2006年西藏高考理科数学真题及答案.doc
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2006年西藏高考理科数学真题及答案 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分) 1.(5分)设集合M={x|x2﹣x<0},N={x||x|<2},则( ) A.M∩N=∅ B.M∩N=M C.M∪N=M D.M∪N=R 2.(5分)已知函数y=ex的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称,则( ) A.f(2x)=e2x(x∈R) B.f(2x)=ln2•lnx(x>0) C.f(2x)=2ex(x∈R) D.f(2x)=lnx+ln2(x>0) 3.(5分)双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m=( ) A. B.﹣4 C.4 D. 4.(5分)如果复数(m2+i)(1+mi)是实数,则实数m=( ) A.1 B.﹣1 C. D. 5.(5分)函数的单调增区间为( ) A. B.(kπ,(k+1)π),k∈Z C. D. 6.(5分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数列,且c=2a,则cosB=( ) A. B. C. D. 7.(5分)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积是( ) A.16π B.20π C.24π D.32π 8.(5分)抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是( ) A. B. C. D.3 9.(5分)设平面向量1、2、3的和1+2+3=0.如果向量1、2、3,满足|i|=2|i|,且i顺时针旋转30°后与i同向,其中i=1,2,3,则( ) A.﹣1+2+3=0 B.1﹣2+3=0 C.1+2﹣3=0 D.1+2+3=0 10.(5分)设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13=( ) A.120 B.105 C.90 D.75 11.(5分)用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到的三角形的最大面积为( ) A. B. C. D.20cm2 12.(5分)设集合I={1,2,3,4,5}.选择I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数,则不同的选择方法共有( ) A.50种 B.49种 C.48种 D.47种 二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分) 13.(4分)已知正四棱锥的体积为12,底面对角线长为,则侧面与底面所成的二面角等于 °. 14.(4分)设z=2y﹣x,式中变量x、y满足下列条件:,则z的最大值为 . 15.(4分)安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日.不同的安排方法共有 种(用数字作答). 16.(4分)设函数.若f(x)+f′(x)是奇函数,则φ= . 三、解答题(共6小题,满分74分) 17.(12分)ABC的三个内角为A、B、C,求当A为何值时,取得最大值,并求出这个最大值. 18.(12分)A、B是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验.每个试验组由4只小白鼠组成,其中2只服用A,另2只服用B,然后观察疗效.若在一个试验组中,服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多,就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用A有效的概率为,服用B有效的概率为. (Ⅰ)求一个试验组为甲类组的概率; (Ⅱ)观察3个试验组,用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数,求ξ的分布列和数学期望. 19.(12分)如图,l1、l2是互相垂直的异面直线,MN是它们的公垂线段.点A、B在l1上,C在l2上,AM=MB=MN. (Ⅰ)证明AC⊥NB; (Ⅱ)若∠ACB=60°,求NB与平面ABC所成角的余弦值. 20.(12分)在平面直角坐标系xOy中,有一个以和为焦点、离心率为的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B,且向量.求: (Ⅰ)点M的轨迹方程; (Ⅱ)的最小值. 21.