-偏导数与全微分.pptx

偏偏 导导 数数 我们已经知道一元函数的导数是一个很重我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。该点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函数同样需要讨论它的变化对于多元函数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但率问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下，实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自变量的变化率，只考虑函数对其中一个自变量的变化率，因此因此这种变化率依然是一元函数的变化率问题，这这种变化率依然是一元函数的变化率问题，这就是就是偏导数概念偏导数概念，对此给出如下定义。，对此给出如下定义。一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法 如果函数如果函数z=fz=f(x,yx,y)在区域在区域D D 内任一点内任一点(x,yx,y)处处对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是 x x、y y 的函数，它就称为函数的函数，它就称为函数 对自变量的对自变量的偏导数。偏导数。记为：记为：同理可以定义函数同理可以定义函数 z=fz=f(x,yx,y)对自变量对自变量y y的偏导数的偏导数记为：记为：偏导数的求法偏导数的求法求求 时把时把 y y 视为常数而对视为常数而对 x x 求导求导求求 时把时把 x x 视为常数而对视为常数而对 y y 求导求导这仍然是一元函数求导问题这仍然是一元函数求导问题偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数一般地一般地 设设解解证证原结论成立原结论成立解解不存在不存在证证有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求计算计算 f x (x0 ,y0)时可先将时可先将 y=y0 代入代入 f(x,y)再对再对 x x 求导求导,然后代入然后代入 x x=x x0 0 计算计算 f f y y (x x0 0 ,y y0 0 )时同理时同理解解3 3、4、偏导数的实质仍是一元函数求导问题，偏导数的实质仍是一元函数求导问题，具体求导时要弄清是对哪个变量求导，其余具体求导时要弄清是对哪个变量求导，其余均视为常量。均视为常量。5 5、若若 f f(x x,y y)=)=f f(y y,x x)则称则称 f f(x x,y y)关于关于 x x,y y 具有轮换对称性具有轮换对称性在求在求 时时只需将所求的只需将所求的 中的中的 x x,y y 互换即可互换即可6、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续.偏导数存在偏导数存在 连续连续.7、偏导数的几何意义、偏导数的几何意义如图如图几何意义几何意义:二、高阶偏导数二、高阶偏导数纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数偏导数.观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：函数图象间的关系：原原函函数数图图形形偏偏导导函函数数图图形形偏偏导导函函数数图图形形二二阶阶混混合合偏偏导导函函数数图图形形解解问题：问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？解解三、小结三、小结偏导数的定义偏导数的定义（偏增量比的极限）（偏增量比的极限）偏导数的计算、偏导数的几何意义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数高阶偏导数纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导（相等的条件）（相等的条件）思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能.例如例如,练练 习习 题题练习题答案练习题答案全微分全微分由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得全增量的概念全增量的概念一、全微分的定义一、全微分的定义事实上事实上二、可微的条件二、可微的条件证证总成立总成立,同理可得同理可得一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在例如例如则则当当 时时说明说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，微分存在，证证（依偏导数的连续性）（依偏导数的连续性）同理同理习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数解解所求全微分所求全微分解解解解所求全微分所求全微分证证令令则则同理同理不存在不存在.多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导三、小结三、小结、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的求法；、多元函数全微分的求法；、多元函数连续、可导、可微的关系、多元函数连续、可导、可微的关系（注意：与一元函数有很大区别）（注意：与一元函数有很大区别）思考题思考题练练 习习 题题练习题答案练习题答案