八年级初二数学下学期勾股定理单元-易错题难题检测.doc

八年级初二数学下学期勾股定理单元 易错题难题检测

一、选择题
1．如图，在的正方形网格中，的度数是（ ）

A．22.5° B．30° C．45° D．60°
2．△ABC的三边分别为，下列条件能推出△ABC是直角三角形的有（ ）
①;②;③ ∠A＝∠B∠C; ④∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 ;⑤;⑥
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．若直角三角形的三边长分别为、a、，且a、b都是正整数，则三角形其中一边的长可能为（）
A．22 B．32 C．62 D．82
4．如图，△ABC中，AB=10，BC=12，AC=，则△ABC的面积是（ ）．

A．36 B． C．60 D．
5．如图，已知，则数轴上点所表示的数为( )

A． B． C． D．
6．勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，现将Rt△ABC沿BD进行翻折，使点A刚好落在BC上，则CD的长为（    ）

A．10 B．5 C．4 D．3
8．在下列以线段a、b、c的长为边，能构成直角三角形的是（　　）
A．a=3，b=4，c=6 B．a=5，b=6，c=7 C．a=6，b=8，c=9 D．a=7，b=24，c=25
9．将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为 15cm，高 8cm 的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为 hcm，则 h 的取值范围是（ ）
A．h≤15cm B．h≥8cm C．8cm≤h≤17cm D．7cm≤h≤16cm
10．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，设正方形ADOF的边长为，则（ ）

A．12 B．16 C．20 D．24
二、填空题
11．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 dm、3 dm和1 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是 dm．

12．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，矩形内一动点P使得S△PAD＝S矩形ABCD，则点P到点A、D的距离之和PA+PD的最小值为_____．

13．在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则的周长为_______________．
14．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AC=17，AD=9，则AB=_____.

15．如图，在锐角中，，，的平分线交于点，，分别是和上的动点，则的最小值是______.

16．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，BC=AC，D为AB的中点，E为BC上一点，将△BDE沿DE翻折，得到△FDE，EF交AC于点G，则△ECG的周长是___________．

17．如图,，点分别在上，且，点分别在上运动，则的最小值为______．

18．如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个格点可得△ABC，则AC边上的高的长度是_____________．

19．如图，E为等腰直角△ABC的边AB上的一点，要使AE＝3，BE＝1，P为AC上的动点，则PB＋PE的最小值为____________．

20．已知,在△ABC中,BC=3,∠A=22.5°,将△ABC翻折使得点B与点A重合,折痕与边AC交于点P,如果AP=4,那么AC的长为_______
三、解答题
21．如图，在△ABC中，AB＝30 cm，BC＝35 cm，∠B＝60°，有一动点M自A向B以1 cm/s的速度运动，动点N自B向C以2 cm/s的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发．
(1)经过多少秒，△BMN为等边三角形；
(2)经过多少秒，△BMN为直角三角形．

22．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E是AB的中点，连接CE交AD于点F，BD=3，求BF的长．

23．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE．
（1）如图①，连接BE、CD，求证：BE＝CD；
（2）如图②，连接BE、CD，若∠BAC＝∠DAE＝60°，CD⊥AE，AD＝3，CD＝4，求BD的长；
（3）如图③，若∠BAC＝∠DAE＝90°，且C点恰好落在DE上，试探究CD2、CE2和BC2之间的数量关系，并加以说明．

24．中，，，，分别是边和上的动点，在图中画出值最小时的图形，并直接写出的最小值为 .

25．在中，，CD是AB边上的高，若.

（1）求CD的长.
（2）动点P在边AB上从点A出发向点B运动，速度为1个单位/秒；动点Q在边AC上从点A出发向点C运动，速度为v个单位秒，设运动的时间为，当点Q到点C时，两个点都停止运动.
①若当时，，求t的值.
②若在运动过程中存在某一时刻，使成立，求v关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围.
26．如图，点A是射线OE：y＝x（x≥0）上的一个动点，过点A作x轴的垂线，垂足为B，过点B作OA的平行线交∠AOB的平分线于点C．

