2007年重庆高考文科数学真题及答案.doc

2007年重庆高考文科数学真题及答案

共5页，满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色铅字笔，将答案书写在答案卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么
如果事件A、B相互独立，那么
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）在等比数列{an}中，a2＝8，a1＝64，则公比q为
（A）2 （B）3 （C）4 （D）8
（2）设全集U＝|a、b、c、d|，A＝|a、c|，B=|b|，则A∩（CuB）＝
（A） （B）{a} （C）{c} （D）{a,c}
（3）垂直于同一平面的两条直线
（A）平行 （B）垂直 （C）相交 （D）异面
（4）（2x-1）2展开式中x2的系数为
（A）15 （B）60 （C）120 （D）240
（5）“-1＜x＜1”是“x2＜1”的
（A）充分必要条件 （B）充分但不必要条件
（C）必要但不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
（6）下列各式中，值为的是
（A） （B）
（C） （D）
（7）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为
（A） （B） （C） （D）
（8）若直线与圆相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°（其中O为原点），则k的值为
(A) -或 （B） （C） 或 （D）
（9）已知向量=（4，6），=（3，5），且⊥，∥，则向量=
（A） （B） （C） （D）
（10）设P（3，1）为二次函数的图象与其反函数的图象的一个交点，则
（A） （B）
（C） （D）
（11）设的等比中项，则a+3b的最大值为
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（12）已知以F1（2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为
（A） （B） （C） （D）
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡相应位置上。
（13）在△ABC中，AB=1,BC=2,B=60°，则AC＝ 。
（14）已知的最大值为 。
（15）要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为 。（以数字作答）
（16）函数的最小值为 。
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）
设甲乙两人每次射击命中目标的概率分别为，且各次射击相互独立。
（Ⅰ）若甲、乙各射击一次，求甲命中但乙未命中目标的概率；
（Ⅱ）若甲、乙各射击两次，求两命中目标的次数相等的概率。

（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分）
已知函数。
（Ⅰ）求f(x)的定义域；
（Ⅱ）若角a在第一象限且

（19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分。）
如题（19）图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB=1,BC=,AA2=2;点D在棱BB1上，BD＝BB1；B1E⊥A1D，垂足为E，求：

题（19）图
（Ⅰ）异面直线A1D与B1C1的距离；
（Ⅱ）四棱锥C-ABDE的体积。

20.（本小题满分12分）
用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）
如题（21）图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。

题（21）图
（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；
（Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。

（22）（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）
已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足Sn＞1，且

（Ⅰ）求｛an｝的通项公式；
（Ⅱ）设数列｛bn｝满足并记Tn为｛bn｝的前n项和，求证：

答案
一、选择题：每小题5分，满分60分。
（1）A（2）D（3）A（4）B（5）A（6）B（7）C（8）A（9）D（10）C
（11）B（12）C
二、填空题：每小题4分，满分16分。
（13）（14）9（15）288（16）1+2
三、解答题：满分74分
解：（Ⅰ）设A表示甲命中目标，B表示乙命中目标，则A、B相互独立，且P（A）＝，从而甲命中但乙未命中目标的概率为

（Ⅱ）设A1表示甲在两次射击中恰好命中k次，B1表示乙有两次射击中恰好命中l次。
依题意有

由独立性知两人命中次数相等的概率为

(18)（本小题13分）
解：（Ⅰ）由
故f(x)的定义域为
（Ⅱ）由已知条件得
从而
＝
＝
＝
（19）（本小题12分）
解法一：（Ⅰ）由直三棱柱的定义知B1C1⊥B1D，又因为∠ABC＝90°，因此B1C1⊥A1B1，从而B1C1⊥平面A1B1D，得B1C1⊥B1E。又B1E⊥A1D，
故B1E是异面直线B1C1与A1D的公垂线
由知
在Rt△A1B1D中，A2D＝
又因
故B1E=

（Ⅱ）由（Ⅰ）知B1C1⊥平面A1B1D，又BC∥B1C1，故BC⊥平面ABDE，即BC为四棱锥C-ABDE的高。从而所求四棱锥的体积V为
V＝VC-ABDE＝
其中S为四边形ABDE的面积。如答（19）图1，过E作EF⊥BD，垂足为F。

答（19）图1
在Rt△B1ED中，ED=

又因S△B1ED=
故EF=
因△A1AE的边A1A上的高故
S△A1AE＝
又因为S△A1BD＝从而
S＝S△A1AE-S△A1AE-S△A1B1D＝2-
所以
解法二：（Ⅱ）如答（19）图2，以B点为坐标原点O建立空间直角坐标系O-xyz，则

答（19）图2
A(0,1,0),A1(0,1,2),B(0,0,0).
B1(0,0,2),C1(,0,2),D(0,0, )
因此

设E（，y0，z0），则，
因此
又由题设B1E⊥A1D，故B1E是异面直线B1C1与A1D的公垂线。
下面求点E的坐标。
因B1E⊥A1D，即

又

联立（1）、（2）,解得,,即，。
所以.
（Ⅱ）由BC⊥AB，BC⊥DB，故BC⊥面ABDE.即BC为四棱锥C-ABDE的高.
下面求四边形ABDE的面积。
因为SABCD＝SABE+ SADE，
而SABE＝
SBDE＝
故SABCD＝
所以
（20）（本小题12分）
解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为
.
故长方体的体积为

从而
令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.
当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0，
故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。
从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.
答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。
（21）（本小题12分）
（Ⅰ）解：设抛物线的标准方程为，则，从而
因此焦点的坐标为（2，0）.
又准线方程的一般式为。
从而所求准线l的方程为。

答（21）图
（Ⅱ）解法一：如图（21）图作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C、D，则由抛物线的定义知
|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.
记A、B的横坐标分别为xxxz，则
|FA|＝|AC|＝解得，
类似地有，解得。
记直线m与AB的交点为E，则
所以。
故。
解法二：设，，直线AB的斜率为，则直线方程为。
将此式代入,得，故。
记直线m与AB的交点为，则
，
，
故直线m的方程为.
令y=0,得P的横坐标故
。
从而为定值。
（22）（本小题12分）
（Ⅰ）解：由，解得a1＝1或a1＝2，由假设a1＝S1＞1，因此a1＝2。
又由an+1＝Sn+1- Sn＝，
得an+1- an-3＝0或an+1＝-an
因an＞0，故an+1＝-an不成立，舍去。
因此an+1- an-3＝0。从而｛an｝是公差为3，首项为2的等差数列，故｛an｝的通项为an＝3n-2。
（Ⅱ）证法一：由可解得
；
从而。
因此。
令,则
。
因，故
.
特别的。从而，
即。
证法二：同证法一求得bn及Tn。
由二项式定理知当c＞0时，不等式
成立。
由此不等式有

＝。
证法三：同证法一求得bn及Tn。
令An＝，Bn＝，Cn＝。
因，因此。
从而

＞。