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初中数学平行四边形(讲义及答案)及解析

一、选择题
1．如图，菱形的边长为是边的中点，是边上的一个动点，将线段绕着逆时针旋转，得到，连接，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
2．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具．如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E、F分别为BC、CD的中点，AP⊥EF分别交BD、EF于O、P两点，M、N分别为BO、DO的中点，连接MP、NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．若AB＝1，则四边形BMPE的面积是（　　）

A． B． C． D．
3．如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与，交于点，，连结，交于点，连结，．若，，则下列结论：①；②垂直平分线段；③；④四边形是菱形．其中正确结论的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，矩形ABCD中，AB＝2，对角线AC、BD交于点O，∠AOD＝120°，E为BD上任意点，P为AE中点，则PO＋PB的最小值为 （ ）

A． B． C． D．3
5．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=8，AD=CD=5，点M为BC上异于B、C的一定点，点N为AB上的一动点，E、F分别为DM、MN的中点，当N从A到B的运动过程中，线段EF扫过图形的面积为 ( )

A．4 B．4.5 C．5 D．6
6．如图，中，，，．点、、分别是边、、的中点；点、、分别是边、、的中点；；以此类推，则第个三角形的周长是（ ）

A． B． C． D．
7．如图，是边长为2的正方形的对角线上一点，且，为上任意一点，于点，于点，则的值是（ ）

A． B． C．2 D．1
8．如图，在矩形中，是边上的动点，于，于，如果，那么(　　)

A． B．
C． D．
9．如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为8 ，最小值为8，则菱形ABCD的边长为( )

A．4 B．10 C．12 D．16
10．如图，在中，是的中点，作于点，连接，下列结论:①；②；③；④；其中正确的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．在平行四边形ABCD 中， BC边上的高为4 ，AB=5 ， ，则平行四边形ABCD 的周长等于______________ ．
12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E、F分别是直线AB、AC上的动点，∠EDF＝90°，M、N分别是EF、AC的中点，连结AM、MN，若AC=6，AB=5，则AM-MN的最大值为________．

13．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边CO、OA分别在x轴、y轴上，点E在边BC上，将该矩形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的F处．若OA＝8，CF＝4，则点E的坐标是_____．

14．已知：点B是线段AC上一点，分别以AB，BC为边在AC的同侧作等边和等边，点M，N分别是AD，CE的中点，连接MN．若AC=6，设BC=2，则线段MN的长是__________．

15．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，E为BC边上一动点，作EF⊥AE，且EF＝AE．连接DF，AF．当DF⊥EF时，△ADF的面积为_____．

16．如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在边AD、BC上．将该纸片沿EF折叠，使点A的对应点G落在边DC上，折痕EF与AG交于点Q，点K为GH的中点，则随着折痕EF位置的变化，△GQK周长的最小值为____．

17．在中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高．将按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则的周长为______．

18．如图，在正方形ABCD中，AC=6，点E在AC上，以AD为对角线的所有平行四边形AEDF中，EF最小的值是_________．

19．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②S△ABG＝S△FGH；③△DEF∽△ABG；④AG+DF＝FG．其中正确的是_____．（把所有正确结论的序号都选上）

20．如图，四边形是边长为4的正方形，点E在边上，PE=1；作EF∥BC，分别交AC、AB于点G、F，M、N分别是AG、BE的中点，则MN的长是_________．

三、解答题
21．在一次数学探究活动中，小明对对角线互相垂直的四边形进行了探究，得出了如下结论：如图1，四边形的对角线与相交于点，，则．

（1）请帮助小明证明这一结论；
（2）根据小明的探究，老师又给出了如下的问题：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正和正方形，连结、、.已知，，求的长，请你帮助小明解决这一问题．
22．如图，平行四边形的对角线交于点，分别过点作，连接交于点．
(1)求证: ；
(2)当等于多少度时，四边形为菱形?请说明理由．

23．如图，点E为▱ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH，AF．
（1）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度数；
（2）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（3）连接EH，交BC于点O，若OC＝OH，求证：EF⊥EG．

24．已知：在中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，BD与CF的位置关系为__________；CF、BC、CD三条线段之间的数量关系____________________．
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请你写出CF、BC、CD三条线段之间的数量关系并加以证明；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：
①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系．
②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究的形状，并说明理由．

