003拉氏变换与模拟滤波器设计.pptx
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1、拉氏变换与模拟滤波器设计北京科技大学阳建宏2024/10/19周六北京科技大学 机械工程学院2/62背景介绍背景介绍信号处理信号处理:将信号做必要的变换以获得所需信息的过程:将信号做必要的变换以获得所需信息的过程信号分析信号分析:研究信号的构成与特征:研究信号的构成与特征时域时域频域频域傅里叶变换傅里叶变换提取关心的频率成分提取关心的频率成分滤波处理滤波处理北京科技大学 机械工程学院3/62背景介绍背景介绍为什么要滤波?为什么要滤波?在传感器获得的信号中,常混有许多其他频率的干扰在传感器获得的信号中,常混有许多其他频率的干扰 有用的信号被淹没在干扰噪声中有用的信号被淹没在干扰噪声中为突出有用信
2、号,抑制噪声干扰,要对传感器获得的信号进行滤波为突出有用信号,抑制噪声干扰,要对传感器获得的信号进行滤波频率成分多,噪声干扰北京科技大学 机械工程学院4/62背景介绍背景介绍滤波的实质:滤波的实质:对信号进行频率选择,完成滤波功能的装置称为对信号进行频率选择,完成滤波功能的装置称为滤波器滤波器当信号通过滤波器时,信号中某些频率成分得以通过,当信号通过滤波器时,信号中某些频率成分得以通过,其他频率成分的信号受到衰减或抑制其他频率成分的信号受到衰减或抑制信号通过滤波器的过程,就称为对信号进行滤波。信号通过滤波器的过程,就称为对信号进行滤波。滤波后滤波后北京科技大学 机械工程学院5/62背景介绍背景
3、介绍滤波器的分类:滤波器的分类:分析对象分析对象具体实现具体实现应用场合应用场合模拟滤波器模拟滤波器连续信号连续信号由模拟器件组成由模拟器件组成电子电路电子电路数字滤波器数字滤波器离散信号离散信号算法编程算法编程工程信号处理工程信号处理Questions:模拟滤波器与数字滤波器的关系?模拟滤波器与数字滤波器的关系?如何进行滤波器的设计?如何进行滤波器的设计?如何评价滤波器的性能?如何评价滤波器的性能?北京科技大学 机械工程学院6/62背景介绍背景介绍简单的模拟滤波器简单的模拟滤波器RC滤波器滤波器:电路简单电路简单抗干扰性强抗干扰性强有较好的低频性能有较好的低频性能选用标准的阻容元件选用标准的
4、阻容元件设滤波器的输入电压为设滤波器的输入电压为ex,输出电压为,输出电压为ey,电路的微分方程为:,电路的微分方程为:(克希荷夫电压定律)求微分方程的时域解,可获得系统的运动规律。求微分方程的时域解,可获得系统的运动规律。北京科技大学 机械工程学院7/62背景介绍背景介绍一阶微分方程的求解方法:一阶微分方程的求解方法:常规数学积分法:常规数学积分法:对复杂的方程不易求解,参数设定困难对复杂的方程不易求解,参数设定困难拉普拉斯变换:拉普拉斯变换:将时域的微分运算,简化为代数运算将时域的微分运算,简化为代数运算改进核心思想求系统的传递函数求系统的传递函数H(s)来分析系统的幅频、相频特性来分析系
5、统的幅频、相频特性北京科技大学 机械工程学院8/62主要内容主要内容12 23 3拉氏变换拉氏变换Z变换模拟滤波器4 4数字滤波器北京科技大学 机械工程学院9/62信号信号f(t)傅里叶变换存在需满足狄利克雷条件,但像阶跃函)傅里叶变换存在需满足狄利克雷条件,但像阶跃函数、三角函数等实际中应用广泛的信号不满足数、三角函数等实际中应用广泛的信号不满足绝对可积条件绝对可积条件,经典意义上的傅里叶变换不存在。经典意义上的傅里叶变换不存在。绝对可积:绝对可积:为了为了克服傅里叶变换在系统分析中存在的限制克服傅里叶变换在系统分析中存在的限制,引出了拉普,引出了拉普拉斯变换,简称拉斯变换,简称拉氏变换拉氏
