图，甲长方形的两边长分别为，；乙长方形的两边长分别为，．（其中为正整数）

（1）图中的甲长方形的面积，乙长方形的面积，比较： （填“<”、“=”或“>”）；
（2）现有一正方形，其周长与图中的甲长方形周长相等，试探究：该正方形面积与图中的甲长方形面积的差（即）是一个常数，求出这个常数；
（3）在（1）的条件下，若某个图形的面积介于、之间（不包括、）并且面积为整数，这样的整数值有且只有16个，求的值．
7．[知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
例如：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：

（1）图②中阴影部分的正方形的边长是________________；
（2）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：
方法1:________________________；方法2：_______________________；
（3）观察图②，请你写出（a+b）2、、之间的等量关系是____________________________________________；
（4）根据（3）中的等量关系解决如下问题:若，，则=
[知识迁移]
类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．
（5）根据图③，写出一个代数恒等式：____________________________；
（6）已知，，利用上面的规律求的值．
8．如图所示，点B，E分别在AC，DF上，BD，CE均与AF相交，∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F．

9．在南通市中小学标准化建设工程中，某校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买台电脑和台电子白板需要万元，购买台电脑和台电子白板需要万元．
（1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元；
（2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共台，若总费用不超过万元，则至多购买电子白板多少台？
10．因式分解：
（1）
（2）
（3）
（4）
11．（知识生成）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：

（1）根据图2，写出一个代数恒等式：　 　．
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝　 　．
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝　 　．
（知识迁移）（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：　 　．
12．已知：如图，直线BD分别交射线AE、CF于点B、D，连接A、D和B、C，，，AD平分，求证：
；
平分．

13．已知a+a=3， 求（1）a+ （2）a+
14．如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，求证：AE∥DF．

15．已知，求①的值； ② 的值
16．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，我们将小正方形的顶点叫做格点，三角形ABC的三个顶点均在格点上.

（1）将三角形ABC先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到三角形A1B1C1，画出平移后的三角形A1B1C1；
（2）建立适当的平面直角坐标系，使得点A的坐标为(-4，3)，并直接写出点A1的坐标；
（3）求三角形ABC的面积．
17．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，ΔABC经过平移后得到Δ，图中标出了点B的对应点，点、分别是A、C的对应点．

（1）画出平移后的Δ；
（2）连接、，那么线段与的关系是_________；
（3）四边形的面积为_______．
18．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移4格．
(1)请在图中画出平移后的△A′B′C′；
(2)再在图中画出△ABC的高CD；
(3)在图中能使S△PBC＝S△ABC的格点P的个数有　 　个(点P异于A)

19．先化简，再求值：（2a﹣b）2﹣（a+1﹣b）（a+1+b）+（a+1）2，其中a＝，b＝﹣2．
20．仔细阅读下列解题过程：
若，求的值．
解：

根据以上解题过程，试探究下列问题：
（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值；
（3）若，求的值．

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一、解答题

1．△ABC是等边三角形，理由见解析．
【分析】
运用完全平方公式将等式化简，可求a=b=c，则△ABC是等边三角形．
【详解】
解：△ABC是等边三角形，理由如下：
∵a2+c2=2ab+2bc-2b2
∴a2-2ab+ b2+ b2- 2bc +c2=0
∴（a-b）2+（b-c）2=0
∴a-b=0，b-c=0，
∴a=b，b=c，
∴a=b=c
∴△ABC是等边三角形．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，整式的混合运算，熟练运用完全平方公式解决问题是本题的关键．
2．（1）400；（2）补全条形统计图见解析，54°；（3）180人
【分析】
（1）根据A类的人数和所占的百分比可以求得本次调查的学生数；
（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据可以求得B类的人数，从而可以将条形统计图补充完整，进而求得在扇形统计图中计算C类所对应扇形的圆心角的度数；
（3）根据统计图中的数据可以求得该校3600名学生中“家长和学生都未参与”的人数．
【详解】
解：（1）在这次抽样调查中，共调查了80÷20%=400名学生，
故答案为：400；
（2）B种情况下的人数为：400-80-60-20=240（人），
补全的条形统计图如图所示，

在扇形统计图中计算C类所对应扇形的圆心角的度数为：=54°，
故答案为：54°；
（3）=180（人），
即该校3200名学生中“家长和学生都未参与”的有180人．
【点睛】
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3．（1）；；；（2）19；（3）4
【分析】
（1）根据材料中的三种不同形式的配方，“余项“分别是常数项、一次项、二次项，可解答；
（2）将x2+y2-6x+10y+34配方，根据平方的非负性可得x和y的值，可解答；
（3）通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值．
【详解】
解：（1）的三种配方分别为：
；
；
（或；
（2）∵x2+y2-6x+10y+34=x2-6x+9+y2+10y+25=（x-3）2+（y+5）2=0，
∴x-3=0，y+5=0，
∴x=3，y=-5，
∴3x-2y=3×3-2×（-5）=19
（3）

