八年级初二数学下学期勾股定理单元-易错题专题强化试卷检测试卷.doc

八年级初二数学下学期勾股定理单元 易错题专题强化试卷检测试卷

一、选择题
1．如图，等边的边长为，，分别是，上的两点，将沿直线折叠，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为（ ）

A． B． C． D．
2．在直角三角形中，自两锐角所引的两条中线长分别为5和2，则斜边长为（　　）
A．10 B．4 C． D．2
3．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形。若正方形A、B、C、D的边长是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是

A．13 B．2 C．47 D．
4．如图，在△ABC中，∠A＝90°，P是BC上一点，且DB＝DC，过BC上一点P，作PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，已知：AD：DB＝1：3，BC＝，则PE+PF的长是（ ）

A． B．6 C． D．
5．一艘渔船从港口A沿北偏东60°方向航行至C处时突然发生故障，在C处等待救援．有一救援艇位于港口A正东方向20（﹣1）海里的B处，接到求救信号后，立即沿北偏东45°方向以30海里/小时的速度前往C处救援．则救援艇到达C处所用的时间为（　　）

A．小时 B．小时 C． 小时 D．小时
6．如图，中，，，．设长是，下列关于的四种说法：①是无理数；②可以用数轴上的一个点来表示；③是13的算术平方根；④．其中所有正确说法的序号是（ ）

A．①② B．①③
C．①②③ D．②③④
7．如图，分别以直角三边为边向外作三个正方形，其面积分别用表示，若，，那么（ ）

A．9 B．5 C．53 D．45
8．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈=10尺）一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是（ ）
A．5.3尺 B．6.8尺 C．4.7尺 D．3.2尺
9．如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为1，过点作直线垂直于，在上取点，使，以点为圆心，以为半径作弧，弧与数轴的交点所表示的数为（ ）

A． B． C． D．
10．已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长是(　　)
A．5 B．4 C． D．4或
二、填空题
11．如图，在△ABC中，OA＝4，OB＝3，C点与A点关于直线OB对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上(点P不与点A、C重合)，满足∠BPQ＝∠BAO.当△PQB为等腰三角形时，OP的长度是_____．

12．已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为_____．

13．在△ABC中，AB＝6，AC＝5，BC边上的高AD＝4，则△ABC的周长为__________.
14．如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，点在边上运动，当是以为腰的等腰三角形时，则点的坐标为______.

15．如图，度，，，且，AF平分交BC于F，若，，则线段AD的长为______．

16．如图，正方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过四个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为_____cm．

17．如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是的角平分线，E是AD上的动点，F是AB边上的动点，则BE+EF的最小值为_____．

18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，BD是高，则点BD的长为_____．

19．已知：如图，等腰的直角边的长为1，以边上的高为直角边，按逆时针方向作等腰，与相交于点，若再以为直角边按逆时针方向作等腰，与相交于点，按此作法进行下去，得到，，…，则的周长是______.

20．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，底边BC上的高AD＝6cm，腰AC上的高BE＝4m，则△ABC的面积为_____cm2．

三、解答题
21．如图，是边上的两点，点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B沿运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求线段PQ的长；
（2）求点Q在BC上运动时，出发几秒后，是等腰三角形；
（3）点Q在边CA上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间．

22．如图，在△ABC中，AB＝30 cm，BC＝35 cm，∠B＝60°，有一动点M自A向B以1 cm/s的速度运动，动点N自B向C以2 cm/s的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发．
(1)经过多少秒，△BMN为等边三角形；
(2)经过多少秒，△BMN为直角三角形．

23．如图，已知中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．

（1）当秒时，求的长；
（2）求出发时间为几秒时，是等腰三角形？
（3）若沿方向运动，则当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间．
24．如图，△ABC中AC=BC，点D，E在AB边上，连接CD，CE．
(1)如图1，如果∠ACB=90°，把线段CD逆时针旋转90°，得到线段CF，连接BF，
①求证：△ACD≌△BCF；
②若∠DCE=45°， 求证：DE2=AD2+BE2；
(2)如图2，如果∠ACB=60°，∠DCE=30°，用等式表示AD，DE，BE三条线段的数量关系，说明理由．

25．我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在中，是边上的中线，与的“广益值”就等于的值，可记为
（1）在中，若，，求的值．
（2）如图2，在中，，，求，的值．
（3）如图3，在中，是边上的中线，，，，求和的长．

26．中，，，，分别是边和上的动点，在图中画出值最小时的图形，并直接写出的最小值为 .

