2020-2021备战中考数学平行四边形(大题培优-易错-难题)及详细答案.doc
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1、2020-2021备战中考数学平行四边形(大题培优 易错 难题)及详细答案一、平行四边形1如图1,正方形ABCD的一边AB在直尺一边所在直线MN上,点O是对角线AC、BD的交点,过点O作OEMN于点E(1)如图1,线段AB与OE之间的数量关系为 (请直接填结论)(2)保证点A始终在直线MN上,正方形ABCD绕点A旋转(090),过点 B作BFMN于点F如图2,当点O、B两点均在直线MN右侧时,试猜想线段AF、BF与OE之间存在怎样的数量关系?请说明理由如图3,当点O、B两点分别在直线MN两侧时,此时中结论是否依然成立呢?若成立,请直接写出结论;若不成立,请写出变化后的结论并证明当正方形ABCD
2、绕点A旋转到如图4的位置时,线段AF、BF与OE之间的数量关系为 (请直接填结论)【答案】(1)AB=2OE;(2)AF+BF=2OE,证明见解析;AFBF=2OE 证明见解析;BFAF=2OE,【解析】试题分析:(1)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论;(2)过点B作BHOE于H,可得四边形BHEF是矩形,根据矩形的对边相等可得EF=BH,BF=HE,根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB,AOB=90,再根据同角的余角相等求出AOE=OBH,然后利用“角角边”证明AOE和OBH全等,根据全等三角形对应边相等可得OH=AE,OE=BH,再根据AF-EF=AE,整理
3、即可得证;过点B作BHOE交OE的延长线于H,可得四边形BHEF是矩形,根据矩形的对边相等可得EF=BH,BF=HE,根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB,AOB=90,再根据同角的余角相等求出AOE=OBH,然后利用“角角边”证明AOE和OBH全等,根据全等三角形对应边相等可得OH=AE,OE=BH,再根据AF-EF=AE,整理即可得证;同的方法可证试题解析:(1)AC,BD是正方形的对角线,OA=OC=OB,BAD=ABC=90,OEAB,OE=AB,AB=2OE,(2)AF+BF=2OE证明:如图2,过点B作BHOE于点HBHE=BHO=90OEMN,BFMNBFE=OEF
4、=90四边形EFBH为矩形BF=EH,EF=BH四边形ABCD为正方形OA=OB,AOB=90AOE+HOB=OBH+HOB=90AOE=OBHAEOOHB(AAS)AE=OH,OE=BHAF+BF=AE+EF+BF=OH+BH+EH=OE+OE=2OEAFBF=2OE 证明:如图3,延长OE,过点B作BHOE于点HEHB=90OEMN,BFMNAEO=HEF=BFE=90四边形HBFE为矩形BF=HE,EF=BH四边形ABCD是正方形OA=OB,AOB=90AOE+BOH=OBH+BOHAOE=OBHAOEOBH(AAS)AE=OH,OE=BH,AFBF=AE+EFHE=OHHE+OE=OE
5、+OE=2OEBFAF=2OE,如图4,作OGBF于G,则四边形EFGO是矩形,EF=GO,GF=EO,GOE=90,AOE+AOG=90在正方形ABCD中,OA=OB,AOB=90,AOG+BOG=90,AOE=BOGOGBF,OEAE,AEO=BGO=90AOEBOG(AAS),OE=OG,AE=BG,AEEF=AF,EF=OG=OE,AE=BG=AF+EF=OE+AF,BFAF=BG+GF(AEEF)=AE+OEAE+EF=OE+OE=2OE,BFAF=2OE2如图,四边形ABCD中,BCD=D=90,E是边AB的中点.已知AD=1,AB=2.(1)设BC=x,CD=y,求y关于x的函数
6、关系式,并写出定义域;(2)当B=70时,求AEC的度数;(3)当ACE为直角三角形时,求边BC的长.【答案】(1);(2)AEC=105;(3)边BC的长为2或.【解析】试题分析:(1)过A作AHBC于H,得到四边形ADCH为矩形在BAH中,由勾股定理即可得出结论(2)取CD中点T,连接TE,则TE是梯形中位线,得ETAD,ETCD,AET=B=70又AD=AE=1,得到AED=ADE=DET=35由ET垂直平分CD,得CET=DET=35,即可得到结论 (3)分两种情况讨论:当AEC=90时,易知CBECAECAD,得BCE=30,解ABH即可得到结论当CAE=90时,易知CDABCA,由
7、相似三角形对应边成比例即可得到结论试题解析:解:(1)过A作AHBC于H由D=BCD=90,得四边形ADCH为矩形在BAH中,AB=2,BHA=90,AH=y,HB=, 则(2)取CD中点T,联结TE,则TE是梯形中位线,得ETAD,ETCD,AET=B=70又AD=AE=1,AED=ADE=DET=35由ET垂直平分CD,得CET=DET=35,AEC=7035=105 (3)分两种情况讨论:当AEC=90时,易知CBECAECAD,得BCE=30,则在ABH中,B=60,AHB=90,AB=2,得BH=1,于是BC=2当CAE=90时,易知CDABCA,又,则(舍负)易知ACE90,所以边
