-向量组的线性相关性.pptx
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1、第三章第三章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 本章引入n维向量的概念,讨论向量组的线性相关性,建立向量组的极大无关组和秩的概念,并给出矩阵秩的概念及其与向量组秩的关系.1 1 n n维向量及其运算维向量及其运算 定义3.1 由n 个数a1,a2,an组成的一个有次序数组称为n维向量,记为或 组成向量的数称为向量的分量,ai 称为向量的第i个分量.分量全是实数的向量称为实向量,分量为复数的向量称为复向量.一般情况下,我们只讨论实向量.如果两个向量维数相等且对应分量都相等称它们相等.分量都是零的向量称为零向量,记为0 0.将向量 的分量都改变符号得到的向量,称为向量 的负向量,记为-.定义中
2、两种形式分别称为行向量行向量和列向量列向量,也可以分别看成1n矩阵和n1矩阵,向量可以按矩阵运算规律进行相应运算,于是列向量也可写成:=(a1,a2,an)T.常用的向量运算是向量的加法和乘数两种运算,统称为向量的线性运算,完全按矩阵运算处理,所以满足:(i)交换律:+=+(ii)结合律:(+)+=+(+)(iii)+0+0=(iv)+()=0 0 ()1=()数的分配律:(k+l)=k +l ()矩阵的分配律:k(+)=k +k .()结合律:(kl)=k(l)所有n维列(行)向量的全体,对其上所定义的加法和乘数两种运算,构成了一个n维线性空间,或称向量空间.在解析几何中,曾引进向量的数量积
3、 x y=|x|y|cos在三维直角坐标系中,有 定义定义3.2 3.2 设有n维向量=(a1,a2,an)T,=(b1,b2,bn)T,令 但n维向量没有3维向量那样直观的长度和夹角的概念,我们可以按数量积的直角坐标计算公式来推广,先定义n维向量内积的概念,反过来定义n维向量的长度和夹角.,=a1b1+a2b2+anbn称,为向量 与 的内积.内积是两个向量之间的一种运算,其结果是一个实数.内积也可以用矩阵运算表示,当 与 都是列向量时,有,而且,仅当=0 0时,=0.内积具有下列性质(其中,为n维向量,k为实数):,=T T=T T。利用这些性质还可以证明Schwarz不等式:下面定义n维
4、向量的长度和夹角 当|=1时,称 为单位向量.为向量 的长度(或范数),记为|或.由Schwarz不等式,对任意非零向量 和 都有 定义定义3.3 3.3 设n维向量=(a1,a2,an)T,称非负实数 当 0 0时,是与 同方向的单位向量.可见,=0,于是有 为向量 和 的夹角.定义定义3.4 3.4 对任意非零向量,称 定义定义3.5 3.5 若,=0,则称向量 与 正交.向量 与 的内积,也可以表示成:,|cos2 2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 若干个同维数的列向量(或行向量)组成的集合叫做向量组.如:mn 矩阵A=A=(aij)对应n 个m 维列向量向量组 1,2,n称为A
5、 A的列向量组.即A A=(1,2,n).mn 矩阵A=A=(aij)也对应m 个n 维行向量 1=(a11,a12,a1n),2=(a21,a22,a2n),m=(am1,am2,amn),向量组 1,2,m,称为矩阵A A的行向量组,即反之,由有限个向量组成的向量组也可构成一个矩阵.线性方程组Ax=bAx=b也可以用向量表示成:x1 1+x2 2+xn n=定义定义3.6 3.6 对向量 和向量组:1,2,n,若存在一组数k1,k2,kn,使:=k1 1+k2 2+kn n,则称向量 可由向量组 1,2,n线性表示,也称向量 是向量组 1,2,n的线性组合.其中,1,2,n是矩阵A A的列
6、向量组,b.b.例例1 1 设 T T=(2,1,0,1),1T=(1,1,0,0),2T=(0,1,0,1),3T=(1,0,0,1),问 能否由向量组 1,2,3线性表示.解 设 =k1 1+k2 2+k3 3,即 (2,1,0,1)=(k1k3,k1+k2,0,k2+k3)于是有解得:k1=1,k2=2,k3=1.即 =12 2 3 所以向量 可由向量组,2,3线性表示.表示式也可写成 对列向量,=k1 1+k2 2+ks s 可形式写成 对行向量,=k1 1+k2 2+ks s 可形式写成 定义定义3.7 3.7 若存在一组不全为零的数k1,k2,ks,使:k1 1+k2 2+ks s
7、=0 0则称向量组向量组 1,2,s线性相关线性相关,否则称线性无关线性无关.只有当k1,k2,ks全为零时才成立.k1 1+k2 2+ks s=0 0 可见向量组 1,2,s线性无关的充分必要条件是:例例2 2 讨论向量组 1T=(1,1,0,0),2T=(0,1,0,1),3T=(1,0,0,1)的线性相关性.解 设 k1 1+k2 2+k3 3=0 0,即 (k1k3,k1+k2,0,k2+k3)=(0,0,0,0)解得:k1=k2=k3=0.所以 1,2,3线性无关.例例3 3 讨论向量组 1T=(1,1,2),2T=(0,1,1),3T=(2,3,3)的线性相关性.解 设 k1 1+
