八年级下册数学吉林数学期末试卷综合测试(Word版含答案).doc

八年级下册数学吉林数学期末试卷综合测试（Word版含答案）
一、选择题
1．若有意义，则m的值可能是（ ）
A． B． C． D．
2．以下列各组线段为边作三角形，不能作出直角三角形的是（ ）
A．1，2， B．6，8，10 C．3，7，8 D．0.3，0.4，0.5
3．如图，在四边形中，对角线和相交于点，下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（ ）

A．， B．，
C．， D．，
4．甲、乙、丙、丁四人的数学测验成绩分别为90分、90分、x分、80分，若这组成绩的众数与平均数恰好相等，则这组成绩的众数是（ ）
A．100分 B．95分 C．90分 D．85分
5．如图，在中，是上一点，已知，则的长为(　　)

A． B． C． D．
6．如图，在Rt△ABC中，=90°，沿着过点B的一条直线BE折叠△ABC，使点C恰好落在AB的中点D处，则的度数为（ ）

A．30° B．45° C．60° D．75°
7．如图，数轴上A点表示的数为，B点表示的数是1．过点B作，且，以点A为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的交点D表示的数为（ ）

A． B． C． D．
8．如图，直线l：y＝﹣x++3与x轴交于点A，与经过点B（﹣2，0）的直线m交于第一象限内一点C，点E为直线l上一点，点D为点B关于y轴的对称点，连接DC、DE、BE，若∠DEC＝2∠DCE，∠DBE＝∠DEB，则CD2的值为（　　）

A．20+4 B．44+4
C．20+4或44﹣4 D．20﹣4或44+4
二、填空题
9．二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是__________．
10．如图，菱形ABCD的边长为5cm，正方形AECF的面积为18cm2，则菱形的面积为 ___cm2．

11．在 中，∠A=90°，AB=AC=2，则 BC=________．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，AB＝6，则CD的长是________．

13．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝2x平行，且经过点A（1，6），则一次函数y＝kx+b的解析式为 ____．
14．如图，在矩形中，，对角线，相交于点，垂直平分于点，则的长为__________．

15．如图所示，直线与两坐标轴分别交于、两点，点是的中点，、分别是直线、轴上的动点，当周长最小时，点的坐标为_____．

16．如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB=_______cm．

三、解答题
17．计算：
（1）2＋－；
（2）；
（3）；
（4）│1－│＋（2019－50）0－（－）．
18．《九章算术》中有“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处距竹子底端6尺远，问折断处离地面的高度是多少尺？
19．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图形．
（1）在图1中，画一个等腰三角形（不含直角），使它的面积为8；
（2）在图2中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积为10．

20．如图1，在中，于点D，，点E为边AD上一点，且，连接BE并延长，交AC于点F．

（1）求证：；
（2）过点A作交BF的延长线于点G，连接CG，如图2．若，求证：四边形ADCG是矩形．
21．学习了二次根式的乘除后，老师给同学们出了这样一道题：已知a＝，求的值．刘峰想了想，很快就算出来了，下面是他的解题过程：
解：∵，
又∵a＝，
∴，
∴原式＝．
你认为刘峰的解法对吗？如果对，请你给他一句鼓励的话；如果不对，请找出错误的原因，并改正．
22．某水果店进行了一次水果促销活动，在该店一次性购买A种水果的单价y（元）与购买量x（千克）的函数关系如图所示，

（1）当时，单价y为______元；当单价y为8.8元时，购买量x（千克）的取值范围为______；
（2）根据函数图象，当时，求出函数图象中单价y（元）与购买量x（千克）的函数关系式；
（3）促销活动期间，张亮计划去该店购买A种水果10千克，那么张亮共需花费多少元？
23．如图平行四边形ABCD，E，F分别是AD，BC上的点，且AE＝CF，EF与AC交于点O．
（1）如图①．求证：OE＝OF；
（2）如图②，将平行四边形ABCD（纸片沿直线EF折叠，点A落在A1处，点B落在点B1处，设FB交CD于点G．A1B分别交CD，DE于点H，P．请在折叠后的图形中找一条线段，使它与EP相等，并加以证明；
（3）如图③，若△ABO是等边三角形，AB＝4，点F在BC边上，且BF＝4．则＝ （直接填结果）．