（1）若OA＝5，求点B的坐标；
（2）如图2，过点C作CG⊥AB于点G，CH⊥OE于点H，求证：CG＝CH．
（3）①若点A的坐标为（2，2），射线OC与AB交于点D，在射线BC上是否存在一点P使得△ACP与△BDC全等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
②在（3）①的条件下，在平面内另有三点P1（，），P2（2，2），P3（2+，2﹣），请你判断也满足△ACP与△BDC全等的点是　 　．（写出你认为正确的点）
27．问题情境：综合实践活动课上，同学们围绕“已知三角形三边的长度，求三角形的面积”开展活动，启航小组同学想到借助正方形网格解决问题
问题解决：图（1）、图（2）都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，操作发现，启航小组同学在图（1）中画出△ABC，其顶点A，B，C都在格点上，同时构造长方形CDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边EF经过点A，ED经过点B．同学们借助此图求出了△ABC的面积．
（1）在图（1）中，△ABC的三边长分别是AB＝　 　，BC＝　 　，AC＝　 　．△ABC的面积是　 　．
（2）已知△PMN中，PM＝，MN＝2，NP＝．请你根据启航小组的思路，在图（2）中画出△PMN，并直接写出△RMN的面积　 　．

28．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD : AD : CD＝2 : 3 : 4，
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）已知S△ABC＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒2cm的速度沿线段BA向点A 运动，同时动点N从点A出发以每秒1cm速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止. 设点M运动的时间为t（秒），
①若△DMN的边与BC平行，求t的值；
②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

图1 图2 备用图
29．（1）如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且点D在BC边上滑动（点D不与点B，C重合），连接EC，
①则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为　 　；
②求证：BD2+CD2＝2AD2；
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD的长．

30．（知识背景）
据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三、股四、弦五”．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数，称为勾股数．
（应用举例）
观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…
可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且
勾为3时，股，弦；
勾为5时，股，弦；
请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：
（1）如果勾为7，则股24＝　 　弦25＝ 　　 　
（2）如果勾用（，且为奇数）表示时，请用含有的式子表示股和弦，则股＝　 　，弦＝　 　．
（解决问题）
观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…根据应用举例获得的经验进行填空：
（3）如果是符合同样规律的一组勾股数，（表示大于1的整数），则　 　，　 　，这就是古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式．
（4）请你利用柏拉图公式，补全下面两组勾股数（数据从小到大排列）第一组：　 　、24、　 　：第二组：　 　、　 　、37．

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一、选择题

1．C
解析：C
【分析】
连接AB，求出AB、BM、AM的长，根据勾股定理逆定理即可求证为直角三角形，而AM=BM，即为等腰直角三角形，据此即可求解．
【详解】
连接AB

∵，，
∴
∴为等腰直角三角形
∴
故选C．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，重点是求出三条边的长，然后证明为直角三角形．
2．D
解析：D
【分析】
根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，分别对每个选项进行判断，即可得到答案.
【详解】
解：∵，得，符合勾股定理逆定理，则①正确；
∵，得到，符合勾股定理逆定理，则②正确；
∵∠A＝∠B∠C，得∠B=∠A+∠C，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B=90°，故③正确；
∵∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，∠A+∠B+∠C=180°，
∴，故④正确；
∵，则⑤不能构成直角三角形，故⑤错误；
∵，则⑥能构成直角三角形，故⑥正确；
∴能构成直角三角形的有5个；
故选择：D.
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理进行判断三角形是直角三角形.
3．B
解析：B
【解析】
由题可知（a-b）2+a2=（a+b）2，解得a=4b，所以直角三角形三边分别为3b，4b，5b，当b=8时，4b=32，故选B．
4．A
解析：A
【分析】
作于点D，设，得，，结合题意，经解方程计算得BD，再通过勾股定理计算得AD，即可完成求解．
【详解】
如图，作于点D

设，则
∴，
∴
∵AB=10，AC=
∴
∴
∴
∴△ABC的面积
故选：A．
【点睛】
本题考察了直角三角形、勾股定理、一元一次方程的知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质，从而完成求解．
5．D
解析：D
【分析】
根据勾股定理求出AB的长，即为AC的长，再根据数轴上的点的表示解答.
【详解】
由勾股定理得，
∴
∵点A表示的数是1
∴点C表示的数是
故选D.
【点睛】
本题考查了勾股定理、实数与数轴，熟记定理并求出AB的长是解题的关键.
6．B
解析：B
【分析】
“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．
【详解】
“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：