27．如图，是等边三角形，为上两点，且，延长至点，使，连接．

（1）如图1，当两点重合时，求证：；
（2）延长与交于点．
①如图2，求证：；
②如图3，连接，若，则的面积为______________．
28．已知组正整数：第一组：3，4，5；第二组：8，6，10；第三组：15，8，17；第四组：24，10，26；第五组：35，12，37；第六组：48，14，50；…
（1）是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理由；
（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例．
29．已知：四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，有一足够大的含60°角的直角三角尺的60°角的顶点与菱形ABCD的顶点A重合，两边分别射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAP＝60°．
（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，请直接判断△AEF的形状是　 　．
（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE＝CF；
（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB＝15°时，求点F到BC的距离．

30．已知是等边三角形，点D是BC边上一动点，连结AD
如图1，若，，求AD的长；
如图2，以AD为边作，分别交AB，AC于点E，F．
小明通过观察、实验，提出猜想：在点D运动的过程中，始终有，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法
想法1：利用AD是的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证．
想法2：利用AD是的角平分线，构造的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证．
请你参考上面的想法，帮助小明证明一种方法即可
小聪在小明的基础上继续进行思考，发现：四边形AEDF的面积与AD长存在很好的关系若用S表示四边形AEDF的面积，x表示AD的长，请你直接写出S与x之间的关系式．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．D
解析：D
【分析】
根据折叠的性质可得AD=A'D，AE=A'E，易得阴影部分图形的周长为=AB+BC+AC，则可求得答案．
【详解】
解：因为等边三角形ABC的边长为1cm，所以AB=BC=AC=1cm，
因为△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，所以AD=A'D，AE=A'E，
所以阴影部分图形的周长=BD+A'D+BC+A'E+EC=BD+AD+BC+AE+EC=AB+BC+AC=1+1+1=3（cm）．
故选：D．
【点睛】
此题考查了折叠的性质与等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用以及折叠前后图形的对应关系．
2．D
解析：D
【分析】
根据已知设AC＝x，BC＝y，在Rt△ACD和Rt△BCE中，根据勾股定理分别列等式，从而求得AC，BC的长，最后根据勾股定理即可求得AB的长．
【详解】
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD、BE为△ABC的两条中线，且AD＝2，BE＝5，求AB的长．
设AC＝x，BC＝y，
根据勾股定理得：
在Rt△ACD中，x2+（y）2＝（2）2，
在Rt△BCE中，（x）2+y2＝52，
解之得，x＝6，y＝4，
∴在Rt△ABC中， ，
故选：D．

【点睛】
此题考查勾股定理的运用，在直角三角形中，已知两条边长时，可利用勾股定理求第三条边的长度.
3．C
解析：C
【分析】
根据勾股定理即可得到正方形A的面积加上B的面积加上C的面积和D的面积是E的面积．即可求解．
【详解】
四个正方形的面积的和是正方形E的面积：即；故答案为C．
【点睛】
理解正方形A，B，C，D的面积的和是E的面积是解决本题的关键．
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据三角形的面积判断出PE+PF的长等于AC的长，这样就变成了求AC的长；在Rt△ACD和Rt△ABC中，利用勾股定理表示出AC，解方程就可以得到AD的长，再利用勾股定理就可以求出AC的长，也就是PE+PF的长．
【详解】
∵△DCB为等腰三角形，PE⊥AB，PF⊥CD，AC⊥BD，
∴S△BCD=BD•PE+CD•PF=BD•AC，
∴PE+PF=AC，
设AD=x，BD=CD=3x，AB=4x，
∵AC2=CD2-AD2=（3x）2-x2=8x2，
∵AC2=BC2-AB2=（）2-（4x）2，
∴x=2，
∴AC=4，
∴PE+PF=4．
故选C
【点睛】
本题考查勾股定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法证明线段之间的关系，灵活运用勾股定理解决问题，属于中考常考题型．
5．C
解析：C
【解析】
【分析】
过点C作CD垂直AB延长线于D，根据题意得∠CDB=45°，∠CAD=30°，设BD=x则CD=BD=x，BC=x，由∠CAD=30°可知tan∠CAD= 即 ，解方程求出BD的长，从而可知BC的长，进而求出救援艇到达C处所用的时间即可.
【详解】
如图：过点C作CD垂直AB延长线于D，则∠CDB=45°，∠CAD=30°，
∵∠CDB=45°，CD⊥BD，
∴BD=CD，
设BD=x，救援艇到达C处所用的时间为t，
∵tan∠CAD=，AD=AB+BD，
∴，得x=20（海里），
∴BC=BD=20（海里），
∴t= = （小时），

