中考数学——平行四边形的综合压轴题专题复习.doc
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1、中考数学平行四边形的综合压轴题专题复习一、平行四边形1(问题情景)利用三角形的面积相等来求解的方法是一种常见的等积法,此方法是我们解决几何问题的途径之一例如:张老师给小聪提出这样一个问题:如图1,在ABC中,AB=3,AD=6,问ABC的高AD与CE的比是多少?小聪的计算思路是:根据题意得:SABC=BCAD=ABCE从而得2AD=CE, 请运用上述材料中所积累的经验和方法解决下列问题:(1)(类比探究)如图2,在ABCD中,点E、F分别在AD,CD上,且AF=CE,并相交于点O,连接BE、BF,求证:BO平分角AOC(2)(探究延伸)如图3,已知直线mn,点A、C是直线m上两点,点B、D是直
2、线n上两点,点P是线段CD中点,且APB=90,两平行线m、n间的距离为4求证:PAPB=2AB(3)(迁移应用)如图4,E为AB边上一点,EDAD,CECB,垂足分别为D,C,DAB=B,AB=,BC=2,AC=,又已知M、N分别为AE、BE的中点,连接DM、CN求DEM与CEN的周长之和【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)5+【解析】分析:(1)、根据平行四边形的性质得出ABF和BCE的面积相等,过点B作OGAF于G,OHCE于H,从而得出AF=CE,然后证明BOG和BOH全等,从而得出BOG=BOH,即角平分线;(2)、过点P作PGn于G,交m于F,根据平行线的性质得出CPF和DP
3、G全等,延长BP交AC于E,证明CPE和DPB全等,根据等积法得出AB=APPB,从而得出答案;(3)、,延长AD,BC交于点G,过点A作AFBC于F,设CF=x,根据RtABF和RtACF的勾股定理得出x的值,根据等积法得出AE=2DM=2EM,BE=2CN=2EN, DM+CN=AB,从而得出两个三角形的周长之和同理:EM+EN=AB详解:证明:(1)如图2, 四边形ABCD是平行四边形,SABF=SABCD,SBCE=SABCD, SABF=SBCE,过点B作OGAF于G,OHCE于H, SABF=AFBG,SBCE=CEBH,AFBG=CEBH,即:AFBG=CEBH, AF=CE,
4、BG=BH,在RtBOG和RtBOH中, RtBOGRtBOH, BOG=BOH,OB平分AOC,(2)如图3,过点P作PGn于G,交m于F, mn, PFAC,CFP=BGP=90, 点P是CD中点,在CPF和DPG中, CPFDPG, PF=PG=FG=2,延长BP交AC于E, mn, ECP=BDP, CP=DP,在CPE和DPB中, CPEDPB, PE=PB,APB=90, AE=AB, SAPE=SAPB, SAPE=AEPF=AE=AB,SAPB=APPB,AB=APPB, 即:PAPB=2AB;(3)如图4,延长AD,BC交于点G, BAD=B, AG=BG,过点A作AFBC于
5、F,设CF=x(x0), BF=BC+CF=x+2, 在RtABF中,AB=,根据勾股定理得,AF2=AB2BF2=34(x+2)2, 在RtACF中,AC=,根据勾股定理得,AF2=AC2CF2=26x2,34(x+2)2=26x2, x=1(舍)或x=1, AF=5,连接EG, SABG=BGAF=SAEG+SBEG=AGDE+BGCE=BG(DE+CE),DE+CE=AF=5, 在RtADE中,点M是AE的中点, AE=2DM=2EM,同理:BE=2CN=2EN, AB=AE+BE, 2DM+2CN=AB, DM+CN=AB,同理:EM+EN=AB DEM与CEN的周长之和=DE+DM+
6、EM+CE+CN+EN=(DE+CE)+(DM+CN)+(EM+EN)=(DE+CN)+AB=5+点睛:本题主要考查的就是三角形全等的判定与性质以及三角形的等积法,综合性非常强,难度较大在解决这个问题的关键就是作出辅助线,然后根据勾股定理和三角形全等得出各个线段之间的关系2如图1,正方形ABCD的一边AB在直尺一边所在直线MN上,点O是对角线AC、BD的交点,过点O作OEMN于点E(1)如图1,线段AB与OE之间的数量关系为 (请直接填结论)(2)保证点A始终在直线MN上,正方形ABCD绕点A旋转(090),过点 B作BFMN于点F如图2,当点O、B两点均在直线MN右侧时,试猜想线段AF、BF
7、与OE之间存在怎样的数量关系?请说明理由如图3,当点O、B两点分别在直线MN两侧时,此时中结论是否依然成立呢?若成立,请直接写出结论;若不成立,请写出变化后的结论并证明当正方形ABCD绕点A旋转到如图4的位置时,线段AF、BF与OE之间的数量关系为 (请直接填结论)【答案】(1)AB=2OE;(2)AF+BF=2OE,证明见解析;AFBF=2OE 证明见解析;BFAF=2OE,【解析】试题分析:(1)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论;(2)过点B作BHOE于H,可得四边形BHEF是矩形,根据矩形的对边相等可得EF=BH,BF=HE,根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA
8、=OB,AOB=90,再根据同角的余角相等求出AOE=OBH,然后利用“角角边”证明AOE和OBH全等,根据全等三角形对应边相等可得OH=AE,OE=BH,再根据AF-EF=AE,整理即可得证;过点B作BHOE交OE的延长线于H,可得四边形BHEF是矩形,根据矩形的对边相等可得EF=BH,BF=HE,根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB,AOB=90,再根据同角的余角相等求出AOE=OBH,然后利用“角角边”证明AOE和OBH全等,根据全等三角形对应边相等可得OH=AE,OE=BH,再根据AF-EF=AE,整理即可得证;同的方法可证试题解析:(1)AC,BD是正方形的对角线,OA
9、=OC=OB,BAD=ABC=90,OEAB,OE=AB,AB=2OE,(2)AF+BF=2OE证明:如图2,过点B作BHOE于点HBHE=BHO=90OEMN,BFMNBFE=OEF=90四边形EFBH为矩形BF=EH,EF=BH四边形ABCD为正方形OA=OB,AOB=90AOE+HOB=OBH+HOB=90AOE=OBHAEOOHB(AAS)AE=OH,OE=BHAF+BF=AE+EF+BF=OH+BH+EH=OE+OE=2OEAFBF=2OE 证明:如图3,延长OE,过点B作BHOE于点HEHB=90OEMN,BFMNAEO=HEF=BFE=90四边形HBFE为矩形BF=HE,EF=B
10、H四边形ABCD是正方形OA=OB,AOB=90AOE+BOH=OBH+BOHAOE=OBHAOEOBH(AAS)AE=OH,OE=BH,AFBF=AE+EFHE=OHHE+OE=OE+OE=2OEBFAF=2OE,如图4,作OGBF于G,则四边形EFGO是矩形,EF=GO,GF=EO,GOE=90,AOE+AOG=90在正方形ABCD中,OA=OB,AOB=90,AOG+BOG=90,AOE=BOGOGBF,OEAE,AEO=BGO=90AOEBOG(AAS),OE=OG,AE=BG,AEEF=AF,EF=OG=OE,AE=BG=AF+EF=OE+AF,BFAF=BG+GF(AEEF)=AE
11、+OEAE+EF=OE+OE=2OE,BFAF=2OE3如图,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为正方形AD边上的一点(不与点A、点D重合),将正方形纸片折叠,使点B落在P处,点C落在G处,PG交DC于H,折痕为EF,连接BP、BH(1)求证:APB=BPH;(2)当点P在边AD上移动时,求证:PDH的周长是定值;(3)当BE+CF的长取最小值时,求AP的长【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)2【解析】试题分析:(1)根据翻折变换的性质得出PBC=BPH,进而利用平行线的性质得出APB=PBC即可得出答案;(2)首先证明ABPQBP,进而得出BCHBQH,即可得出PD+DH+
12、PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8;(3)过F作FMAB,垂足为M,则FM=BC=AB,证明EFMBPA,设AP=x,利用折叠的性质和勾股定理的知识用x表示出BE和CF,结合二次函数的性质求出最值试题解析:(1)解:如图1,PE=BE,EBP=EPB又EPH=EBC=90,EPH-EPB=EBC-EBP即PBC=BPH又ADBC,APB=PBCAPB=BPH(2)证明:如图2,过B作BQPH,垂足为Q由(1)知APB=BPH,又A=BQP=90,BP=BP,在ABP和QBP中,ABPQBP(AAS),AP=QP,AB=BQ,又AB=BC,BC=BQ又C=BQH=90,BH=BH,在B
13、CH和BQH中,BCHBQH(SAS),CH=QHPHD的周长为:PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8PDH的周长是定值(3)解:如图3,过F作FMAB,垂足为M,则FM=BC=AB又EF为折痕,EFBPEFM+MEF=ABP+BEF=90,EFM=ABP又A=EMF=90,在EFM和BPA中,EFMBPA(AAS) EM=AP设AP=x在RtAPE中,(4-BE)2+x2=BE2解得BE=2+,CF=BE-EM=2+-x,BE+CF=-x+4=(x-2)2+3当x=2时,BE+CF取最小值,AP=2考点:几何变换综合题4如图,平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A,
