2015考研数学辅导4无穷级数解析.pptx

无穷级数无穷级数 20152015考研数学培训考研数学培训一、常数项级数敛散性的判别一、常数项级数敛散性的判别 级数级数主主要要内内容容二、幂级数的收敛特性与和函数的性质二、幂级数的收敛特性与和函数的性质三、求收敛域与级数的和三、求收敛域与级数的和四、函数的幂级数展开四、函数的幂级数展开五、傅里叶级数五、傅里叶级数考研数学考研数学级数级数互为逆过程，但互为逆过程，但是方法完全类似是方法完全类似考研数学考研数学级数级数第一部分第一部分主要知识回顾主要知识回顾考研数学考研数学级数级数一、常数项级数敛散性的判别一、常数项级数敛散性的判别1 1、基本概念、性质与重要级数、基本概念、性质与重要级数（1 1）、基本概念）、基本概念级数级数常数项级数常数项级数级数的部分和级数的部分和考研数学考研数学级数级数一、常数项级数敛散性的判别一、常数项级数敛散性的判别1 1、基本概念、性质与重要级数、基本概念、性质与重要级数（1 1）、基本概念）、基本概念（2 2）、基本性质）、基本性质绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛结论结论:级数的每一项同乘一个非零常数级数的每一项同乘一个非零常数,敛散性不变敛散性不变.考研数学考研数学级数级数一、常数项级数敛散性的判别一、常数项级数敛散性的判别1 1、基本概念、性质与重要级数、基本概念、性质与重要级数（2 2）、基本性质）、基本性质结论结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减.注：收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛注：收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.性质性质5 5 级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件考研数学考研数学级数级数一、常数项级数敛散性的判别一、常数项级数敛散性的判别1 1、基本概念、性质与重要级数、基本概念、性质与重要级数（2 2）、基本性质）、基本性质1 10 0.如果级数的一般项不趋于零如果级数的一般项不趋于零,则级数发散；则级数发散；2 20 0.必要条件不充分。必要条件不充分。考研数学考研数学级数级数一、常数项级数敛散性的判别一、常数项级数敛散性的判别1 1、基本概念、性质与重要级数、基本概念、性质与重要级数（3 3）、重要级数）、重要级数调和级数，发散调和级数，发散交错级数，条件收敛交错级数，条件收敛考研数学考研数学级数级数一、常数项级数敛散性的判别一、常数项级数敛散性的判别1 1、基本概念、性质与重要级数、基本概念、性质与重要级数（3 3）、重要级数）、重要级数考研数学考研数学级数级数一、常数项级数敛散性的判别一、常数项级数敛散性的判别2 2、级数敛散性的判别、级数敛散性的判别（1 1）、正项级数）、正项级数定义定义:这种级数称为正项级数这种级数称为正项级数.定理定理正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件:部分和数列部分和数列 为单调增加数列为单调增加数列.比较审敛法比较审敛法一般形式一般形式考研数学考研数学级数级数一、常数项级数敛散性的判别一、常数项级数敛散性的判别2 2、级数敛散性的判别、级数敛散性的判别（1 1）、正项级数）、正项级数考研数学考研数学级数级数一、常数项级数敛散性的判别一、常数项级数敛散性的判别比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式:设设 =1nnu与与 =1nnv都是正项级数都是正项级数,如果如果则则(1)(1)当当时时,二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性;(2)(2)当当时，若时，若收敛收敛,则则收敛收敛;(3)(3)当当时时,若若 =1nnv发散发散,则则 =1nnu发散发散;2 2、级数敛散性的判别、级数敛散性的判别（1 1）、正项级数）、正项级数一、常数项级数敛散性的判别一、常数项级数敛散性的判别2 2、级数敛散性的判别、级数敛散性的判别（1 1）、正项级数）、正项级数考研数学考研数学级数级数一、常数项级数敛散性的判别一、常数项级数敛散性的判别2 2、级数敛散性的判别、级数敛散性的判别（1 1）、正项级数）、正项级数考研数学考研数学级数级数比值审敛法的优点比值审敛法的优点:不必找参考级数不必找参考级数定义定义：正、负项相间的级数称为交错级数。