1990年天津高考理科数学真题及答案.doc

1990年天津高考理科数学真题及答案

一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）
1．（4分）方程=的解是（　　）

A．
x=
B．
x=
C．
x=
D．
x=9

2．（4分）把复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转所得到的向量对应的复数是（　　）

A．

B．
i
C．

D．

3．（4分）如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于（　　）

A．

B．

C．

D．

4．（4分）方程sin2x=sinx在区间（0，2π）内的解的个数是（　　）

A．
1
B．
2
C．
3
D．
4

5．（4分）已知如图是函数y=2sin（ωx+φ）（|φ|＜）的图象，那么（　　）

A．
ϖ=，φ=
B．
ϖ=，φ=﹣
C．
ϖ=2，φ=
D．
ϖ=2，φ=﹣

6．（4分）函数的值域是（　　）

A．
{﹣2，4}
B．
{﹣2，0，4}
C．
{﹣2，0，2，4}
D．
{﹣4，﹣2，0，4}

7．（4分）如果直线y=ax+2与直线y=3x﹣b关于直线y=x对称，那么（　　）

A．
a=，b=6
B．
a=，b=﹣6
C．
a=3，b=﹣2
D．
a=3，b=6

8．（4分）极坐标方程4sinθ=5ρ表示的曲线是（　　）

A．
圆
B．
椭圆
C．
双曲线的一支
D．
抛物线

9．（4分）设全集I={（x，y）|x，y∈R}，集合M={（x，y）|=1}，N=（x，y）|y≠x+1．那么等于（　　）

A．

B．
{（2，3）}
C．
（2，3）
D．
{（x，y）|y=x+1}

10．（4分）（2010•建德市模拟）若实数x、y满足（x+2）2+y2=3，则的最大值为（　　）

A．

B．

C．

D．

11．（4分）如图，正三棱锥SABC的侧棱与底面边长相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（　　）

A．
90°
B．
60°
C．
45°
D．
30°

12．（4分）已知h＞0．设命题甲为：两个实数a，b满足|a﹣b|＜2h；命题乙为：两个实数a，b满足|a﹣1|＜h且|b﹣1|＜h．那么（　　）

A．
甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件

B．
甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件

C．
甲是乙的充分条件

D．
甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

13．（4分）A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A，B可以不相邻），那么不同的排法共有（　　）

A．
24种
B．
60种
C．
90种
D．
120种

14．（4分）以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有（　　）

A．
70个
B．
64个
C．
58个
D．
52个

15．（4分）设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C．又设图象C'与C关于原点对称，那么C'所对应的函数是（　　）

A．
y=﹣arctg（x﹣2）
B．
y=arctg（x﹣2）
C．
y=﹣arctg（x+2）
D．
y=arctg（x+2）

二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
16．（5分）双曲线的准线方程是　_________　．

17．（5分）（x﹣1）﹣（x﹣1）2+（x﹣1）3﹣（x﹣1）4+（x﹣1）5的展开式中，x2的系数等于　_________　．

18．（5分）（2011•上海模拟）已知{an}是公差不为零的等差数列，如果sn是{an}的前n项的和，那么等于　_________　．

19．（5分）函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是
　_________　．

20．（5分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1：V2=　_________　．

三、解答题（共6小题，满分65分）
21．（10分）有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．

22．（10分）已知sina+sinB=，cosa+cosB=，求tg（a+B）的值．

23．（10分）如图，在三棱锥SABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC．DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E．又SA=AB，SB=BC．求以BD为棱，以BDE与BDC为面的二面角的度数．

24．（11分）设a为实数，在复数集C中解方程：z2+2|z|=a．

25．（12分）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P（0）到这个椭圆上的点最远距离是．求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标．

26．（12分）f（x）=lg，其中a是实数，n是任意自然数且n≥2．
（Ⅰ）如果f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义，求a的取值范围；
（Ⅱ）如果a∈（0，1]，证明2f（x）＜f（2x）当x≠0时成立．

参考答案

一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）
1．
考点：
对数的运算性质；指数式与对数式的互化．
分析：
根据指数式与对数式的互化可知，⇔，进而得到答案．
解答：
解：∵
∴
∴
故选A．
点评：
本题主要考查指数式与对数式的相互转化．