故选C.
【点睛】
本题考查特殊角三角函数，正确添加辅助线、熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键.
6．C
解析：C
【分析】
根据勾股定理即可求出答案．
【详解】
解：∵∠ACB＝90°，
∴在RtABC中，m＝AB＝＝，
故①②③正确，
∵m2＝13，9＜13＜16，
∴3＜m＜4，
故④错误，
故选：C．
【点睛】
本题考查勾股定理及算术平方根、无理数的估算，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型．
7．A
解析：A
【分析】
根据勾股定理与正方形的性质解答．
【详解】
解：在Rt△ABC中，AB2=BC2+AC2，
∵S1=AB2，S2=BC2，S3=AC2，
∴S1=S2+S3．
∵S2=7，S3=2，
∴S1=7+2=9．
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
8．D
解析：D
【分析】
根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．
【详解】
解：设折断处离地面的高度OA是x尺，根据题意可得：

x2+62=（10-x）2，
解得：x=3.2，
答：折断处离地面的高度OA是3.2尺．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
9．B
解析：B
【分析】
由数轴上点表示的数为，点表示的数为1，得PA=2，根据勾股定理得，进而即可得到答案．
【详解】
∵数轴上点表示的数为，点表示的数为1，
∴PA=2，
又∵l⊥PA，，
∴，
∵PB=PC=，
∴数轴上点所表示的数为：．
故选B．
【点睛】
本题主要考查数轴上点表示的数与勾股定理，掌握数轴上两点之间的距离求法，是解题的关键．
10．D
解析：D
【详解】
解：∵一个直角三角形的两边长分别为3和5，
∴①当5是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为x，则由勾股定理得到：x==4；
②当5是此直角三角形的直角边时，设另一直角边为x，则由勾股定理得到：x==
故选：D
二、填空题

11．1或
【分析】
分为三种情况：①，②，③，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．
【详解】
解：分为3种情况：
①当时，
，，
，
点与点关于直线对称，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
∴，
；
②当时，
，
，
，
根据三角形外角性质得：，
这种情况不存在；
③当时，
，
，
设，则
在中，，
，
解得：；
当为等腰三角形时，或；
【点睛】
本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题，注意分类讨论．
12．．（3，4）或（2，4）或（8，4）．
【分析】
题中没有指明△ODP的腰长与底分别是哪个边，故应该分情况进行分析，从而求得点P的坐标．
【详解】
解：（1）OD是等腰三角形的底边时，P就是OD的垂直平分线与CB的交点，此时OP＝PD≠5；
（2）OD是等腰三角形的一条腰时：
①若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，
在直角△OPC中，CP＝＝＝3，则P的坐标是（3，4）．
②若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，
过D作DM⊥BC于点M，
在直角△PDM中，PM＝＝3，
当P在M的左边时，CP＝5﹣3＝2，则P的坐标是（2，4）；
当P在M的右侧时，CP＝5+3＝8，则P的坐标是（8，4）．
故P的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．
故答案为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．

【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理的运用等知识,注意正确地进行分类，考虑到所有可能的情况并进行分析求解是解题的关键.
13．或
【分析】
分两种情况考虑：如图1所示，此时△ABC为锐角三角形，在直角三角形ABD与直角三角形ACD中，利用勾股定理求出BD与DC的长，由BD+DC求出BC的长，即可求出周长；如图2所示，此时△ABC为钝角三角形，同理由BDCD求出BC的长，即可求出周长．
【详解】
解：分两种情况考虑：
如图1所示，此时△ABC为锐角三角形，

在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD=，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：CD=，
∴BC=，
∴△ABC的周长为：；
如图2所示，此时△ABC为钝角三角形，