故选B.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的证明，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
7．B
解析：B
【分析】
根据“在Rt△ABC中”和“沿BD进行翻折”可知，本题考察勾股定理和翻折问题，根据勾股定理和翻折的性质，运用方程的方法进行求解．
【详解】
∵∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴BC==10，
根据翻折的性质可得A′B=AB=6，A′D=AD，
∴A′C=10-6=4．
设CD=x，则A′D=8-x，
根据勾股定理可得x2-（8-x）2=42，
解得x=5，
故CD=5．
故答案为：B．
【点睛】
本题考察勾股定理和翻折问题，根据勾股定理把求线段的长的问题转化为方程问题是解决本题的关键．
8．D
解析：D
【解析】
A选项：32+42≠62，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
B选项：52+62≠72，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
C选项：62+82≠92，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
D选项：72+242=252，故符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故正确．
故选D．
9．C
解析：C
【分析】
筷子浸没在水中的最短距离为水杯高度，最长距离如下图，是筷子斜卧于杯中时，利用勾股定理可求得.
【详解】
当筷子笔直竖立在杯中时，筷子浸没水中距离最短，为杯高=8cm
AD是筷子，AB长是杯子直径，BC是杯子高，当筷子如下图斜卧于杯中时，浸没在水中的距离最长

由题意得：AB=15cm，BC=8cm，△ABC是直角三角形
∴在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC=17cm
∴8cm≤h≤17cm
故选：C
【点睛】
本题考查勾股定理在实际生活中的应用，解题关键是将题干中生活实例抽象成数学模型，然后再利用相关知识求解.
10．D
解析：D
【分析】
设正方形ADOF的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，整理方程即可．
【详解】
解：设正方形ADOF的边长为x，
由题意得：BE＝BD＝4，CE＝CF＝6，
∴BC＝BE＋CE＝BD＋CF＝10，
在Rt△ABC中，AC2＋AB2＝BC2，
即（6＋x）2＋（x＋4）2＝102，
整理得，x2＋10x﹣24＝0，
∴x2＋10x＝24，
故选：D．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
二、填空题

11．【解析】
试题分析：将台阶展开，如图，即蚂蚁爬行的最短线路为

考点：平面展开：最短路径问题．
12．8
【分析】
根据S△PAD＝S矩形ABCD，得出动点P在与AD平行且与AD的距离是4的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接DE，BE，则DE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ADE中，由勾股定理求得DE的值，即可得到PA+PD的最小值．
【详解】
设△PAD中AD边上的高是h．
∵S△PAD＝S矩形ABCD，
∴ AD•h＝AD•AB，
∴h＝AB＝4，
∴动点P在与AD平行且与AD的距离是4的直线l上，
如图，作A关于直线l的对称点E，连接BE，DE，则DE的长就是所求的最短距离．

在Rt△ADE中，∵AD＝8，AE＝4+4＝8，
DE＝ ,
即PA+PD的最小值为8 ．
故答案8．
【点睛】
本题主要考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．
13．32或42
【分析】
根据题意画出图形，分两种情况：△ABC是钝角三角形或锐角三角形，分别求出边BC，即可得到答案
【详解】
当△ABC是钝角三角形时，
∵∠D=90°，AC=13，AD=12，
∴,
∵∠D=90°，AB=15，AD=12，
∴,
∴BC=BD-CD=9-5=4，
∴△ABC的周长=4+15+13=32；

当△ABC是锐角三角形时，
∵∠ADC=90°，AC=13，AD=12，
∴，
∵∠ADB=90°，AB=15，AD=12，
∴，
∴BC=BD-CD=9+5=14，
∴△ABC的周长=14+15+13=42；

综上，△ABC的周长是32或42，
故答案为：32或42.
【点睛】
此题考查勾股定理的实际应用，能依据题意正确画出图形分类讨论是解题的关键.
14．21
【分析】
在AB上截取AE=AD，连接CE，过点C作CF⊥AB于点F，先证明△ADC≌△AEC，得出AE=AD=9，CE=CD=BC＝10的长度，再设EF=BF=x，在Rt△CFB和Rt△CFA中，由勾股定理求出x，再根据AB=AE+EF+FB求得AB的长度．
【详解】
如图所示，在AB上截取AE=AD，连接CE，过点C作CF⊥AB于点F，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠EAC．
在△AEC和△ADC中，