2．
考点：
复数代数形式的混合运算．
分析：
把复数1+i乘以cos（﹣）+isin（﹣），化简为代数形式即可．
解答：
解：复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转所得到的
向量：（1+i）[cos（﹣）+isin（﹣）]=（1+i）=，
故选D．
点评：
复数旋转，实际上复数乘以一个模为1的辅角为﹣复数三角形式，注意旋转方向，
本题是基础题．

3．
考点：
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
专题：
计算题．
分析：
设圆柱高为h，推出底面半径，求出圆柱的侧面积，然后求出圆柱的体积即可得到选项．
解答：
解：设圆柱高为h，则底面半径为．
由题意知，S=πh2，
∴h=，
∴V=π（）2•h=．
故选D．
点评：
本题是基础题，考查圆柱的侧面积、体积的计算及其关系，考查计算能力，常考题型．

4．
考点：
正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：
计算题．
分析：
通过二倍角公式化简的2sinxcosx=sinx，进而推断sinx=0或cosx=，进而求出x的值．
解答：
解：sin2x=2sinxcosx=sinx
∴sinx=0或cosx=
∵x∈（0，2π）
∴x=π或或
故选C
点评：
本题主要考查了三角函数的二倍角公式．属基础题．

5．
考点：
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
专题：
计算题；数形结合法．
分析：
由图象过（0，1）及|φ|＜，求出ψ的值，函数图象过点（，0），据五点法作图的过程知
ω•+=2π，求出ω．
解答：
解：因为函数图象过（0，1），所以，1=2sinφ，∴sinφ=，∵|φ|＜，
∴φ=，故函数y=2sin（ωx+），又∵函数图象过点（，0），
∴0=2sin（ω•+），由五点法作图的过程知，ω•+=2π，
∴ω=2，综上，φ=，ω=2，
故选C．
点评：
本题考查五点法作图的方法，在本题图中的一个完整的标准周期内，图象上的五个关键点的横坐标
分别为：0，，π，，2π．

6．
考点：
函数的值域；三角函数的化简求值．
专题：
计算题；分类讨论．
分析：
根据正切和余切的定义求出函数的定义域，分四种情况由三角函数值的符号，去掉绝对值求解．
解答：
解：由题意知，函数的定义域是{x|x≠，k∈Z}，下由各个象限中三角函数值的符号来确定
在各个象限中函数的值
当x是第一象限角时，因所有三角函数值大于零，故y=4；
当x是第二象限角时，因为只有正弦值大于零，故y=1﹣1﹣1﹣1=﹣2；
当x是第三象限角时，因为正切值和余切值大于零，故y=﹣1﹣1+1+1=0；
当x是第四象限角时，因为只有余弦值大于零，故y=﹣2；
所以函数的值域是{﹣2，0，4}．
故选B．
点评：
本题主要考查了三角函数的定义以及符号，根据定义求出函数的定义域，由三角函数值的符号
进行化简求值．

7．
考点：
反函数．
分析：
本题考查对互为反函数的两个函数图象之间的关系、反函数的求法等相关知识；
本题可有两种方法，其一，求出y=ax+2的反函数令其与y=3x﹣b的对应系数相等获得，
其二由互为反函数图象上的点之间的对称关系，通过在图象上取特殊点求解．
解答：
解：
法一：由题意，函数y=3x﹣b的反函数为y=，
与y=ax+2对照可得a=，b=6；
法二：在y=ax+2上取点（0，2），
则点（2，0）在y=3x﹣b上，故得b=6；
又y=3x﹣6上有点（0，﹣6），则点（﹣6，0）在y=ax+2上，代入得a=，
由此可得a=，b=6
答案：a=，b=6
点评：
本题解题思路清晰，方向明确，运算量也小，属于容易题目．这里提供了两种方法，比较可见各有
特点，直接求反函数过程简捷，较为简单，特值代入，小巧易行，过程稍繁．

8．
考点：
简单曲线的极坐标方程．
分析：
先在极坐标方程4sinθ=5ρ的两边同乘以ρ，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用
ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得直角坐标系，再利用直角坐标方程即可进行判断．
解答：
解：将方程4sinθ=5ρ两边都乘以p得：4ρsinθ=5ρ2，
化成直角坐标方程为
5x2+5y2﹣4y=0．它表示一个圆．
故选A．
点评：
本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，
体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．

9．
考点：
交、并、补集的混合运算．
分析：
先化简集合M，再计算．
解答：
解：∵M={（x，y）|y=x+1或（x，y）≠（2，3）}，
∴，
又∵．
∴．
故答案选B．
点评：
本题主要考查了集合间的交，并，补混合运算，注意弄清各集合中的元素．