在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD=，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：CD=，
∴BC=，
∴△ABC的周长为：；
综合上述，△ABC的周长为：或；
故答案为：或.
【点睛】
此题考查了勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
14．或或
【分析】
当是以为腰的等腰三角形时，分为两种情况①点O是顶角顶点时，②D是顶角顶点时，根据勾股定理求出CP，PM即可．
【详解】
解：OD是等腰三角形的一条腰时：
①若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，以10为半径的弧与CB的交点，
在直角△OPC中，CP=，则P的坐标是（6，8）．
②若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以10为半径的弧与CB的交点，
过D作DM⊥BC于点M，

在直角△PDM中，PM= ，
当P在M的左边时，CP=10-6=4，则P的坐标是（4，8）；
当P在M的右侧时，CP=10+6=16，则P的坐标是（16，8）．
故P的坐标为：（6，8）或（4，8）或（16，8）．
故答案为：（6，8）或（4，8）或（16，8）．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质及勾股定理的运用，注意正确地进行分类，考虑到所有的可能情况是解题的关键．
15．
【分析】
由“SAS”可证≌，≌可得，，，由勾股定理可求EF的长，即可求BC的长，由勾股定理可求AD的长．
【详解】
解：如图，连接EF，过点A作于点G，

，
，
又，
，
在和中
，
≌．
，
，，
∴
，
，
，
，
平分，
，
在和中
，
≌．
．
．
，
∴
，
，，
，
，
∴
故答案为
【点睛】
考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
16．5
【解析】
【分析】
要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】
展开图如图所示：

由题意，在Rt△APQ中，PD=10cm，DQ=5cm，
∴蚂蚁爬行的最短路径长=PQ==5（cm），
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
17．
【解析】
∵AB=AC，AD是角平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴B点，C点关于AD对称，
如图，过C作CF⊥AB于F，交AD于E，

则CF=BE+FF的最小值，
根据勾股定理得，AD=12，
利用等面积法得：AB⋅CF=BC⋅AD，
∴CF===
故答案为.
点睛：本题主要考查的是翻折的性质、垂线段最短、勾股定理的应用及三角形面积的等积法.明确当CF⊥AB时，CF有最小值是解题的关键.
18．
【解析】
试题分析：根据等腰三角形的性质和勾股定理可知BC边上的高为8，然后根据三角形的面积法可得，解得BD=.
19．
【分析】
依次求出在Rt△OAB中，OA1＝；在Rt△OA1B1中，OA2＝OA1＝（）2；依此类推：在Rt△OA5B5中，OA6＝（）6，由此可求出△OA6B6的周长．
【详解】
∵等腰的直角边的长为1，
∴在Rt△OA1B1中OA1＝OA＝，
在中OA2＝OA1＝（）2，
…
故在Rt△OA6B6中OA6＝OA5＝（）6= OB6
=OB6=
故△OA6B6的周长是＝+2×（）6=+2×=．
故答案为：．
【点睛】
本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
20．9
【分析】
根据三角形等面积法求出 ，在Rt△ACD中根据勾股定理得出AC2=BC2+36，依据这两个式子求出AC、BC的值.
【详解】
∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，
∴AC•BE＝BC•AD，
∵AD＝6，BE＝4，
∴＝，
∴＝，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC＝BC，
∵AC2﹣CD2＝AD2，
∴AC2＝BC2+36，
∴＝，
整理得，BC2＝，
解得：BC＝，
∴△ABC的面积为××6＝cm2
故答案为：．
【点睛】
本题考查了三角形的等面积法以及勾股定理的应用，找出AC与BC的数量关系是解答此题的关键．
三、解答题

21．（1）出发2秒后，线段PQ的长为；（2）当点Q在边BC上运动时，出发秒后，△PQB是等腰三角形；（3）当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形.
【分析】
（1）由题意可以求出出发2秒后，BQ和PB的长度，再由勾股定理可以求得PQ的长度；
（2）设所求时间为t，则可由题意得到关于t的方程，解方程可以得到解答；
（3）点Q在边CA上运动时，ΔBCQ为等腰三角形有三种情况存在，对每种情况进行讨论可以得到解答．
【详解】
(1)BQ=2×2=4cm，BP=AB−AP=8−2×1=6cm，
∵∠B=90°，
由勾股定理得：PQ=
∴出发2秒后，线段PQ的长为；
(2)BQ=2t，BP=8−t
由题意得：2t=8−t
解得：t=
∴当点Q在边BC上运动时，出发秒后，△PQB是等腰三角形；
(3) ∵∠ABC=90°，BC=6，AB=8，∴AC==10.
①当CQ=BQ时(图1)，则∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠ABQ，∴BQ=AQ，∴CQ=AQ=5，
∴BC+CQ=11，∴t=11÷2=5.5秒；

