第4讲 风险的度量-在险价值VaR.pdf
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1、风险的度量-在除价值VaR内容提要 VaR的定义 计算VaR 回顾测试 投资组合的VaR VaR用于投资组合风险管理VaR的定义VaR的定义 VaR的含义是处于风险中的价值,“VaR(VauleatRiks)是指在市场的正常波动下,在 给定的置信水平下,某一金融资产或者证券投资 组合在未来的特定的一段时间内的最大的可能的 损失。一 更正式的讲,VaR是描述一定目标时段下资产(或 资产组合)的损益分布的分位点。例如:某个土攵口在99%的置信水平下的日VaR值为 1OOO万美元。J 损失和收益的关系可以由图表示,其中右侧的实 线表示损失,左侧的实线表示收益.口 VaR有两个定义口绝对VAR,给定置
2、信水平(99%)下的最大损失,也 称VaR(零值)VAR(zero)=WQ 俨=-WQH*口 VAR(均值)VAR(mean)=E(W)W*=%/*第二种VaR定义方式与经济资本分配和风险调整后资本收益率(RAROC)计算一致。、J jp(yaR(p)=p(i.i)注:大多数VaR都是短期风险,如1天、10天(监管者 要求),巴塞尔协议规定p=99%对于内部资产,p=99.96%VaR与ES的定义 VaR VaR的性质 单调性:如果LIL2在任何情况下都成立,则 VaRT(Li)VaRT(L2)正齐次性:对于任意正数h,有 VaRx(hl)hVaRT(L)平移不变性:对于任意一个固定的常数a,
3、有 VaRx(L)VaRi-x(L)口 ES的性质 口 ES不但满足单调性、正齐次性、平移不变性,而 且还满足次可加性,是一致性风险测度。计算VaR的步骤 逐日盯市确认投资组合的市值 衡量风险因素的变化率,如波动率15%设定时间区域,样本观察时间段,如10天 设定置信水平,如99%,假设分布,如正态分布 分析前面信息数据,得出收入的分布概率,计算潜 在的最大损失,综合得出VaR,如在99%的置信水 平的VaR为700美元 一FIGURE 5-1Steps in computing VAR.Mark position to marketMeasure variability of risk fa
4、ctorsSet time horizonSet confidence levelReport potential lossValueValueFrequencyValueTime Horizon-a HorizonSample computation:$100M x 15%x V(10/252)x 2.33=$7M戢啕VaR计算的几个主要因素 上尾部概率T 持有期At损失的累积分布函数 金融头寸的资产价值 需要注意的是,空头头寸与多头头寸在实际分析 过程中有明显不同。几种常见的计算方沫1.非参数法:使用历史数据,计算经验分布和经验 分位数。2.历史模拟法”3.参数法:假定收益率服从某种分布,
5、估计参数,计算分布的分位数。4,正态分布(5.T分布.6.极值分布 一.一历史模拟法 Historical SimulationApproach)首先选择风险因子的历史数据,例如5。个交易日 数据。其次,用历史数据计算资产组合的价值和价值的变 化.最后,构建直方图,找到1%的分位点,即第5个最坏 的损失。计算VAR。采用代数符号描述这一过程,我们将某市场变量在第1天所对应的数值记为%,假定今天为 第天,市场变量在明天所附应的第i个情景为V:%一(14-1)%-1历史模拟法计算例子考虑一个美国投资者,在2008年9月25日持有价值1000万 的投资组合(如图),组合中有4个股票指数,指数价格以
6、美元计算,下面显示了4个指数的收盘价格的历史数据(可下载)a 14-1用于演示VaR计算 过程的投资蛆合折数姐含价使(以1000美元计)DJIA4 000FTSE 1003 000CAC 401 000Nikkei 2252 000总计10000表142采用历毙模拟法计算VaR所需的股票指数数据(以美元计)5 BW DJLA FTSE 100 CAC 40 Nikkei 2250Aug.7,200611 219 381Aug.8.200611 173 592Aug.9,200611 076 183Aug.10.200611 124.3711 131,846373.89131 7711 096
7、286 378 16134.3811 185 356474(M135 9411 016.716 357.49135.44A9 500Swpt.24,2008Sept 251 200810 825 1711 022 06943X sx9 599 906 Q3 93-114,2C6 200.40 112.82A0;*J、2VKa 14-3由表14-2数据产生的对于2008年9月26日的市场变的不同情量注:所有指敷均以美无计.情景效据 DJIAFTSE WOCAC 40Nikkei 225组合侨值(千美元)损失(千美元)1 10977.089 569.236204.55115.0510014.334
8、-14.3342 10 925.979676.966 293.W114.1310027.481-27 4813 11070.01 9455.166088.7711140*9 9-16.73653.264499 10 831 439 383.49*6 051.94*111859 857.465142.535500 11 222.539 763.976 371.45ill.4010126.439-26.439在2008年9月25日,DJIA的取值为11 022.06,在2006年8月7日的取值为11 219.38.在 2006年8月8日下跌为11 173.59,因此,DJIA在情景1下的取值为11