∴△ADC≌△AEC（SAS），
∴AE=AD=9，CE=CD=BC =10，
又∵CF⊥AB，
∴EF=BF，
设EF=BF=x．
∵在Rt△CFB中，∠CFB=90°，
∴CF2=CB2-BF2=102-x2，
∵在Rt△CFA中，∠CFA=90°，
∴CF2=AC2-AF2=172-（9+x）2，即102-x2=172-（9+x）2，
∴x=6，
∴AB=AE+EF+FB=9+6+6=21，
∴AB的长为21．

故答案是：21.
【点睛】
考查全等三角形的判定和性质、勾股定理和一元二次方程等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，再运用用方程的思想解决问题．
15．．
【分析】
作点B关于AD的对称点B′，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，根据轴对称确定最短路线问题，B′N的长度即为BM+MN的最小值，根据∠BAC=60°判断出△ABB′是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可．
【详解】
如图，作点B关于AD的对称点B′，

由垂线段最短，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，B′N最短，
由轴对称性质，BM=B′M，
∴BM+MN=B′M+MN=B′N，
由轴对称的性质，AD垂直平分BB′，
∴AB=AB′，
∵∠BAC=60°，
∴△ABB′是等边三角形，
∵AB=2，
∴B′N=2×=，
即BM+MN的最小值是．
故答案为．
【点睛】
本题考查了轴对称确定最短路线问题，等边三角形的判定与性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，作出图形更形象直观．
16．
【分析】
连接CE．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”、等腰三角形的性质以及折叠的性质推知EG+CG=EG+GF=EF=BE，
【详解】
解：（1）如图，连接CD、CF.

∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB边的中点，
∴BD=CD=1．BC= ,
∵由翻折可知BD=DF，
∴CD=BD=DF=1，∠DFE=∠B=∠DCA=45°,
∴∠DCF=∠DFC，
∴∠DCF-∠DCA=∠DFC-∠DFE，即∠GCF=∠GFC，
∴GC=GF，
∴EG+CG=EG+GF=EF=BE，
∴△ECG的周长=EG+GC+CE=BE+EC=BC=,
故答案为.
【点睛】
本题考查了折叠的性质、勾股定理、直角三角形的性质，能将三角形的周长转移到已知线段上是解题的关键.．
17．10
【分析】
首先作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值，易得△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∠N′OM′=90°，继而可以求得答案．
【详解】
作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．
根据轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°，OM′=OM=6，ON′=ON=8，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′=90°．在Rt△M′ON′中，M′N′==10．
故答案为10．

【点睛】
本题考查了最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到直角三角形是解题的关键．
18．
【详解】
四边形DEFA是正方形，面积是4； △ABF，△ACD的面积相等，且都是 ×1×2=1．
△BCE的面积是：×1×1=．
则△ABC的面积是：4﹣1﹣1﹣=．
在直角△ADC中根据勾股定理得到：AC=．
设AC边上的高线长是x．则AC•x=x=，
解得：x=．

故答案为.
19．5
【解析】
试题分析：作点B关于AC的对称点F，构建直角三角形，根据最短路径可知：此时PB+PE的值最小，接下来要求出这个最小值，即求EF的长即可，因此要先求AF的长，证明△ADF≌△CDB，可以解决这个问题，从而得出EF=5，则PB+PE的最小值为5．
解：如图，过B作BD⊥AC，垂足为D，并截取DF=BD，连接EF交AC于P，连接PB、AF，则此时PB+PE的值最小，

∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=CB,∠ABC=90°，AD=DC，
∴∠BAC=∠C=45°，
∵∠ADF=∠CDB，
∴△ADF≌△CDB，
∴AF=BC,∠FAD=∠C=45°，
∵AE=3，BE=1，
∴AB=BC=4，
∴AF=4，
∵∠BAF=∠BAC+∠FAD=45°+45°=90°,
∴由勾股定理得：EF===5，
∵AC是BF的垂直平分线，
∴BP=PF，
∴PB+PE=PF+PE=EF=5，
故答案为5.
点睛：本题主要考查最短路径问题.解题的关键在于要利用轴对称知识，结合两点之间线段最短来求解.
20．
【分析】
过B作BF⊥CA于F，构造直角三角形，分两种情况讨论，利用勾股定理以及等腰直角三角形的性质，即可得到AC的长．
【详解】
分两种情况：
①当∠C为锐角时，如图所示，过B作BF⊥AC于F，