②当CQ=BC时(如图2)，则BC+CQ=12
∴t=12÷2=6秒

③当BC=BQ时(如图3)，过B点作BE⊥AC于点E，
∴BE=，
所以CE===3.6，
故CQ=2CE=7.2，
所以BC+CQ=13.2，
∴t=13.2÷2=6.6秒.
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形.

【点睛】
本题考查三角形的动点问题，利用分类讨论思想和方程方法、综合力学的运动知识和三角形边角的有关知识求解是解题关键．
22．(1) 出发10s后，△BMN为等边三角形；(2)出发6s或15s后，△BMN为直角三角形．
【分析】
（1）设时间为x，表示出AM=x、BN=2x、BM=30-x，根据等边三角形的判定列出方程，解之可得；
（2）分两种情况：①∠BNM=90°时，即可知∠BMN=30°，依据BN=BM列方程求解可得；②∠BMN=90°时，知∠BNM=30°，依据BM=BN列方程求解可得．
【详解】
解　(1)设经过x秒，△BMN为等边三角形，
则AM＝x，BN＝2x，
∴BM＝AB－AM＝30－x，
根据题意得30－x＝2x，
解得x＝10，
答：经过10秒，△BMN为等边三角形；
(2)经过x秒，△BMN是直角三角形，
①当∠BNM＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BMN＝30°，
∴BN＝BM，即2x＝(30－x)，
解得x＝6；
②当∠BMN＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BNM＝30°，
∴BM＝BN，即30－x＝×2x，
解得x＝15，
答：经过6秒或15秒，△BMN是直角三角形．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理，等边三角形的判定.
23．（1）；（2）；（3）5.5秒或6秒或6.6秒
【分析】
（1）根据点、的运动速度求出，再求出和，用勾股定理求得即可；
（2）由题意得出，即，解方程即可；
（3）当点在边上运动时，能使成为等腰三角形的运动时间有三种情况：
①当时（图，则，可证明，则，则，从而求得；
②当时（图，则，易求得；
③当时（图，过点作于点，则求出，，即可得出．
【详解】
（1）解：（1），
，
，
；
（2）解：根据题意得：，
即，
解得：；
即出发时间为秒时，是等腰三角形；
（3）解：分三种情况：
①当时，如图1所示：

则，
，
，
，

，
，
，
秒．
②当时，如图2所示：

则
秒．
③当时，如图3所示：

过点作于点，
则
，
，
，
秒．
由上可知，当为5.5秒或6秒或6.6秒时，
为等腰三角形．
【点睛】
本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用．
24．（1）①详见解析；②详见解析；（2）DE2= EB2+AD2+EB·AD，证明详见解析
【分析】
（1）①根据旋转的性质可得CF=CD，∠DCF=90°，再根据已知条件即可证明△ACD≌△BCF；
②连接EF，根据①中全等三角形的性质可得∠EBF=90°，再证明△DCE≌△FCE得到EF=DE即可证明；
（2）根据（1）中的思路作出辅助线，通过全等三角形的判定及性质得出相等的边，再由勾股定理得出AD，DE，BE之间的关系．
【详解】
解：（1）①证明：由旋转可得CF=CD，∠DCF=90°
∵∠ACD=90°
∴∠ACD=∠BCF
又∵AC=BC
∴△ACD≌△BCF
②证明：连接EF，
由①知△ACD≌△BCF
∴∠CBF=∠CAD=∠CBA=45°，∠BCF=∠ACD，BF=AD
∴∠EBF=90°
∴EF2=BE2+BF2，
∴EF2=BE2+AD2
又∵∠ACB=∠DCF=90°，∠CDE=45°
∴∠FCE=∠DCE=45°
又∵CD=CF，CE=CE
∴△DCE≌△FCE
∴EF=DE
∴DE2= AD2+BE2