正、负项相间的级数称为交错级数。一、常数项级数敛散性的判别一、常数项级数敛散性的判别2 2、级数敛散性的判别、级数敛散性的判别（2 2）、交错级数）、交错级数考研数学考研数学级数级数考研数学考研数学多元函数微分学多元函数微分学一、常数项级数敛散性的判别一、常数项级数敛散性的判别级数级数发散发散必要条件必要条件或或或或或或或或是否为几何级数是否为几何级数是是是否为是否为p p级数级数是否为是否为正项级数正项级数是否为是否为变号级数变号级数否否用比较法、比值法、根值法判别用比较法、比值法、根值法判别否否是否满足是否满足莱布尼兹定理莱布尼兹定理用定义、级数的性质等其他方法判别敛散性用定义、级数的性质等其他方法判别敛散性 为正项级数为正项级数否否当当 收敛；当收敛；当 发散发散是是是是方法方法是是是是是否收敛是否收敛是是当当 收敛；当收敛；当 发散发散绝对收敛绝对收敛是否为是否为交错级数交错级数是是是是条件收敛条件收敛否否流程图流程图考研数学考研数学级数级数二、幂级数的收敛特性与和函数的性质二、幂级数的收敛特性与和函数的性质1 1、幂级数的收敛特性、幂级数的收敛特性（1 1）、概念）、概念注意注意函数项级数在某点函数项级数在某点x x的收敛问题的收敛问题,实质上实质上是数项级数的收敛问题是数项级数的收敛问题.和函数和函数在收敛域上在收敛域上,函数项级数的和是函数项级数的和是x的函数的函数)(xs称称)(xs为函数项级数的为函数项级数的 和函数。和函数。考研数学考研数学级数级数二、幂级数的收敛特性与和函数的性质二、幂级数的收敛特性与和函数的性质1 1、幂级数的收敛特性、幂级数的收敛特性（1 1）、概念）、概念幂级数幂级数:考研数学考研数学级数级数二、幂级数的收敛特性与和函数的性质二、幂级数的收敛特性与和函数的性质1 1、幂级数的收敛特性、幂级数的收敛特性（2 2）、幂级数收敛性质与收敛半径）、幂级数收敛性质与收敛半径几何几何说明说明收敛区域收敛区域发散区域发散区域发散区域发散区域0推论推论考研数学考研数学级数级数二、幂级数的收敛特性与和函数的性质二、幂级数的收敛特性与和函数的性质1 1、幂级数的收敛特性、幂级数的收敛特性（2 2）、幂级数收敛性质与收敛半径）、幂级数收敛性质与收敛半径推论中的推论中的正数正数R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.规定规定定义定义:正数正数R R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.幂级数的收敛域为如下形式之一：幂级数的收敛域为如下形式之一：考研数学考研数学级数级数二、幂级数的收敛特性与和函数的性质二、幂级数的收敛特性与和函数的性质1 1、幂级数的收敛特性、幂级数的收敛特性（2 2）、幂级数收敛性质与收敛半径）、幂级数收敛性质与收敛半径.和函数的运算性质和函数的运算性质:考研数学考研数学级数级数二、幂级数的收敛特性与和函数的性质二、幂级数的收敛特性与和函数的性质1 1、幂级数的收敛特性、幂级数的收敛特性（2 2）、幂级数收敛性质与收敛半径）、幂级数收敛性质与收敛半径(收敛半径不变收敛半径不变)(收敛半径不变，但收敛域会可能会改变收敛半径不变，但收敛域会可能会改变).