由折叠可得，折痕PE垂直平分AB，
∴AP=BP=4，
∴∠BPC=2∠A=45°，
∴△BFP是等腰直角三角形，
∴BF=DF=，
又∵BC=3，
∴Rt△BFC中，CF=，
∴AC=AP+PF+CF=5+；
②当∠ACB为钝角时，如图所示，过B作BF⊥AC于F，

同理可得，△BFP是等腰直角三角形，
∴BF=FP=，
又∵BC=3，
∴Rt△BCF中，CF=，
∴AC=AF-CF=3+.
故答案为：5+或3+．
【点睛】
本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，解决问题的关键是分两种情况画出图形进行求解．解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
三、解答题

21．(1) 出发10s后，△BMN为等边三角形；(2)出发6s或15s后，△BMN为直角三角形．
【分析】
（1）设时间为x，表示出AM=x、BN=2x、BM=30-x，根据等边三角形的判定列出方程，解之可得；
（2）分两种情况：①∠BNM=90°时，即可知∠BMN=30°，依据BN=BM列方程求解可得；②∠BMN=90°时，知∠BNM=30°，依据BM=BN列方程求解可得．
【详解】
解　(1)设经过x秒，△BMN为等边三角形，
则AM＝x，BN＝2x，
∴BM＝AB－AM＝30－x，
根据题意得30－x＝2x，
解得x＝10，
答：经过10秒，△BMN为等边三角形；
(2)经过x秒，△BMN是直角三角形，
①当∠BNM＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BMN＝30°，
∴BN＝BM，即2x＝(30－x)，
解得x＝6；
②当∠BMN＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BNM＝30°，
∴BM＝BN，即30－x＝×2x，
解得x＝15，
答：经过6秒或15秒，△BMN是直角三角形．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理，等边三角形的判定.
22．BF的长为
【分析】
先连接BF，由E为中点及AC=BC，利用三线合一可得CE⊥AB，进而可证△AFE≌△BFE，再利用AD为角平分线以及三角形外角定理，即可得到∠BFD为45°，△BFD为等腰直角三角形，利用勾股定理即可解得BF．
【详解】
解：连接BF．

∵CA=CB，E为AB中点
∴AE=BE，CE⊥AB，∠FEB=∠FEA=90°
在Rt△FEB与Rt△FEA中，

∴Rt△FEB≌Rt△FEA
又∵AD平分∠BAC，在等腰直角三角形ABC中∠CAB=45°
∴∠FBE=∠FAE=∠CAB=22.5°
在△BFD中，∠BFD=∠FBE+∠FAE=45°
又∵BD⊥AD，∠D=90°
∴△BFD为等腰直角三角形，BD=FD=3
∴
【点睛】
本题主要考查等腰直角三角形的性质及判定、三角形全等的性质及判定、三角形外角、角平分线，解题关键在于熟练掌握等腰直角三角形的性质．
23．（1）证明见解析；（2）5；（3）CD2+CE2＝BC2，证明见解析．
【分析】
（1）先判断出∠BAE=∠CAD，进而得出△ACD≌△ABE，即可得出结论．
（2）先求出∠CDA=∠ADE=30°，进而求出∠BED=90°，最后用勾股定理即可得出结论．
（3）方法1、同（2）的方法即可得出结论；方法2、先判断出CD2+CE2=2（AP2+CP2），再判断出CD2+CE2=2AC2．即可得出结论．
【详解】
解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD．
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴CD＝BE．
（2）如图2，连结BE，
∵AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AD＝3，∠ADE＝∠AED＝60°，
∵CD⊥AE，
∴∠CDA＝∠ADE＝×60°＝30°，
∵由（1）得△ACD≌△ABE，
∴BE＝CD＝4，∠BEA＝∠CDA＝30°，
∴∠BED＝∠BEA+∠AED＝30°+60°＝90°，即BE⊥DE，
∴BD＝＝＝5．
（3）CD2、CE2、BC2之间的数量关系为：CD2+CE2＝BC2，理由如下：
解法一：
如图3，连结BE．
∵AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠D＝∠AED＝45°，
∵由（1）得△ACD≌△ABE，
∴BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°，
∴∠BEC＝∠BEA+∠AED＝45°+45°＝90°，即BE⊥DE，
在Rt△BEC中，由勾股定理可知：BC2＝BE2+CE2．
∴BC2＝CD2+CE2．
解法二：
如图4，过点A作AP⊥DE于点P．
∵△ADE为等腰直角三角形，AP⊥DE，
∴AP＝EP＝DP．
∵CD2＝（CP+PD）2＝（CP+AP）2＝CP2+2CP•AP+AP2，
CE2＝（EP﹣CP）2＝（AP﹣CP）2＝AP2﹣2AP•CP+CP2，
∴CD2+CE2＝2AP2+2CP2＝2（AP2+CP2），
∵在Rt△APC中，由勾股定理可知：AC2＝AP2+CP2，
∴CD2+CE2＝2AC2．
∵△ABC为等腰直角三角形，由勾股定理可知：
∴AB2+AC2＝BC2，即2AC2＝BC2，
∴CD2+CE2＝BC2．

