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第三章第三章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 本章引入n维向量的概念,讨论向量组的线性相关性,建立向量组的极大无关组和秩的概念,并给出矩阵秩的概念及其与向量组秩的关系.1 1 n n维向量及其运算维向量及其运算 定义3.1 由n 个数a1,a2,an组成的一个有次序数组称为n维向量，记为或 组成向量的数称为向量的分量,ai 称为向量的第i个分量.分量全是实数的向量称为实向量,分量为复数的向量称为复向量.一般情况下，我们只讨论实向量.如果两个向量维数相等且对应分量都相等称它们相等.分量都是零的向量称为零向量,记为0 0.将向量 的分量都改变符号得到的向量,称为向量 的负向量,记为-.定义中两种形式分别称为行向量行向量和列向量列向量,也可以分别看成1n矩阵和n1矩阵,向量可以按矩阵运算规律进行相应运算,于是列向量也可写成：=(a1,a2,an)T.常用的向量运算是向量的加法和乘数两种运算,统称为向量的线性运算,完全按矩阵运算处理,所以满足:(i)交换律：+=+(ii)结合律:(+)+=+(+)(iii)+0+0=(iv)+()=0 0 ()1=()数的分配律：(k+l)=k +l ()矩阵的分配律：k(+)=k +k .()结合律：(kl)=k(l)所有n维列(行)向量的全体,对其上所定义的加法和乘数两种运算,构成了一个n维线性空间,或称向量空间.在解析几何中,曾引进向量的数量积 x y=|x|y|cos在三维直角坐标系中，有 定义定义3.2 3.2 设有n维向量=(a1,a2,an)T,=(b1,b2,bn)T,令 但n维向量没有3维向量那样直观的长度和夹角的概念,我们可以按数量积的直角坐标计算公式来推广,先定义n维向量内积的概念,反过来定义n维向量的长度和夹角.,=a1b1+a2b2+anbn称,为向量 与 的内积.内积是两个向量之间的一种运算,其结果是一个实数.内积也可以用矩阵运算表示,当 与 都是列向量时,有,而且,仅当=0 0时,=0.内积具有下列性质(其中,为n维向量,k为实数):,=T T=T T。利用这些性质还可以证明Schwarz不等式:下面定义n维向量的长度和夹角 当|=1时,称 为单位向量.为向量 的长度(或范数),记为|或.由Schwarz不等式,对任意非零向量 和 都有 定义定义3.3 3.3 设n维向量=(a1,a2,an)T,称非负实数 当 0 0时,是与 同方向的单位向量.可见,=0,于是有 为向量 和 的夹角.定义定义3.4 3.4 对任意非零向量,称 定义定义3.5 3.5 若,=0,则称向量 与 正交.向量 与 的内积,也可以表示成：,|cos2 2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 若干个同维数的列向量(或行向量)组成的集合叫做向量组.如:mn 矩阵A=A=(aij)对应n 个m 维列向量向量组 1,2,n称为A A的列向量组.即A A=(1,2,n).mn 矩阵A=A=(aij)也对应m 个n 维行向量 1=(a11,a12,a1n),2=(a21,a22,a2n),m=(am1,am2,amn),向量组 1,2,m,称为矩阵A A的行向量组,即反之,由有限个向量组成的向量组也可构成一个矩阵.线性方程组Ax=bAx=b也可以用向量表示成:x1 1+x2 2+xn n=定义定义3.6 3.6 对向量 和向量组:1,2,n,若存在一组数k1,k2,kn,使:=k1 1+k2 2+kn n,则称向量 可由向量组 1,2,n线性表示,也称向量 是向量组 1,2,n的线性组合.其中,1,2,n是矩阵A A的列向量组,b.b.例例1 1 设 T T=(2,1,0,1),1T=(1,1,0,0),2T=(0,1,0,1),3T=(1,0,0,1),问 能否由向量组 1,2,3线性表示.解 设 =k1 1+k2 2+k3 3,即 (2,1,0,1)=(k1k3,k1+k2,0,k2+k3)于是有解得:k1=1,k2=2,k3=1.即 =12 2 3 所以向量 可由向量组,2,3线性表示.