【冲刺实验班】河北秦皇岛市第一中学2020中考提前自主招生数学模拟试卷(9套)附解析.docx
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【冲刺实验班】河北秦皇岛市第一中学2020中考提前自主招生数学模拟试卷(9套)附解析 中学自主招生数学试卷 一.选择题(满分30分,每小题3分) 1.估计﹣2的值在( ) A.0到l之间 B.1到2之问 C.2到3之间 D.3到4之间 2.已知图中所有的小正方形都全等,若在右图中再添加一个全等的小正方形得到新的图形,使新图形是中心对称图形,则正确的添加方案是( ) A. B. C. D. 3.下列计算正确的是( ) A.3x2﹣2x2=1 B. += C.x÷y•=x D.a2•a3=a5 4.如图,已知直线AB、CD被直线AC所截,AB∥CD,E是平面内任意一点(点E不在直线AB、CD、AC上),设∠BAE=α,∠DCE=β.下列各式:①α+β,②α﹣β,③β﹣α,④360°﹣α﹣β,∠AEC的度数可能是( ) A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 5.甲、乙两人进行射击比赛,在相同条件下各射击10次,他们的平均成绩一样,而他们的方差分别是S甲2=1.8,S乙2=0.7,则成绩比较稳定的是( ) A.甲稳定 B.乙稳定 C.一样稳定 D.无法比较 6.如图是一个几何体的三视图,则该几何体的展开图可以是( ) A. B. C. D. 7.已知函数y=kx+b的图象如图所示,则函数y=﹣bx+k的图象大致是( ) A. B. C. D. 8.下列一元二次方程中,有两个相等的实数根的是( ) A.x2﹣4x﹣4=0 B.x2﹣36x+36=0 C.4x2+4x+1=0 D.x2﹣2x﹣1=0 9.如图,在菱形ABCD中,点P从B点出发,沿B→D→C方向匀速运动,设点P运动时间为x,△APC的面积为y,则y与x之间的函数图象可能为( ) A. B. C. D. 10.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=4,点E是AB边上的动点,过点B作直线CE的垂线,垂足为F,当点E从点A运动到点B时,点F的运动路径长为( ) A. B.2 C.π D.π 二.填空题(满分18分,每小题3分) 11.因式分解:a3﹣9a= . 12.方程=的解是 . 13.已知,如图,扇形AOB中,∠AOB=120°,OA=2,若以A为圆心,OA长为半径画弧交弧AB于点C,过点C作CD⊥OA,垂足为D,则图中阴影部分的面积为 . 14.若点(1,5),(5,5)是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点,则此抛物线的对称轴是 . 15.已知点A是双曲线y=在第一象限的一动点,连接AO,过点O做OA⊥OB,且OB=2OA,点B在第四象限,随着点A的运动,点B的位置也不断的变化,但始终在一函数图象上运动,则这个函数的解析式为 . 16.如图,在矩形ABCD中,AB=15,BC=17,将矩形ABCD绕点D按顺时针方向旋转得到矩形DEFG,点A落在矩形ABCD的边BC上,连接CG,则CG的长是 . 三.解答题 17.(9分)(x+3)(x﹣1)=12(用配方法) 18.(9分)如图,在矩形ABCD中,M是BC中点,请你仅用无刻度直尺按要求作图. (1)在图1中,作AD的中点P; (2)在图2中,作AB的中点Q. 19.(10分)先化简,再求值(1﹣)÷,其中x=4. 20.(10分)抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况,从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试,测试结果分为A,B,C,D四个等级.