25．如图，在长方形中，． 动点分别从点同时出发向点运动，点的运动速度为每秒2个单位，点的运动速度为每秒1个单位，当点运动到点时，两个点都停止运动，设运动的时间为．

（1）请用含的式子表示线段的长，则________，________．
（2）在运动过程中，若存在某时刻使得是等腰三角形，求相应的值．
26．已知正方形点是射线上一动点(不与重合)．连接并延长交直线于点，交于连接．在上取一点使．
（1）若点在边上，如图1，

①求证：．
②求证：是等腰三角形．
（2）取中点连接．若，正方形边长为，则 ．
27．社团活动课上，数学兴趣小组的同学探索了这样的一个问题：
如图，，点为边上一定点，点为边上一动点，以为一边在∠MON的内部作正方形，过点作，垂足为点（在点、之间），交与点，试探究的周长与的长度之间的等量关系该兴趣小组进行了如下探索：
（动手操作，归纳发现）
（1）通过测量图、、中线段、、和的长，他们猜想的周长是长的_____倍．请你完善这个猜想

（推理探索，尝试证明）
为了探索这个猜想是否成立，他们作了如下思考，请你完成后续探索过程：
（2）如图，过点作，垂足为点
则

又四边形正方形，
，
则

在与中，
（类比探究，拓展延伸）
（3）如图，当点在线段的延长线上时，直接写出线段、、与长度之间的等量关系为 ．

28．类比等腰三角形的定义，我们定义：有三条边相等的凸四边形叫做“准等边四边形”．
（1）已知：如图1，在“准等边四边形”ABCD中，BC≠AB，BD⊥CD，AB=3，BD=4，求BC的长；
（2）在探究性质时，小明发现一个结论：对角线互相垂直的“准等边四边形”是菱形．请你判断此结论是否正确，若正确，请说明理由；若不正确，请举出反例；
（3）如图2，在△ABC中，AB=AC=，∠BAC=90°．在AB的垂直平分线上是否存在点P，使得以A，B，C，P为顶点的四边形为“准等边四边形”． 若存在，请求出该“准等边四边形”的面积；若不存在，请说明理由．

29．感知：如图①，在正方形中，是一点，是延长线上一点，且，求证：；
拓展：在图①中，若在，且，则成立吗？为什么？
运用：如图②在四边形中，，，，是上一点，且，，求的长．

30．阅读下列材料，并解决问题：
如图1，在中，，，，点为边上的动点（不与、重合），以，为边构造，求对角线的最小值及此时的值是多少．

在解决这个问题时，小红画出了一个以，为边的（如图2），设平行四边形对角线的交点为，则有．于是得出当时，最短，此时取最小值，得出的最小值为6．

参考小红的做法，解决以下问题：
（1）继续完成阅读材料中的问题：当的长度最小时，_______；
（2）如图3，延长到点，使．以，为边作，求对角线的最小值及此时的值．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．B
解析：B
【解析】
【分析】
取AB与CD的中点M，N，连接MN，作点B关于MN的对称点E'，连接E'C，E'B，此时CE的长就是GB+GC的最小值；先证明E点与E'点重合，再在Rt△EBC中，EB=2，BC=4，求EC的长.
【详解】
取AB与CD的中点M，N，连接MN，作点B关于MN的对称点E'，连接E'C，E'B
，
此时CE的长就是GB+GC的最小值；
∵MN∥AD，
∴HM=AE，
∵HB⊥HM，AB=4，∠A=60°，
∴MB=2，∠HMB=60°，
∴HM=1，
∴AE'=2，
∴E点与E'点重合，
∵∠AEB=∠MHB=90°，
∴∠CBE=90°，
在Rt△EBC中，EB=2，BC=4，
∴EC=2，
故选A.
【点睛】
本题考查菱形的性质，直角三角形的性质；确定G点的运动轨迹，是找到对称轴的关键．
2．B
解析：B
【分析】
根据三角形的中位线的性质得到EF∥BD，EF=BD，推出点P在AC上，得到PE=EF，得到四边形BMPE平行四边形，过M作MF⊥BC于F，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
【详解】
∵E，F分别为BC，CD的中点，
∴EF∥BD，EF=BD，
∵四边形ABCD是正方形，且AB=BC=1，
∴BD=，
∵AP⊥EF，
∴AP⊥BD，
∴BO=OD，
∴点P在AC上，
∴PE=EF，
∴PE=BM，
∴四边形BMPE是平行四边形，
∴BO=BD，
∵M为BO的中点，
∴BM=BD=，
∵E为BC的中点，
∴BE=BC=，
过M作MF⊥BC于F，