⑵DE2= EB2+AD2+EB·AD
理由：如图2，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△CBF，过点F作FG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接EF，
∴∠CBE=∠CAD，∠BCF=∠ACD， BF=AD
∵AC=BC，∠ACB=60°
∴∠CAB=∠CBA =60°
∴∠ABE=120°，∠EBF=60°，∠BFG=30°
∴BG=BF，FG=BF
∵∠ACB=60°，∠DCE=30°，
∴∠ACD+∠BCE=30°，
∴∠ECF=∠FCB+∠BCE=30°
∵CD=CF，CE=CE
∴△ECF≌△ECD
∴EF=ED
在Rt△EFG中，EF2=FG2+EG2
又∵EG=EB+BG
∴EG=EB+BF，
∴EF2=（EB+BF）2+（BF）2
∴DE2= （EB+AD）2+（AD）2
∴DE2= EB2+AD2+EB·AD

【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与旋转模型，解题的关键是找出全等三角形，转换线段，并通过勾股定理的计算得出线段之间的关系．
25．(1)AC=9;(2)ABAC=-72,BABC=216;(3)BC=2OC=2,AB=10.
【分析】
(1)在Rt中,根据勾股定理和新定义可得AO2-OC2=81=AC2;
(2)①先利用含30°的直角三角形的性质求出AO=2,OB=,再用新定义即可得出结论;
②先构造直角三角形求出BE,AE,再用勾股定理求出BD,最后用新定义即可得出结论;
(3)作BD⊥CD,构造直角三角形BCD,根据三角形面积关系求出BD,根据新定义和勾股定理逆定理得出三角形AOD是直角三角形,根据中线性质得出OA的长度,根据勾股定理求出OC,从而得出BC,再根据勾股定理求出CD,再求出AD,再运用勾股定理求出AB.
【详解】
(1)已知如图:AO为BC上的中线,

在Rt中,
AO2-OC2=AC2
因为
所以AO2-OC2=81
所以AC2=81
所以AC=9.
(2)①如图2,取BC的中点D,连接AO,∵AB=AC,∴AO⊥BC,
在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,∴∠ABC=30°,
在Rt△AOB中,AB=12,∠ABC=30°,∴AO=6,OB==,
∴ABAC=AO2﹣BO2=36﹣108=﹣72,
②取AC的中点D,连接BD,∴AD=CD=AC=6,过点B作BE⊥AC交CA的延长线于E,在Rt△ABE中,∠BAE=180°﹣∠BAC=60°,∴∠ABE=30°,
∵AB=12,∴AE=6,BE=,
∴DE=AD+AE=12,
在Rt△BED中,根据勾股定理得,BD=
∴BABC=BD2﹣CD2=216;

(3)作BD⊥CD,
因为,,
所以BD=2,
因为,是边上的中线,
所以AO2-OC2=-64,
所以OC2-AO2=64,
由因为AC2=82=64,
所以OC2-AO2= AC2
所以∠OAC=90°
所以OA=
所以OC=
所以BC=2OC=2,
在Rt△BCD中,
CD=
所以AD=CD-AC=16-8=8
所以AB=

【点睛】
考核知识点:勾股定理逆定理,含30°直角三角形性质.借助辅助线构造直角三角形,运用勾股定理等直角三角形性质解决问题是关键.
26．作图见解析，
【分析】
作A点关于BC的对称点A'，A'A与BC交于点H，再作A'M⊥AB于点M，与BC交于点N，此时AN+MN最小，连接AN，首先用等积法求出AH的长，易证△ACH≌△A'NH，可得A'N=AC=4，然后设NM=x，利用勾股定理建立方程求出NM的长，A'M的长即为AN+MN的最小值．
【详解】
如图，作A点关于BC的对称点A'，A'A与BC交于点H，再作A'M⊥AB于点M，与BC交于点N，此时AN+MN最小，最小值为A'M的长．

