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1991年江苏高考理科数学真题及答案

一、选择题：本大题共15小题；每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把所选项前的字母填在题后括号内．
(1) 已知sinα=，并且α是第二象限的角，那么tgα的值等于 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(2) 焦点在(－1，0)，顶点在(1，0)的抛物线方程是 ( )
(A) y2=8(x+1)
(B) y2=－8(x+1)
(C) y2=8(x－1)
(D) y2=－8(x－1)
(3)函数y=cos4x－sin4x的最小正周期是 ( )
(A)
(B) π
(C) 2π
(D) 4π
(4)如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有 ( )
(A) 12对
(B) 24对
(C) 36对
(D) 48对
(5) 函数y=sin(2x+)的图像的一条对称轴的方程是 ( )
(A) x=－
(B) x=－
(C)
(D)
(6) 如果三棱锥S－ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在△ABC内，那么O是△ABC的 ( )
(A) 垂心
(B) 重心
(C) 外心
(D) 内心
(7) 已知{an}是等比数列，且an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于 ( )
(A) 5
(B) 10
(C) 15
(D) 20
(8) 如果圆锥曲线的极坐标方程为ρ=，那么它的焦点的极坐标为 ( )
(A) （0，0），（6，π）
(B) (－3，0)，(3，0)
(C) （0，0），（3，0）
(D) (0，0)，(6，0)
(9) 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有 ( )
(A) 140种
(B) 84种
(C) 70种
(D) 35种
(10) 如果AC<0且BC<0，那么直线Ax+By+C=0不通过 ( )
(A) 第一象限
(B) 第二象限
(C) 第三象限
(D) 第四象限
(11) 设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么 ( )
(A) 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
(B) 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
(C) 丙是甲的充要条件
(D) 丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
(12) …(1－)]的值等于 ( )
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(13) 如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f (x)在区间[－7，－3]上是 ( )
(A) 增函数且最小值为－5
(B) 增函数且最大值为－5
(C) 减函数且最小值为－5
(D) 减函数且最大值为－5
(14) 圆x2+2x+y2+4y－3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有 ( )
(A) 1个
(B) 2个
(C) 3个
(D) 4个
(15) 设全集为R，f (x)=sinx，g (x)=cosx，M={x|f (x)≠0}，N={x|g (x)≠0}，那么集合
{x|f (x)g (x)=0}等于 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)

二、填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上．
(16) arctg+arctg的值是____________
(17) 不等式<1的解集是___________
(18) 已知正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是45°，那么这个正三棱台的体积等于
(19) (ax+1)7的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项．若实数a>1，那么a=
(20) 在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝a．那么这个球面的面积是

三、解答题：本大题共6小题；共60分．
(21) (本小题满分8分)
求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并写出使函数y取最小值的x的集合．
(22) (本小题满分8分)
已知复数z=1＋i, 求复数的模和辐角的主值．
(23) (本小题满分10分)
已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC＝2．求点B到平面EFG的距离．
(24) (本小题满分10分)
根据函数单调性的定义，证明函数f (x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数．
(25) (本小题满分12分)
已知n为自然数，实数a>1，解关于x的不等式
logax－logx＋12logx＋…＋n (n－2)logx>log(x2－a)
(26) (本小题满分12分)
双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点．若OP⊥OQ，|PQ|=4，求双曲线的方程．

参考答案

说明：
一、本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种较为常见的解法，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则．
二、每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分．
三、为了阅卷方便，本试题解答中的推导步骤写得较为详细，允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤．
四、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
五、只给整数分数．

一、选择题．本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分45分．
(1)A (2)D (3)B (4)B (5)A (6) D (7)A (8)D
(9)C (10)C (11)A (12)C (13) B (14)C (15)D

二、填空题．本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分15分．
(16) (17) {x|－2<x<1} (18) (19) 1+ (20) 3πa2