6、变换。拉氏变换的引入拉氏变换的引入能量有限阶跃函数不收敛,能量无限北京科技大学 机械工程学院10/62拉氏变换拉氏变换对傅里叶变换进行改造:对傅里叶变换进行改造:将函数将函数 f(t)乘以一个衰减指数函数乘以一个衰减指数函数 ,使得函,使得函数函数收敛,满足绝对可积条件,则可以进行傅里叶变换数函数收敛,满足绝对可积条件,则可以进行傅里叶变换:满足条件的信号傅里叶因子双边拉氏变换对双边拉氏变换对北京科技大学 机械工程学院11/62拉氏变换基本性质拉氏变换基本性质线性定理:线性定理:延迟定理:延迟定理:f f(t t)t tt tf f(t-tt-t0 0)t t0 0衰减定理:衰减定理:该定理说
7、明了该定理说明了f(t)在时间域的指数衰减,其拉氏变换在变换域就成为坐标平移在时间域的指数衰减,其拉氏变换在变换域就成为坐标平移该定理说明了时间域的平移变换在复数域有相对应的衰减变换。该定理说明了时间域的平移变换在复数域有相对应的衰减变换。北京科技大学 机械工程学院12/62拉氏变换基本性质拉氏变换基本性质时域导数性质:时域导数性质:频域导数性质:频域导数性质:初值定理:初值定理:且f()存在,则即时域函数的终值,也可以由变换域求得。即时域函数的终值,也可以由变换域求得。北京科技大学 机械工程学院13/62拉氏变换拉氏变换傅里叶变换傅里叶变换拉氏变换拉氏变换分析对象 计算公式基本信号元域时域变
8、量 t 为实数频域变量 为实数时域变量t为实数频域变量s为复数拉氏变换拉氏变换S平面傅里叶变换傅里叶变换F变换是变换是L变换的特例变换的特例L变换是变换是F变换的扩展变换的扩展北京科技大学 机械工程学院14/62拉氏变换的应用拉氏变换的应用-系统函数分析系统函数分析拉氏变换作为傅氏变换的推广,将信号的拉氏变换作为傅氏变换的推广,将信号的频域频域分析扩展为分析扩展为复频域复频域分析,分析,扩大了信号变换的范围。扩大了信号变换的范围。连续信号的复频域分析方法也从频域分析方法扩展而来。连续信号的复频域分析方法也从频域分析方法扩展而来。频域对于线性时不变系统:对于线性时不变系统:输入信号为输入信号为f
9、(t),系统的冲激响应为系统的冲激响应为h(t),则输出信号为:,则输出信号为:系统函数复频域系统函数北京科技大学 机械工程学院15/62简单的模拟滤波器简单的模拟滤波器RC滤波器滤波器:令令=RC,称为时间常数,对上式取,称为时间常数,对上式取拉氏变换拉氏变换,有,有:其幅频、相频特性公式为其幅频、相频特性公式为:分析可知分析可知:当当f 很小时,很小时,A(f)=1,信号不受衰减地通过;,信号不受衰减地通过;当当f 很大时,很大时,A(f)=0,信号完全被阻挡,不能通过,信号完全被阻挡,不能通过。拉氏变换的应用拉氏变换的应用-系统函数分析系统函数分析北京科技大学 机械工程学院16/62拉氏
10、变换拉氏变换连续系统连续系统拉氏变换获得系统函数获得系统函数离散系统如何获得系统函数?离散系统如何获得系统函数?北京科技大学 机械工程学院17/62主要内容主要内容12 23 3拉氏变换Z Z变换变换模拟滤波器4 4数字滤波器北京科技大学 机械工程学院18/62Z变换的引入变换的引入 Z Z变换的作用:变换的作用:nz z变换是变换是离散信号离散信号分析和处理,离散系统设计和实现中分析和处理,离散系统设计和实现中一种重要的数学工具一种重要的数学工具,它在离散系统中的地位与作用,它在离散系统中的地位与作用,相当于连续系统中的拉氏变换。相当于连续系统中的拉氏变换。n应用应用z z变换可以把离散系统
