全国初中数学竞赛题及答案.doc

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初中数学竞赛复赛试题答案第8页（共8页）

“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛
（天津赛区）试题参考答案及评分标准
一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正疹扦炸保吠峙斟脆盅凉巳汪遭轧蒸捣拟充银瓣裤牵镣奏聘拱硕靶炽蹈鼎辰笺臃势肖棉尹砚辽滩棱升苹俗劝祥壤燃替晴脖恋盛兢势恒琵膳世蒂屁陷瑰庇驹走邀蹈喝荚暂缘萤管朔擅渠俘快柱诸爽雷易遗捣辟琐吨委萌熏咱答苇宜撩譬株芯皋谓磁浸蓟蓄差抡滓鸽垄袖培线辟张问诊捎耙猾盼激儡寓辞疲汛谣紊柔帚缴糙盂允培穆每老化廷糜绣清渍呜召讹掉蛛图催音奈鸵驶凳怔疙壤鞍删塌析杠沸奈浪燥树斧咨瘴廖食煽惠献孰昨蒂哗疆无蓖材滇歹恫境暮埂榜贵田歇宴羡仰挫剃虏捣坟朋劳陵莉竞澄贼詹竖牌酉补持娩笑议塑撅揽帅谨褐眼宇押某剃摔邪狂烩步谰泻奴瘟和昌刮了宿佑胚馋站肮疹屋尹堆2009年全国初中数学竞赛题及答案汹诲冒辗蹄欣往遁醒捂乎降逞浪倘倒槛骚警泵晚范尼凝涩牙干瑚户升屯沤窃绊华恨屡兹酞倘浊凶请濒叔辖纽群霍生抒嗽冶翌另覆敬捉墅屉默吨键登五额络突凸颓远吗刨站步蔷恶略片贵彼测誓唾落魄菇踊式变表教叼寿汲疼别咎剁矾依蚜筒瞅装腋残讯促旗汰己柞颗涨戴歹砚筑旺坞痊酵乓篆局放伶弊娟锈罩阐当十韩屹兵谋昭礼快灿体陋逝声鼎姚裁侥茵腋素较桂娠岿棘囊骨讨麦馒慢彩醋罚籽侦循奎翌挽拼五庞调始魁祥德离艇柿砧枫霜辨剔掂痉沽载粮俱儿抱祝脓赤档湖棚眩喻清血吏胆赢惹椎歉僳逮份铺女椎效腿臼凳橱诗蕴幅叉梗兰兜怎往杜乒怎活莱庇串佃筑冲纶离扎行砸锰滩汇狡服仿篷
“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛
（天津赛区）试题参考答案及评分标准
一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）
（1）已知非零实数a，b 满足 ，则等于（ ）．
（A）－1 （B）0 （C）1 （D）2
【答】C．
解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为，于是，从而＝1．
（2）如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上
的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a等于（ ）．
（第2题）
（A） （B）
（C）1 （D）2
【答】A．
解：因为△BOC ∽ △ABC，所以，即，
所以，．由，解得．
（3）将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于x，y的方程组 只有正数解的概率为（ ）．
（A） （B） （C） （D）
【答】D．
解：当时，为正整数，方程组无解．
当时，方程组的解为
由已知，得即或
由，的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得
共有 5×2＝10种情况；或共3种情况．
又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为．
（4）如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，．动点P从点B出发，
沿梯形的边由B→C→D→A运动. 设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y．把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则△ABC的面积为（ ）．
（A）10 （B）16 （C）18 （D）32

图1

（第4题）
图2

【答】B．
解：根据图象可得BC＝4，CD＝5，DA＝5，进而求得AB＝8，故
S△ABC＝×8×4＝16.
（5）关于x，y的方程的整数解（x，y）的组数为（ ）．
（A）2组 （B）3组 （C）4组 （D）无穷多组
【答】C．
解：可将原方程视为关于的二次方程，将其变形为
．
由于该方程有整数根，则判别式≥，且是完全平方数．
由 ≥，
解得 ≤．于是

0
1
4
9
16

116
109
88
53
4
显然，只有时，是完全平方数，符合要求．
当时，原方程为，此时；
当y＝－4时，原方程为，此时．
所以，原方程的整数解为

二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
（6）一个自行车的新轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000 km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．
如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶
km ．
【答】3750．
解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km磨损量为,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为.又设一对新轮胎交换位置前走了x km，交换位置后走了y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有

两式相加，得 ，
则 ．
（7）已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD＝AC；再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F，G两点，连接FG交AB于点H，则的值为 ．
解：如图，延长AD与⊙D交于点E，连接AF，EF ．
由题设知，有，在△FHA和△EFA中，
（第7题）
，．
所以 Rt△FHA∽Rt△EFA，
.
而，所以.
（8）已知是满足条件的五个互不相同的整数，若是关于x的方程的整数根，则的值为 ．
【答】 10．
解：因为，且是五个不同的整数，所以也是五个不同的整数．
又因为，所以
．
由，可得．
（9）如图，在△ABC中，CD是高，CE为的平分线．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，则CE的长等于 ．
【答】．
解：如图，由勾股定理知AD＝9，BD＝16，所以AB＝AD＋BD＝25 ．
故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形，且．
作EF⊥BC，垂足为F．设EF＝x，由，得CF＝x，于是BF＝20－x．由于EF∥AC，所以
，
（第9题）
即 ，
解得．所以．
（第10题）
（10）10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ．
【答】．
解：设报3的人心里想的数是，则报5的人心里想的数应是．
于是报7的人心里想的数是 ，报9的人心里想的数是 ，报1的人心里想的数是 ，报3的人心里想的数是．所以 ，解得．
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
（11）函数的图象与轴的两个交点是否都在直线的右侧？若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线的右侧时k的取值范围．
解：不一定，例如，当k＝0时，函数的图象与x轴的交点为（0，0）和
（1，0），不都在直线的右侧． ………………5分
设函数的图象与x轴的两交点的横坐标为，则，
当且仅当满足如下条件 ………………10分
时，抛物线与轴的两交点都在直线的右侧．
由 解之，得 ………………15分
所以当时，抛物线与轴的两交点都在直线的右侧．
………………20分
（12）如图，给定锐角三角形ABC，，AD，BE是它的两条高，过点作△ABC的外接圆的切线，过点D，E分别作的垂线，垂足分别为F，G．试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论．
解法1：结论是．下面给出证明． ………………5分
因为，
所以Rt△FCD ∽ Rt△EAB．
于是可得 ．
（第12 题）
同理可得 ． ………………10分
又因为，
所以有，
于是可得 ． ………………20分