(14分)已知函数. (Ⅰ)设a>0,讨论y=f(x)的单调性; (Ⅱ)若对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1,求a的取值范围. 22.(12分)设数列{an}的前n项的和,n=1,2,3,… (Ⅰ)求首项a1与通项an; (Ⅱ)设,n=1,2,3,…,证明:. 2006年西藏高考理科数学真题及答案 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分) 1.(5分)设集合M={x|x2﹣x<0},N={x||x|<2},则( ) A.M∩N=∅ B.M∩N=M C.M∪N=M D.M∪N=R 【分析】M、N分别是二次不等式和绝对值不等式的解集,分别解出再求交集合并集. 【解答】解:集合M={x|x2﹣x<0}={x|0<x<1},N={x||x|<2}={x|﹣2<x<2},∴M∩N=M, 故选:B. 2.(5分)已知函数y=ex的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称,则( ) A.f(2x)=e2x(x∈R) B.f(2x)=ln2•lnx(x>0) C.f(2x)=2ex(x∈R) D.f(2x)=lnx+ln2(x>0) 【分析】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法. 根据函数y=ex的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称可知f(x)是y=ex的反函数,由此可得f(x)的解析式,进而获得f(2x). 【解答】解:函数y=ex的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称, 所以f(x)是y=ex的反函数,即f(x)=lnx, ∴f(2x)=ln2x=lnx+ln2(x>0), 选D. 3.(5分)双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m=( ) A. B.﹣4 C.4 D. 【分析】由双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,可求出该双曲线的方程,从而求出m的值. 【解答】解:双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍, ∴m<0,且双曲线方程为, ∴m=, 故选:A. 4.(5分)如果复数(m2+i)(1+mi)是实数,则实数m=( ) A.1 B.﹣1 C. D. 【分析】注意到复数a+bi(a∈R,b∈R)为实数的充要条件是b=0 【解答】解:复数(m2+i)(1+mi)=(m2﹣m)+(1+m3)i是实数, ∴1+m3=0,m=﹣1, 选B. 5.(5分)函数的单调增区间为( ) A. B.(kπ,(k+1)π),k∈Z C. D. 【分析】先利用正切函数的单调性求出函数单调增时x+的范围i,进而求得x的范围. 【解答】解:函数的单调增区间满足, ∴单调增区间为, 故选C 6.(5分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数列,且c=2a,则cosB=( ) A. B. C. D. 【分析】根据等比数列的性质,可得b=a,将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案. 【解答】解:△ABC中,a、b、c成等比数列,则b2=ac, 由c=2a,则b=a, =, 故选B. 7.(5分)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积是( ) A.16π B.20π C.24π D.32π 【分析】先求正四棱柱的底面边长,然后求其对角线,就是球的直径,再求其表面积. 【解答】解:正四棱柱高为4,体积为16,底面积为4,正方形边长为2, 正四棱柱的对角线长即球的直径为2, ∴球的半径为,球的表面积是24π, 故选C. 8.(5分)抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是( ) A. B. C. D.3 【分析】设抛物线y=﹣x2上一点为(m,﹣m2),该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为,由此能够得到所求距离的最小值. 【解答】解:设抛物线y=﹣x2上一点为(m,﹣m2), 该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为, 分析可得,当m=时,取得最小值为, 故选B. 9.(5分)设平面向量1、2、3的和1+2+3=0.如果向量1、2、3,满足|i|=2|i|,且i顺时针旋转30°后与i同向,其中i=1,2,3,则( ) A.