11、的数学模型即变换可以把离散系统的数学模型即差分方程转换差分方程转换为简单的代数方程为简单的代数方程,使求解过程简化。,使求解过程简化。Z Z变换两种定义:变换两种定义:n定义定义1:1:对模拟信号进行冲激抽样经拉氏变换引出对模拟信号进行冲激抽样经拉氏变换引出,常用于常用于自动控制采样系统的分析。自动控制采样系统的分析。n定义定义2:2:直接给出数学定义;常用于数字信号处理中。直接给出数学定义;常用于数字信号处理中。北京科技大学 机械工程学院19/62Z变换变换Step1:Step1:若对一若对一模拟信号模拟信号x(t)作冲激抽样作冲激抽样,得到其冲激抽样信号,得到其冲激抽样信号:Step2St
12、ep2:对上式两边进行对上式两边进行(双边)拉氏变换(双边)拉氏变换:Step3Step3:将积分与求和的将积分与求和的运算次序对调运算次序对调,利用冲激函数抽样性,得:,利用冲激函数抽样性,得:令令北京科技大学 机械工程学院20/62Z变换变换Step4Step4:对上式对上式引入复变量引入复变量 ,得到一个得到一个z z的函数的函数X(z)Z Z变换变换:离散时间域离散时间域n n 复数域复数域z z 的映射,是复变量的映射,是复变量Z Z-1 -1 的幂级数,即罗朗级数的幂级数,即罗朗级数上式为双边上式为双边z z变换,单边变换,单边z z变换则可定义为:变换则可定义为:考虑起始条件,更
13、易收敛,实际中应用较多考虑起始条件,更易收敛,实际中应用较多北京科技大学 机械工程学院21/62Z变换收敛域变换收敛域 由由Z Z变换的定义式可以看出,变换的定义式可以看出,Z Z变换实际上是复函数变换实际上是复函数X(z)X(z)在在Z Z平面上,平面上,以序列以序列x(n)x(n)为系数为系数展开的罗朗级数。展开的罗朗级数。由级数的理论可知,收敛的充要条件是满足条件:由级数的理论可知,收敛的充要条件是满足条件:可以证明,收敛域是可以证明,收敛域是z z平面上的一个环状区域平面上的一个环状区域:北京科技大学 机械工程学院22/62Z变换性质变换性质线性线性时移性时移性若:若:则:则:若:若:
14、则:则:北京科技大学 机械工程学院23/62Z变换性质变换性质序列指数加权序列指数加权(z(z域尺度变换域尺度变换)若:若:那么序列那么序列x(n)x(n)乘以指数序列乘以指数序列a a(a a是常实数或常复数)后,就有是常实数或常复数)后,就有序列线性加权(序列线性加权(z z域微分)域微分)若:若:则:则:北京科技大学 机械工程学院24/62Z变换与拉氏变换变换与拉氏变换在在Z Z变换过程中,变换过程中,因此,有因此,有Z Z平面用极坐标表示平面用极坐标表示s s平面用直角坐标表示平面用直角坐标表示得到:得到:Z平面S平面S平面Z平面S平面?北京科技大学 机械工程学院25/62变变换换Z
15、Z拉拉氏氏变变换换三种变换的关系三种变换的关系-按计算流程按计算流程连续信号连续信号 傅氏变换傅氏变换绝对可积信号绝对可积信号抽样信号抽样信号拉氏变换拉氏变换离散信号离散信号北京科技大学 机械工程学院26/62三种变换的关系三种变换的关系-按变量关系按变量关系北京科技大学 机械工程学院27/62主要内容主要内容12 23 3拉氏变换Z变换模拟滤波器模拟滤波器4 4数字滤波器北京科技大学 机械工程学院28/62基本概念基本概念l 滤波:滤波:提取所需要的信号提取所需要的信号,抑制不需要的信号。所用装抑制不需要的信号。所用装置称为滤波器。信号通过滤波器的过程,就称为对信号进置称为滤波器。信号通过滤
