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2006年湖南高考文科数学真题及答案

本试题卷他选择题和非选择题（包括填空题和解答题）两部分. 选择题部分1至2页. 非选择题部分3至5页. 时量120分钟. 满分150分.
参考公式:
如果事件、互斥，那么
如果事件、相互独立，那么
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率是
球的体积公式 ,球的表面积公式，其中表示球的半径

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．函数的定义域是
　 A．(0,1］　　　　　B. (0,+∞)　　　　C. (1,+∞)　　　　D. ［1,+∞)
2．已知向量若时，∥；时，，则
　 A．　　　　　 B. 　　　
C. 　　 D.
3. 若的展开式中的系数是80，则实数a的值是
　 A．-2　　　　 　B. 　　 　　C. 　　　　D. 2
4．过半径为12的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°则该截面的面积是
A．π　　　　　　　 B. 2π　　　　 C.　3π　　 　　D.
5．“a=1”是“函数在区间［1，＋∞）上为增函数”的
　 A．充分不必要条件　　　　　　　　　　　 B. 必要不充分条件
　 C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　 D. 既不充分也不必要条件
6．在数字1,2，3与符号＋，－五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是
A．6 　　　　B. 12 　　　　C. 18　　　 D. 24
7．圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是
A．36 　　　 B. 18 　　　　 C. 　　　 D.
8．设点P是函数的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值，则的最小正周期是
A．2π 　　　　B. π 　　　　C. 　　　 D.
9．过双曲线M：的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且，则双曲线M的离心率是
A． 　　　 B. 　　 C. 　　　 D.
A
B
O
M
图1
10. 如图1：OM∥AB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且，则实数对（x,y）可以是
A．　　　　　B.
C. D.
二．填空题：本大题共5小题，每小题４分，共20分，把答案填在答题上部　对应题号的横上.
11. 若数列满足：，2，3….则　　　　　　.
12. 某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有40人，乙班50人. 现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是　　　　　分.
13. 已知则的最小值是　　　　　.
14. 过三棱柱 ABC－A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有　　　　　条.
15. 若是偶函数，则a= .

三．解答题：本大题共６小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分１２分）
已知求θ的值.

17.（本小题满分１２分）
某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检). 若安检不合格，则必须整改. 若整改后经复查仍不合格，则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算(结果精确到0.01)：
(Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率；
(Ⅱ)某煤矿不被关闭的概率；
Q
B
C
P
A
D
图2
(Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率.

18.（本小题满分１4分）
如图2，已知两个正四棱锥P-ABCD与
Q-ABCD的高都是2，AB=4.
(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD；
(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角；
(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.

19.（本小题满分14分）
已知函数.
（Ｉ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围.

20.（本小题满分14分）
在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m时Pi＞Pj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为an，如排列21的逆序数，排列321的逆序数.
（Ⅰ）求a4、a5，并写出an的表达式；
（Ⅱ）令，证明，n=1,2,….

21.（本小题满分14分）
已知椭圆C1：，抛物线C2：，且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.
（Ⅰ）当轴时，求p、m的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；
　（Ⅱ）若且抛物线C2的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程.

2006年湖南高考文科数学真题参考答案

1－10：DCDAABCBCDC
11. 12. 85 13. 5 14. 6 15. -3 .
16. 解　由已知条件得.
即.
解得.
由0＜θ＜π知，从而.
17. 解　（Ⅰ）每家煤矿必须整改的概率是1－0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的. 所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是.
（Ⅱ）解法一　某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是，从而煤矿不被关闭的概率是0.90.
解法二　某煤矿不被关闭包括两种情况：（i）该煤矿第一次安检合格；（ii）该煤矿第一次安检不合格，但整改后合格.
所以该煤矿不被关闭的概率是.
(Ⅲ)由题设（Ⅱ）可知，每家煤矿不被关闭的概率是0.9，且每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以到少关闭一家煤矿的概率是.
18. 解法一　（Ⅰ）连结AC、BD，设.
由P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.
从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ⊥平面ABCD.
（Ⅱ）由题设知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD.
Q
B
C
P
A
D
z
y
x
O
由（Ⅰ），QO⊥平面ABCD. 故可分别以直线CA、DB、QP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），由题条件，相关各点的坐标分别是P（0，0，2），A（，0，0），Q（0，0，－2），B（0，，0）.
所以