24．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x+6交x轴于点A，交轴于点B，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且AB＝BC．
（1）求点C的坐标及直线BC的函数表达式；
（2）点D(a，2)在直线AB上，点E为y轴上一动点，连接DE．
①若∠BDE＝45°，求BDE的面积；
②在点E的运动过程中，以DE为边作正方形DEGF，当点F落在直线BC上时，求满足条件的点E的坐标．

25．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径。
（1）如图1，损矩形ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则该损矩形的直径是线段AC，同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点，在公共边的同侧的两个角是相等的。如图1中：△ABC和△ABD有公共边AB，在AB同侧有∠ADB和∠ACB，此时∠ADB＝∠ACB；再比如△ABC和△BCD有公共边BC，在CB同侧有∠BAC和∠BDC，此时∠BAC＝∠BDC。请再找一对这样的角来 ＝
（2）如图2，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的中心，连结BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由。
（3）在第（2）题的条件下，若此时AB＝，BD＝，求BC的长。

【参考答案】
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据二次根式有意义的条件列出不等式，根据题意解答即可．
【详解】
解：由题意得， ，
解得， ，
则m能取的为大于等于1的数，符合条件的为
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2．C
解析：C
【分析】
先求出两小边的平方和，再求出最大边的平方，看看是否相等即可．
【详解】
解：A、∵，
∴以1，2，为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵62+82=36+64=100=102，
∴以6，8，10为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵32+72=9+49=58≠82，
∴以3，7，8为边的三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵0.32+0.42=0.09+0,16=0.25=0.52，
∴以0.3，0.4，0.5为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：勾股定理的逆定理是：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定定理逐项判断即可．
【详解】
A、由，得，又，得，得，可得到四边形ABCD是平行四边形，故A选项不符合题意
B、由，，可得到四边形ABCD是平行四边形，故B选项不符合题意；
C、由，，可得到四边形ABCD是平行四边形，故C选项不符合题意；
D、由，，不可得到四边形ABCD是平行四边形，故D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是理解并掌握平行四边形的判定定理，并会灵活运用．
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
若，则这组数据的众数是80分、90分，而这组数据的平均数只有1个，据此排除，再由众数的定义可得出答案．
【详解】
解：若，
则这组数据的众数是80分、90分，而这组数据的平均数只有1个，
所以，
所以这组数据中90分出现的次数最多，
即这组数据的众数是90分，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
5．C
解析：C
【分析】
先根据勾股定理的逆定理得到△ABD是直角三角形，然后根据勾股定理求出CD即可.
【详解】
解：根据题意，在△ABD中，
∵，
∴△ABD是直角三角形，
∴AD⊥BC，
在△ACD中，AD=12，AC=15，
∴；
故选：C.
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理和利用勾股定理进行解直角三角形.
6．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据题意可知∠CBE=∠DBE，DE⊥AB，点D为AB的中点，∠EAD=∠DBE，根据三角形内角和定理列出算式，计算得到答案．
【详解】
解：由题意可知∠CBE=∠DBE，
∵DE⊥AB，点D为AB的中点，
∴EA=EB，
∴∠EAD=∠DBE，
∴∠CBE=∠DBE=∠EAD，
∴∠CBE+∠DBE+∠EAD=90°，
∴∠A=30°，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是翻折变换的知识，理解翻折后的图形与原图形全等是解题的关键，注意三角形内角和等于180°．
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据题意先求得的长，根据勾股定理求得的长，根据题意，进而求得点表示的数．
【详解】
依题意，数轴上A点表示的数为，B点表示的数是1，
，
，，
，
，

数轴上A点表示的数为，
D表示的数为．
故选C．
【点睛】
本题考查了实数与数轴，勾股定理，勾股定理求得是解题的关键．
8．C
解析：C
【分析】
过点D作DF⊥l于点F，延长FD交y轴于点G，求出DF的解析式，联立方程组，求出点F的坐标，分点E在点F的上方和下方两种情况结合勾股定理求出结论即可．
【详解】
解：过点D作DF⊥l于点F，延长FD交y轴于点G，