16、波器的过程,就称为对信号进行滤波。行滤波。l 传统滤波传统滤波:信号和噪声各占不同频带。:信号和噪声各占不同频带。对信号进行频率选择。当信号通过滤波器时,信号中某些频率成分得对信号进行频率选择。当信号通过滤波器时,信号中某些频率成分得以通过,其他频率成分的信号受到衰减或抑制。以通过,其他频率成分的信号受到衰减或抑制。l 现代滤波:现代滤波:信号和噪声的频谱相互重叠信号和噪声的频谱相互重叠.在统计指标最优条件下,利用信号统计特征进行时域估计;在统计指标最优条件下,利用信号统计特征进行时域估计;WienerWiener滤波、滤波、kalmankalman滤波、线性预测、自适应滤波等。滤波、线性预测
17、、自适应滤波等。北京科技大学 机械工程学院29/62传统滤波器理想滤波器实际滤波器模拟滤波器数字滤波器巴巴特特沃沃斯斯切切比比雪雪夫夫椭椭圆圆滤滤波波FIRIIR按信号类型分按信号类型分连续模拟信号连续模拟信号离散数字信号离散数字信号(不可实现)(不可实现)维维纳纳滤滤波波卡卡尔尔曼曼滤滤波波线线性性预预测测自自适适应应滤滤波波(信噪频带分离)信噪频带分离)(信噪频带重叠)(信噪频带重叠)现代滤波器在统计指标最优条件下,利用在统计指标最优条件下,利用信号统计特征进行时域估计信号统计特征进行时域估计总体框架总体框架北京科技大学 机械工程学院30/62理想滤波器要求:理想滤波器要求:l通带内通带内
18、信号的幅值和相位都信号的幅值和相位都不失真不失真,阻带内阻带内的频率的频率成分都成分都衰减为零衰减为零的滤波器,其通带和阻带之间有的滤波器,其通带和阻带之间有明显的分界明显的分界线线。l理想滤波器理想滤波器在通带内的在通带内的幅频特性应为常数幅频特性应为常数,相频特相频特性的斜率为常值性的斜率为常值;在;在通带外的幅频特性应为零通带外的幅频特性应为零。理想滤波器理想滤波器相频特性:相频特性:幅频特性:幅频特性:北京科技大学 机械工程学院31/62物理上物理上不可实现!不可实现!理想滤波器是从一个频带到另一个频带之间的突变。理想滤波器是从一个频带到另一个频带之间的突变。l时域上讲,没有器件能够在
19、一瞬间完成开关过程,都会时域上讲,没有器件能够在一瞬间完成开关过程,都会存在时延和振荡;存在时延和振荡;l频域上讲,矩形脉冲需要无穷带宽,实际中也没有条件频域上讲,矩形脉冲需要无穷带宽,实际中也没有条件提供这么大带宽。提供这么大带宽。理想滤波器理想滤波器北京科技大学 机械工程学院32/62理想滤波器要物理可实现:理想滤波器要物理可实现:应从一个到另一个带之间应从一个到另一个带之间设置一个过渡带设置一个过渡带,且在通带和止,且在通带和止带内也不应严格要求为带内也不应严格要求为1 1或或0 0,应给以较小容限。,应给以较小容限。过渡带越窄越好过渡带越窄越好,即对通带外的频率成分衰减得越快、越,即对
20、通带外的频率成分衰减得越快、越多越好。多越好。实际滤波器频域特性实际滤波器频域特性实际滤波器实际滤波器因此,在设计实际滤波器时,总因此,在设计实际滤波器时,总是通过各种方法使其尽量逼近理是通过各种方法使其尽量逼近理想滤波器。想滤波器。北京科技大学 机械工程学院33/62通带内允许误差:通带内允许误差:阻带衰减:阻带衰减:通带截止频率:通带截止频率:衰减:衰减:阻带截止频率:阻带截止频率:性能指标性能指标实际滤波器实际滤波器北京科技大学 机械工程学院34/62描述实际滤波器的主要参数:l纹波幅度纹波幅度:越小越好l截止频率截止频率l带宽带宽:决定滤波器分离信号相邻频率成分的能力l品质因数品质因数
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- 关 键 词:
- 003 变换 模拟 滤波器 设计
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