于是.
从而异面直线AQ与PB所成的角是.
(Ⅲ)由（Ⅱ），点D的坐标是（0，－，0），，
，设是平面QAD的一个法向量，由
得.
取x=1，得.
所以点P到平面QAD的距离.
解法二　（Ⅰ）取AD的中点，连结PM，QM.
因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，
所以AD⊥PM，AD⊥QM. 从而AD⊥平面PQM.
又平面PQM，所以PQ⊥AD.
同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD.
Q
B
C
P
A
D
O
M
（Ⅱ）连结AC、BD设，由PQ⊥平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上，从而P、A、Q、C四点共面.
因为OA＝OC，OP＝OQ，所以PAQC为平行四边形，AQ∥PC.
从而∠BPC（或其补角）是异面直线AQ与PB所成的角.
因为，
所以.
从而异面直线AQ与PB所成的角是.
(Ⅲ)连结OM，则.
所以∠PMQ＝90°，即PM⊥MQ.
由（Ⅰ）知AD⊥PM，所以PM⊥平面QAD. 从而PM的长是点P到平面QAD的距离.
在直角△PMO中，.
即点P到平面QAD的距离是.
19. 解　（Ⅰ）由题设知.
令.
当（i）a>0时，
若，则，所以在区间上是增函数；
若，则，所以在区间上是减函数；
若，则，所以在区间上是增函数；
（i i）当a＜0时，
若，则，所以在区间上是减函数；

若，则，所以在区间上是减函数；
若，则，所以在区间上是增函数；
若，则，所以在区间上是减函数.
（Ⅱ）由（Ⅰ）的讨论及题设知，曲线上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，且函数在处分别是取得极值，.
因为线段AB与x轴有公共点，所以.
即.所以.
故.
解得　－1≤a＜0或3≤a≤4.
即所求实数a的取值范围是[-1，0)∪[3，4].
20. 解　（Ⅰ）由已知得，
　　.
（Ⅱ）因为，
　　　　　所以.
又因为，
　　　　　所以
　　　　　　　　　　　　　 =.
综上，.
21. 解　（Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程为
x=1，从而点A的坐标为（1，）或（1，－）.
因为点A在抛物线上，所以，即.
此时C2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上.
（Ⅱ）解法一　当C2的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为.
由消去y得. ……①
设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,
则x1,x2是方程①的两根，x1＋x2＝.
A
y
B
O
x
因为AB既是过C1的右焦点的弦，又是过C2的焦点的弦，
所以，且
.
从而.
所以，即.
解得.
因为C2的焦点在直线上，所以.
即.
当时，直线AB的方程为；
当时，直线AB的方程为.
解法二　当C2的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程
为.
由消去y得. 　　　　　　　 ……①
因为C2的焦点在直线上，
所以，即.代入①有.
即. ……②
设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,
则x1,x2是方程②的两根，x1＋x2＝.
由消去y得. 　　……③

由于x1,x2也是方程③的两根，所以x1＋x2＝.
从而＝. 解得.
因为C2的焦点在直线上，所以.
即.
当时，直线AB的方程为；
当时，直线AB的方程为.
解法三　设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,
因为AB既过C1的右焦点，又是过C2的焦点，
所以.
即. ……①
由（Ⅰ）知，于是直线AB的斜率，　　 ……②
且直线AB的方程是,
所以. ……③
又因为，所以. ……④
将①、②、③代入④得，即.
当时，直线AB的方程为；
当时，直线AB的方程为.