∵点B（﹣2，0），且点D为点B关于y轴的对称点，
∴D（2，0）
∴BD=4
又∠DBE＝∠DEB，
∴DE=BD=4
对于直线l：y＝﹣x++3，当x=0时，y=+3；当y=0时，x=+3
∴OH=+3，AO=+3
∴
∴
∴
∴
又
∴，
∴
∴
设直线DF所在直线解析式为
把，D（2，0）代入得，
解得，
∴直线DF所在直线解析式为
联立，
解得，
∴F(，)
∴
在Rt△DFE中，
∴
①当E在F下方时，如图1，在E点下方直线l上取一点M，使EM=DE=4，连接DM，
∵EM=DE
∴
又∵
∴
又∵
∴
∴DC=DM
在Rt△DFM中，
∴
②当点E在F的上方时，如图2，在E点下方直线l上取一点M，使EM=DE=4，连接DM，

∵EM=DE
∴
又∵，
∴
∴DC=DM
∴
在Rt△DFM中，
∴
综上所述，或
故选：C
【点睛】
本题是一次函数的综合题；灵活应用勾股定理，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
二、填空题
9．
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质可求出的取值范围．
【详解】
解：若二次根式在实数范围内有意义，
则：，
解得．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的意义和性质：概念：式子叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
10．A
解析：24
【解析】
【分析】
由正方形的性质可求AC的长，由勾股定理可求BO的值，可求BD的值，即可求菱形ABCD的面积．
【详解】
解：如图，连接AC，BD交于O，

∵正方形AECF的面积为18cm2，
∴正方形AECF的边长为cm，
∴AC=AE=6（cm），
∴AO=3（cm），
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO=DO，
∴BO==4（cm），
∴BD=2BO=8（cm），
∴菱形ABCD的面积=AC×BD=24（cm2），
故答案为：24．
【点睛】
本题考查正方形的性质，菱形的性质，勾股定理，熟练运用正方形的性质是本题的关键．
11．
【解析】
【分析】
直接利用勾股定理即可得．
【详解】
在 中，，

故答案为：．
【点睛】
本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题关键．
12．C
解析：3
【分析】
利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案.
【详解】
解：∵∠C＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝AB＝3．
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，解题的关键在于能够熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
13．A
解析：y＝2x+4
【分析】
根据函数y＝kx+b的图象与直线y＝2x平行，且经过点A（1，6），即可得出k和b的值，即得出了函数解析式．
【详解】
解：∵函数y＝kx+b的图象与直线y＝2x平行，
∴k＝2，
又∵函数y＝2x+b的图象经过点A（1，6），
∴6＝2+b，
∴b＝4，
∴一次函数的解析式为y＝2x+4，
故答案为y＝2x+4．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，理解两条直线平行，解析式中的值相等是解题的关键．
14．A
解析：
【分析】
结合题意，由矩形的性质和线段垂直平分线的性质可得AB=AO=OB=OD=4，根据勾股定理可求AD的长．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO=DO，
∵AE垂直平分OB于点E，
∴AO=AB=4，
∴AO=OB=AB=4，
∴BD=8，
在Rt△ABD中,AD==.
故答案为.
【点睛】
本题考查矩形的性质和线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握矩形的性质和线段垂直平分线的性质.
15．【分析】
作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接DF，EG，由轴对称的性质，可得DF＝DC，EC＝EG，故当点F，D，E，G在同一直线上时，△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝DF＋DE
解析：
【分析】
作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接DF，EG，由轴对称的性质，可得DF＝DC，EC＝EG，故当点F，D，E，G在同一直线上时，△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝DF＋DE＋EG＝FG，此时△DEC周长最小，然后求出F、G的坐标从而求出直线FG的解析式，再求出直线AB和直线FG的交点坐标即可得到答案．
【详解】
解：如图，作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接FG分别交AB、OA于点D、E，
由轴对称的性质可知，CD=DF，CE=GE，BF=BC，∠FBD=∠CBD，
∴△CDE的周长=CD+CE+DE=FD+DE+EG，
∴要使三角形CDE的周长最小，即FD+DE+EG最小，
∴当F、D、E、G四点共线时，FD+DE+EG最小，

