2015考研数学辅导4无穷级数解析.pptx
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1、 无穷级数无穷级数 20152015考研数学培训考研数学培训一、常数项级数敛散性的判别一、常数项级数敛散性的判别 级数级数主主要要内内容容二、幂级数的收敛特性与和函数的性质二、幂级数的收敛特性与和函数的性质三、求收敛域与级数的和三、求收敛域与级数的和四、函数的幂级数展开四、函数的幂级数展开五、傅里叶级数五、傅里叶级数考研数学考研数学级数级数互为逆过程,但互为逆过程,但是方法完全类似是方法完全类似考研数学考研数学级数级数第一部分第一部分主要知识回顾主要知识回顾考研数学考研数学级数级数一、常数项级数敛散性的判别一、常数项级数敛散性的判别1 1、基本概念、性质与重要级数、基本概念、性质与重要级数(1
2、 1)、基本概念)、基本概念级数级数常数项级数常数项级数级数的部分和级数的部分和考研数学考研数学级数级数一、常数项级数敛散性的判别一、常数项级数敛散性的判别1 1、基本概念、性质与重要级数、基本概念、性质与重要级数(1 1)、基本概念)、基本概念(2 2)、基本性质)、基本性质绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛结论结论:级数的每一项同乘一个非零常数级数的每一项同乘一个非零常数,敛散性不变敛散性不变.考研数学考研数学级数级数一、常数项级数敛散性的判别一、常数项级数敛散性的判别1 1、基本概念、性质与重要级数、基本概念、性质与重要级数(2 2)、基本性质)、基本性质结论结论:收敛级数可以逐项相加
3、与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减.注:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛注:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.性质性质5 5 级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件考研数学考研数学级数级数一、常数项级数敛散性的判别一、常数项级数敛散性的判别1 1、基本概念、性质与重要级数、基本概念、性质与重要级数(2 2)、基本性质)、基本性质1 10 0.如果级数的一般项不趋于零如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;则级数发散;2 20 0.必要条件不充分。必要条件不充分。考研数学考研数学级数级数一、常数项级数敛散性的判别一、常数项级数敛散性的判别1 1、基本概念、性质与重要级数、基本概念、性质
4、与重要级数(3 3)、重要级数)、重要级数调和级数,发散调和级数,发散交错级数,条件收敛交错级数,条件收敛考研数学考研数学级数级数一、常数项级数敛散性的判别一、常数项级数敛散性的判别1 1、基本概念、性质与重要级数、基本概念、性质与重要级数(3 3)、重要级数)、重要级数考研数学考研数学级数级数一、常数项级数敛散性的判别一、常数项级数敛散性的判别2 2、级数敛散性的判别、级数敛散性的判别(1 1)、正项级数)、正项级数定义定义:这种级数称为正项级数这种级数称为正项级数.定理定理正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件:部分和数列部分和数列 为单调增加数列为单调增加数列.比较审敛法比较审敛法
5、一般形式一般形式考研数学考研数学级数级数一、常数项级数敛散性的判别一、常数项级数敛散性的判别2 2、级数敛散性的判别、级数敛散性的判别(1 1)、正项级数)、正项级数考研数学考研数学级数级数一、常数项级数敛散性的判别一、常数项级数敛散性的判别比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式:设设 =1nnu与与 =1nnv都是正项级数都是正项级数,如果如果则则(1)(1)当当时时,二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性;(2)(2)当当时,若时,若收敛收敛,则则收敛收敛;(3)(3)当当时时,若若 =1nnv发散发散,则则 =1nnu发散发散;2 2、级数敛散性的判别、级数敛散性的判别(1 1)、正