∴MF=BM=，
∴四边形BMPE的面积=BE•MF=，
故选B．
【点睛】
本题考查了七巧板，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
3．C
解析：C
【分析】
通过证△AEO≌CFO可判断①；利用矩形的性质证△OCB是正三角形，可得②；因OB≠MB，得到③错误；通过证△EOB≌△FCB得到EB=FB，从而证④．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形
∴AB∥DC,AO=OC
∴∠AEO=∠CFO,∠EAO=∠FCO
∴△AEO≌CFO(AAS)
∴AE=FC，①正确
∵四边形ABCD是矩形
∴OC=OB
∵∠BOC=60°
∴△OCB是正三角形，∴OB=OC
∵FO=FC
∴FB是线段OC的垂直平分线，②正确
∵BM⊥OC，∴△OMB是直角三角形，∴OB＞BM
∴是错误的，即③错误
∵四边形ABCD是矩形
∴EB∥DF，AB=DC
∵AE=FC
∴EB=DF
∴四边形EBFD是平行四边形
∵△AEO≌△CFO，OF=FC，∴AE=EO=OF=FC
∵△OBC是正三角形，∴∠BOC=60°=∠BCO，BC=BO
∴∠FCO=30°，∴∠FOC=30°
∴∠FOB=30°+60°=90°
∴∠EOB=90°=∠FCB
∴△EOB≌△FCB(SAS)
∴EB=FB
∴平行四边形EBFD是菱形，④正确
故选：C
【点睛】
本题考查矩形的性质和证明，解题关键是证明△AOE≌△COF和证明△BOC是正三角形．
4．C
解析：C
【分析】
设M、N分别为AB、AD的中点，则MN为△ABD的中位线，点P在MN上，作点O关于MN的对称点，连接，则即为PO＋PB的最小值，易证△ABO为等边三角形，过点A作AH⊥BO于H，求出，然后利用勾股定理求出BO即可．
【详解】
解：如图，设M、N分别为AB、AD的中点，则MN为△ABD的中位线，

∵P为AE中点，
∴点P在MN上，
作点O关于MN的对称点，连接，
∴，
∴PO＋PB=，
∵四边形ABCD是矩形，∠AOD=120°，
∴OA=OB，∠AOB=60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB=BO=4，
过点A作AH⊥BO于H，
∴，
∵MN∥BD，点H关于MN的对称点为A，点O关于MN的对称点为，
∴，且，
∴，
即PO＋PB的最小值为，
故选：C．
【点睛】
本题考查了利用轴对称求最短路径，矩形的性质，三角形中位线定理，等边三角形的判定及性质，勾股定理的应用，通过作辅助线，得出为PO＋PB的最小值是解题关键．
5．A
解析：A
【分析】
取MB的中点P，连接FP，EP，DN，由中位线的性质，可得当N从A到B的运动过程中，点F在FP所在的直线上运动，即：线段EF扫过图形为∆EFP，求出当点N与点A重合时，FP的值，以及FP上的高，进而即可求解．
【详解】
取MB的中点P，连接FP，EP，DN，
∵FP是∆MNB的中位线，EF是∆DMN的中位线，
∴FP∥BN，FP=，EF∥DN，EF=，
∴当N从A到B的运动过程中，点F在FP所在的直线上运动，即：线段EF扫过图形为∆EFP．
∴当点N与点A重合时，FP===4，
过点D作DQ⊥AB于点Q，
∵AB∥CD，∠C=90°，AB=8，AD=CD=5，
∴AQ=8-5=3，
∴DQ=，
∴当点N与点Q重合时，EF=，EF∥DQ，即：EF⊥AB，即：EF⊥FP，
∴∆EFP中，FP上的高=2，
∴当N从A到B的运动过程中，线段EF扫过图形的面积=×4×2=4．
故选A．