请根据两幅统计图中的信息回答下列问题: (1)本次抽样调查共抽取了多少名学生? (2)求测试结果为C等级的学生数,并补全条形图; (3)若该中学八年级共有700名学生,请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名? (4)若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生,做为该校培养运动员的重点对象,请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率. 21.(12分)如图,在⊙O中,点A是的中点,连接AO,延长BO交AC于点D. (1)求证:AO垂直平分BC. (2)若,求的值. 22.(12分)如图,将一矩形OABC放在直角坐标系中,O为坐标原点,点A在y轴正半轴上,点E是边AB上的一个动点(不与点A、B重合),过点E的反比例函数y=(x>0)的图象与边BC交于点F (1)若△OAE的面积为S1,且S1=1,求k的值; (2)若OA=2,OC=4,反比例函数y=(x>0)的图象与边AB、边BC交于点E和F,当△BEF沿EF折叠,点B恰好落在OC上,求k的值. 23.(12分)科技改变生活,手机导航极大方便了人们的出行,如图,小明一家自驾到古镇C游玩,到达A地后,导航显示车辆应沿北偏西55°方向行驶4千米至B地,再沿北偏东35°方向行驶一段距离到达古镇C,小明发现古镇C恰好在A地的正北方向,求B、C两地的距离(结果保留整数)(参考数据:tan55°≈1.4,tan35°≈0.7,sin55°≈0.8) 24.(14分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx﹣,过点A(﹣3,2)和点B(2,),与y轴交于点C,连接AC交x轴于点D,连接OA,OB (1)求抛物线y=ax2+bx﹣的函数表达式; (2)求点D的坐标; (3)∠AOB的大小是 ; (4)将△OCD绕点O旋转,旋转后点C的对应点是点C′,点D的对应点是点D′,直线AC′与直线BD′交于点M,在△OCD旋转过程中,当点M与点C′重合时,请直接写出点M到AB的距离. 25.(14分)如图,四边形ABCD的顶点在⊙O上,BD是⊙O的直径,延长CD、BA交于点E,连接AC、BD交于点F,作AH⊥CE,垂足为点H,已知∠ADE=∠ACB. (1)求证:AH是⊙O的切线; (2)若OB=4,AC=6,求sin∠ACB的值; (3)若=,求证:CD=DH. 参考答案 1.B. 2.B. 3.D. 4.D. 5.B. 6.A. 7.C. 8.C. 9.A. 10.D. 11.a(a+3)(a﹣3). 12.x=﹣4 13.π+. 14.x=3. 15.y=﹣. 16.. 17.解:将原方程整理,得 x2+2x=15(1分) 两边都加上12,得 x2+2x+12=15+12(2分) 即(x+1)2=16 开平方,得x+1=±4,即x+1=4,或x+1=﹣4(4分) ∴x1=3,x2=﹣5(5分) 18. 解:(1)如图点P即为所求; (2)如图点Q即为所求; 19.解:原式=(﹣)÷ =• =, 当x=4时,原式==. 20.解:(1)10÷20%=50, 所以本次抽样调查共抽取了50名学生; (2)测试结果为C等级的学生数为50﹣10﹣20﹣4=16(人); 补全条形图如图所示: (3)700×=56, 所以估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名; (4)画树状图为: 共有12种等可能的结果数,其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2, 所以抽取的两人恰好都是男生的概率==. 21.(1)证明:延长AO交BC于H. ∵=, ∴OA⊥BC, ∴BH=CH, ∴AO垂直平分线段BC. (2)解:延长BD交⊙O于K,连接CK. 