10．
考点：
简单线性规划．
专题：
计算题．
分析：
先判断出方程表示的图形，再给赋与几何意义，作出图象，结合图判断出当直线与圆相切时斜率
最大求出最大值．
解答：
解：（x+2）2+y2=3，表示以（﹣2，0）为圆心，以为半径的圆
表示圆上的点与（0，0）连线的斜率，设为k则y=kx
由图知，当过原点的直线与圆相切时斜率最大
故有解得或
由图知，
故选A

点评：
本题考查圆的标准方程、两点连线斜率公式的形式、数形结合求最值．

11．
考点：
异面直线及其所成的角．
专题：
计算题；压轴题．
分析：
先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点AC的中点D，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．
解答：
解：如图，取AC的中点D，连接DE、DF，∠DEF为异面直线EF与SA所成的角
设棱长为2，则DE=1，DF=1，根据SA⊥BC，则ED⊥DF
∴∠DEF=45°，
故选C．

点评：
本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．

12．
考点：
必要条件、充分条件与充要条件的判断．
分析：
巧妙运用绝对值不等式|a|+|b|≥|a+b|及必要、充分条件，可以解答本题．
解答：
解：由|a﹣1|＜h且|b﹣1|＜h 得|a﹣b|=|a﹣1+1﹣b|≤|a﹣1|+|1﹣b|＜2h，所以甲是乙的
必要条件；
不妨令h=1，a=0.5，b=﹣0.3，|a﹣1|=0.5＜1，而|b﹣1|=1.3＞1，因而甲不是乙的充分条件．
故选B
点评：
|a|+|b|≥|a+b|的合理运用，以及巧妙运用|a﹣1|+|1﹣b|的使用，是解答甲是乙的必要条件的
一个关键；充分条件的推导用的是特殊值否定法．

13．
考点：
排列、组合的实际应用．
专题：
转化思想．
分析：
根据题意，首先计算五人并排站成一排的情况数目，进而分析可得，B站在A的左边与B站在A的
右边是等可能的，使用倍分法，计算可得答案．
解答：
解：根据题意，使用倍分法，
五人并排站成一排，有A55种情况，
而其中B站在A的左边与B站在A的右边是等可能的，
则其情况数目是相等的，
则B站在A的右边的情况数目为×A55=60，
故选B．
点评：
本题考查排列、组合的应用，注意使用倍分法时，注意必须保证其各种情况是等可能的．

14．
考点：
棱锥的结构特征．
专题：
压轴题；分类讨论．
分析：
以一个正方体的顶点为顶点中任意选4个除去在同一个平面上的点，可得四面体的个数．
解答：
解：正方体的8个顶点中任取4个共有C84=70个
不能组成四面体的4个顶点有，已有的6个面，对角面有6个
所以以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有：70﹣12=58个
故选C．
点评：
本题考查棱锥的结构特征，考查逻辑思维能力，是中档题．

15．
考点：
函数的图象与图象变化．
专题：
压轴题．
分析：
根据平移变换和对称变换引起的解析式变化规律依次求出C、C'对应的解析式即可．
解答：
解：将函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C
则C对应的解析式为y=arctg（x﹣2）
又∵图象C'与C关于原点对称
则C'对应的解析式为y=﹣arctg（﹣x﹣2）=arctg（x+2）
故选D
点评：
平移变换的口决是“左加右减，上加下减”
对称变换的口决是“关于Y轴负里面，关于X轴负外面，关于原点，既负里面，又负外面”

二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
16．
考点：
双曲线的简单性质．
专题：
计算题．
分析：
由焦点在y轴的双曲线的准线方程公式进行求解．
解答：
解：∵a=4，b=3，
则c=5，
双曲线的准线方程是，
故答案是．
点评：
本题比较简单，解题时要注意双曲线的焦点在y轴上．

17．
考点：
二项式定理的应用．
专题：
计算题．
分析：
多项式展开式的含x2项的系数等于各个二项式展开式的系数和，利用二项展开式的通项公式求出各
个系数．
解答：
解：展开式中含x2项的系数为﹣1﹣C32﹣C42﹣C52
=﹣1﹣3﹣6﹣10=﹣20
故答案为﹣20
点评：
本题考查等价转化能力及二项展开式的通项公式的应用．