表示式也可写成 对列向量,=k1 1+k2 2+ks s 可形式写成 对行向量,=k1 1+k2 2+ks s 可形式写成 定义定义3.7 3.7 若存在一组不全为零的数k1,k2,ks,使:k1 1+k2 2+ks s=0 0则称向量组向量组 1,2,s线性相关线性相关,否则称线性无关线性无关.只有当k1,k2,ks全为零时才成立.k1 1+k2 2+ks s=0 0 可见向量组 1,2,s线性无关的充分必要条件是:例例2 2 讨论向量组 1T=(1,1,0,0),2T=(0,1,0,1),3T=(1,0,0,1)的线性相关性.解 设 k1 1+k2 2+k3 3=0 0,即 (k1k3,k1+k2,0,k2+k3)=(0,0,0,0)解得:k1=k2=k3=0.所以 1,2,3线性无关.例例3 3 讨论向量组 1T=(1,1,2),2T=(0,1,1),3T=(2,3,3)的线性相关性.解 设 k1 1+k2 2+k3 3=0 0,即 (k1+2k3,k1+k2+3k3,2k1k2+3k3)=(0,0,0)解得:k1=2k2=2k3.比如取k1=2,则有2 1+2 3=0 0 所以 1,2,3线性相关.显然,一个向量 组成的向量组线性相关=0 0 向量组 1,2,s线性相关 x1 1+x2 2+xs s=0 0有非零解.(称此向量组为n n 维标准单位向量组维标准单位向量组)例例4 4 讨论n 维向量组的线性相关性.解解 设k1e e1+k2e e2+kne en=0 0,即所以,向量组 e e1,e e2,e en线性无关.(k1,k2,kn)=0 0,所以 k1=k2=kn=0 n 维标准单位向量组 e e1,e e2,e en是线性无关的,而且对任意n维向量 T=(a1,a2,an),都有 =a1e e1+a2e e2+ane en例例5 5 k1(1+2)+k2(2+3)+k3(3+1)=0 0就是 (k1+k3)1+(k1+k2)2+(k2+k3)3=0 0所以所以向量组 1,2,3线性无关.解得:k1=k2=k3=0 已知向量组 1,2,3线性无关,1=1+2,2=2+3,3=3+1,讨论向量组 1,2,3 的线性相关性.解 设 k1 1+k2 2+k3 3=0 0,即 定义定义3.8 3.8 一组两两正交的非零向量称为正交向量组.由单位向量构成的正交向量组称为规范正交向量组.证 设 1,2,m是正交向量组,有一组数k1,k2,km使用 i与上式两边做内积,得n维标准单位向量组e e1,e e2,e en就是一个规范正交向量组.定理定理3.1 3.1 正交向量组必线性无关.k1 1+k2 2+km m=0 0由于 i0 0,所以i,i0,因此,ki0(i1,2,m).ki(i,i)=0所以,向量组 1,2,m线性无关.命题命题3.2 3.2 若向量组有一个部分组线性相关,则此向量组线性相关.所以有:k1 1+k2 2+kr r+0 r+1+0 s=0 0 推论推论1 1 含有零向量的向量组必线性相关.证明 不妨设 1,2,r,s中 1,2,r线性相关,存在不全为零的数k1,k2,kr,使:k1 1+k2 2+kr r=0.0.而k1,k2,kr,0,0不全为零,所以 1,2,s线性相关.推论推论2 2 线性无关向量组的任一部分组也线性无关.不妨设k10,则有:证明证明 必要性:设 1,2,s线性相关,则存在不全为零的数k1,k2,ks,使:k1 1+k2 2+ks s=0.0.充分性:不妨设 1可由 2,s线性表示,即存在一组数k2,ks使:1=k2 2+ks s,于是有 定理定理3.33.3 向量组 1,2,s(s2)线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可被其余向量线性表示.1+k2 2+ks s=0这里 1 1,k2,ks不全为零,所以 1,2,s线性相关.两个向量线性相关的几何意义是这两向量共线;三个向量线性相关的几何意义是这三向量共面;n个向量线性相关的几何意义是它们在一个n-1维空间.定理定理3.43.4 设向量组 1,2,r线性无关,而向量组 1,2,r,线性相关,则 可由 1,2,r线性表示,且表示式唯一.证明证明 由已知,存在不全为零的数k1,k2,kr,l,使 k1 1+k2 2+kr r+l =0 0若l=0,则k1 1+k2 2+kr r=0 0,矛盾.