∵直线y＝x＋2与两坐标轴分别交于A、B两点，
∴B（-2，0），
∴OA＝OB，
∴∠ABC＝∠ABD＝45°，
∴∠FBC=90°，
∵点C是OB的中点，
∴C(，0)，
∴G点坐标为（1，0），，
∴F点坐标为（-2，），
设直线GF的解析式为，
∴，
∴，
∴直线GF的解析式为，
联立，
解得，
∴D点坐标为（，）
故答案为：（，）．
【点睛】
本题主要考查了轴对称-最短路线问题，一次函数与几何综合，解题的关键是利用对称性在找到△CDE周长的最小时点D、点E位置，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．
16．【详解】
试题分析：首先根据DE是AB的垂直平分线，可得AE=BE；然后根据△ABC的周长=AB+AC+BC，△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，可得△ABC的周长-△
解析：【详解】
试题分析：首先根据DE是AB的垂直平分线，可得AE=BE；然后根据△ABC的周长=AB+AC+BC，△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，可得△ABC的周长-△EBC的周长=AB，据此求出AB的长度是多少即可．
解：DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE；
∵△ABC的周长=AB+AC+BC，
△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，
∴AB=△ABC的周长−△EBC的周长，
∴AB=40−24=16(cm).
故答案为16.
三、解答题
17．（1）；（2）7；（3）4；（4）
【分析】
（1）先化简成最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先化简成最简二次根式，再根据二次根式除法计算即可；
（3）先化简成最简二次根式，再根据二次根
解析：（1）；（2）7；（3）4；（4）
【分析】
（1）先化简成最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先化简成最简二次根式，再根据二次根式除法计算即可；
（3）先化简成最简二次根式，再根据二次根式运算法则计算即可；
（4）先根据绝对值、0指数幂、负整数指数幂化简，再计算即可；
【详解】
解：（1）原式＝；
（2）原式＝；
（3）原式＝3×－＝9－5＝4；
（4）原式＝．
【点睛】
本题考查二次根式的运算、0指数幂、负整数指数幂，解题的关键是先化简再进行计算．
18．折断处离地面的高度有3.2尺．
【分析】
根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程求解即可．
【详解】
解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB=10-x，BC=6，
解析：折断处离地面的高度有3.2尺．
【分析】
根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程求解即可．
【详解】
解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB=10-x，BC=6，

在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+62=(10-x)2．
解得：x=3.2．
答：折断处离地面的高度有3.2尺．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
19．（1）作图见详解；（2）作图见详解；（3）作图见详解．
【解析】
【分析】
（1）根据题意找出三角形底为4，高为4的三角形即可；
（2）根据题意可画出直角边分别为3，4的直角三角形，斜边通过勾股定理
解析：（1）作图见详解；（2）作图见详解；（3）作图见详解．
【解析】
【分析】
（1）根据题意找出三角形底为4，高为4的三角形即可；
（2）根据题意可画出直角边分别为3，4的直角三角形，斜边通过勾股定理计算为5，符合题意；
（3）根据题意及正方形面积的特点即可画出边长为的正方形．
【详解】
（1）如图所示，三角形底为4，高为4，面积为8，符合题意，即为所求；