8、BC的长为综上所述:边BC的长为2或点睛:本题是四边形综合题考查了梯形中位线,相似三角形的判定与性质解题的关键是掌握梯形中常见的辅助线作法3如图(1)在正方形ABCD中,点E是CD边上一动点,连接AE,作BFAE,垂足为G交AD于F(1)求证:AFDE;(2)连接DG,若DG平分EGF,如图(2),求证:点E是CD中点;(3)在(2)的条件下,连接CG,如图(3),求证:CGCD【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)CGCD,见解析【解析】【分析】(1)证明BAFADE(ASA)即可解决问题(2)过点D作DMGF,DNGE,垂足分别为点M,N想办法证明AFDF,即可解决问题(3)延长AE,
9、BC交于点P,由(2)知DECD,利用直角三角形斜边中线的性质,只要证明BCCP即可【详解】(1)证明:如图1中,在正方形ABCD中,ABAD,BADD90o,2+390又BFAE,AGB901+290,13在BAF与ADE中,1=3 BA=AD BAF=D,BAFADE(ASA)AFDE(2)证明:过点D作DMGF,DNGE,垂足分别为点M,N由(1)得13,BGAAND90,ABADBAGADN(AAS)AGDN, 又DG平分EGF,DMGF,DNGE,DMDN,DMAG,又AFGDFM,AGFDMFAFGDFM(AAS),AFDFDEADCD,即点E是CD的中点(3)延长AE,BC交于点
10、P,由(2)知DECD,ADEECP90,DEACEP,ADEPCE(ASA)AEPE,又CEAB,BCPC,在RtBGP中,BCPC,CGBPBC,CGCD【点睛】本题属于四边形综合题,考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,角平分线的性质定理,直角三角形斜边中线的性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考压轴题4(1)(问题发现)如图1,在RtABC中,ABAC2,BAC90,点D为BC的中点,以CD为一边作正方形CDEF,点E恰好与点A重合,则线段BE与AF的数量关系为 (2)(拓展研究)在(1)的条件下,如果正方形CDEF绕点C旋转,连接BE,CE,AF,线段BE
11、与AF的数量关系有无变化?请仅就图2的情形给出证明;(3)(问题发现)当正方形CDEF旋转到B,E,F三点共线时候,直接写出线段AF的长【答案】(1)BE=AF;(2)无变化;(3)AF的长为1或+1【解析】试题分析:(1)先利用等腰直角三角形的性质得出AD= ,再得出BE=AB=2,即可得出结论;(2)先利用三角函数得出,同理得出,夹角相等即可得出ACFBCE,进而得出结论;(3)分两种情况计算,当点E在线段BF上时,如图2,先利用勾股定理求出EF=CF=AD=,BF=,即可得出BE=,借助(2)得出的结论,当点E在线段BF的延长线上,同前一种情况一样即可得出结论试题解析:(1)在RtABC
12、中,AB=AC=2,根据勾股定理得,BC=AB=2,点D为BC的中点,AD=BC=,四边形CDEF是正方形,AF=EF=AD=,BE=AB=2,BE=AF,故答案为BE=AF;(2)无变化;如图2,在RtABC中,AB=AC=2,ABC=ACB=45,sinABC=,在正方形CDEF中,FEC=FED=45,在RtCEF中,sinFEC=,FCE=ACB=45,FCEACE=ACBACE,FCA=ECB,ACFBCE, =,BE=AF,线段BE与AF的数量关系无变化;(3)当点E在线段AF上时,如图2,由(1)知,CF=EF=CD=,在RtBCF中,CF=,BC=2,根据勾股定理得,BF=,B
13、E=BFEF=,由(2)知,BE=AF,AF=1,当点E在线段BF的延长线上时,如图3,在RtABC中,AB=AC=2,ABC=ACB=45,sinABC=,在正方形CDEF中,FEC=FED=45,在RtCEF中,sinFEC= , ,FCE=ACB=45,FCB+ACB=FCB+FCE,FCA=ECB,ACFBCE, =,BE=AF,由(1)知,CF=EF=CD=,在RtBCF中,CF=,BC=2,根据勾股定理得,BF=,BE=BF+EF=+,由(2)知,BE=AF,AF=+1即:当正方形CDEF旋转到B,E,F三点共线时候,线段AF的长为1或+15正方形ABCD,点E在边BC上,点F在对