【点睛】
本题主要考查中位线的性质定理，勾股定理以及三角形的面积公式，添加合适的辅助线，构造三角形以及三角形的中位线，是解题的关键．
6．A
解析：A
【分析】
根据三角形的中位线可得，B2C2，A2B2，A2C2分别等于B1C1，A1B1，A1C1，所以△A2B2C2的周长等于△A1B1C1周长的一半.进而推出第n个三角形的周长
【详解】
解：∵，，,
∴△A1B1C1的周长是16,
∵点、、分别是边、、的中点,
∴B2C2，A2B2，A2C2分别等于B1C1，A1B1，A1C1,
以此类推，则△A4B4C4的周长是 ,
∴△AnBnCn的周长是 ,
∴当n=2019时，第2019个三角形的周长是= ,
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了三角形的中位线，解题的关键是找出题目的规律.
7．B
解析：B
【分析】
过点E作EM⊥AB，连接AF，先求出EM，由S△ABE＝AB•EM＝AE•GF+AB•FH，可得FG+FH=EM，则FG+FH的值可求．
【详解】
解：如图，过点E作EM⊥AB，连接AF，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45°，
∴△AEM是等腰直角三角形，
∵AB=AE=2，
∴
∴EM＝，
∵S△ABE=S△AEF+S△ABF，
∴S△ABE＝AB•EM＝AE•GF+AB•FH，
∴EM=FG+FH=；
故选：B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，运用面积法得出线段的和差关系是解题的关键．
8．A
解析：A
【分析】
设AC、BD交于点O，连接OP，根据矩形的性质及勾股定理求出OA=OD=2.5，再求出△AOD的面积，根据面积关系即可求出答案.
【详解】
设AC、BD交于点O，连接OP，
∵,
∴BD=AC=5，
∴OA=OD=2.5，
∵，
∴，
∵于，于，
∴，
，
∴，
故选：A.

【点睛】
此题考查矩形的性质，勾股定理，根据矩形的性质求出△AOD的面积是解题的关键.
9．B
解析：B
【分析】
当点P和点A重合时，当点C和点Q重合时，PQ的值最大，当PQ⊥BC时，PQ的值最小，利用这两组数据，在Rt△ABQ中，可求得答案．
【详解】
当点P和点A重合时，当点C和点Q重合时，PQ的值最大，

当PQ⊥BC时，PQ的值最小，
∴PQ=8，∠Q=90°，
在Rt△ACQ中，

在Rt△ABQ中，设AB=BC=x，则BQ=16-x，
∴AQ2+BQ2=AB2即82+（16-x）2=x2
解之：x=10.
故答案为：B．
【点睛】
本题考查菱形的性质和勾股定理的运用，解题关键是根据菱形的性质，判断出PQ最大和最小的情况．
10．C
解析：C
【分析】
由平行四边形的性质结合AB=2AD，CD=2CF可得CF=CB，从而可得∠CBF=∠CFB，再根据CD∥AB，得∠CFB=∠ABF，继而可得，可以判断①正确；延长EF交BC的延长线与M，证明△DFE与△CFM(AAS)，继而得EF=FM=EM，证明∠CBE=∠AEB=90°，然后根据直角三角形斜边中线的性质即可判断②正确；由上可得S△BEF=S△BMF，S△DFE=S△CFM，继而可得S△EBF=S△BMF=S△EDF+S△FBC，继而可得，可判断③正确；过点F作FN⊥BE，垂足为N，则∠FNE=90°，则可得AD//FN，则有∠DEF=∠EFN，根据等腰三角形的性质可得∠BFE=2∠EFN，继而得∠BFE=2∠DEF，判断④错误.
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，AD//BC，
∵AB=2AD，CD=2CF，
∴CF=CB，
∴∠CBF=∠CFB，
∵CD∥AB，
∴∠CFB=∠ABF，
∴，故①正确；
延长EF交BC的延长线与M，
∵AD//BC，
∴∠DEF=∠M，
又∵∠DFE=∠CFM，DF=CF，
∴△DFE与△CFM(AAS)，
∴EF=FM=EM，
∵BF⊥AD，
∴∠AEB=90°，
∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠CBE=∠AEB=90°，
∴BF=EM，
∴BF=EF，故②正确；
∵EF=FM，
∴S△BEF=S△BMF，
∵△DFE≌△CFM，
∴S△DFE=S△CFM，
∴S△EBF=S△BMF=S△EDF+S△FBC，
∴，故③正确；
过点F作FN⊥BE，垂足为N，则∠FNE=90°，
∴∠AEB=∠FEN，
∴AD//EF，
∴∠DEF=∠EFN，
又∵EF=FB，
∴∠BFE=2∠EFN，
∴∠BFE=2∠DEF，故④错误，
所以正确的有3个，
故选C.