（2）如图所示，三角形为所求，直角边分别为3，4，根据勾股定理，斜边为5，符合题意；

（3）如图所示，正方形为所求，正方形变长为，
面积为：，符合题意．

【点睛】
此题主要考查网格与图形，解题的关键是熟练运用勾股定理．
20．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）先证，得，又因为，可证；
（2）先证，得，又因为，利用边与边的关系，得，又因为，可证得四边形ADCG是平行四边形，又因为，四边形ADCG是矩形．
【详解】
解析：（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）先证，得，又因为，可证；
（2）先证，得，又因为，利用边与边的关系，得，又因为，可证得四边形ADCG是平行四边形，又因为，四边形ADCG是矩形．
【详解】
（1）证明：∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∵，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形ADCG是平行四边形，
∵，
∴四边形ADCG是矩形．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，全等的判定和性质、平行四边形、矩形的判定，能利用相似和全等找到边与边的关系是解题的关键．
21．答案见解析.
【解析】
【分析】
直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．
【详解】
刘峰的解法错误，
原因是：错误地运用了＝这个公式，
正确解法是：∵a＝＝＜1，
∴a﹣1＜0，
∴＝
＝
＝
＝
解析：答案见解析.
【解析】
【分析】
直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．
【详解】
刘峰的解法错误，
原因是：错误地运用了＝这个公式，
正确解法是：∵a＝＝＜1，
∴a﹣1＜0，
∴＝
＝
＝
＝﹣，
∴原式＝﹣．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
22．（1）10；；（2）函数图象的解析式：；（3）促销活动期间，去该店购买A种水果10千克，那么共需花费9元．
【分析】
（1）根据观察函数图象的横坐标，纵坐标，可得结果；
（2）根据待定系数法，设函数
解析：（1）10；；（2）函数图象的解析式：；（3）促销活动期间，去该店购买A种水果10千克，那么共需花费9元．
【分析】
（1）根据观察函数图象的横坐标，纵坐标，可得结果；
（2）根据待定系数法，设函数图象的解析式 （k是常数，b是常数，），将，两个点代入求解即可得函数的解析式；
（3）将代入（2）函数解析式即可．
【详解】
解：（1）观察函数图象的横坐标，纵坐标，不超过5千克时，单价是10元，数量不少于11千克时，单价为8.8元．
故答案为：10；；
（2）设函数图象的解析式 （k是常数，b是常数，），
图象过点，，
可得：，
解得，
函数图象的解析式：；
（3）当时，
，
答：促销活动期间，去该店购买A种水果10千克，那么共需花费9元．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，待定系数法确定函数解析式等，理解题意，根据函数图象得出信息是解题关键．
23．（1）见解析；（2）FG=EP，理由见解析；（3）
【分析】
（1）证△ODE≌△OFB（ASA），即可得出OE=OF；
（2）连AC，由（1）可知OE=OF，OB=OD，证△AOE≌△COF（SA
解析：（1）见解析；（2）FG=EP，理由见解析；（3）
【分析】
（1）证△ODE≌△OFB（ASA），即可得出OE=OF；
（2）连AC，由（1）可知OE=OF，OB=OD，证△AOE≌△COF（SAS），得AE=CF，由折叠性质得AE=A1E=CF，∠A1=∠BAD=∠BCD，∠B=∠B1，则∠D=∠B1，证△A1PE≌△CGF（AAS），即可得出FG=EP；
（3）作OH⊥BC于H，证四边形ABCD是矩形，则∠ABC=90°，得∠OBC=30°，求出AC=8，由勾股定理得BC=，则CF=-4，由等腰三角形的性质得BH=CH=BC=，则HF=，OH=OB=2，由勾股定理得OF=，进而得出答案．
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠ODE=∠OBF，∠OED=∠OFB，
∵AE=CF，
∴AD-AE=BC-CF，即DE=BF，
在△ODE和△OFB中，
，
∴△ODE≌△OFB（ASA），
∴OE=OF；
（2）FG=EP，理由如下：
连AC，如图②所示：
由（1）可知：OE=OF，OB=OD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC过点O，OA=OC，∠BAD=∠BCD，∠D=∠B，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE=CF，
由折叠性质得：AE=A1E=CF，∠A1=∠BAD=∠BCD，∠B=∠B1，
∴∠D=∠B1，
∵∠A1PE=∠DPH，∠PHD=∠B1HG，
∴∠DPH=∠B1GH，
∵∠B1GH=∠CGF，
∴∠A1PE=∠CGF，
在△A1PE和△CGF中，
，
∴△A1PE≌△CGF（AAS），
∴FG=EP；

（3）作OH⊥BC于H，如图③所示：
∵△AOB是等边三角形，
∴∠ABO=∠AOB=∠BAO=60°，OA=OB=AB=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∵AB=OB=BF=4，
∴AC=BD=2OB=8，
由勾股定理得：BC==，
∴CF=-4，
∵OB=OC，OH⊥BC，
∴BH=CH=BC=，
∴HF=4-，OH=OB=2，
在Rt△OHF中，由勾股定理得：
OF===，
∴，
故答案为：．

