-自动控制原理.pptx
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1、 第4章根轨迹分析法 41 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念 4.2 绘制根轨迹图的基本法则绘制根轨迹图的基本法则 4.3 控制系统根轨迹的绘制控制系统根轨迹的绘制 44 控制系统的根轨迹分析控制系统的根轨迹分析闭闭环环系系统统的的稳稳定定性性及及性性能能主主要要由由闭闭环环极极点点(特特征征方方程程根根)决决定定的的。一一个个较较完完善善的的闭闭环环控控制制系系统其特征方程一般为高阶,求解困难。统其特征方程一般为高阶,求解困难。1948年年伊伊万万斯斯提提出出求求解解闭闭环环特特征征方方程程的的根根的的图图解方法解方法根轨迹法。根轨迹法。在在开开环环零零、极极点点分分布布已已知知的的情情况况
2、下下,绘绘制制闭闭环环极极点点随随系系统统参参数数变变化化而而在在s平平面面上上移移动动的的轨轨迹迹(根轨迹)。(根轨迹)。用途:用途:对系统的性能进行分析;对系统的性能进行分析;确定系统应有的结构、参数;确定系统应有的结构、参数;进行设计和综合。进行设计和综合。41 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念 一、根轨迹图一、根轨迹图1.定义:定义:根根平平面面:在在一一个个复复平平面面(s平平面面)上上标标出出开开环环零零、极极点点,并并根根据据此此描描述述闭闭环极点的性质,这个复平面就称为根平面。环极点的性质,这个复平面就称为根平面。根根轨轨迹迹:指指系系统统开开环环传传递递函函数数中中某某一一参
3、参数数(一一般般为为kg)变变化化时时,闭闭环环特特征征根在根平面上所走过的轨迹。根在根平面上所走过的轨迹。2.用解析法绘制根轨迹用解析法绘制根轨迹已知:已知:系统开环传递函数系统开环传递函数 开环有两个极点:开环有两个极点:p1=0,p2=2 开环没有零点。开环没有零点。(1)当当 kg=0时时,s1=0、s2=2,此此时时闭闭环环极极点点就是开环极点。就是开环极点。(2)当当0kg1时时,s1、s2均均为为负负实实数数,且且位位于于负负实轴的(实轴的(2,0)一段上。一段上。(3)当当kg=1时时,s1=s2=1,两两个个负负实实数数闭闭环环极极点重合在一起。点重合在一起。(4)当当1kg
4、时时,s1,2=1 ,两两个个闭闭环环极极点点变变为为一一对对共共轭轭复复数数极极点点。s1、s2的的实实部部不不随随kg变变化,其位于过(化,其位于过(1,0)点且平行于虚袖的直线上。)点且平行于虚袖的直线上。(5)当当kg时时,s1=1+j、s2=1j,此此时时s1、s2将趋于无限远处。将趋于无限远处。闭环特征方程为:闭环特征方程为:D(s)=s2+2s+kg=0解得解得闭环特征根(亦即闭环极点)闭环特征根(亦即闭环极点);可见,当可见,当kg 变化,两个闭环极点也随之连续变化。变化,两个闭环极点也随之连续变化。当当kg 从从0变化时,直接描点作出两个闭环极点的变化轨迹(变化时,直接描点作
5、出两个闭环极点的变化轨迹(p122表表4-1)可根据根轨迹形状评价系统的动态性能和稳态性能:可根据根轨迹形状评价系统的动态性能和稳态性能:(1)根根轨轨迹迹增增益益kg从从0时时,根根轨轨迹迹均均在在s平平面面左左半半部部,在在所所有有的的kg值下系统都是稳定的。值下系统都是稳定的。(2)当当0kg1时时,闭闭环环特特征征根根为为共共轭轭复复根根,系系统统呈呈欠欠阻阻尼尼状状态态,其其阶阶跃跃响应为衰减的振荡过程。响应为衰减的振荡过程。(5)有有一一个个为为0的的开开环环极极点点,系系统统为为型型系系统统,其其阶阶跃跃作作用用下下的的稳稳态态误差误差ess为零。为零。由由上上述述分分析析过过程
6、程可可知知,通通过过系系统统的的根根轨轨迹迹图图,可可以以很很方方便便地地对对系系统统的的动动态态性性能能和和稳稳态态性性能能进进行行分分析析。不不足足之之处处是是用用直直接接解解闭闭环环特特征征方方程程根根的的办办法法,来来绘绘出出系系统统的的根根轨轨迹迹图图,这这对对高高阶阶系系统统将将是是很很繁繁重重的的和和不不现现实实的的。为为了了解解决决这这个个问问题题,依依据据反反馈馈系系统统中中开开环环、闭闭环环传传递递函函数数的的确确定定关关系系,通通过过开开环环传传递递函函数数直接寻找闭环根轨迹正是我们下面要研究的直接寻找闭环根轨迹正是我们下面要研究的。二、二、根轨迹方程根轨迹方程 绘制根轨