所以l 0,于是若有:=k1 1+k2 2+kr r=l1 1+l2 2+lr r即,表示式是唯一的.则有:(k1 l1)1+(k2 l2)2+(kr l1)r=0 0所以:k1 l1=k2 l2=kr l1=0 设向量组 1,2,s称为向量组 1,2,s的加长向量组.前面加长向量组的概念中只加了一个分量,而且加在了最后一个分量.也可以加多个分量,分量也可以加在任何位置,都称为原向量组的加长向量组.定理定理3.5 3.5 线性无关向量组的加长向量组也线性无关.证明 只证明在最后加一个分量的情况,其它类似.所以有:k1 1+k2 2+ks s=0,故 k1=k2=kr=0 设 k1 1+k2 2+ks s=0 0,即所以 1,2,s 线性无关.3 3 向量组的秩向量组的秩 向量组间的等价关系具有下列性质:设有两个向量组分别为:():1,2,r ;():1,2,s.定义定义3.9 3.9 若向量组()中的每个向量都可以由向量组 ()线性表示,则称向量组()可由向量组()线性表示;若向量组()和向量组()可以互相线性表示,则称向量组()和向量组()等价.()反身性:任何向量组都与自身等价;()传递性:若()与()等价,()与()等价,则()与()也等价.()对称性:若()与()等价,则()与()也等价;证 先正交化 显然,列向量组 1,2,r可由列向量组 1,2,s线性表示的充分必要条件是:存在sr矩阵C,使 (1,2,r)=(1,2,s)C 定理定理3.6 3.6 如果向量组 1,2,m线性无关,则有规范正交向量组e1,e2,em与之等价.1=1,下面的结果给出了两个特殊的等价向量组 再将 1,2,m单位化,取 则 1,2,m就是所求规范正交向量组.上述由线性无关向量组 1,2,m,得到正交向量组 1,2,m的方法称为Schimidt(斯密特)正交化过程.设设试用施密特正交化方法把这组向量变成单位正交的试用施密特正交化方法把这组向量变成单位正交的向量组；向量组；并解释施密特正交化过程的几何意义并解释施密特正交化过程的几何意义.例例3.63.6 解解解解 取取 b b1 1=a1 1;再把它们单位化再把它们单位化,取取 e e1 1,e e2 2,e e3 3 就是与向量组 1,2,3等价的规范正交向量组.例中各向量如图例中各向量如图 3-1 3-1 所示所示.a1b1c2a2b2c3c31c32b3a3 图图图图 3-13-1 图图 3-1 3-1 的形成过程如下的形成过程如下:施密特正交化过程的几何意义施密特正交化过程的几何意义第一步第一步第一步第一步 :对于给定的对于给定的三个向量三个向量 a a1 1,a a2 2,a a3 3 ,b1图图图图 3-1-13-1-1a1a2a3取取 b b1 1=a a1 1;如图如图 3-1-13-1-1第二步第二步第二步第二步 :作向量作向量 a a2 2 在向量在向量 b b1 1 上的投影向量上的投影向量 c c2 2,图图图图 3-1-23-1-2a1b1a2a3c2几何意义如图几何意义如图 3-1-23-1-2则则 c c2 2 的表达式如下的表达式如下,图图图图 3-1-33-1-3a1b1a2a3c2b2第三步第三步第三步第三步 :通过向量减法运算构造通过向量减法运算构造 b b2 2.如图如图3-1-33-1-3所示所示图图图图 3-1-43-1-4a1b1a2a3c2b2第四步第四步第四步第四步 :把向量把向量 a a3 3 向由向由 b b1 1,b b2 2 所确定的平面所确定的平面作投影作投影,设投影向量为设投影向量为 c c3 3.c3c31c32由于由于 b b1 1 b b2 2,故故 c c3 3 等于等于a a3 3 分别在分别在 b b1 1,b b2 2 上的投影上的投影向量向量c c3131 及及 c c3232 之和之和.即的即的即的即的c c c c3 3 3 3的分解式的分解式的分解式的分解式a1b1a2图图图图 3-1-53-1-5a3c2b2c3c31c32第五步第五步第五步第五步:作向量作向量 b b3 3,使使 b b3 3+c c3 3=a a3 3,即即 b b3 3=a a3 3-c c3 3 .