【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判断与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
二、填空题

11．12或20
【分析】
根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．
【详解】
解：情况一：当BC边上的高在平行四边形的内部时，如图1所示：

在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=，
在Rt△ACE中，由勾股定理可知：，
在Rt△ABE中，由勾股定理可知：,
∴BC=BE+CE=3+2=5,
此时平行四边形ABCD的周长等于2×(AB+BC)=2×(5+5)=20；
情况二：当BC边上的高在平行四边形的外部时，如图2所示：

在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE=4，AB=5，AC=
在Rt△ACE中，由勾股定理可知：，
在Rt△ABE中，由勾股定理可知：,
∴BC=BE-CE=3-2=1,
∴平行四边形ABCD的周长为2×(AB+BC)=2×(5+1)=12,
综上所述，平行四边形ABCD的周长等于12或20．
故答案为：12或20．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，分高在平行四边形内部还是外部讨论是解题关键．
12．
【分析】
连接DM，直角三角形斜边中线等于斜边一半，得AM=DM，利用两边之差小于第三边得到，又根据三角形中位线的性质即可求解．
【详解】
连接DM，如下图所示，

∵
又∵M为EF中点
∴AM=DM=EF
∴（当D、M、N共线时，等号成立）
∵D、N分别为BC、AC的中点，即DN是△ABC的中位线
∴DN=AB=
∴的最大值为
故答案为．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系，关键是确定的取值范围．
13．(-10，3)
【解析】
试题分析：根据题意可知△CEF∽△OFA，可根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得OF=2CE，设CE=x，则BE=8-x，然后根据折叠的性质，可得EF=8-x，根据勾股定理可得，解得x=3，则OF=6，所以OC=10，由此可得点E的坐标为（-10，3）.
故答案为：（-10，3）
14．
【分析】
如图（见解析），先根据等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质可得，再根据平行线的性质可得，然后利用直角三角形的性质、勾股定理可得，从而可得，最后在中，利用勾股定理即可得．
【详解】
如图，连接ME，过点M作，交CE延长线于点F，
和都是等边三角形，，
，
，
，
，
点M，N分别是AD，CE的中点，
，
，
四边形ABEM是平行四边形，
，
，
在中，，
，
，
则在中，，
故答案为：．

【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形和平行四边形是解题关键．
15．3﹣
【分析】
作辅助线，构建全等三角形和矩形，利用面积法可得AE的长，根据勾股定理可得BE的长，设AE＝x，证明△ABE≌△EQF（AAS），得FQ＝BE＝，最后根据三角形面积公式可得结论．
【详解】
解：如图，过D作DH⊥AE于H，过E作EM⊥AD于M，连接DE，

∵EF⊥AE，DF⊥EF，
∴∠DHE＝∠HEF＝∠DFE＝90°，
∴四边形DHEF是矩形，
∴DH＝EF＝AE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BAD＝90°，
∵∠AME＝90°，
∴四边形ABEM是矩形，
∴EM＝AB＝2，
设AE＝x，
则S△ADE＝，
∴3×2＝x2，
∴x＝±，
∵x＞0，
∴x＝，
即AE＝，
由勾股定理得：BE＝＝，
过F作PQ∥CD，交AD的延长线于P，交BC的延长线于Q，
∴∠Q＝∠ECD＝∠B＝90°，∠P＝∠ADC＝90°，
∵∠BAE＋∠AEB＝∠AEF＝∠AEB＋∠FEQ＝90°，
∴∠FEQ＝∠BAE，
∵AE＝EF，∠B＝∠Q＝90°，
∴△ABE≌△EQF（AAS），
∴FQ＝BE＝，
∴PF＝2﹣，
∴S△ADF＝＝＝3﹣．
【点睛】
此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，有难度，正确作辅助线构建全等三角形是关键，并用方程的思想解决问题．
16．3+3．
【分析】
取AB的中点M，连接DQ，QM，DM．证明QM＝QK，QG＝DQ，求出DQ＋QM的最小值即可解决问题．
【详解】
取AB的中点M，连接DQ，QM，DM．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝6，∠DAM＝∠ADG＝90°，
∵AM＝BM＝3，
∴DM＝＝3，
∵GK＝HK，AB，GH关于EF对称，
∴QM＝QK，
∵∠ADG＝90°，AQ＝QG，
∴DQ＝AQ＝QG，
∵△QGK的周长＝GK+QG+QJ＝3+DQ+QM．
又∵DQ+QM≥DM，
∴DQ+QM≥3，
∴△QGK的周长的最小值为3+3，
故答案为3+3．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、最值问题，解题的关键是取AB的中点M，确定QG＋QK＝QD＋QM，属于中考常考题型．
17．
【分析】
先根据折叠的性质可得，再根据垂直的定义、直角三角形的性质可得，又根据等腰三角形的性质可得，从而可得，同理可得出，然后根据三角形中位线定理可得，最后根据三角形的周长公式即可得．
【详解】
由折叠的性质得：
AD是BC边上的高，即
，