8、k2 2+k3 3=0 0,即 (k1+2k3,k1+k2+3k3,2k1k2+3k3)=(0,0,0)解得:k1=2k2=2k3.比如取k1=2,则有2 1+2 3=0 0 所以 1,2,3线性相关.显然,一个向量 组成的向量组线性相关=0 0 向量组 1,2,s线性相关 x1 1+x2 2+xs s=0 0有非零解.(称此向量组为n n 维标准单位向量组维标准单位向量组)例例4 4 讨论n 维向量组的线性相关性.解解 设k1e e1+k2e e2+kne en=0 0,即所以,向量组 e e1,e e2,e en线性无关.(k1,k2,kn)=0 0,所以 k1=k2=kn=0 n 维标准
9、单位向量组 e e1,e e2,e en是线性无关的,而且对任意n维向量 T=(a1,a2,an),都有 =a1e e1+a2e e2+ane en例例5 5 k1(1+2)+k2(2+3)+k3(3+1)=0 0就是 (k1+k3)1+(k1+k2)2+(k2+k3)3=0 0所以所以向量组 1,2,3线性无关.解得:k1=k2=k3=0 已知向量组 1,2,3线性无关,1=1+2,2=2+3,3=3+1,讨论向量组 1,2,3 的线性相关性.解 设 k1 1+k2 2+k3 3=0 0,即 定义定义3.8 3.8 一组两两正交的非零向量称为正交向量组.由单位向量构成的正交向量组称为规范正交
10、向量组.证 设 1,2,m是正交向量组,有一组数k1,k2,km使用 i与上式两边做内积,得n维标准单位向量组e e1,e e2,e en就是一个规范正交向量组.定理定理3.1 3.1 正交向量组必线性无关.k1 1+k2 2+km m=0 0由于 i0 0,所以i,i0,因此,ki0(i1,2,m).ki(i,i)=0所以,向量组 1,2,m线性无关.命题命题3.2 3.2 若向量组有一个部分组线性相关,则此向量组线性相关.所以有:k1 1+k2 2+kr r+0 r+1+0 s=0 0 推论推论1 1 含有零向量的向量组必线性相关.证明 不妨设 1,2,r,s中 1,2,r线性相关,存在不
11、全为零的数k1,k2,kr,使:k1 1+k2 2+kr r=0.0.而k1,k2,kr,0,0不全为零,所以 1,2,s线性相关.推论推论2 2 线性无关向量组的任一部分组也线性无关.不妨设k10,则有:证明证明 必要性:设 1,2,s线性相关,则存在不全为零的数k1,k2,ks,使:k1 1+k2 2+ks s=0.0.充分性:不妨设 1可由 2,s线性表示,即存在一组数k2,ks使:1=k2 2+ks s,于是有 定理定理3.33.3 向量组 1,2,s(s2)线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可被其余向量线性表示.1+k2 2+ks s=0这里 1 1,k2,ks不全为零,所以
12、 1,2,s线性相关.两个向量线性相关的几何意义是这两向量共线;三个向量线性相关的几何意义是这三向量共面;n个向量线性相关的几何意义是它们在一个n-1维空间.定理定理3.43.4 设向量组 1,2,r线性无关,而向量组 1,2,r,线性相关,则 可由 1,2,r线性表示,且表示式唯一.证明证明 由已知,存在不全为零的数k1,k2,kr,l,使 k1 1+k2 2+kr r+l =0 0若l=0,则k1 1+k2 2+kr r=0 0,矛盾.所以l 0,于是若有:=k1 1+k2 2+kr r=l1 1+l2 2+lr r即,表示式是唯一的.则有:(k1 l1)1+(k2 l2)2+(kr l1
13、)r=0 0所以:k1 l1=k2 l2=kr l1=0 设向量组 1,2,s称为向量组 1,2,s的加长向量组.前面加长向量组的概念中只加了一个分量,而且加在了最后一个分量.也可以加多个分量,分量也可以加在任何位置,都称为原向量组的加长向量组.定理定理3.5 3.5 线性无关向量组的加长向量组也线性无关.证明 只证明在最后加一个分量的情况,其它类似.所以有:k1 1+k2 2+ks s=0,故 k1=k2=kr=0 设 k1 1+k2 2+ks s=0 0,即所以 1,2,s 线性无关.3 3 向量组的秩向量组的秩 向量组间的等价关系具有下列性质:设有两个向量组分别为:():1,2,r ;(
14、):1,2,s.定义定义3.9 3.9 若向量组()中的每个向量都可以由向量组 ()线性表示,则称向量组()可由向量组()线性表示;若向量组()和向量组()可以互相线性表示,则称向量组()和向量组()等价.()反身性:任何向量组都与自身等价;()传递性:若()与()等价,()与()等价,则()与()也等价.()对称性:若()与()等价,则()与()也等价;证 先正交化 显然,列向量组 1,2,r可由列向量组 1,2,s线性表示的充分必要条件是:存在sr矩阵C,使 (1,2,r)=(1,2,s)C 定理定理3.6 3.6 如果向量组 1,2,m线性无关,则有规范正交向量组e1,e2,em与之等价
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