由于由于 c c3 3 是是 a a3 3 在在 由由 b b1 1、b b2 2 所确定的平面上的投影所确定的平面上的投影,所以所以 b b3 3 垂直于由垂直于由 b b1 1、b b2 2 所确定的平面所确定的平面.故故 b b3 3 b b1 1,b b3 3 b b2 2,即三向量即三向量 b b1 1，b b2 2，b b3 3 两两两垂直，两垂直，且且b b1 1,b b2 2,b b3 3 与与 a a1 1,a a2 2,a a3 3等价等价.因此因此,b b1 1,b b2 2,b b3 3即为所求即为所求.b3 定义定义3.10 3.10 若实方阵A A满足AAAAT=E E,则称A A是正交矩阵.若记 A A=(1,2,n)，则有可见,A ATA A=E E的充分必要条件是:注意:i iT j j=a1ia1j+a2ia2j+anianj=i i,j j 所以说,n阶实矩阵A是正交矩阵A的行(列)向量组是规范正交向量组.例如,下列矩阵都是正交矩阵:()1,2,r线性无关;()1,2,r,线性相关(是向量组中任一向量).定义定义3.11 3.11 若向量组中的某个部分组 1,2,r,满足:则称 1,2,r是此向量组的一个极大线性无关向量组，简称为极大无关组.例例3.7 3.7 求向量组 1=(1,0,0)T,2=(0,1,0)T,3=(0,0,1)T,4=(1,1,1)T的一个极大线性无关组.所以 1,2,3就是向量组 1,2,3,4的一个极大线性无关组.解 由于 1,2,3线性无关,而且 4=1+2+3 类似地,1,3,4和 2,3,4都是向量组 1,2,3,4的极大线性无关组.所以 1,2,4也是向量组 1,2,3,4的一个极大线性无关组.由于 1,2,4也线性无关,而且 3=4 1 2 定理定理3.7 3.7 向量组与它的任一极大线性无关组等价.可见,一个向量组的极大线性无关组是不唯一的.推论推论 向量组中任意两个极大线性无关组等价.时(其中A是矩阵),有A A=0 0 证明 设A=(aij)rs,则有 引理引理 若列向量组 1,2,r线性无关,则当由于 1,2,r线性无关,所以aij=0,即A A=0 0.(1,2,r)A A=0 0证明设向量组 1,2,r和 1,2,s 等价且都线性无关，则存在sr矩阵A和rs矩阵B,使 (1,2,r)=(1,2,s)A A 定理定理3.83.8 等价的线性无关向量组含有相同个数的向量.由引理有：BABA=E Er,同理有ABAB=E Es (1,2,s)=(1,2,r)B于是有 (1,2,r)=(1,2,r)BA A即 (1,2,r)(EBA A)=0=0所以，A A,B B是方阵，即rs 推论推论 一向量组的极大线性无关组所含向量的个数是唯一的.易知，向量组 1,2,s线性无关R 1,2,s=s.若一向量组的所有向量都是零向量，规定其秩为0.向量组 1,2,s的秩记为：R 1,2,s 定义定义3.123.12 一向量组的极大线性无关组所含向量的个数,称为向量组的秩.或记为：rank 1,2,s例7中向量组 1,2,3,4的秩R 1,2,3,4=3.定理定理3.93.9 若向量组 1,2,s可由向量组 1,2,t 线性表示，则R 1,2,sR 1,2,t 证明 记极大线性无关组为:1,2,p和 1,2,q 则：向量组 1,2,p可由 1,2,q 线性表示，于是 1,2,q是向量组 1,2,p,1,2,q 的极大线性无关组.再由 1,2,p线性无关知pq.推论推论3 3 向量组 1,2,p可由向量组 1,2,q 线性表示，且pq,则向量组 1,2,p线性相关.推论推论4 4 任意n+1个n维向量线性相关.推论推论2 2 向量组 1,2,p线性无关,且可由向量组 1,2,q 线性表示，则pq.推论推论1 1 等价的向量组具有相等的秩4 4 矩阵的秩矩阵的秩 第二章指出,任意矩阵都与标准形 等价,r就是矩阵A的秩,但由于r的唯一性没有证明,因此用另一种说法给出矩阵秩的定义.定义定义3.13 3.13 在矩阵A mn中,任选k个行与k个列(km,kn),位于这k行,k列交叉处的k2个元素,按原相互位置关系所形成的k阶行列式称为A的一个k阶子式 一个mn矩阵的k阶子式共有 个.