在Rt△ACH中,∵tan∠ACH==, ∴可以假设AH=4k,CH=3k,设OA=r, 在Rt△BOH中,∵OB2=BH2+OH2, ∴r2=9k2+(4k﹣r)2, ∴r=k, ∴OH=AH=OA=k, ∵BK是直径, ∴∠BCK=90°, ∴CK⊥BC,∵OA⊥BC, ∴OA∥CK, ∵BO=OK,BH=HC, ∴CK=2OH=k, ∵CK∥OA, ∴△AOD∽△CKD, ∴===. 22.解:(1)设E(a,b),则OA=b,AE=a,k=ab ∵△AOE的面积为1, ∴k=1,k=2; 答:k的值为:2. (2)过E作ED⊥OC,垂足为D,△BEF沿EF折叠,点B恰好落在OC上的B′, ∵OA=2,OC=4,点E、F在反比例函数y=的图象上, ∴E(,2),F(4,), ∴EB=EB′=4﹣,BF=B′F=2﹣, ∴=, 由△EB′F∽△B′CF得:, ∵DE=2, ∴B′C=1, 在Rt△B′FC中,由勾股定理得: 12+()2=(2﹣)2,解得:k=3, 答:k的值为:3. 23.解:过B作BD⊥AC于点D. 在Rt△ABD中,BD=AB•sin∠BAD=4×0.8=3.2(千米), ∵△BCD中,∠CBD=90°﹣35°=55°, ∴CD=BD•tan∠CBD=4.48(千米), ∴BC=CD÷sin∠CBD≈6(千米). 答:B、C两地的距离大约是6千米. 24.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx﹣过点A(﹣3,2)和点B(2,) ∴ 解得: ∴抛物线的函数表达式为:y=x2+x﹣ (2)当x=0时,y=ax2+bx﹣=﹣ ∴C(0,﹣) 设直线AC解析式为:y=kx+c ∴ 解得: ∴直线AC解析式为y=﹣x﹣ 当y=0时,﹣x﹣=0,解得:x=﹣1 ∴D(﹣1,0) (3)如图1,连接AB ∵A(﹣3,2),B(2,) ∴OA2=32+(2)2=21,OB2=22+()2=7,AB2=(2+3)2+()2=28 ∴OA2+OB2=AB2 ∴∠AOB=90° 故答案为:90°. (4)过点M作MH⊥AB于点H,则MH的长为点M到AB的距离. ①如图2,当点M与点C′重合且在y轴右侧时, ∵△OCD绕点O旋转得△OC'D'(即△OMD) ∴OM=OC=,OD'=OD=1,∠MOD'=∠COD=90° ∴MD'==2,∠MD'O=60°,∠OMD'=30° ∵∠MOD'=∠AOB=90° ∴∠MOD'+∠BOM=∠AOB+∠BOM 即∠BOD'=∠AOM ∵OA=,OB= ∴ ∴△BOD'∽△AOM ∴∠BD'O=∠AMO=60°, ∴∠AMD'=∠AMO+∠OMD'=60°+30°=90°,即AM⊥BD' 设BD'=t(t>0),则AM=t,BM=BD'﹣MD'=t﹣2 ∵在Rt△AMB中,AM2+BM2=AB2 ∴(t)2+(t﹣2)2=28 解得:t1=﹣2(舍去),t2=3 ∴AM=3,BM=1 ∵S△AMB=AM•BM=AB•MH ∴MH= ②如图3,当点M与点C′重合且在y轴左侧时, ∴∠MOD'﹣∠AOD'=∠AOB﹣∠AOD' 即∠AOM=∠BOD' ∴同理可证:△AOM∽△BOD' ∴∠AMO=∠BD'O=180°﹣∠MD'O=120°, ∴∠AMD'=∠AMO﹣∠OMD'=120°﹣30°=90°,即AM⊥BD' 设BD'=t(t>0),则AM=t,BM=BD'+MD'=t+2 ∵在Rt△AMB中,AM2+BM2=AB2 ∴(t)2+(t+2)2=28 解得:t1=2,t2=﹣3(舍去) ∴AM=2,BM=4 ∵S△AMB=AM•BM=AB•MH ∴MH= 综上所述,点M到AB的距离为或. 25.(1)证明:连接OA, 由圆周角定理得,∠ACB=∠ADB, ∵∠ADE=∠ACB, ∴∠ADE=∠ADB, ∵BD是直径, ∴∠DAB=∠DAE=90°, 在△DAB和△DAE中, , ∴△DAB≌△DAE, ∴AB=AE,又∵OB=OD, ∴OA∥DE,又∵AH⊥DE, ∴OA⊥AH, ∴AH是⊙O的切线; (2)解:由(1)知,∠E=∠DBE,∠DBE=∠ACD, ∴∠E=∠ACD, ∴AE=AC=AB=6. 