14、B的坐标分别为(4,0),(4,3),动点M,N分别从O,B同时出发以每秒1个单位的速度运动其中,点M沿OA向终点A运动,点N沿BC向终点C运动过点M作MPOA,交AC于P,连接NP,已知动点运动了x秒(1)P点的坐标为多少(用含x的代数式表示);(2)试求NPC面积S的表达式,并求出面积S的最大值及相应的x值;(3)当x为何值时,NPC是一个等腰三角形?简要说明理由【答案】(1)P点坐标为(x,3x)(2)S的最大值为,此时x=2(3)x=,或x=,或x=【解析】试题分析:(1)求P点的坐标,也就是求OM和PM的长,已知了OM的长为x,关键是求出PM的长,方法不唯一,可通过PMOC得出的对应
15、成比例线段来求;也可延长MP交BC于Q,先在直角三角形CPQ中根据CQ的长和ACB的正切值求出PQ的长,然后根据PM=ABPQ来求出PM的长得出OM和PM的长,即可求出P点的坐标(2)可按(1)中的方法经求出PQ的长,而CN的长可根据CN=BCBN来求得,因此根据三角形的面积计算公式即可得出S,x的函数关系式(3)本题要分类讨论:当CP=CN时,可在直角三角形CPQ中,用CQ的长即x和ABC的余弦值求出CP的表达式,然后联立CN的表达式即可求出x的值;当CP=PN时,那么CQ=QN,先在直角三角形CPQ中求出CQ的长,然后根据QN=CNCQ求出QN的表达式,根据题设的等量条件即可得出x的值当C
16、N=PN时,先求出QP和QN的长,然后在直角三角形PNQ中,用勾股定理求出PN的长,联立CN的表达式即可求出x的值试题解析:(1)过点P作PQBC于点Q,有题意可得:PQAB,CQPCBA,解得:QP=x,PM=3x,由题意可知,C(0,3),M(x,0),N(4x,3),P点坐标为(x,3x)(2)设NPC的面积为S,在NPC中,NC=4x,NC边上的高为,其中,0x4S=(4x)x=(x2+4x)=(x2)2+S的最大值为,此时x=2(3)延长MP交CB于Q,则有PQBC若NP=CP,PQBC,NQ=CQ=x3x=4,x=若CP=CN,则CN=4x,PQ=x,CP=x,4x=x,x=;若C
17、N=NP,则CN=4xPQ=x,NQ=42x,在RtPNQ中,PN2=NQ2+PQ2,(4x)2=(42x)2+(x)2,x=综上所述,x=,或x=,或x=考点:二次函数综合题5已知RtABD中,边AB=OB=1,ABO=90问题探究:(1)以AB为边,在RtABO的右边作正方形ABC,如图(1),则点O与点D的距离为 (2)以AB为边,在RtABO的右边作等边三角形ABC,如图(2),求点O与点C的距离问题解决:(3)若线段DE=1,线段DE的两个端点D,E分别在射线OA、OB上滑动,以DE为边向外作等边三角形DEF,如图(3),则点O与点F的距离有没有最大值,如果有,求出最大值,如果没有,
18、说明理由【答案】(1)、;(2)、;(3)、.【解析】【分析】试题分析:(1)、如图1中,连接OD,在RtODC中,根据OD=计算即可(2)、如图2中,作CEOB于E,CFAB于F,连接OC在RtOCE中,根据OC=计算即可(3)、如图3中,当OFDE时,OF的值最大,设OF交DE于H,在OH上取一点M,使得OM=DM,连接DM分别求出MH、OM、FH即可解决问题【详解】试题解析:(1)、如图1中,连接OD,四边形ABCD是正方形, AB=BC=CD=AD=1,C=90 在RtODC中,C=90,OC=2,CD=1,OD=(2)、如图2中,作CEOB于E,CFAB于F,连接OCFBE=E=CF
19、B=90, 四边形BECF是矩形, BF=CF=,CF=BE=,在RtOCE中,OC=(3)、如图3中,当OFDE时,OF的值最大,设OF交DE于H,在OH上取一点M,使得OM=DM,连接DMFD=FE=DE=1,OFDE, DH=HE,OD=OE,DOH=DOE=22.5, OM=DM,MOD=MDO=22.5, DMH=MDH=45, DH=HM=, DM=OM=,FH=, OF=OM+MH+FH=OF的最大值为考点:四边形综合题6已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EFBD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG(1)请问EG与CG存在怎样的数量关系,并证明你的
20、结论;(2)将图中BEF绕B点逆时针旋转45,如图所示,取DF中点G,连接EG,CG问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由(3)将图中BEF绕B点旋转任意角度,如图所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?(请直接写出结果,不必写出理由)【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)结论仍然成立【解析】【分析】(1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可证出CG=EG(2)结论仍然成立,连接AG,过G点作MNAD于M,与EF的延长线交于N点;再证明DAGDCG,得出AG=CG;再证出DMGFNG,得到MG=NG;再证明AMGENG,得出AG=E
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