【点睛】
本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解（1）的关键是判断出∠BAE=∠CAD，解（2）（3）的关键是判断出BE⊥DE，是一道中等难度的中考常考题．
24．作图见解析，
【分析】
作A点关于BC的对称点A'，A'A与BC交于点H，再作A'M⊥AB于点M，与BC交于点N，此时AN+MN最小，连接AN，首先用等积法求出AH的长，易证△ACH≌△A'NH，可得A'N=AC=4，然后设NM=x，利用勾股定理建立方程求出NM的长，A'M的长即为AN+MN的最小值．
【详解】
如图，作A点关于BC的对称点A'，A'A与BC交于点H，再作A'M⊥AB于点M，与BC交于点N，此时AN+MN最小，最小值为A'M的长．

连接AN，
在Rt△ABC中，AC=4，AB=8，
∴BC=
∵
∴AH=
∵CA⊥AB，A'M⊥AB，
∴CA∥A'M
∴∠C=∠A'NH，
由对称的性质可得AH=A'H，∠AHC=∠A'HN=90°，AN=A'N
在△ACH和△A'NH中，
∵∠C=∠A'NH，∠AHC=∠A'HN，AH=A'H，
∴△ACH≌△A'NH（AAS）
∴A'N=AC=4=AN，
设NM=x，
在Rt△AMN中，AM2=AN2-NM2=
在Rt△AA'M中，AA'=2AH=，A'M=A'N+NM=4+x
∴AM2=AA'2-A'M2=
∴
解得
此时的最小值=A'M=A'N+NM=4+=
【点睛】
本题考查了最短路径问题，正确作出辅助线，利用勾股定理解直角三角形是解题的关键．
25．（1）CD=8；（2）t=4；（3）()
【分析】
（1）作AE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得BE=BC，然后利用勾股定理求出AE，再用等面积法可求出CD的长；
（2）①过B作BF⊥AC于F，易得BF=CD，分别讨论Q点在AF和FC之间时，根据△BQF≌△CPD，得到PD=QF，建立方程即可求出t的值；
（3）同（2）建立等式关系即可得出关系式，再根据Q在FC之间求出t的取值范围即可.
【详解】
解：（1）如图，作AE⊥BC于E，

∵AB=AC，
∴BE=BC=
在Rt△ABE中，

∵△ABC的面积=
∴
（2）过B作BQ⊥AC，当Q在AF之间时，如图所示，

∵△ABC的面积=，AB=AC
∴BF=CD
在Rt△CPD和Rt△BQF中
∵CP=BQ，CD=BF，
∴Rt△CPD≌Rt△BQF（HL）
∴PD=QF
在Rt△ACD中，CD=8，AC=AB=10
∴
同理可得AF=6
∴PD=AD=AP=6-t，QF=AF-AQ=6-2t
由PD=QF得6-t=6-2t，解得t=0，
∵t＞0，
∴此种情况不符合题意，舍去；
当Q点在FC之间时，如图所示，