∴，，
∴，，，
则
【点睛】
本题考查的是配方法的应用，首先利用完全平方公式使等式变为两个非负数和一个正数的和的形式，然后利用非负数的性质解决问题．
4．①见解析；②，证明见解析；③，证明见解析．
【分析】
①先根据平行线的性质可得，再根据平角的定义可得，然后根据三角形的内角和定理可得，最后根据等量代换即可得证；
②如图（见解析），先根据平行线的性质可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据等量代换即可得；
③如图（见解析），先根据三角形的外角性质可得，，再根据等量代换即可得．
【详解】
①．
证明：∵，
∴，
又∵，
在中，由三角形内角和定理可得，
故，从而得；
②，证明如下：
如图，延长BP，交CD于点Q，
∵，
，
由三角形的外角性质得：，
；

③，证明如下：
如图，延长BP，交CD于点E，
由三角形的外角性质得：，
则．

【点睛】
本题考查了平行线的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．
5．k=1
【分析】
方程组两方程相加得出x+y=，根据x与y互为相反数得到x+y=0，求出k的值即可．
【详解】
解：，
①+②得：3（x+y）=k-1，即x+y=，
由题意得：x+y=0，即=0，
解得：k=1．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解的概念及相反数的性质，两个方程相加得到3（x+y）=k-1是解题的关键.​
6．（1）>；（2）9；（3）9．
【分析】
（1）根据矩形的面积公式计算即可；
（2）根据矩形和正方形的周长和面积公式即可得到结论；
（3）根据题意列出不等式，然后求解即可得到结论．
【详解】
解：（1）图①中长方形的面积，
图②中长方形的面积，
，为正整数，
最小为1，
，
；
（2）依题意得，正方形的边长为：；
则：，是一个定值；
（3）由（1）得，，
根据某个图形的面积介于、之间（不包括、）并且面积为整数，这样的整数值有且只有16个，
当时，
，
为正整数，
．
【点睛】
本题考查了完全平方方公式的几何背景，多项式的乘法，整式的混合运算，一元一次不等式，熟记相关运算法则是解题的关键．
7．（1） a-b；（2）； ； （3）；（4） 14；（5） （a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2；（6） 9．
【分析】
（1）由图直接求得边长即可，
（2）已知边长直接求面积，阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积，可得答案，
（3）利用面积相等推导公式；
（4）利用（3）中的公式求解即可，
（5）利用体积相等推导；
（6）应用（5）中的公式即可．
【详解】
解：（1）由图直接求得阴影边长为a-b；
故答案为：a-b；

（2）方法一：已知边长直接求面积为；
方法二：阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积，
∴面积为；
故答案为；；
（3）由阴影部分面积相等可得；
故答案为：
（4）由，
可得，
∵，
∴ ，
∴ ；
故答案为；
（5）方法一：正方体棱长为a+b， ∴体积为，

方法二：正方体体积是长方体和小正方体的体积和，
即，
∴；
故答案为；
（6）∵；
将a+b=3，ab=1，代入得：

；

【点睛】
本题考查完全平方公式的几何意义；同时考查对公式的熟练的应用，能够由面积相等，过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键．
8．证明见解析.
【分析】
根据对顶角的性质得到BD∥CE的条件，然后根据平行线的性质得到∠B=∠C，已知∠C=∠D，则得到满足AB∥EF的条件，再根据两直线平行，内错角相等得到∠A=∠F．
【详解】
证明：∵∠2=∠3，∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴BD∥CE，
∴∠C=∠ABD；
又∵∠C=∠D，
∴∠D=∠ABD，
∴AB∥EF，
∴∠A=∠F．
考点：平行线的判定与性质；对顶角、邻补角．
9．（1）电脑万元，电子白板万元；（2）台
【分析】
（1）设每台电脑元，每台电子白板元，根据题意列出方程组，解方程组即可；
（2）设购进电子白板台，则购进电脑台，根据总费用不超过万元，列出不等式，根据实际意义即可求解．
【详解】
（1）设每台电脑元，每台电子白板元，则，解得
故每台电脑万元，每台电子白板万元；
（2）设购进电子白板台，则购进电脑台，由题意得

