全国初中数学竞赛《圆》历届真题.doc
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1、精品文档初中数学竞赛圆历届考题1(04)D是ABC的边AB上的一点,使得AB=3AD,P是ABC外接圆上一点,使得,求的值.解:连结AP,则,所以,APBADP, (5分),所以, (10分)A1BCDAB1C1I所以. (15分)2、(05)已知点I是锐角三角形ABC的内心,A1,B1,C1分别是点I关于边BC,CA,AB的对称点。若点B在A1B1C1的外接圆上,则ABC等于()A、30B、45C、60D、90答:C解:因为IA1IB1IC12r(r为ABC的内切圆半径),所以点I同时是A1B1C1的外接圆的圆心,设IA1与BC的交点为D,则IBIA12ID,所以IBD30,同理,IBA30
2、,于是,ABC60(第3题图)ABCDOQP3(06)正方形ABCD内接于O,点P在劣弧AB上,连结DP,交AC于点Q若QP=QO,则的值为( )(A)(B) (C)(D)答:D解:如图,设O的半径为r,QO=m,则QP=m,QC=rm,QA=rm在O中,根据相交弦定理,得QAQC=QPQD即 (rm)(rm)=mQD ,所以 QD=连结DO,由勾股定理,得QD2=DO2QO2,即,解得所以, (第4题)ABCOPEK4(06)如图,点P为O外一点,过点P作O的两条切线,切点分别为A,B过点A作PB的平行线,交O于点C连结PC,交O于点E;连结AE,并延长AE交PB于点K求证:PEAC=CEK
3、B证明:因为ACPB,所以KPE=ACE又PA是O的切线,所以KAP=ACE,故KPE=KAP,于是 KPEKAP,所以 , 即 由切割线定理得 所以 10分因为ACPB,KPEACE,于是 故 ,即 PEAC=CEKB 15分5(07)已知为锐角三角形,经过点B,C,且与边AB,AC分别相交于点D,E若的半径与的外接圆的半径相等,则一定经过的( )(A)内心 (B)外心 (C)重心 (D)垂心答:(B)解: 如图,连接BE,因为为锐角三角形,所以,均为锐角又因为的半径与的外接圆的半径相等,且为两圆的公共弦,所以(第3题答案图)于是,若的外心为,则,所以,一定过的外心故选(B)6已知AB为半圆
4、O的直径,点P为直径AB上的任意一点以点A为圆心,AP为半径作A,A与半圆O相交于点C;以点B为圆心,BP为半径作B,B与半圆O相交于点D,且线段CD的中点为M求证:MP分别与A和B相切(第13A题答案图)证明:如图,连接AC,AD,BC,BD,并且分别过点C,D作AB的垂线,垂足分别为,则CEDF因为AB是O的直径,所以在Rt和Rt中,由射影定理得, 5分两式相减可得,又 ,于是有 ,即,所以,也就是说,点P是线段EF的中点因此,MP是直角梯形的中位线,于是有,从而可得MP分别与A和B相切7如图,点E,F分别在四边形ABCD的边AD,BC的延长线上,且满足若,的延长线相交于点,的外接圆与的外
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