﹣1+2+3=0 B.1﹣2+3=0 C.1+2﹣3=0 D.1+2+3=0 【分析】三个向量的和为零向量,在这三个向量前都乘以相同的系数,我们可以把系数提出公因式,括号中各项的和仍是题目已知中和为零向量的三个向量,当三个向量都按相同的方向和角度旋转时,相对关系不变. 【解答】解:向量1、2、3的和1+2+3=0, 向量1、2、3顺时针旋转30°后与1、2、3同向, 且|i|=2|i|, ∴1+2+3=0, 故选D. 10.(5分)设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13=( ) A.120 B.105 C.90 D.75 【分析】先由等差数列的性质求得a2,再由a1a2a3=80求得d即可. 【解答】解:{an}是公差为正数的等差数列, ∵a1+a2+a3=15,a1a2a3=80, ∴a2=5, ∴a1a3=(5﹣d)(5+d)=16, ∴d=3,a12=a2+10d=35 ∴a11+a12+a13=105 故选B. 11.(5分)用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到的三角形的最大面积为( ) A. B. C. D.20cm2 【分析】设三角形的三边分别为a,b,c,令p=,则p=10.海伦公式S=≤=故排除C,D,由于等号成立的条件为10﹣a=10﹣b=10﹣c,故“=”不成立,推测当三边长相等时面积最大,故考虑当a,b,c三边长最接近时面积最大,进而得到答案. 【解答】解:设三角形的三边分别为a,b,c, 令p=,则p=10.由海伦公式S= 知S=≤=<20<3 由于等号成立的条件为10﹣a=10﹣b=10﹣c,故“=”不成立, ∴S<20<3. 排除C,D. 由以上不等式推测,当三边长相等时面积最大,故考虑当a,b,c三边长最接近时面积最大,此时三边长为7,7,6,用2、5连接,3、4连接各为一边,第三边长为7组成三角形,此三角形面积最大,面积为, 故选B. 12.(5分)设集合I={1,2,3,4,5}.选择I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数,则不同的选择方法共有( ) A.50种 B.49种 C.48种 D.47种 【分析】解法一,根据题意,按A、B的元素数目不同,分9种情况讨论,分别计算其选法种数,进而相加可得答案; 解法二,根据题意,B中最小的数大于A中最大的数,则集合A、B中没有相同的元素,且都不是空集,按A、B中元素数目这和的情况,分4种情况讨论,分别计算其选法种数,进而相加可得答案. 【解答】解: 解法一,若集合A、B中分别有一个元素,则选法种数有C52=10种; 若集合A中有一个元素,集合B中有两个元素,则选法种数有C53=10种; 若集合A中有一个元素,集合B中有三个元素,则选法种数有C54=5种; 若集合A中有一个元素,集合B中有四个元素,则选法种数有C55=1种; 若集合A中有两个元素,集合B中有一个元素,则选法种数有C53=10种; 若集合A中有两个元素,集合B中有两个元素,则选法种数有C54=5种; 若集合A中有两个元素,集合B中有三个元素,则选法种数有C55=1种; 若集合A中有三个元素,集合B中有一个元素,则选法种数有C54=5种; 若集合A中有三个元素,集合B中有两个元素,则选法种数有C55=1种; 若集合A中有四个元素,集合B中有一个元素,则选法种数有C55=1种; 总计有49种,选B. 解法二:集合A、B中没有相同的元素,且都不是空集, 从5个元素中选出2个元素,有C52=10种选法,小的给A集合,大的给B集合; 从5个元素中选出3个元素,有C53=10种选法,再分成1、2两组,较小元素的一组给A集合,较大元素的一组的给B集合,共有2×10=20种方法; 从5个元素中选出4个元素,有C54=5种选法,再分成1、3;2、2;3、1两组,较小元素的一组给A集合,较大元素的一组的给B集合,共有3×5=15种方法; 从5个元素中选出5个元素,有C55=1种选法,再分成1、4;2、3;3、2;4、1两组,较小元素的一组给A集合,较大元素的一组的给B集合,共有4×1=4种方法; 总计为10+20+15+4=49种方法.选B. 二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分) 13.(4分)已知正四棱锥的体积为12,底面对角线长为,则侧面与底面所成的二面角等于 60 °. 【分析】先根据底面对角线长求出边长,从而求出底面积,再由体积求出正四棱锥的高,求出侧面与底面所成的二面角的平面角的正切值即可. 【解答】解:正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为,底面边长为2,底面积为12, 所以正四棱锥的高为3, 则侧面与底面所成的二面角的正切tanα=, ∴二面角等于60°, 故答案为60° 14.(4分)设z=2y﹣x,式中变量x、y满足下列条件:,则z的最大值为 11 . 