同理可得：
又
点E是AB的中点，点F是AC的中点
是的中位线

则的周长为
故答案为：．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质等知识点，利用折叠的性质和等腰三角形的性质得出是解题关键．
18．
【详解】
解析：∵在正方形ABCD中，AC=，
∴AB=AD=BC=DC=6，∠EAD=45°
设EF与AD交点为O，O是AD的中点,
∴AO=3
以AD为对角线的所有▱AEDF中，当EF⊥AC时，EF最小，
即△AOE是直角三角形，
∵∠AEO=90°，∠EAD=45°，OE=OA=，
∴EF=2OE=
19．①②④．
【分析】
利用折叠性质得∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，则可得到∠EBG=∠ABC，于是可对①进行判断；在Rt△ABF中利用勾股定理计算出AF=8，则DF=AD-AF=2，设AG=x，则GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=4，利用勾股定理得到x2+42=（8-x）2，解得x=3，所以AG=3，GF=5，于是可对②④进行判断；接着证明△ABF∽△DFE，利用相似比得到，而，所以，所以△DEF与△ABG不相似，于是可对③进行判断.
【详解】
解：∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，
将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，
∴∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG，BF＝BC＝10，BH＝BA＝6，AG＝GH，
∴∠EBG＝∠EBF+∠FBG＝∠CBF+∠ABF＝∠ABC＝45°，所以①正确；
在Rt△ABF中，AF＝＝＝8，
∴DF＝AD﹣AF＝10﹣8＝2，
设AG＝x，则GH＝x，GF＝8﹣x，HF＝BF﹣BH＝10﹣6＝4，
在Rt△GFH中，
∵GH2+HF2＝GF2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，
∴GF＝5，
∴AG+DF＝FG＝5，所以④正确；
∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，
∴∠BFE＝∠C＝90°，
∴∠EFD+∠AFB＝90°，
而∠AFB+∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠EFD，
∴△ABF∽△DFE，
∴＝，
∴＝＝＝，
而＝＝2，
∴≠，
∴△DEF与△ABG不相似；所以③错误．
∵S△ABG＝×6×3＝9，S△GHF＝×3×4＝6，
∴S△ABG＝S△FGH，所以②正确．
故答案是：①②④．

【点睛】
本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在利用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算线段的长．也考查了折叠和矩形的性质．
20．5
【分析】
先判断四边形的形状，再连接，利用正方形的性质得出是等腰直角三角形，再利用直角三角形的性质得出即可．
【详解】
∵四边形 是边长为4的正方形， ，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
连接，如图所示：

∵四边形是正方形，
∴ ，是等腰直角三角形，
∵是的中点，即有 ，
∴，是直角三角形，
又∵是中点，，
∵
∴，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形和直角三角形的性质，解题的关键在于合理作出辅助线，通过直角三角形的性质转化求解．
三、解答题

21．（1）证明见解析；
（2）．
【分析】
（1）由题意根据勾股定理分别表示出进行分析求证即可；
（2）根据题意连接CG、BE，证明△GAB≌△CAE，进而得BG⊥CE，再根据（1）的结论进行分析即可求出答案．
【详解】
解：（1）∵AC⊥BD，
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得，

