2002年重庆高考理科数学真题及答案.doc

2002年重庆高考理科数学真题及答案

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分．第I卷1至2页．第II卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．圆的圆心到直线的距离是
A．　　　 B．　　　 C．1　　　　 D．
2．复数的值是
A．　　　　 B．　　　　 C．　　　　　 D．1
3．不等式的解集是
A．　　　 B．且
C．　　　 D．且
4．在内，使成立的的取值范围是
A．　　 B．
C．　 D．
5．设集合，，则
A．　 B．　　　 C．　　　 D．
6．点到曲线（其中参数）上的点的最短距离为
A．0　　　 B．1　　　　 C．　　　　 D．2
7．一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是
A．　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D．
8．正六棱柱的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱侧面对角线与所成的角是
A．　　　 B．　　　　 C．　　　　 D．
9．函数（）是单调函数的充要条件是
A．　　　 B．　　　　 C．　　　 D．
10．函数的图象是

11．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有
A．8种　　　 B．12种　　　　 C．16种　　　 D．20种
12．据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7．3%”，如果“十•五”期间（2001年－2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为
A．115000亿元　 B．120000亿元　 C．127000亿元　　 D．135000亿元

第II卷(非选择题共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．
13．函数在上的最大值与最小值这和为3，则＝　　　
14．椭圆的一个焦点是，那么　　　　　
15．展开式中的系数是　　　　　　
16．已知，那么＝　　

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知，，求、的值
18．如图，正方形、的边长都是1，而且平面、互相垂直点在上移动，点在上移动，若（）
（1）求的长；
（2）为何值时，的长最小；
（3）当的长最小时，求面与面所成二面角的大小
19．设点到点、距离之差为，到、轴的距离之比为2，求的取值范围
20．某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？
21．设为实数，函数，
（1）讨论的奇偶性；
（2）求的最小值
22．设数列满足：，
（I）当时，求并由此猜测的一个通项公式；
（II）当时，证明对所的，有
（i）
（ii）

参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
D
C
B
B
C
B
A
B
B
C
二、填空题
（13）2　　　（14）1　　　（15）1008　　　（16）
三、解答题
（17）解：由，得

∵
∴，
∴，即
∴
∴
（18）解（I）作∥交于点，∥交于点，连结，依题意可得∥，且，即是平行四边形
∴
由已知，
∴，

（II）由（I）

所以，当时，
即当、分别为、的中点时，的长最小，最小值为
（III）取的中点，连结、，
∵，为的中点
∴，即即为二面角的平面角
又，所以，由余弦定理有

故所求二面角为
（19）解：设点的坐标为，依题设得，即，
因此，点、、三点不共线，得

∵
∴
因此，点在以、为焦点，实轴长为的双曲线上，故

将代入，并解得
，因
所以
解得
即的取值范围为
（20）解：设2001年末汽车保有量为万辆，以后各年末汽车保有量依次为万辆，万辆，…，每年新增汽车万辆，则
，
对于，有

所以

当，即时

当，即时
数列逐项增加，可以任意靠近

因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即
（）
则，即万辆
综上，每年新增汽车不应超过万辆
（21）解：（I）当时，函数
此时，为偶函数
当时，，，
，
此时既不是奇函数，也不是偶函数
（II）（i）当时，
当，则函数在上单调递减，从而函数在上的最小值为．
若，则函数在上的最小值为，且．
（ii）当时，函数
若，则函数在上的最小值为，且
若，则函数在上单调递增，从而函数在上的最小值为．
综上，当时，函数的最小值为
当时，函数的最小值为
当时，函数的最小值为．
（22）解（I）由，得
由，得
由，得
由此猜想的一个通项公式：（）
（II）（i）用数学归纳法证明：
①当时，，不等式成立．
②假设当时不等式成立，即，那么
．
也就是说，当时，
据①和②，对于所有，有．
（ii）由及（i），对，有

……

于是，