18．
考点：
等差数列的性质；极限及其运算；等差数列的前n项和．
分析：
设an=a1+（n﹣1）d，sn=na1+d，代入求出极限即可．
解答：
解：设an=a1+（n﹣1）d，sn=na1+d，代入得
===2
故答案为2
点评：
考查学生运用等差数列性质的能力，运用等差数列求和公式的能力，会求极限及运算极限的能力．

19．
考点：
三角函数的最值．
专题：
计算题；压轴题．
分析：
利用sinx与cosx的平方关系，令sinx+cosx=t，通过换元，将三角函数转化为二次函数，
求出对称轴，利用二次函数的单调性求出最值．
解答：
解：令t=sinx+cosx=则
∴sinxcosx=
∴y==（）
对称轴t=﹣1
∴当t=时，y有最大值
故答案为
点评：
本题考查三角函数中利用平方关系sinx+cosx与2sinxcosx两者是可以相互转化的、二次函数的
最值的求法．

20．
考点：
棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题：
计算题；压轴题．
分析：
设AEF面积为s1，ABC和A1B1C1的面积为s，三棱柱高位h；VAEF﹣A1B1C1=V1；VBCFE﹣B1C1=V2；总体积为：V，
根据棱台体积公式求V1；V2=V﹣V1以及面积关系，求出体积之比．
解答：
解：由题：设AEF面积为s1，ABC和A1B1C1的面积为s，三棱柱高位h；VAEF﹣A1B1C1=V1；
VBCFE﹣B1C1=V2；总体积为：V
计算体积：
V1=h（s1+s+）①
V=sh ②
V2=V﹣V1③
由题意可知，s1=④
根据①②③④解方程可得：V1=sh，V2=sh；则
故答案为：
点评：
本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查计算能力，转化思想，考查空间想象能力，是基础题．

三、解答题（共6小题，满分65分）
21．
考点：
数列的应用．
专题：
计算题．
分析：
设四个数依次为x，y，12﹣y，16﹣x．根据等差数列和等比数列的性质知
，由此能求出这四个数．
解答：
解：设四个数依次为x，y，12﹣y，16﹣x．
依题意，有

由①式得x=3y﹣12．③
将③式代入②式得y（16﹣3y+12）=（12﹣y）2，
整理得y2﹣13y+36=0．
解得y1=4，y2=9．
代入③式得x1=0，x2=15．
从而得所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．
点评：
本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．

22．
考点：
两角和与差的正弦函数；同角三角函数基本关系的运用．
分析：
和差化积，两已知等式出现相同的因式，两式相除，约分得角的正切，用二倍角公式代入
即求的结果，注意二倍角公式的符号．
解答：
解法一：由已知得
sinα+sinβ=2sincos=，
cos，
两式相除得tan=，
tan（α+β）=
=
点评：
数学课本中常见的三角函数恒等式的变换，既是重点，又是难点．其主要难于三角公式多，
难记忆，角度变化、函数名称变化，运算符号复杂、难掌握，解题时抓住题目本质，
熟记公式，才不会出错．

23．
考点：
平面与平面之间的位置关系．
专题：
计算题．
分析：
欲证BD⊥DE，BD⊥DC，先证BD⊥面SAC，从而得到∠EDC是所求的二面角的平面角，利用
Rt△SAC与Rt△EDC相似求出∠EDC即可．
解答：
解：由于SB=BC，且E是SC的中点，因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线，所以SC⊥BE．
又已知SC⊥DE，BE∩DE=E，
∴SC⊥面BDE，
∴SC⊥BD．
又∵SA⊥底面ABC，BD在底面ABC上，
∴SA⊥BD．
而SC∩SA=S，∴BD⊥面SAC．
∵DE=面SAC∩面BDE，DC=面SAC∩面BDC，
∴BD⊥DE，BD⊥DC．
∴∠EDC是所求的二面角的平面角．
∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC．
设SA=a，则AB=a，BC=SB=a
∵AB⊥BC，∴AC=，在Rt△SAC中tan∠ACS=
∴∠ACS=30°．
又已知DE⊥SC，所以∠EDC=60°，即所求的二面角等于60°．