【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=2y﹣x表示直线在y轴上的截距,只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可. 【解答】解:,在坐标系中画出图象, 三条线的交点分别是A(0,1),B(7,1),C(3,7), 在△ABC中满足z=2y﹣x的最大值是点C,代入得最大值等于11. 故填:11. 15.(4分)安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日.不同的安排方法共有 2400 种(用数字作答). 【分析】本题是一个分步计数问题,先安排甲、乙两人在假期的后5天值班,有A52种排法,其余5人再进行排列,有A55种排法,根据分步计数原理得到结果. 【解答】解:由题意知本题是一个分步计数问题, 首先安排甲、乙两人在假期的后5天值班,有A52=20种排法, 其余5人再进行排列,有A55=120种排法, ∴根据分步计数原理知共有20×120=2400种安排方法. 故答案为:2400 16.(4分)设函数.若f(x)+f′(x)是奇函数,则φ= . 【分析】对函数求导结合两角差的正弦公式,代入整理可得,,根据奇函数的性质可得x=0时函数值为0,代入可求φ的值 【解答】解:, 则f(x)+f′(x)=,为奇函数, 令g(x)=f(x)+f′(x),即函数g(x)为奇函数, g(0)=0⇒2sin(φ)=0, ∵0<φ<π, ∴φ=. 故答案为:. 三、解答题(共6小题,满分74分) 17.(12分)ABC的三个内角为A、B、C,求当A为何值时,取得最大值,并求出这个最大值. 【分析】利用三角形中内角和为π,将三角函数变成只含角A,再利用三角函数的二倍角公式将函数化为只含角,利用二次函数的最值求出最大值 【解答】解:由A+B+C=π,得=﹣, 所以有cos=sin. cosA+2cos=cosA+2sin=1﹣2sin2+2sin =﹣2(sin﹣)2+ 当sin=,即A=时,cosA+2cos取得最大值为 故最大值为 18.(12分)A、B是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验.每个试验组由4只小白鼠组成,其中2只服用A,另2只服用B,然后观察疗效.若在一个试验组中,服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多,就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用A有效的概率为,服用B有效的概率为. (Ⅰ)求一个试验组为甲类组的概率; (Ⅱ)观察3个试验组,用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数,求ξ的分布列和数学期望. 【分析】(1)由题意知本题是一个独立重复试验,根据所给的两种药物对小白鼠有效的概率,计算出小白鼠有效的只数的概率,对两种药物有效的小白鼠进行比较,得到甲类组的概率. (2)由题意知本试验是一个甲类组的概率不变,实验的条件不变,可以看做是一个独立重复试验,所以变量服从二项分布,根据二项分布的性质写出分布列和期望. 【解答】解:(1)设Ai表示事件“一个试验组中,服用A有效的小鼠有i只“,i=0,1,2, Bi表示事件“一个试验组中,服用B有效的小鼠有i只“,i=0,1,2, 依题意有:P(A1)=2××=,P(A2)=×=.P(B0)=×=, P(B1)=2××=,所求概率为: P=P(B0•A1)+P(B0•A2)+P(B1•A2) =×+×+×= (Ⅱ)ξ的可能值为0,1,2,3且ξ~B(3,). P(ξ=0)=()3=, P(ξ=1)=C31××()2=, P(ξ=2)=C32×()2×=, P(ξ=3)=()3= ∴ξ的分布列为: ξ 0 1 2 3 P ∴数学期望Eξ=3×=. 19.(12分)如图,l1、l2是互相垂直的异面直线,MN是它们的公垂线段.点A、B在l1上,C在l2上,AM=MB=MN. (Ⅰ)证明AC⊥NB; (Ⅱ)若∠ACB=60°,求NB与平面ABC所成角的余弦值. 【分析】(1)欲证AC⊥NB,可先证BN⊥面ACN,根据线面垂直的判定定理只需证AN⊥BN,CN⊥BN即可; (2)易证N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心,连接BH,∠NBH为NB与平面ABC所成的角,在Rt△NHB中求出此角即可. 【解答】解:(Ⅰ)由已知l2⊥MN,l2⊥l1,MN∩l1=M,可得l2⊥平面ABN. 由已知MN⊥l1,AM=MB=MN, 可知AN=NB且AN⊥NB. 又AN为AC在平面ABN内的射影. ∴AC⊥NB (Ⅱ)∵AM=MB=MN,MN是它们的公垂线段, 由中垂线的性质可得AN=BN, ∴Rt△CAN≌Rt△CNB, ∴AC=BC,又已知∠ACB=60°, 因此△ABC为正三角形. ∵Rt△ANB≌Rt△CNB, ∴NC=NA=NB,因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心, 连接BH,∠NBH为NB与平面ABC所成的角. 