9、 173 5911 022.06 x=10 977.0811 219.38与此类似,在情景1下,FTSE 100,CAC 40,Nikkei 225的取值分别为9 569.23,6 204.55和 115.05。因此在情景1下,组合资产价值为(以1000计)q J0 977.08 9Azs 9 569 23,6 204.55 115,054 000 x 的派.3 000 x+1 000 X+2 000 x=1U。】4.3 34图14-1 2008年9月25日和26日之间损失 分布的直方图(频率图)表14-4对应500个情事损失的排序情编号损失僵(千美元)情景号拗失敷曜(千美元)494477.8
10、41473191 269339345.435306191.050349282.204477185.127329 277041|495184.450487253.385376182.707227217.974237180.105131205.256365172.224238201.389:2 10 天 VaR/IO x 253 385=801 274历史模拟法的推广 1.对观察值设定权重使权重随时间回望期的延伸而按指数速度递减AK1-A)1-Aft 将所有观测值由最坏到最好进行排序 由损失最坏的情形开始,累积计算每一项权重的 和,直到达到某指定分位数界限时为止。淖 可以通过回顾检验中,测试不同的
11、1,来选取最佳 参数1蒙145 对于设有权项的500个情景的损失(由高到低排序)情景集号须失(千美元)权摩积枚494477.8410.005 280.005 28339345.4350.002 430.007 71349282.2040.002 55|0.010 27329277.0410.002 310.012 58487253.3850.005 100.017 68227217.9740.001 390.019 06131205.2560.000 860 019 92238201.3890.001460.(121 38473191.2690,004 760 026 14(0.9956)x
12、0.0051-0.995=0.005 28 2.更新波动率利用第i天波动率与当前波动率的不同,使用一种 更新波动率的模式,并基于在第i天观测到的百分 比变化来调整市场变量。例如,假定巴是 的两 倍。一市场变量坐加t鬻V4袭14-6 对于接下一天,利用EWMA模型计尊出的波动率(每天).A=0.94天敷日期DJIAFTSE 100CAC40Nikkei 22502006 年 8 月 7 HL 111.42L401.3812006年8月8日1.081.38L36L4322006年8月9日L071.351.361.4132006 年 8 月 10 FI1.041.36L39L374992008年9月
13、24日*2.213.283.111.615002008年9月25日2.193.213.091.59对于DJIA、ErSE 100、CAC40和Nikkei 225指数在2008年9月26日得出的波动率(表的最后一 行)与在2008年8月8日得出的波动率(表的第1行)的比率分别为1.94,2.26,2.21,1.15 这些比率是作为2006年8月7 H至8月8日指数变化的乘数因子;类似地.对于这些股票指数,在2008年9月26日得出的波动率(表的最后一行)与在2008年8月9日得出的波动率(表的第 2行)的比率分别为2.03,2.33,2.28,1.12,这些比率是作为2006年8月8日至8月9
14、日指数,一 r JK表14-7经波动率调节的500个情果的、由高到低进行排序后的损失情景编号损失(千美元)情寰编号福失(千美元)1311 082,969339546.540494715,51274492.764227687.720193470.09298661 221487458.177329602.968 3.自助法 假定有5。个数据 由观测样本X=(XL,xn 构造经验分布函数Fn;从Fn中抽取简单样本X*=X1,,Xm),m=n,重复步骤(2 N次,由Bootstrap子样得到样本p 分位数,xp,i,i=L,No,计算统计量:/由中心极限定理,可以得到xp近似服从正态分布,由此可以得到
15、分位点的点估计和区间估计。.参数枚1.正态分布:那)=Jrob(K X*)=1 RWR=Prob|Z 4(.d,一 4VAR(zero)=-%R*=W0(a a 7ZF-fiAt)不同置信水平对应的临界值TABLE 5.2Tluesliold Limits,ex.as a Function of theConfidence LevelcR4-步 cr=-*/99.97%-3.4399.87%-3.0099%-2.3395%-1.65如何选择C和时间段At.公司范围内不同市场风险的比较,99%,1天 潜在损失的衡量 满足资本充足率 回溯标准1 ffVaR 和 10 日 VaR假设市场是有效的,每
16、日收益Rt是独立同分布的,服 从正态分布N(m,s2),则10日收益率R(10)=二区 R,也是服从正态分布,均值iom,方差是10S2VaR(10;c)=10 VaR(1:c)(12)均值方差法计算股票组合的VaR假设持有两种股票,价格分别为Si(持有数量ni、S2(持有数量n2),则股票组合的价值为V=1 S】+n2 S2 13(1)风险因子选择股票价格,.即=乎=噜啜十噜誓一。四+5困V v 51 2 2(14)a=Z皿&Rv=资产组合收益率 Ri=第种股票的收益率/=DSi/Siwi=资产组合中投资于第i种股票的比重,i,=1,2,with S wi=1(2)计算风险因子Rv的分布:假