∴；
（2）连接CG、BE，如图2，

∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG=∠AEC，
又∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，
由（1）得，，
∵AC=4，AB=5，
∴BC=3，CG=4，BE=5，
∴，
∴GE=．
【点睛】
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，熟练并正确理解全等三角形的判定和性质以及灵活运用勾股定理是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）当满足时，四边形为菱形，证明详见解析
【分析】
（1）证明四边形OCFD是平行四边形，得出OD=CF，证出OB=CF，再证明全等即可（2）证出四边形ABCD是矩形，由矩形的性质得出OC=OD，即可得出四边形OCFD为菱形.
【详解】
(1)证明:∵，
∴四边形是平行四边形， ，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中， ，
∴．
(2)当满足时，四边形为菱形.理由如下:
∵，四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形
∴
∴，
∴四边形为菱形
【点睛】
本题考查全等三角形判定与性质，平行四边形和菱形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和性质和菱形的判定是解题的关键.
23．（1）50°；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可；
（2）由平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC；证明BC是△EFG的中位线，得出BC∥FG，BC＝FG，证出AD∥FH，AD∥FH，由平行四边形的判定方法即可得出结论；
（3）连接EH，CH，根据三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质即可得到结论．
【详解】
明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE＝∠BCD＝70°，AD∥BC，
∵∠DCE＝20°，
∵AB∥CD，
∴∠CDE＝180°﹣∠BAE＝110°，
∴∠DEC＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝50°；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD，
∵BF＝BE，CG＝CE，
∴BC是△EFG的中位线，
∴BC∥FG，BC＝FG，
∵H为FG的中点，
∴FH＝FG，
∴BC∥FH，BC＝FH，
∴AD∥FH，AD∥FH，
∴四边形AFHD是平行四边形；
（3）连接EH，CH，
∵CE＝CG，FH＝HG，
∴CH＝EF，CH∥EF，
∵EB＝BF＝EF，
∴BE＝CH，
∴四边形EBHC是平行四边形，
∴OB＝OC，OE＝OH，
∵OC＝OH，
∴OE＝OB＝OC＝BC，
∴△BCE是直角三角形，
∴∠FEG＝90°，
∴EF⊥EG．

【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
24．（1）BD⊥CF，CF=BC-CD；（2）CF=BC+CD，见解析；（3）①CF=CD−BC，②等腰三角形，见解析
【分析】
（1）先说明△ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF，从而证得CF⊥BD、CF=BD，又 BD+CD=BC, CF=BC-CD；
（2）先利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD=CF，即可得到CF-CD=BC；
（3）①与（2）同理可得BD=CF，然后结合图形可得CF=CD-BC；
②先根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=45°，再根据邻补角的定义求出∠ABD=135°，再根据同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△BAD≌△CAF，得∠ACF=∠ABD，求出∠FCD=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OC= DF，再根据正方形的对角线相等求出OC=OA，从而得到△AOC是等腰三角形．
【详解】
（1）解：∵∠B4C=90°，AB=AC
∴∠ABC=∠ACB=45°
∵四边形ADEF是正方形
∴AD=AF，∠DAF=90°
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°
∴∠BAD=∠CAF
在△BAD和△CAF中，
AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，
∴△BAD≌△CAF(SAS)，
∴BD=CF，∠ABD=∠ACF=45°
∴∠FCB=∠ACF+ ∠ACB=90°，即CF⊥BC
∵BD+CD=BC
∴CF+CD=BC；
故答案为：BD⊥CF，CF=BC-CD；
（2）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，
∠CAF=∠DAF+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，
∴△BAD≌△CAF(SAS)，
∴BD=CF，
∵BD=BC+CD，
∴CF=BC+CD；
（3）①与（2）同理可得，BD=CF，
所以，CF=CD−BC；
②∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
则∠ABD=180∘−45°=135°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=∠BAF+∠CAF=90°，
∠DAF=∠BAD+∠BAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，
∴△BAD≌△CAF(SAS)，
∴∠ACF=∠ABD=180°−45°=135°，
∴∠FCD=∠ACF−∠ACB=90°，
则△FCD为直角三角形，
∵正方形ADEF中，O为DF中点，
∴OC=DF，
∵在正方形ADEF中，OA=AE，AE=DF，
∴OC=OA，
∴△AOC是等腰三角形．
【点睛】
本题考查了四边形的综合题，正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定以及同角的余角相等的性质，在（1）证明三角形全等得到思路并推广到（2）（3）是解答本题的关键.
25．（1）8-2t，8-t；（2）或
【分析】
（1）根据P