7、迹的实质,在于在绘制根轨迹的实质,在于在s平面寻找闭环特征根的位置平面寻找闭环特征根的位置。闭环传递函数为闭环传递函数为闭环特征方程为闭环特征方程为 即即 m个开环零点个开环零点 n个开环极点个开环极点 (根轨迹方程)(根轨迹方程)kg:根轨迹增益:根轨迹增益 在在s平平面面上上凡凡是是满满足足上上式式的的任任意意一一个个点点s1、s2、s,都都是是闭闭环环特特征根,即闭环极点。征根,即闭环极点。三、根轨迹的幅值条件根轨迹的幅值条件方程方程和相角条件和相角条件方程方程 为复数,故根轨迹方程是一个向量方程。为复数,故根轨迹方程是一个向量方程。幅值条件:幅值条件:相角条件:相角条件:相相角角条条件
8、件方方程程和和kg无无关关,s平平面面上上任任意意一一点点,只只要要满满足足相相角角条条件件方方程程,则则必必定定同同时时满满足足幅幅值值条条件件,该该点点必必定定在在根根轨轨迹迹上上,即即对对应应不不同同的的kg时时的的闭闭环环极极点点,相角条件是决定闭环系统根轨迹的充分必要条件。相角条件是决定闭环系统根轨迹的充分必要条件。四、四、幅值条件和相角条件幅值条件和相角条件应用应用 解:解:不符合相角条件,不符合相角条件,s1不在根轨迹上。不在根轨迹上。s2:满足相角条件,满足相角条件,s2在根轨迹上。在根轨迹上。1.用相角条件求根轨迹(试探法)用相角条件求根轨迹(试探法)相角条件:相角条件:例例
9、:已已知知系系统统的的开开环环传传递递函函数数如如下下,试试判判断断 ,是是否否在在根根轨迹上。轨迹上。s1:2.用幅植条件确定用幅植条件确定kg的值的值解解:幅值条件:幅值条件:例例:求求上上例例中中根根轨轨迹迹上上 点点对对应应的的kg。、也可以用直尺测量向量的长度。也可以用直尺测量向量的长度。42 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则 由开环零、极点由开环零、极点当当kg为可变参数时,闭环极点的变化轨迹。为可变参数时,闭环极点的变化轨迹。一、连续性一、连续性 是是kg或其它参数的连续函数。或其它参数的连续函数。当当kg从从0+连连续续变变化化时时,闭闭环环极极点点连连续续变变化化,即
10、即根根轨轨迹迹是是连连续续变变化化的的曲曲线线或或直线。直线。二、对称性二、对称性 线线性性系系统统特特征征方方程程系系数数均均为为实实数数,闭闭环环极极点点均均为为实实数数或或共共轭轭复复数数(包包括括一对纯虚根),根轨迹对称于实轴。一对纯虚根),根轨迹对称于实轴。三、根轨迹的分支数三、根轨迹的分支数 开开环环传传递递函函数数为为n阶阶,故故开开环环极极点点和和闭闭环环数数都都为为n个个,当当kg从从0+变变化化时时,n个个根在根在s平面上连续形成平面上连续形成n条根轨迹。条根轨迹。一条根轨迹对应一个闭环极点随一条根轨迹对应一个闭环极点随kg的连续变化轨迹。的连续变化轨迹。根轨迹的分支数根轨
11、迹的分支数=系统的阶数系统的阶数四、四、根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点由幅值条件有:由幅值条件有:1.起点:起点:kg=0,等式右边等式右边=,仅当,仅当 成立成立 n条根轨迹起始于系统的条根轨迹起始于系统的n个开环极点。个开环极点。2.终点:终点:kg=,等式右边等式右边=0 当当 成立,成立,m条根轨迹终止于条根轨迹终止于m 个开环零点处;个开环零点处;由于由于nm时,只有时,只有s 处处 另外另外nm条根轨迹终止于条根轨迹终止于处(处(,相角可为任意方向)。,相角可为任意方向)。结结论论:根根轨轨迹迹以以n个个开开环环极极点点为为起起点点;以以m个个开开环环零零点点为为终终点点,另
12、另外外nm条条根根轨迹终止于无穷远处。轨迹终止于无穷远处。五、五、实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 、两两向向量量对对称称于于实实轴轴,引引起起的的相相角角大大小小相相等等、方方向向相反;相反;、两两向向量量也也对对称称于于实实轴轴,引引起起的的相相角角大大小小相相等等、方方向相反向相反 判判断断 s1是是否否落落在在根根轨轨迹迹上上,共共轭轭零、极点不考虑。零、极点不考虑。位于位于s1左边的实数零、极点:左边的实数零、极点:、向量引起的相角为向量引起的相角为0 判断判断 s1是否落在根轨迹上,位于是否落在根轨迹上,位于s1左边的零、极点不考虑。左边的零、极点不考虑。位于s1右边的实数零、极点:每