6、项级数)、正项级数一、常数项级数敛散性的判别一、常数项级数敛散性的判别2 2、级数敛散性的判别、级数敛散性的判别(1 1)、正项级数)、正项级数考研数学考研数学级数级数一、常数项级数敛散性的判别一、常数项级数敛散性的判别2 2、级数敛散性的判别、级数敛散性的判别(1 1)、正项级数)、正项级数考研数学考研数学级数级数比值审敛法的优点比值审敛法的优点:不必找参考级数不必找参考级数定义定义:正、负项相间的级数称为交错级数。正、负项相间的级数称为交错级数。一、常数项级数敛散性的判别一、常数项级数敛散性的判别2 2、级数敛散性的判别、级数敛散性的判别(2 2)、交错级数)、交错级数考研数学考研数学级数
7、级数考研数学考研数学多元函数微分学多元函数微分学一、常数项级数敛散性的判别一、常数项级数敛散性的判别级数级数发散发散必要条件必要条件或或或或或或或或是否为几何级数是否为几何级数是是是否为是否为p p级数级数是否为是否为正项级数正项级数是否为是否为变号级数变号级数否否用比较法、比值法、根值法判别用比较法、比值法、根值法判别否否是否满足是否满足莱布尼兹定理莱布尼兹定理用定义、级数的性质等其他方法判别敛散性用定义、级数的性质等其他方法判别敛散性 为正项级数为正项级数否否当当 收敛;当收敛;当 发散发散是是是是方法方法是是是是是否收敛是否收敛是是当当 收敛;当收敛;当 发散发散绝对收敛绝对收敛是否为是
8、否为交错级数交错级数是是是是条件收敛条件收敛否否流程图流程图考研数学考研数学级数级数二、幂级数的收敛特性与和函数的性质二、幂级数的收敛特性与和函数的性质1 1、幂级数的收敛特性、幂级数的收敛特性(1 1)、概念)、概念注意注意函数项级数在某点函数项级数在某点x x的收敛问题的收敛问题,实质上实质上是数项级数的收敛问题是数项级数的收敛问题.和函数和函数在收敛域上在收敛域上,函数项级数的和是函数项级数的和是x的函数的函数)(xs称称)(xs为函数项级数的为函数项级数的 和函数。和函数。考研数学考研数学级数级数二、幂级数的收敛特性与和函数的性质二、幂级数的收敛特性与和函数的性质1 1、幂级数的收敛特
9、性、幂级数的收敛特性(1 1)、概念)、概念幂级数幂级数:考研数学考研数学级数级数二、幂级数的收敛特性与和函数的性质二、幂级数的收敛特性与和函数的性质1 1、幂级数的收敛特性、幂级数的收敛特性(2 2)、幂级数收敛性质与收敛半径)、幂级数收敛性质与收敛半径几何几何说明说明收敛区域收敛区域发散区域发散区域发散区域发散区域0推论推论考研数学考研数学级数级数二、幂级数的收敛特性与和函数的性质二、幂级数的收敛特性与和函数的性质1 1、幂级数的收敛特性、幂级数的收敛特性(2 2)、幂级数收敛性质与收敛半径)、幂级数收敛性质与收敛半径推论中的推论中的正数正数R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.规定
10、规定定义定义:正数正数R R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.幂级数的收敛域为如下形式之一:幂级数的收敛域为如下形式之一:考研数学考研数学级数级数二、幂级数的收敛特性与和函数的性质二、幂级数的收敛特性与和函数的性质1 1、幂级数的收敛特性、幂级数的收敛特性(2 2)、幂级数收敛性质与收敛半径)、幂级数收敛性质与收敛半径.和函数的运算性质和函数的运算性质:考研数学考研数学级数级数二、幂级数的收敛特性与和函数的性质二、幂级数的收敛特性与和函数的性质1 1、幂级数的收敛特性、幂级数的收敛特性(2 2)、幂级数收敛性质与收敛半径)、幂级数收敛性质与收敛半径(收敛半径不变收敛半径不变)(收敛半径
11、不变,但收敛域会可能会改变收敛半径不变,但收敛域会可能会改变).和函数的运算性质和函数的运算性质:考研数学考研数学级数级数二、幂级数的收敛特性与和函数的性质二、幂级数的收敛特性与和函数的性质1 1、幂级数的收敛特性、幂级数的收敛特性(2 2)、幂级数收敛性质与收敛半径)、幂级数收敛性质与收敛半径(收敛半径不变收敛半径不变)(收敛半径不变,但收敛域会可能会改变收敛半径不变,但收敛域会可能会改变)考研数学考研数学级数级数三、求收敛域与级数的和三、求收敛域与级数的和具体步骤如下:具体步骤如下:考研数学考研数学级数级数二、幂级数的收敛特性与和函数的性质二、幂级数的收敛特性与和函数的性质对于缺项级数的收
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