和函数的运算性质和函数的运算性质:考研数学考研数学级数级数二、幂级数的收敛特性与和函数的性质二、幂级数的收敛特性与和函数的性质1 1、幂级数的收敛特性、幂级数的收敛特性（2 2）、幂级数收敛性质与收敛半径）、幂级数收敛性质与收敛半径(收敛半径不变收敛半径不变)(收敛半径不变，但收敛域会可能会改变收敛半径不变，但收敛域会可能会改变)考研数学考研数学级数级数三、求收敛域与级数的和三、求收敛域与级数的和具体步骤如下：具体步骤如下：考研数学考研数学级数级数二、幂级数的收敛特性与和函数的性质二、幂级数的收敛特性与和函数的性质对于缺项级数的收敛域通常有两种方法：对于缺项级数的收敛域通常有两种方法：A A、换元法、换元法B B、直接当做一般常数项级数来处理，通常使用正项级数的、直接当做一般常数项级数来处理，通常使用正项级数的 比值法、根值法，再利用阿贝尔定理判别出收敛半径。比值法、根值法，再利用阿贝尔定理判别出收敛半径。考研数学考研数学级数级数二、幂级数的收敛特性与和函数的性质二、幂级数的收敛特性与和函数的性质注：对于某些幂级数，可以采用间接做法。注：对于某些幂级数，可以采用间接做法。考研数学考研数学级数级数二、幂级数的收敛特性与和函数的性质二、幂级数的收敛特性与和函数的性质考研数学考研数学级数级数40为为f(x)的的泰勒级数泰勒级数 .则称则称当当x0=0 时时,泰勒级数又称为泰勒级数又称为麦克劳林级数麦克劳林级数 .若函数若函数的某邻域内具有任意阶导数的某邻域内具有任意阶导数,考研数学考研数学级数级数四、函数的幂级数展开四、函数的幂级数展开1 1、泰勒级数与麦克劳林级数、泰勒级数与麦克劳林级数展开方法展开方法直接展开法直接展开法间接展开法间接展开法定理定理各阶导数各阶导数,则则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的在该邻域内能展开成泰勒级数的充要充要条件条件是是设函数设函数f(x)在点在点 x0 的某一邻域的某一邻域 内具有内具有考研数学考研数学级数级数四、函数的幂级数展开四、函数的幂级数展开2 2、幂级数展开的条件、幂级数展开的条件3 3、函数展开成幂级数的展开方法、函数展开成幂级数的展开方法 利用泰勒公式利用泰勒公式 利用已知其级数展开式利用已知其级数展开式的函数展开的函数展开考研数学考研数学级数级数四、函数的幂级数展开四、函数的幂级数展开3 3、函数展开成幂级数的展开方法、函数展开成幂级数的展开方法间接展开法间接展开法常用函数的幂级数展开式如下：常用函数的幂级数展开式如下：考研数学考研数学级数级数四、函数的幂级数展开四、函数的幂级数展开间接展开法间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开利用幂级数的性质及已知展开式的函数式的函数.3 3、函数展开成幂级数的展开方法、函数展开成幂级数的展开方法当当m=1时时常用函数的幂级数展开式如下：常用函数的幂级数展开式如下：考研数学考研数学级数级数四、函数的幂级数展开四、函数的幂级数展开3 3、函数展开成幂级数的展开方法、函数展开成幂级数的展开方法考研数学考研数学级数级数五、傅里叶级数五、傅里叶级数傅里叶级数傅里叶级数傅傅里里叶叶系系数数考研数学考研数学级数级数五、傅里叶级数五、傅里叶级数考研数学考研数学级数级数第二部分第二部分考题选讲考题选讲考研数学考研数学级数级数一、级数敛散性的判别一、级数敛散性的判别考题选讲考题选讲数一：数一：20112011、一、一(2)(2)例例1 1一、级数敛散性的判别一、级数敛散性的判别考研数学考研数学级数级数选选C数一：数一：19981998、八、八例例2 2一、级数敛散性的判别一、级数敛散性的判别考研数学考研数学级数级数收敛收敛数三：数三：20032003、二、二(3)(3)例例3 3一、级数敛散性的判别一、级数敛散性的判别考研数学考研数学级数级数选选B数一：数一：20042004、二、二(9)(9)例例4 4一、级数敛散性的判别一、级数敛散性的判别考研数学考研数学级数级数选选B一、级数敛散性的判别一、级数敛散性的判别考研数学考研数学级数级数数三：数三：20062006、二、二(9)(9)例例5 5即：数一：即：数一：20062006、二、二(9)(9)选选D数三：数三：20042004二二(10)(10)例例6 6一、级数敛散性的判别一、级数敛散性的判别考研数学考研数学级数级数选选B数一：数一：19951995、二、二(4)(4)例例7 