三、解答题
(21) 本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质．满分8分．
解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x
=(sin2x＋cos2x)＋2sinxcosx+2cos2x ——1分
=1sin2x(1＋cos2x) ——3分
=2＋sin2x+cos2x
=2+sin(2x+)． ——5分
当sin(2x+)=－1时y取得最小值2－． ——6分
使y取最小值的x的集合为{x|x=kπ－π，k∈Z}． ——8分
(22) 本小题考查复数基本概念和运算能力．满分8分．
解：=
= ——2分
=1－i． ——4分
1－i的模r==．
因为1－i对应的点在第四象限且辐角的正切tgθ=－1，所以辐角的主值
θ=π． ——8分
(23) 本小题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及逻辑推理和空间想象能力．满分10分．
解：如图，连结EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分别交AC于H、O． 因为ABCD是正方形，E、F分别为AB和AD的中点，故EF∥BD，H为AO的中点．
BD不在平面EFG上．否则，平面EFG和平面ABCD重合，从而点G在平面的ABCD上，与题设矛盾．
由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG，所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离． ——4分
∵ BD⊥AC，
∴ EF⊥HC．
∵ GC⊥平面ABCD，
∴ EF⊥GC，
∴ EF⊥平面HCG．
∴ 平面EFG⊥平面HCG，HG是这两个垂直平面的交线． ——6分
作OK⊥HG交HG于点K，由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG，所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离． ——8分
∵ 正方形ABCD的边长为4，GC=2，
∴ AC=4，HO=，HC=3．
∴ 在Rt△HCG中，HG=．
由于Rt△HKO和Rt△HCG有一个锐角是公共的，故Rt△HKO∽△HCG．
∴ OK=．
即点B到平面EFG的距离为． ——10分
注：未证明“BD不在平面EFG上”不扣分．
(24) 本小题考查函数单调性的概念，不等式的证明，以及逻辑推理能力．满分10分．
证法一：在(－∞，+∞)上任取x1，x2且x1<x2 ——1分
则f (x2) －f (x1) == (x1－x2) () ——3分
∵ x1<x2，
∴ x1－x2<0． ——4分
当x1x2<0时，有= (x1+x2) 2－x1x2>0； ——6分
当x1x2≥0时，有>0；
∴ f (x2)－f (x1)= (x1－x2)()<0． ——8分
即 f (x2) < f (x1)
所以，函数f(x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数． ——10分
证法二：在(－∞，+∞)上任取x1，x2，且x1<x2， ——1分
则 f (x2)－f (x1)=x－x= (x1－x2) ()． ——3分
∵ x1<x2，
∴ x1－x2<0． ——4分
∵ x1，x2不同时为零，
∴ x＋x>0．
又 ∵ x＋x>(x＋x)≥|x1x2|≥－x1x2
∴ >0，
∴ f (x2)－f (x1) = (x1－x2) ()<0． ——8分
即 f (x2) < f (x1)．
所以，函数f (x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数． ——10分
(25) 本小题考查对数、数列、解不等式等基本知识，以及分析问题的能力．满分12分．
解：利用对数换底公式，原不等式左端化为
logax－4·＋12·＋…＋n(－2)n－1 ·
=[1－2＋4＋…＋(－2)n－1] logax
=logax
故原不等式可化为logax>loga(x2－a)． ①
当n为奇数时，>0，不等式①等价于
logax>loga(x2－a)． ②
因为a>1，②式等价于

——6分
因为<0， >=，
所以，不等式②的解集为{x|<x<}． ——8分
当n为偶数时，<0，不等式①等价于
logax>loga(x2－a)． ③
因为a>1，③式等价于

或 ——10分
因为 ——12分
所以，不等式③的解集为{x|x>}．
综合得：当n为奇数时，原不等式的解集是{x|}；
当n为偶数时，原不等式的解集是{x|}
(26) 本小题考查双曲线性质，两点距离公式，两直线垂直条件，代数二次方程等基本知识，以及综合分析能力．满分12分．
解法一：设双曲线的方程为=1．
依题意知，点P，Q的坐标满足方程组
①

②

将②式代入①式，整理得
(5b2－3a2)x2+6a2cx－(3a2c2+5a2b2)=0． ③ ——3分
设方程③的两个根为x1，x2，若5b2－3a2=0，则=，即直线②与双曲线①的两条渐近线中的一条平行，故与双曲线只能有一个交点同，与题设矛盾，所以5b2－3a2≠0．
根据根与系数的关系，有

④
⑤ ——6分
由于P、Q在直线y=(x－c)上，可记为
P (x1，(x1－c))，Q (x2，(x2－c))．
由OP⊥OQ得·=－1，
整理得3c(x1+x2)－8x1x2－3c2=0． ⑥
将④，⑤式及c2=a2+b2代入⑥式，并整理得
3a4+8a2b2－3b4=0，
(a2+3b2)(3a2－b2)=0．
因为 a2+3b2≠0，解得b2=3a2，
所以 c==2a． ——8分
由|PQ|=4，得(x2－x1)2=[(x2－c)－(x1－c)]2=42．
整理得(x1+x2)2－4x1x2－10=0． ⑦
将④，⑤式及b2=3a2，c=2a代入⑦式，解得a2=1． ——10分
将a2 =1代入b2=3a2 得 b2=3．
故所求双曲线方程为x2－=1． ——12分
解法二：④式以上同解法一． ——4分
解方程③得x1=，x2= ④ ——6分
由于P、Q在直线y=(x－c)上，可记为P (x1，(x1－c))，Q (x2，(x2－c))．
由OP⊥OQ，得x1 x2＋(x1－c)·(x2－c)=0． ⑤
将④式及c2=a2b2代入⑤式并整理得 3a4+8a2b2－3b4=0，
即 (a2+3b2)(3a2－b2)=0．
因a2+3b2≠0，解得b2=3a2． ——8分
由|PQ|=4，得(x2－x1)2+[(x2－c)－(x1－c)]2=42．
即 (x2－x1)2=10． ⑥
将④式代入⑥式并整理得
(5b2－3a2)2－16a2b4=0． ——10分
将b2=3a2代入上式，得a2=1，
将a2=1代入b2=3a2得b2=3．
故所求双曲线方程为
x2－=1． ——12分