连接AN，
在Rt△ABC中，AC=4，AB=8，
∴BC=
∵
∴AH=
∵CA⊥AB，A'M⊥AB，
∴CA∥A'M
∴∠C=∠A'NH，
由对称的性质可得AH=A'H，∠AHC=∠A'HN=90°，AN=A'N
在△ACH和△A'NH中，
∵∠C=∠A'NH，∠AHC=∠A'HN，AH=A'H，
∴△ACH≌△A'NH（AAS）
∴A'N=AC=4=AN，
设NM=x，
在Rt△AMN中，AM2=AN2-NM2=
在Rt△AA'M中，AA'=2AH=，A'M=A'N+NM=4+x
∴AM2=AA'2-A'M2=
∴
解得
此时的最小值=A'M=A'N+NM=4+=
【点睛】
本题考查了最短路径问题，正确作出辅助线，利用勾股定理解直角三角形是解题的关键．
27．（1）见解析；（2）①见解析；②2．
【分析】
（1）当D、E两点重合时，则AD=CD，然后由等边三角形的性质可得∠CBD的度数，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质可得∠F的度数，于是可得∠CBD与∠F的关系，进而可得结论；
（2）①过点E作EH∥BC交AB于点H，连接BE，如图4，则易得△AHE是等边三角形，根据等边三角形的性质和已知条件可得EH=CF，∠BHE=∠ECF=120°，BH=EC，于是可根据SAS证明△BHE≌△ECF，可得∠EBH=∠FEC，易证△BAE≌△BCD，可得∠ABE=∠CBD，从而有∠FEC=∠CBD，然后根据三角形的内角和定理可得∠BGE=∠BCD，进而可得结论；
②易得∠BEG=90°，于是可知△BEF是等腰直角三角形，由30°角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质易求得BE和BF的长，过点E作EM⊥BF于点F，过点C作CN⊥EF于点N，如图5，则△BEM、△EMF和△CFN都是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性质和30°角的直角三角形的性质可依次求出BM、MC、CF、FN、CN、GN的长，进而可得△GCN也是等腰直角三角形，于是有∠BCG=90°，故所求的△BCG的面积=，而BC和CG可得，问题即得解决．
【详解】
解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，
当D、E两点重合时，则AD=CD，∴，
∵，∴∠F=∠CDF，
∵∠F+∠CDF=∠ACB=60°，∴∠F=30°，
∴∠CBD=∠F，∴；
（2）①∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，
过点E作EH∥BC交AB于点H，连接BE，如图4，则∠AHE=∠ABC=60°，∠AEH=∠ACB=60°，
∴△AHE是等边三角形，∴AH=AE=HE，∴BH=EC，
∵，CD=CF，∴EH=CF，
又∵∠BHE=∠ECF=120°，∴△BHE≌△ECF（SAS），
∴∠EBH=∠FEC，EB=EF，
∵BA=BC，∠A=∠ACB=60°，AE=CD，
∴△BAE≌△BCD（SAS），∴∠ABE=∠CBD，∴∠FEC=∠CBD，
∵∠EDG=∠BDC，∴∠BGE=∠BCD=60°；

②∵∠BGE=60°，∠EBD=30°，∴∠BEG=90°，
∵EB=EF，∴∠F=∠EBF=45°，
∵∠EBG=30°，BG=4，∴EG=2，BE=2，
∴BF=，，
过点E作EM⊥BF于点F，过点C作CN⊥EF于点N，如图5，则△BEM、△EMF和△CFN都是等腰直角三角形，
∴，
∵∠ACB=60°，∴∠MEC=30°，∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，∴∠GCF=90°=∠GCB，
∴，
∴△BCG的面积=．
故答案为：2．

【点睛】
本题考查了等腰三角形与等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、30°角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，涉及的知识点多、难度较大，正确添加辅助线、熟练掌握全等三角形的判定与性质是解①题的关键，灵活应用等腰直角三角形的性质和30°角的直角三角形的性质解②题的关键．
28．（1）不存在，见解析；（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数，见解析.
【分析】
（1）根据题意可知，这n组正整数符合规律m2-1，2m，m2+1（m≥2，且m为整数）．分三种情况：m2-1=71；2m=71；m2+1=71；进行讨论即可求解；
（2）由于（m2-1） 2+（2m） 2=m4+2m2+1=（m2+1） 2，根据勾股定理的逆定理即可求解．
【详解】
（1）不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71．
理由如下：
根据题意可知，这组正整数符合规律，，（，且为整数）．
若，则，此时不符合题意；
若，则，此时不符合题意；
若，则，此时不符合题意，
所以不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71．
（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．
理由如下：
对于一组数：，，（，且为整数）．
因为
所以若一个三角形三边长分别为，，（，且为整数），则该三角形为直角三角形．
因为当，且为整数时，表示任意一个大于2的偶数，，均为正整数，
所以以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．
【点睛】
考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2