7一、级数敛散性的判别一、级数敛散性的判别考研数学考研数学级数级数选选C数一：数一：19961996、二、二(3)(3)例例8 8一、级数敛散性的判别一、级数敛散性的判别考研数学考研数学级数级数选选A数三：数三：19961996、二、二(2)(2)例例9 9一、级数敛散性的判别一、级数敛散性的判别考研数学考研数学级数级数选选A考研数学考研数学级数级数二、幂级数的收敛性与级数的和二、幂级数的收敛性与级数的和考题选讲考题选讲二、幂级数的收敛性与级数的和二、幂级数的收敛性与级数的和考研数学考研数学级数级数数三：数三：20092009、二、二(11)(11)例例1 1【解析解析】设设。所以，该幂级数的收敛半径为所以，该幂级数的收敛半径为二、幂级数的收敛性与级数的和二、幂级数的收敛性与级数的和考研数学考研数学级数级数数一：数一：19951995、一、一(4)(4)例例2 2使用使用阿贝尔定理阿贝尔定理二、幂级数的收敛性与级数的和二、幂级数的收敛性与级数的和考研数学考研数学级数级数数一：数一：20102010、三、三(18)(18)例例3 3二、幂级数的收敛性与级数的和二、幂级数的收敛性与级数的和考研数学考研数学级数级数数一：数一：20082008、二、二(11)(11)例例4 4二、幂级数的收敛性与级数的和二、幂级数的收敛性与级数的和考研数学考研数学级数级数数一：数一：19961996、五题、五题例例5 5法二：转化为相应的幂级数，先找到幂级数的和函数法二：转化为相应的幂级数，先找到幂级数的和函数二、幂级数的收敛性与级数的和二、幂级数的收敛性与级数的和考研数学考研数学级数级数数一：数一：20052005、三、三(16)(16)例例6 6二、幂级数的收敛性与级数的和二、幂级数的收敛性与级数的和考研数学考研数学级数级数数一：数一：20022002、七题、七题例例7 7就是就是 特解特解二、幂级数的收敛性与级数的和二、幂级数的收敛性与级数的和考研数学考研数学级数级数数三：数三：19991999、一、一(2)(2)例例8 8利用结论利用结论 ，再逐项求导。，再逐项求导。二、幂级数的收敛性与级数的和二、幂级数的收敛性与级数的和考研数学考研数学级数级数数三：数三：20002000、七题、七题例例9 9然后，利用结论然后，利用结论 ，先逐项求导，先逐项求导，再积分。再积分。首先计算定积分，得到首先计算定积分，得到二、幂级数的收敛性与级数的和二、幂级数的收敛性与级数的和考研数学考研数学级数级数数三：数三：20032003、六题、六题例例1010【分析分析】先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当注意当x=0 x=0时和为时和为1 1；求出和函数后，再按通常；求出和函数后，再按通常 方法求极值。方法求极值。考研数学考研数学级数级数三、幂级数的展开三、幂级数的展开考题选讲考题选讲数三：数三：20072007、三、三(20)(20)例例1 1三、幂级数的展开三、幂级数的展开考研数学考研数学级数级数的幂级数，并求收敛区间。的幂级数，并求收敛区间。将函数将函数展开成展开成【分析分析】数一：数一：20062006、三、三(17)(17)例例2 2三、幂级数的展开三、幂级数的展开考研数学考研数学级数级数【分析分析】数一：数一：20012001、五题、五题例例3 3三、幂级数的展开三、幂级数的展开考研数学考研数学级数级数【分析分析】直接展开直接展开arctanx有困难，但是有困难，但是(arctanx)教容易，教容易，可以先展开其导数，再逐项积分，即可求解问题。可以先展开其导数，再逐项积分，即可求解问题。要求记住常见函数的幂级数。要求记住常见函数的幂级数。考研数学考研数学级数级数四、傅里叶级数四、傅里叶级数考题选讲考题选讲数三：数三：20032003、一、一(3)(3)例例3 3四、傅里叶级数四、傅里叶级数考研数学考研数学级数级数【分析分析】属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算。本质上转化为定积分的计算。（3 3）设）设，则，则=.1祝大家祝大家祝大家祝大家考研成功考研成功考研成功考研成功!