解得，又因为是正整数，则，故至多购买电子白板台．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组应用，一元一次不等式应用，综合性较强，难度不大，根据题意列出二元一次方程组、一元一次不等式是解题关键．
10．（1）3x3（x﹣4）；（2）（a﹣b）（1+2x）；（3）（4﹣3x）（4+3x）；（4）．
【分析】
（1）原式提取公因式3x3即可；
（2）原式提取公因式即可；
（3）原式利用平方差公式分解即可；
（4）原式变形后，利用完全平方公式分解即可．
【详解】
解：（1）原式＝3x3（x﹣4）；
（2）原式＝（a﹣b）（1+2x）；
（3）原式＝（4﹣3x）（4+3x）；
（4）原式＝
＝
＝．
【点睛】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
11．（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）30；（3）9；（4）x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x
【分析】
（1）依据正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得等式；
（2）依据a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，进行计算即可；
（3）依据所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，而（2a+b）（a+2b）＝2a2+4ab+ab+2b2＝2a2+5b2+2ab，即可得到x，y，z的值．
（4）根据原几何体的体积＝新几何体的体积，列式可得结论．
【详解】
（1）由图2得：正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∵a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，
∴102＝a2+b2+c2+2×35，
∴a2+b2+c2＝100﹣70＝30，
故答案为：30；
（3）由题意得：（2a+b）（a+2b）＝xa2+yb2+zab，
∴2a2+5ab+2b2＝xa2+yb2+zab，
∴，
∴x+y+z＝9，
故答案为：9；
（4）∵原几何体的体积＝x3﹣1×1•x＝x3﹣x，
新几何体的体积＝（x+1）（x﹣1）x，
∴x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．
故答案为：x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．
【点睛】
本题主要考查的是整式的混合运算，利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积或面积，然后根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键．
12．（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
求出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定得出即可；
根据角平分线定义求出，根据平行线的性质得出，，，求出即可．
【详解】
，，
，
，
，
，
，
；
平分，
，
，
，，
，
，
平分．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义的应用，考查了学生运用性质进行推理的能力，注意：平行线的性质是：两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
13．（1）7；（2）47．
【分析】
（1）根据得出，进而得出，从而可得出结论；
（2）根据（1）中的结论可知，故，从而得出的值．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∴，即：，
∴；
（2）由（1）知：，
∴，即：，
∴．
【点睛】
本题主要考查的是负整数指数幂和分式的运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的灵活应用．
14．见解析．
【分析】
首先根据直线平行得到∠CDA=∠DAB，结合题干条件得到∠FDA=∠DAE，进而得到结论．
【详解】
证明：∵AB∥CD，
∴∠CDA＝∠DAB，
∵∠1＝∠2，
∴∠CDA﹣∠1＝∠DAB﹣∠2，
∴∠FDA＝∠DAE，
∴AE∥DF．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判断与性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等，此题比较简单．
15．①6；②
【解析】
解:①
②
16．（1）见解析；（2）（2，6）；（3）
【分析】
（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1，从而得到△A1B1C1；
（2）利用A点坐标画出直角坐标系，再写出A1坐标即可；
（3）利用分割法求出坐标即可．
【详解】
解：（1）画出平移后的△A1B1C1如下图；
；
（2）如上图建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为(-4，3)，由图可知：点A1的坐标为（2，6）；
（3）由（2）中的图可知：A（-4，3），B（5，-1），C（0，0），
∴S△ABC=．
【点睛】
本题考查了作图——平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
17．（1）见解析；（2）平行且相等；（3）28
【分析】
（1）根据平移的性质画出点A、C平移后的对应点、即可画出平移后的△；
（2）根据平移的性质解答即可；
（3）根据平行四边形的面积解答即可．
【详解】
解：（1）如图，Δ即为所求；

（2）根据平移的性质可得：与的关系是平行且相等；
故答案为：平行且相等；
（3）四边形的面积为4×7=28．
故答案为：28．
【点睛】
本题主要考查了平移的性质和平移作图，属于常考题型，熟练掌握平移的性质是解题关键．
18．（1）见解析；（2）见解析；（3）4．
【分析】
整体分析：（1）根据平移的要求画出△A´B´C´；
（2）延长AB，过点C作AB延长线的垂线段；
（3）过点A作BC的平行线，这条平行线上的格点数（异于点A）即为结果．
【详解】
（1）如图所示

（2）如图所示．
（3）如图，过点A作BC的平行线，这条平行线上的格点数除点A外有4个，所以能使S△ABC=S△PBC的格点P的个数有4个，故答案为4．

19．；13
【分析】
原式利用平方差公式及完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【详解】
解：原式＝4a2﹣4ab+b2﹣（a2+2a+1﹣b2）+a2+2a+1
＝4a2﹣4ab+b2﹣a2﹣2a﹣1+b2+a2+2a+1
＝4a2﹣4ab+2b2，
当a＝，b＝﹣2时，原式＝1+4+8＝13．
【点睛】
此题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）首先把第3项裂项，拆成，再用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得代入求得数值；
（2）首先把第2项裂项，拆成，再用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得代入求得数值；
（3）先把代入，得到关于和 的式子，再仿照（1）（2）题．
【详解】
解：（1）

（2）

（3）

【点睛】
本题考查的分组分解法、配方法和非负数的性质，对于项数较多的多项式因式分解，分组分解法是一个常用的方法. 首先要观察各项特征，寻找熟悉的式子，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是基础.