14、角线AC上,连AE(1)如图1,连EF,若EFAC,4AF3AC,AB4,求AEF的周长;(2)如图2,若AFAB,过点F作FGAC交CD于G,点H在线段FG上(不与端点重合),连AH若EAH45,求证:ECHG+FC【答案】(1);(2)证明见解析【解析】【分析】(1)由正方形性质得出ABBCCDAD4,BD90,ACBACDBACACD45,得出ACAB4,求出AF3,CFACAF,求出CEF是等腰直角三角形,得出EFCF,CECF2,在RtAEF中,由勾股定理求出AE,即可得出AEF的周长;(2)延长GF交BC于M,连接AG,则CGM和CFG是等腰直角三角形,得出CMCG,CGCF,证出
15、BMDG,证明RtAFGRtADG得出FGDG,BMFG,再证明ABEAFH,得出BEFH,即可得出结论【详解】(1)四边形ABCD是正方形,ABBCCDAD4,BD90,ACBACDBACACD45,ACAB4,4AF3AC12,AF3,CFACAF,EFAC,CEF是等腰直角三角形,EFCF,CECF2,在RtAEF中,由勾股定理得:AE,AEF的周长AE+EF+AF;(2)证明:延长GF交BC于M,连接AG,如图2所示:则CGM和CFG是等腰直角三角形,CMCG,CGCF,BMDG,AFAB,AFAD,在RtAFG和RtADG中,RtAFGRtADG(HL),FGDG,BMFG,BACE
16、AH45,BAEFAH,FGAC,AFH90,在ABE和AFH中,ABEAFH(ASA),BEFH,BMBE+EM,FGFH+HG,EMHG,ECEM+CM,CMCGCF,ECHG+FC【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识;熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质,证明三角形全等是解题的关键6在中,于点,点为边的中点,过点作,交的延长线于点,连接如图,求证:四边形是矩形;如图,当时,取的中点,连接、,在不添加任何辅助线和字母的条件下,请直接写出图中所有的平行四边形(不包括矩形)【答案】(1) 证明见解析;(2)四边形、四边形、四边形、四边
17、形、四边形都是平行四边形【解析】【分析】(1)由AEFCED,推出EF=DE,又AE=EC,推出四边形ADCF是平行四边形,只要证明ADC=90,即可推出四边形ADCF是矩形(2)四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形【详解】证明:,是中点,在和中,四边形是平行四边形,四边形是矩形线段、线段、线段都是的中位线,又,四边形、四边形、四边形、四边形、四边形都是平行四边形【点睛】考查平行四边形的判定、矩形的判定、三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识,正确寻找全等三角形解决问题是解题的关键.7(感知)如图,四边形ABCD、CEFG均为正
18、方形可知BE=DG(拓展)如图,四边形ABCD、CEFG均为菱形,且A=F求证:BE=DG(应用)如图,四边形ABCD、CEFG均为菱形,点E在边AD上,点G在AD延长线上若AE=2ED,A=F,EBC的面积为8,菱形CEFG的面积是_(只填结果)【答案】见解析【解析】试题分析:探究:由四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形,利用SAS易证得BCEDCG,则可得BE=DG;应用:由ADBC,BE=DG,可得SABE+SCDE=SBEC=SCDG=8,又由AE=3ED,可求得CDE的面积,继而求得答案试题解析:探究:四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形,BC=CD,CE=CG,BCD=A,EC
19、G=FA=F,BCD=ECGBCD-ECD=ECG-ECD,即BCE=DCG在BCE和DCG中, BCEDCG(SAS),BE=DG应用:四边形ABCD为菱形,ADBC,BE=DG,SABE+SCDE=SBEC=SCDG=8,AE=3ED,SCDE= ,SECG=SCDE+SCDG=10S菱形CEFG=2SECG=20.8如图,在矩形中,点从边的中点出发,沿着速运动,速度为每秒2个单位长度,到达点后停止运动,点是上的点,设的面积为,点运动的时间为秒,与的函数关系如图所示.(1)图中= ,= ,图中= .(2)当=1秒时,试判断以为直径的圆是否与边相切?请说明理由:(3)点在运动过程中,将矩形沿
20、所在直线折叠,则为何值时,折叠后顶点的对应点落在矩形的一边上.【答案】(1)8,18,20;(2)不相切,证明见解析;(3)t=、5、.【解析】【分析】(1)由题意得出AB=2BE,t=2时,BE=22=4,求出AB=2BE=8,AE=BE=4,t=11时,2t=22,得出BC=18,当t=0时,点P在E处,m=AEQ的面积=AQAE=20即可;(2)当t=1时,PE=2,得出AP=AE+PE=6,由勾股定理求出PQ=2,设以PQ为直径的圆的圆心为O,作ONBC于N,延长NO交AD于M,则MN=AB=8,OMAB,MN=AB=8,由三角形中位线定理得出OM=AP=3,求出ON=MN-OM=5圆
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