17、设价格服从对数 正态分布,日收益率服从正态分布。假设股票收益率Ri服从正态分布,mi和si,相关系数为r。凡=for i=12(3)计算股票i的1日和10日VAR,Tr A%RK1;99)=2.33+,冬四号(10:99)=v io 向凡(1;99)=2.33 讪丁 St(4)计算资产组合1日和10日的VaRN(心内彷2Rv=二 3M:=1+汨壮+2(J32 COV(JRV2)=(*)i(r7+=o5+ZcoiMpg/一同仁。皆嘱)(16)=iPcrC(T?vrV;iRv(l;99)=233 _M?RH10:99)=VIKVHR式 1;99)=2.33 VlO-指数组合仅值天数(以1000美兀
18、H)0DJIA4 0001ME l(Xj3 0002CAC401 ttX)3Nikkei 2252 000:总H1()(MN)499日期DJLAFTSE 100CAC 40Nikkei 225Aug.7.2006Il 219 385 328.84 956 3415 154.06Aug.8,200611 173 595818,14 967.9515 464.66A咯 9,200611 076.185X60.55 025 1515 656.59Aug tOT 20(X511 124 375 823.44 976 54S 630.9 ISept.24,200810 825.175 095.64 11
19、4.5412 115.03%pt 25,200811 022 06S 197.04226 81【2 006.53表12-3 由表12-2数据产生的对于2Q08年9月26日的市场变量的不同情景_情形数码DJIAFTSE100CAC 40Nikkei 225组合价值(千美元)损失 T美元)116 977,出5 187.464 236.7tf2 252,620 02 k 502-21.502210 92,975 2弘.*74275,4812 155.5410 023.327-33 3273U 070.015 164.104 1/0111 986.849985.47814.522 40910 831
20、435057.364 117.7512030 809 828.45017L550500H 22?5?5 30C.424 342.1411 899.OQ10 I4L826-14J,826叱-11 173 5911 022.06 x;::穿:=10 977.0811 ZI 7.Jo4 皿 x;需嘿+3000 蜉+1 源;*000 x:赢If=10 021.502(用 Exce:似然函娄表12-8 对于表12 4的极值理论计算c z,!X J JTX 八 U I JZvT*in?_费12-4对应500个情形损失的排序情格损失(以1000 I数码 美兀计)琲序叫If1!情利编号 损失数量(以1 000
21、计)494 499.395 1339 359 440 2329 341.366 3299 251.943 4487 247,57】5131 241.712 6227 230.26,7495 227.332 8441 225.051 9376 217.“5 J0306 21L 797 11365 202 970 12242 200.116 13-&79-7,10-6.82-5 11-5.01-4.87-4.58-4.50-4.43-4.24-4.06-3,78-3.69_494 499.395339 359.440329 341.366349 251.943487 247,571131 241.
22、712227 2?0.2A5495 227.332441 225.051376 217.945306 211397365 202.970242 20().116238 199.46?477 18&758 令u=2oo,nu=i3。小Solve程序,可求得使升EVT系数试验计算估计g ii0.3 40注:比二200、/3=40、及 f=U.3clk心型-g98最大值的/啜跄/=0.371200 十疑用(99)I=2499TK?/U 口 u t=l-I n zr T T TTJr f!LI=L3有关U的选择经验法则:保证u近似等于实证分布中的95%的分 位数。蒙特卡罗模KI 采用蒙特卡罗模拟法,计
23、算交易组合一天展望期的 VaR:利用当前的市场变量对交易组合进行定价 从Dxi服从的多元正态分布中进行一次抽样 由Dxi的抽样计算出在交易日末的市场变量 利用新产生的市场变量来对交易组合重新定价 计算AP 重复2节步的计算,得出AP的概率分布计算股票组合的VaR 首先,选择所有风险因子,设定其动态模型(可能 需要估计均值、方差和相关系数等变量),例如股 票价格服从如下随机过程dSt|5弘力工 rSjf/VV.27 其次,构造价格路径,例如上述随机微分方程的解 为,S 一 So exp;jx-1 尸卜+(28)with%denoting the cumulative innovations fr
24、om 0 to t.将上述过程离散化,Sf=S1 expRii;/卜士+dZ(29)At=time interval between f and t-1Z=standard normal variable A/(0,1)such thatWf=M T I 37z利用均匀分布随机数,可以得出构造价格路径所需要的随机数据。3.84,拒绝原假设。在JP摩方艮的例子中,T=252,N=20,p=0.95%,LR=3.91TA B L E 6-2Model Backtesting,95%Non rejection Test Confidence RegionsProbability level pVAR
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