【点睛】
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．
24．（1）C(-3，0)，y＝2x+6；（2）①；②(0，7)或(0，-1)
【解析】
【分析】
（1）利用等腰三角形的三线合一的性质求出点C的坐标，再利用待定系数法求解即可．
（2）①如图，取点Q(-
解析：（1）C(-3，0)，y＝2x+6；（2）①；②(0，7)或(0，-1)
【解析】
【分析】
（1）利用等腰三角形的三线合一的性质求出点C的坐标，再利用待定系数法求解即可．
（2）①如图，取点Q(-1，3)，连接BQ，DQ，DQ交AB于E．证明△QDB是等腰直角三角形，求出直线QD的解析式即可解决问题．
②分两种情形：点F落在直线BC上，点F′落在直线BC上，分别求解即可．
【详解】
解：（1）∵直线y＝﹣2x+6交x轴于点A，交轴于点B，
∴A(3，0)，B(0，6)，
∴OA＝3，OB＝6，
∵AB＝BC，
OB⊥AC，
∴OC＝OA＝3，
∴C(-3，0)，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝2x+6．
（2）①如图，取点Q(-1，3)，连接BQ，DQ，DQ交AB于E．

∵D(a，2)在直线y＝﹣2x+6上，
∴2＝﹣2a+6，
∴a＝2，
∴D(2，2），
∵B(0，6)，
∴，，，
∴BD2＝QB2+QD2，QB＝QD，
∴∠BQD＝90°，∠BDQ＝45°，
∵直线DQ的解析式为，
∴E(0，)，
∴OE＝，BE＝6﹣＝，
∴．
②如图，过点D作DM⊥OA于M，DN⊥OB于N．

∵四边形DEGF是正方形，
∴∠EDF＝90°，ED＝DF，
∵∠EDF＝∠MDN＝90°，
∴∠EDN＝∠DFM，
∵DE＝DF，DN＝DM，
∴△DNE≌△DMF（SAS），
∴∠DNE＝∠DMF＝90°，EN＝FM，
∴点F在x轴上，
∴当点F与C重合时，FM＝NE＝5，此时E(0，7)，
同法可证，点F′在直线y＝4上运动，当点F′落在BC上时，E(0，﹣1)，
综上所述，满足条件的点E的坐标为(0，7)或(0，﹣1)．
【点睛】
本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，等腰三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于压轴题．
25．（1）∠ABD=∠ACD；（2）四边形ACEF为正方形，理由见解析；（3）5.
【解析】
【分析】
（1）以AD为公共边，有∠ABD=∠ACD；
（2）证明△ADC是等腰直角三角形，得AD=CD，则
解析：（1）∠ABD=∠ACD；（2）四边形ACEF为正方形，理由见解析；（3）5.
【解析】
【分析】
（1）以AD为公共边，有∠ABD=∠ACD；
（2）证明△ADC是等腰直角三角形，得AD=CD，则AE=CF，根据对角线相等的菱形是正方形可得结论；
（3）如图2，作辅助线构建直角三角形，证明△ABC≌△CHE，得CH=AB=3，根据平行线等分线段定理可得BG=GH=4，从而得结论.
【详解】
解：（1）由图1得：△ABD和△ADC有公共边AD，在AD同侧有∠ABD和∠ACD，此时∠ABD=∠ACD；
（2）四边形ACEF为正方形，理由是：
∵∠ABC=90°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=45°
∴∠DAC=∠CBD=45°
∵四边形ACEF是菱形，
∴AELCF，
∴∠ADC=90°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD=CD，.AE=CF，
∴菱形ACEF是正方形；

（3）如图2，过D作DG⊥BC于G，过E作EH⊥BC，交BC的延长线于H，
∵∠DBG=45°，
∴△BDG是等腰直角三角形，BD=4，
∵BG=4，四边形ACEF是正方形，
∴AC=CE，∠ACE=90°，AD=DE，
易得△ABC≌△CHE，
∴CH=AB=3，AB//DG//EH，AD=DE，
∴BG=GH=4，
∴CG=4-3=1，
∴BC=BG+CG=4+1=5.
【点睛】
本题是四边形的综合题，也是新定义问题，考查了损矩形和损矩形的直径的概念，平行线等分线段定理，菱形的性质，正方形的判定等知识，认真阅读理解新定义，第3问有难度，作辅助线构建全等三角形是关键.