2002年北京高考理科数学真题及答案.doc

2002年北京高考理科数学真题及答案参考公式：三角函数的积化和差公式 ; ; 正棱台、圆台的侧面积公式其中、分别表示上、下底面周长，表示斜高或母线长球体的体积公式 其中表示球的半径一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1满足条件的集合的个数是（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)42在平面直角坐标系中，已知两点，则的值是（ ）(A) (B) (C) (D)3下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是（ ）(A) (B) (C) (D) 4个直径都为的球，记它们的体积之和为，表面积之和为；一个直径为的球，记其体积为，表面积为，则（ ）(A)(B) (C) (D) 5已知某曲线的参数方程是，若以原点为极点，轴的正半轴为极轴，长度单位不便变，建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是（ ）(A) (B)(C) 6给定四条曲线：，其中与直线仅有一个交点的曲线是（ ）(A) (B) (C) (D) 7已知，且若，则的最大值是（ ）(A)6 (B) 5 (C) 4 (D)38若，则的值为（ ）(A)3 (B)-3 (C) -2 (D)912名学生分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（ ）(A)种 (B) 种 (C) 种 (D) 种10设命题：“直四棱柱中，平面与对角面垂直”；命题乙：“直四棱柱是正方体”，那么，甲是乙的（ ）(A)充分必要条件 (B)充分非必要条件 (C)必要非充分条件 (D)即非充分又非必要条件 11已知是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么不等式的解集是（ ）(A) (B) (C) (D) 12如图所示，是定义在上的四个函数，其中满足性质：“对中任意的和，任意，恒成立”的只有（ ）(A) (B) (C) (D) 二填空题：13从大到小的顺序是 14等差数列，中，公差不为零，且恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于 15关于直角在平面内的射影有如下判断：可能是的角；可能是锐角；可能是直角；可能是直角；可能是的角其中正确的序号是 （注：把你认为正确判断的序号都填上）16已知是直线上的动点，是圆的两条切线，是切点，是圆心，那么四边形面积的最小值为 三解答题：解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤17解不等式18如图，在多面体中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交与两点，上、下底面矩形的长、宽分别为与，且，两底面间的距离为（1）求侧面与底面所成二面角的大小；（2）证明：；（3）在估侧该多面体的体积时，经常运用近似公式来计算，已知它的体积公式是试判断与的大小关系，并加以证明（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）19数列由下列条件确定：，（1）证明：对，总有；（2）证明：对，总有；（3）若数列的极限存在，且大于零，求的值20在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题：用计算机求个不同的数的和，计算开始前，个数存贮在台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数计算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机器可同时完成上述工作为了用尽可能少的单位时间，即可完成计算，方法可用下表表示： 机器号初始时第一单位时间第二单位时间第三单位时间被读机号结 果被读机号结 果被读机号结 果1221（1）当时，至少需要多少个单位时间可完成计算？把你设计的方法填入下表机器号初始时第一单位时间第二单位时间第三单位时间被读机号结 果被读机号结 果被读机号结 果1234（2）当时，要使所有机器都得到，至少需要多少个单位时间可完成计算？（结论不要求证明）21已知，是的三个顶点（1）写出的重心，外心，垂心的坐标，并证明三点共线；（2）当直线与平行时，求顶点的轨迹22已知是定义在上的不恒为零的函数，且对于任意的都满足：（1）求的值；（2）判断的奇偶性，并证明你的结论；（3）若，求数列的前项的和参考解答 说明：一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。二. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。四. 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。一. 选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分。 1. B2. D3. B4. C5. D 6. D7. C8. A9. A10. C 11. B12. A二. 填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。 13. 14. 4 15. （1）（2）（3）（4）（5） 16. 三. 解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. 本小题主要考查不等式的解法等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力，满分12分。 解：原不等式 因为 又或 或 或 或 所以，原不等式组 因此，原不等式的解集为 18. 本小题主要考查直线、平面的位置关系，考查不等式的基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，满分12分。 （1）解：过作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，过作,垂足为 平面ABCD/平面， ， 为所求二面角的平面角 过作，垂足为H，由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形为等腰梯形 又 ，即所求二面角的大小为 （2）证明：AB、CD是矩形ABCD的一组对边，有AB/CD 又CD是面ABCD与面CDEF的交线 AB/面CDEF EF是面ABFE与面CDEF的交线 AB/EF AB是平面ABCD内的一条直线，EF在平面ABCD外 EF/面ABCD （3） 证明：， 19. 本小题主要考查数列、数列极限、不等式等基本知识，考查逻辑思维能力，满分12分。 （1）证明：由及可归纳证明（没有证明过程不扣分） 从而有 所以，当时，成立 （2）证法一：当时，因为， 所以 故当时，成立 证法二：当时，因为， 所以 故当时，成立 （3）解：记，则，且 由 得 即 由，解得 故 20. 本小题主要考查运用数学思想方法，分析和解决科学问题的能力，满分12分 （1）解：当时，只用2个单位时间即可完成计算 方法之一如下： （2）解：当时，至少需要7个单位时间才能完成计算 21. 本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力，满分13分 （1）解：由三顶点坐标O（0，0），B（1，0），C（b，c）（），可求得 重心G（，），外心F（，），垂心H（，） 当时，G、F、H三点的横坐标均为，故三点共线 当时，设G、H所在直线的斜率为，F、G所在直线的斜率为 因为 所以，G、F、H三点共线 综上可得，G、F、H三点共线 （2）解：若FH/OB，由，得 （，） 配方得，即 即（，） 所以，顶点C的轨迹是中心在（，0），长半轴长为，短半轴长为，且短轴在轴上的椭圆，除去（0，0），（1，0），（，），（，）四点 22. 本小题主要考查函数与数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力，满分13分 （1）解： 因为 所以 （2）是奇函数 证明：因为 所以 因此，为奇函数 （3）解法一： 由 猜测 下面用数学归纳法证明： 1. 当时，公式成立 2. 假设当时，成立 那么当时 ，公式仍成立 由上两步可知，对任意，成立 所以 因为， 所以 （） 因此（） 解法二：当时， 令，则 故 所以 所以 （以下同解法一）