在Rt△NHB中,cos∠NBH===. 20.(12分)在平面直角坐标系xOy中,有一个以和为焦点、离心率为的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B,且向量.求: (Ⅰ)点M的轨迹方程; (Ⅱ)的最小值. 【分析】(1)利用相关点法求轨迹方程,设P(x0,y0),M(x,y),利用点M的坐标来表示点P的坐标,最后根据x0,y0满足C的方程即可求得; (2)先将用含点M的坐标的函数来表示,再利用基本不等式求此函数的最小值即可. 【解答】解:(I)椭圆方程可写为:+=1式中a>b>0,且得a2=4,b2=1, 所以曲线C的方程为:x2+=1(x>0,y>0).y=2(0<x<1)y'=﹣ 设P(x0,y0),因P在C上,有0<x0<1,y0=2,y'|x=x0=﹣,得切线AB的方程为: y=﹣(x﹣x0)+y0. 设A(x,0)和B(0,y),由切线方程得x=,y=. 由=+得M的坐标为(x,y),由x0,y0满足C的方程,得点M的轨迹方程为: +=1(x>1,y>2) (Ⅱ)||2=x2+y2,y2==4+, ∴||2=x2﹣1++5≥4+5=9. 且当x2﹣1=,即x=>1时,上式取等号. 故||的最小值为3. 21.(14分)已知函数. (Ⅰ)设a>0,讨论y=f(x)的单调性; (Ⅱ)若对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1,求a的取值范围. 【分析】(Ⅰ)根据分母不为0得到f(x)的定义域,求出f'(x),利用a的范围得到导函数的正负讨论函数的增减性即可得到f(x)的单调区间; (Ⅱ)若对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1即要讨论当0<a≤2时,当a>2时,当a≤0时三种情况讨论得到a的取值范围. 【解答】解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(﹣∞,1)∪(1,+∞).对f(x)求导数得f'(x)=e﹣ax. (ⅰ)当a=2时,f'(x)=e﹣2x,f'(x)在(﹣∞,0),(0,1)和(1,+∞)均大于0, 所以f(x)在(﹣∞,1),(1,+∞)为增函数. (ⅱ)当0<a<2时,f'(x)>0,f(x)在(﹣∞,1),(1,+∞)为增函数. (ⅲ)当a>2时,0<<1,令f'(x)=0, 解得x1=,x2=. 当x变化时,f′(x)和f(x)的变化情况如下表: x (1,+∞) f′(x) + ﹣ + + f(x) ↑ ↓ ↑ ↑ f(x)在(﹣∞,),(,1),(1,+∞)为增函数,f(x)在(,)为减函数. (Ⅱ)(ⅰ)当0<a≤2时,由(Ⅰ)知:对任意x∈(0,1)恒有f(x)>f(0)=1. (ⅱ)当a>2时,取x0=∈(0,1),则由(Ⅰ)知f(x0)<f(0)=1 (ⅲ)当a≤0时,对任意x∈(0,1),恒有>1且e﹣ax≥1,得f(x)=e﹣ax≥>1. 综上当且仅当a∈(﹣∞,2]时,对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1. 22.(12分)设数列{an}的前n项的和,n=1,2,3,… (Ⅰ)求首项a1与通项an; (Ⅱ)设,n=1,2,3,…,证明:. 【分析】对于(Ⅰ)首先由数列{an}的前n项的和求首项a1与通项an,可先求出Sn﹣1,然后有an=Sn﹣Sn﹣1,公比为4的等比数列,从而求解; 对于(Ⅱ)已知,n=1,2,3,…,将an=4n﹣2n代入Sn=an﹣×2n+1+,n=1,2,3,得Sn=×(4n﹣2n)﹣×2n+1+=×(2n+1﹣1)(2n+1﹣2) 然后再利用求和公式进行求解. 【解答】解:(Ⅰ)由Sn=an﹣×2n+1+,n=1,2,3,①得a1=S1=a1﹣×4+ 所以a1=2. 再由①有Sn﹣1=an﹣1﹣×2n+,n=2,3,4, 将①和②相减得:an=Sn﹣Sn﹣1=(an﹣an﹣1)﹣×(2n+1﹣2n),n=2,3, 整理得:an+2n=4(an﹣1+2n﹣1),n=2,3, 因而数列{an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即:an+2n=4×4n﹣1=4n,n=1,2,3, 因而an=4n﹣2n,n=1,2,3, (Ⅱ)将an=4n﹣2n代入①得Sn=×(4n﹣2n)﹣×2n+1+=×(2n+1﹣1)(2n+1﹣2) =×(2n+1﹣1)(2n﹣1) Tn==×=×(﹣) 所以,=﹣)=×(﹣)<(1﹣)- 配套讲稿:
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