13、个零、极点提供180相角,其代数和为奇数,则满足相角条件。结论:结论:s1右边的实数零、极点(开环)个数的总和为奇数,则右边的实数零、极点(开环)个数的总和为奇数,则s1位于根轨迹上。位于根轨迹上。六、六、根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线 若若nm,当当kg从从0+时时,有有(nm)条条根根轨轨迹迹分分支支沿沿着着实实轴轴正正方方向向夹夹角角,截距为,截距为 的一组渐近线趋向无穷远处。的一组渐近线趋向无穷远处。与实轴交点的坐标:与实轴交点的坐标:仅仅当当s足足够够大大时时,根根轨轨迹迹才才向向渐渐近近线线逐逐渐渐逼逼近近,kg,根根轨轨迹迹才才与与渐渐近近线重合。线重合。例:例:已知控制系统的开环
14、传递函数如下,确定已知控制系统的开环传递函数如下,确定s平面上根轨迹的渐近线方向。平面上根轨迹的渐近线方向。解:开环极点:解:开环极点:开环零点:开环零点:3 3条趋于无穷远处条趋于无穷远处 截距截距 夹角夹角 七、七、根轨迹的分离点和会合点根轨迹的分离点和会合点1.1.分析:分析:1.1.如图,如图,为实轴上的根轨迹为实轴上的根轨迹 两两条条根根轨轨迹迹分分别别由由 和和 出出发发,随随kg的的增增大大,会会合合于于a a点点继继而而又又分分开开,离离开开实实轴轴,进进入入复复平平面面,再再回回到到实实轴轴,会会合合于于b b点点再再离离开开,一一条条终终止止于于 ,另另一一趋于负无穷远处。
15、趋于负无穷远处。若若两两条条根根轨轨迹迹在在复复平平面面上上的的某某一一点点相相遇遇后后又又分分开开,称称该该点点为为根根轨轨迹迹的的分分离离点点或或会合点。此点对应于二重根(实根和共轭复数根)。会合点。此点对应于二重根(实根和共轭复数根)。一般多出现在实轴上。一般多出现在实轴上。2.2.规律:规律:若实轴上两相邻开环极点之间存在根轨迹,之间必有分离点;若实轴上两相邻开环极点之间存在根轨迹,之间必有分离点;若实轴上相邻开环零点(一个可视为无穷远)之间存在根轨迹,若实轴上相邻开环零点(一个可视为无穷远)之间存在根轨迹,之间必有会合点;之间必有会合点;若实轴上开环零点与极点之间存在根轨迹,则其间可
16、能既有分离若实轴上开环零点与极点之间存在根轨迹,则其间可能既有分离 点也有会合点,也可能都没有。点也有会合点,也可能都没有。4.分离点的求取分离点的求取 重根法重根法 特征方程:特征方程:具有重根,具有重根,则则特征方程:特征方程:消消kg得得 s 分离点分离点 3.3.求分离角(会合角):求分离角(会合角):在分离点(会合点)上,根轨迹切在分离点(会合点)上,根轨迹切 线与正实轴的夹角线与正实轴的夹角 l为相分离的根轨迹分支数为相分离的根轨迹分支数 极值法极值法 牛顿余数定理的使用(二阶以上)牛顿余数定理的使用(二阶以上)就实轴而言就实轴而言 可以用求极值的方法可以用求极值的方法 令令 得得
17、举例:已知控制系统的开环传递函数如下,试求根轨迹在实轴上的分离点。举例:已知控制系统的开环传递函数如下,试求根轨迹在实轴上的分离点。解:解:(用重根法)(用重根法)判断:开环极点有三个判断:开环极点有三个 在实轴上根轨迹在实轴上根轨迹 ,则则 s1满足,为分离点。满足,为分离点。八、八、根轨迹的出射角和入射角根轨迹的出射角和入射角出射角:始于开环极点的根轨迹在起点的切线与正实轴的夹角出射角:始于开环极点的根轨迹在起点的切线与正实轴的夹角入射角:止于开环零点的根轨迹在终点的切线与正实轴的夹角入射角:止于开环零点的根轨迹在终点的切线与正实轴的夹角说明:靠近说明:靠近 的地方选一个的地方选一个s1点
18、,相距点,相距当当 0 0,则,则 出射角出射角 即:即:通式:通式:由其它各开环零点指向:由其它各开环零点指向 的向量的幅角的向量的幅角 :由其它各开环极点指向:由其它各开环极点指向 的向量的幅角的向量的幅角入射角:入射角:九、九、根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点随随着着kg,根根轨轨迹迹可可能能由由s s左左半半平平面面右右半半平平面面,系系统统会会从从稳稳定定不不稳稳定定,根根轨轨迹迹与与虚轴的交点,即闭环特征方程出现纯虚根,出现临界稳定。虚轴的交点,即闭环特征方程出现纯虚根,出现临界稳定。求解方法(两种方法):求解方法(两种方法):令令 代入闭环特征方程代入闭环特征方程 ,再令,再
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- 自动控制 原理
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