定义定义3.14 3.14 设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且A的所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于0,那么D称为矩阵A的最高阶非零子式,r称为矩阵A的秩,记为R(A).并且规定零矩阵的秩等于0.由于R(A)就是A的最高阶非零子式D的阶数,所以 若A有某个s阶子式不等于0，则R(A)s；若A的所有t阶子式全等于0，则R(A)t;对任意mn矩阵A都有:0R(A)minm,n;对任意矩阵A都有:R(AT)=R(A).对n阶方阵A,由于只有一个n阶子式|A|,所以|A|0 时,R(A)=n;|A|=0时,R(A)n.即An可逆R(An)=n.所以,可逆矩阵也称为满秩矩阵,不可逆矩阵(奇异矩阵)也称为降秩矩阵.例例3.83.8 求下列矩阵的秩.解由于|A|=0,但所以,R(A)=2.由于B的所有四阶子式全为0,但所以,R(B)=3.可见,阶梯矩阵的秩等于非零行行数.定理定理3.103.10 初等变换不改变矩阵的秩.证明证明 设R(A)=r,且D是A的某个r阶非零子式.如果 或 ,则在B中一定能找到与D对应的r阶子式D1满足D1=D或D1=-D或D1=kD,所以D10,故R(B)r.如果 ,若D中不包含A的第i行,则D也是B的r阶非零子式,所以,R(B)r.若D中包含A的第i行和第j行,则B中对应D的r阶子式D1=D0,所以,R(B)r.若D中包含A的第i行不含第j行,则B中对应D的r阶子式D1=D+D2,D2也是B的r阶子式,而D1、D2至少有一个不等于零,所以,R(B)r.所以,对A作一次初等变换变成B时有R(B)R(A).由于初等变换是可逆的,B也可以作一次初等变换变成A,所以R(A)R(B),因此,R(A)=R(B).由于对矩阵做一次初等行变换矩阵的秩不变,所以,对矩阵做有限次初等行变换矩阵的秩也不变.如果对A作一次初等列变换变成B,则对AT作一次初等行变换变成BT,所以R(AT)=R(BT),于是R(A)=R(B).推论推论 若AB,则R(A)=R(B).这就给我们提供了求一般矩阵秩的有效方法解解例3.9 求矩阵 的秩.故R(A)=3.上述结果对分块矩阵也是成立的，即：对分块矩阵做分块矩阵的初等变换不改变分块矩阵的秩.例例3.103.10 证明：R(AB)minR(A),R(B)证明证明 由于 R(AB)=R(AB O)R(AB A)=R(O A)=R(A).所以即，R(AB)minR(A),R(B).向量组的秩和矩阵的秩有如下重要关系.定理定理3.11 3.11 矩阵的秩等于矩阵的行向量组的秩也等于矩阵的列向量组的秩.证明证明 由于矩阵A可经过初等行变换变成行最简形矩阵B,所以A与B的行向量组等价,易见,行最简形矩阵的秩等于其行向量组的秩.又由于等价向量组的秩相等,所以矩阵A的秩等于矩阵A的行向量组的秩.所以 由于A的列向量组就是AT的行向量组,而对A做初等列变换,对应于对AT做初等行变换,且R(A)=R(AT),于是,矩阵A的秩也等于矩阵A的列向量组的秩.这就给我们提供了求向量组秩的有效方法 的线性相关性,并求其秩和一个极大无关组.例11 讨论向量组解解 由于由于 所以，R(A)=2。于是，R1,2,3,4=2 。因此，1,2,3,4线性相关.又因为所以有R1,2=2,于是1,2线性无关.因此,1,2是向量组的一个极大无关组.即 再看矩阵的列向量组，A=(1,2,n),令可见,对A进行一次初等行变换,对方程组()来说,相当于进行方程之间的对应变换,显然方程组解不变.就是说,对A进行一次初等行变换,A A的列向量组的任意部分组的线性相关性(系数)不变.()()设4维向量组问为何值时1,2,3,4线性相关?当1,2,3,4线性相关时,求其一个极大线性无关组.并将其余量用该极大线性无关组线性表出.课 堂 练 习 设4维向量组 问为何值时1,2,3,4线性相关?当1,2,3,4线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余量用该极大线性无关组线性表出.课堂练习答案 解 由于所以,a=0或a=-10时,1,2,3,4线性相关.a=0时,由于 此时R(A)=1,1是一个极大线性无关组.a=-10时,由于2=21,3=31,4=41 可见,此时R(A)=3,1,2,3是一个极大线性无关组.4=-1-2-3.