点评：
本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，
属于基础题．

24．
考点：
复数的基本概念；复数相等的充要条件．
专题：
压轴题；分类讨论．
分析：
由于z2=a﹣2|z|为实数，故z为纯虚数或实数，因而需分情况进行讨论．当z是实数时，本题是一个
关于z的一元二次方程组，解方程组即可；当z是一个纯虚数时，按照实数方程求解得到z的虚部，
写出纯虚数即可．
解答：
解：设|z|=r．若a＜0，则z2=a﹣2|z|＜0，于是z为纯虚数，从而r2=2r﹣a．
由于z2=a﹣2|z|为实数，故z为纯虚数或实数，因而需分情况进行讨论．
解得r=（r=＜0，不合，舍去）．故z=±（）i．
若a≥0，对r作如下讨论：
（1）若r≤a，则z2=a﹣2|z|≥0，于是z为实数．
解方程r2=a﹣2r，得r=（r=＜0，不合，舍去）．
故z=±（）．
（2）若r＞a，则z2=a﹣2|z|＜0，于是z为纯虚数．
解方程r2=2r﹣a，得r=或r=（a≤1）．
故z=±（）i（a≤1）．
综上所述，原方程的解的情况如下：
当a＜0时，解为：z=±（）i；
当0≤a≤1时，解为：z=±（），z=±（）i；
当a＞1时，解为：z=±（）．
点评：
本题还可以令z=x+yi（x、y∈R）代入原方程后，由复数相等的条件将复数方程化归为关于x，
y的实系数的二元方程组来求解．

25．
考点：
椭圆的应用．
专题：
计算题；压轴题．
分析：
由题设条件取椭圆的参数方程，其中0≤θ＜2π，根据已知条件和椭圆的性质能够推出
b=1，a=2．从而求出这个椭圆的方程和椭圆上到点P的距离等于的点的坐标．
解答：
解：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是，其中0≤θ＜2π，
由可得，即a=2b．
设椭圆上的点（x，y）到点P的距离为d，则

=
=
=
=．
如果，即，则当sinθ=﹣1时，d2有最大值，由题设得，
由此得，与矛盾．
因此必有成立，于是当时，d2有最大值，由题设得，
由此可得b=1，a=2．
∴椭圆的方程是，所求椭圆的参数方程是，
由可得，
椭圆上的点和到点P的距离都是．

点评：
本题考查椭圆的性质及其应用，解题时要注意参数方程的合理运用．

26．
考点：
对数函数图象与性质的综合应用．
专题：
计算题；压轴题．
分析：
（Ⅰ）、f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义的条件是1+2x+…+（n﹣1）x+nxa＞0，x∈（﹣∞，1]，n≥2，即，然后由函数的单调性求实数
a的取值范围．
（Ⅱ）、欲证如果a∈（0，1]，证明2f（x）＜f（2x）当x≠0时成立，只需证明n≥2时，
[1+2x+…+（n﹣1）x+nxa]2＜n[1+22x+…+（n﹣1）2x+n2xa]，a∈（0，1]，x≠0即可得证．
解答：
解：（Ⅰ）f（x）当x∈（﹣∞，1]时有意义的条件是1+2x+…+（n﹣1）x+nxa＞0，
x∈（﹣∞，1]，n≥2，
即，
∵上都是增函数，
∴在（﹣∞，1]上也是增函数，
从而它在x=1时取得最大值．
所以，
∵等价于，
故a的取值范围是{a|a＞﹣}．
（Ⅱ）证明：只需证明n≥2时，[1+2x+…+（n﹣1）x+nxa]2
＜n[1+22x+…+（n﹣1）2x+n2xa]，a∈（0，1]，x≠0．
∵（a1+a2+…+an2）2=（a12+a22+…an2）+2（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）
≤（a12+a22+…an2）+[（a12+a22）+…+（a12+an2）]+[（a22+a32）
+…+（a22+an2）]+…+[（an﹣22+an﹣12）+（an﹣22+an2）]+（an﹣12+an2）
=n（a12+a22+…+an2）．
于是（a1+a2+…+an）2≤n（a12+a22+…+an2）当a1=a2=…=an时成立．
利用上面结果知，当a=1，x≠0时，因1≠2x，
所以有[1+2x+…+（n﹣1）x+nxa]2＜n[1+22x+…+（n﹣1）2x+n2xa]，a∈（0，1]，
当0＜a＜1，x≠0时，因a2＜a，
所以有[1+2x+…+（n﹣1）x+nxa]2＜n[1+22x+…+（n﹣1）2x+n2xa]，
即有2f（x）＜f（2x）a∈（0，1]，x≠0．
点评：
本题是比较难的对数函数的综合题，在解题过程中要注意等价转化思想的灵活运用，
并且细心运算，避免不必要的错误．