此时PD=6-t，QF=2t-6
由PD=QF得6-t=2t-6，
解得t=4，
综上得t的值为4.
（3）同（2）可知v＞1时，Q在AF之间不存在CP=BQ，Q在FC之间存在CP=BQ，Q在F点时，显然CP≠BQ，
∵运动时间为t，则AP=t，AQ=vt，
∴PD=6-t，QF=vt-6，
由PD=QF得6-t=vt-6，
整理得，
∵Q在FC之间，即AF＜AQ≤AC
∴，代入得
，解得
所以答案为()
【点睛】
本题考查三角形中的动点问题，熟练掌握勾股定理求出等腰三角形的高，利用全等三角形对应边相等建立方程是解题的关键.
26．（1）（5，0）；（2）见解析；（3）①P（4，2），②满足△ACP与△BDC全等的点是P1、P2，P3．
理由见解析
【分析】
（1）由题意可以假设A（a，a）（a＞0），根据AB2+OB2=OA2，构建方程即可解决问题；
（2）由角平分线的性质定理证明CH=CF，CG=CF即可解决问题；
（3）①如图3中，在BC的延长线上取点P，使得CP=DB，连接AP．只要证明△ACP≌△CDB（SAS），△ABP是等腰直角三角形即可解决问题；
②根据SAS即可判断满足△ACP与△BDC全等的点是P1、P2，P3；
【详解】
解：（1）∵点A在射线y＝x（x≥0）上，故可以假设A（a，a）（a＞0），
∵AB⊥x轴，
∴AB＝OB＝a，即△ABO是等腰直角三角形，
∴AB2+OB2＝OA2，
∴a2+a2＝（5）2，
解得a＝5，
∴点B坐标为（5，0）．
（2）如图2中，作CF⊥x轴于F．

∵OC平分∠AOB，CH⊥OE，
∴CH＝CF，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AOB＝45°，
∵BC∥OE，
∴∠CBG＝∠AOB＝45°，得到BC平分∠ABF，
∵CG⊥BA，CF⊥BF，
∴CG＝CF，
∴CG＝CH．
（3）①如图3中，在BC的延长线上取点P，使得CP＝DB，连接AP．

由（2）可知AC平分∠DAE，
∴∠DAC＝∠DAE＝（180°﹣45°）＝67.5°，
由OC平分∠AOB得到∠DOB＝∠AOB＝22.5°，
∴∠ADC＝∠ODB＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠ADC＝∠DAC＝67.5°，
∴AC＝DC，
∠BDC＝∠OBD+∠DOB＝90°+22.5°＝112.5°，
∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠ADC＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，
∠OCB＝45°﹣22.5°＝22.5°，
∠ACP＝180°﹣∠ACD﹣∠OCB＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，
在△ACP和△CDB中， ，
∴△ACP≌△CDB（SAS），
∴∠CAP＝∠DCB＝22.5°，
∴∠BAP＝∠CAP+∠DAC＝22.5°+67.5°＝90°，
∴△ABP是等腰直角三角形，
∴AP＝AB＝OB＝2，
∴P（4，2）．
②满足△ACP与△BDC全等的点是P1、P2，P3．
理由：如图4中，

由题意：AP1＝BD，AC＝CD，∠CAP1＝∠CDB，根据SAS可得△CAP1≌△CDB；
AP2＝BD，AC＝CD，∠CAP2＝∠CDB，根据SAS可得△CAP2≌△CDB；
AC＝CD，∠ACP3＝∠BDC，BD＝CP3根据SAS可得△CAP3≌△DCB；
故答案为P1、P2，P3．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
27．（1），，，；（2）图见解析；7．
【分析】
（1）利用勾股定理求出AB，BC，AC，理由分割法求出△ABC的面积．
（2）模仿（1）中方法，画出△PMN，利用分割法求解即可．
【详解】
解：（1）如图1中，AB＝＝＝，BC＝＝＝，AC＝＝＝，
S△ABC＝S矩形DEFC﹣S△AEB﹣S△AFC﹣S△BDC＝12﹣3﹣﹣2＝，
故答案为，，，．
（2）△PMN如图所示．

S△PMN＝4×4﹣2﹣3﹣4＝7，
故答案为7．
【点睛】
此题重点考查学生对勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.
28．（1）见详解；（2）①t值为：s或6s；②t值为：4.5或5或．
【分析】
（1）设BD=2x，AD=3x，CD=4x，则AB=5x，由勾股定理求出AC，即可得出结论；
（2）由△ABC的面积求出BD、AD、CD、AC；①当MN∥BC时，AM=AN；当DN∥BC时，AD=AN；得出方程，解方程即可；
②根据题意得出当点M在DA上，即2＜t≤5时，△MDE为等腰三角形，有3种可能：如果DE=DM；如果ED=EM；如果MD=ME=2t-4；分别得出方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）证明：设BD=2x，AD=3x，CD=4x，