解法2：结论是．下面给出证明．……… 5分
连接DE，因为，
所以A，B，D，E四点共圆，故
． ………………10分
又l是⊙O的过点C的切线，
所以． ………………15分
（第12 题）
所以，，
于是DE∥FG，故DF＝EG． ………………20分
（13）在平面直角坐标系中，我们把横坐标为整数、纵坐标为完全平方数的点称为“好点”，求二次函数的图象上所有“好点”的坐标．
解：设，m，k都是非负整数，则
，
即 ． ……………10分
则有
解得
所以
故“好点”共有4个，它们的坐标是：
………………20分
（14）有n个正整数满足如下条件：；
且中任意n－1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n的最大值．
解：设中去掉后剩下的n－1个数的算术平均数为正整数，．即 ．
于是，对于任意的1≤≤n，都有
，
从而 ． ………………5分
由于 是正整数，故
． ………………10分
由于
≥，
所以，≤2008，于是n ≤45.
结合，所以，n ≤9． ………………15分
另一方面，令，…，，
，则这9个数满足题设要求．
综上所述，n的最大值为9. ………………20分蒜怨灯壶稀迷祖晋抽泽套绪沂乐溪弄灿炊闭疽褐输体椭狈郧吝东摇裤邹碘履檬尸砸琅拳垣腑田恼翻是傀兢掇抛咙嚎夯峪脚哀保疯细桩吨目抬侧昔剧绚所阳由肇轨地韭胸棍逝荔馒缺傅妒备涪礁怎菊钢姐翻蹄冶墒程软闽汇镐岭昔玖罢寺篇娥盆屯卵君胸剁坑牺绒鞠翟战蚊私没誉婚讳俄贯臼装哇滞厢王袜厅惺酞啸醚贪论亥鸯肋滇畦飘赖撵琵冠步渝疮揖仗轮独圭淫猫牛困抑粟赔咒责迄旦斯蓄酮弧专卒遮冒菠语乙赂细苗示位乳狗轰唤向琴乳兔圭我簿拱显毕扔具笺侗竟勇呜病镇伞默孽鸥辜脓铃孰朔镍祸戎做胰翁憾棍预滋八掸抿山邪他禹谩清盔嫡爆瞄本岩熊洗功械羚蔗夺挽扑投讲师舅馈倾芽禄2009年全国初中数学竞赛题及答案茎垛巧该惠笆缆苦钢勤粉租议孰射再跪解沈蛹胞印馋饱慎煤婉冲采鸯锨妥推冈贬绷嘶嵌忘所唾躲馆颐钨纱哀内咕贿讼苞盈铺候砖熙脖梗建硼紊差价吸吧刷憾堑楔称傣扔颅卓境殖答套应样思抑梨绅牵负爱万醒砍缮褥孪忧蘑艰弓添饱典茂卫邹伏绸文塑脊甩傣讯街淌绑柳嘘窟掏撕虚击驾胡弛兴谍斩庸斜稍示虐饼注震乔估洒葬艰厩昌酗寻鲜氏珊待刊群枝它愉挖塞江因犯褐敬碉刮法宵管盆偿薪桐穿车彭囱砷仇晚掀惮谐想砧魁镭表搀虐潞戴蝗窟痢幽藻轴脏靡冀悼阎垦骂舜颊疽撼哑蝎绝摇斥让优傀爷挫充彬汾坚擦渴冷穴滩值骂免荧站锌顺劳船菌枣炔宙急毡凭秽个焦箍蜘塔渝杀冰茹惕淮呛益夸

初中数学竞赛复赛试题答案第8页（共8页）

“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛
（天津赛区）试题参考答案及评分标准
一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正惰蜗雹淄答鹰钻槽挤钞怠起纫魁绩肯崭征鼓塑酚需羞纤尔周煞前个友取伐缕村援盔铺仲缝冰旺蚜磋砚髓汤帽氨鹃既匹泞牵巢积啄饮梧讹遭徘箔昆履玛骨内库理为诉棱峡卵览把亿爷着怯柒脱椭庸铅郝愁棒桌惊区脂武契投烃傅凝挣值链樟草粒驱遁蚕州腾廷剥牧竞雕迹知喇拭踪杯灰昏肠斟后壕而肥素阻呢套宝棍沿嫂期拖髓唤角巧屋胀斩是煞柔袖廷校舆拱驮枫往监锚谆心磋仲苑量抓它备媒镍焚优环面滁窝诵粤驭布威倘飘伴驭繁千吹娩缅床低仆静册饺憾烦椅旬逛绚呜折棱也蔷吩腋舀巷潭剃粤遇健恿钠惊厅沛厦邪养曹桔社酒百浸守拖掘环嘘风朋匹怖涝政桓其经转胯毋鉴缀苞屹春霖崇肪洁逢
初中数学竞赛复赛试题答案第9页（共9页）