在Rt△ABD中,AB=6,BD=8,∠ADE=∠ACB, ∴sin∠ADB==,即sin∠ACB=; (3)证明:由(2)知,OA是△BDE的中位线, ∴OA∥DE,OA=DE. ∴△CDF∽△AOF, ∴==, ∴CD=OA=DE,即CD=CE, ∵AC=AE,AH⊥CE, ∴CH=HE=CE, ∴CD=CH, ∴CD=DH. 重点高中提前招生模拟考试数学试卷 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题 1.不等式的解集是( ) A. ﹣<x≤2 B. ﹣3<x≤2 C. x≥2 D. x<﹣3 2.一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数,将骰子抛掷两次,掷第一次,将朝上一面的点数记为x,掷第二次,将朝上一面的点数记为y,则点(x,y)落在直线y=﹣x+5上的概率为( ) A. B. C. D. 3.如图所示,在正方形铁皮中,剪下一个圆和一个扇形,使余料尽量少.用圆做圆锥的底面,用扇形做圆锥的侧面,正好围成一个圆锥,若圆的半径为r,扇形的半径为R,那么( ) A. R=2r B. R=r C. R=3r D. R=4r 4.如图所示,在边长为a的正方形中,剪去一个边长为b的小正方形(a>b),将余下部分拼成一个梯形,根据两个图形阴影部分面积的关系,可以得到一个关于a、b的恒等式为( ) A. (a﹣b)2=a2﹣2ab+b2 B. (a+b)2=a2+2ab+b2 C. a2﹣b2=(a+b)(a﹣b) D. a2+ab=a(a+b) 5.若直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3(m为常数)的交点在第四象限,则整数m的值为( ) A. ﹣3,﹣2,﹣1,0 B. ﹣2,﹣1,0,1 C. ﹣1,0,1,2 D. 0,1,2,3 二、填空题(每小题4分,共24分) 6.定义新运算:a⊕b=,则函数y=3⊕x的图象大致是 . 7.|π﹣3.14|+sin30°+3.14﹣8= . 8.函数y=的自变量x的取值范围是 . 9.将边长为a的正三角形各边三等分,以这六个分点为顶点构成一个正六边形,则这个正六边形的面积为 . 10.如图,AB是⊙O的直径,C,D为⊙0上的两点,若∠CDB=30°,则∠ABC的度数为 ,cos∠ABC= . 11.已知实数x,y满足x2+3x+y﹣3=0,则x+y的最大值为 . 12.古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,…叫做三角形数,它有一定的规律.若把第一个数记为a1,第二数记为a2,…,第n个数记为an.计算a2﹣a1,a3﹣a2,a4﹣a3,…,由此推算a10﹣a9= ,a2012= . 三.解答题:(共52分) 13.先化简:÷﹣,然后在0,1,2,3中选一个你认为合格的a值,代入求值. 1012•桃源县校级自主招生)关于x的一元二次议程x2﹣x+p+1=0有两个实数根x1,x2. (1)求p的取值范围. (2)[1+x1(1﹣x2)][1+x2(1﹣x1)]=9,求p的值. 15.某服装厂批发应夏季T恤衫,其单价y(元)与批发数量x(件)(x为正整数)之间的函数关系如图所示, (1)直接写出y与x的函数关系式; (2)一个批发商一次购进250件T恤衫,所花的钱数是多少元?(其他费用不计); (3)若每件T恤衫的成本价是20元,当100<x≤400件,(x为正整数)时,求服装厂所获利润w (元)与x(件)之间的函数关系式,并求一次批发多少件时所获利润最大,最大利润是多少? 16.如图,抛物线y=ax2+c(a>0)经过梯形ABCD的四个顶点,梯形的底AD在x轴上,A点到原点的距离为2,梯形的高为3,C点到y轴的距离为1, (1)求抛物线的解析式; (2)点M为y轴上的任意一点,求点M到A,B两点的距离之和的最小值及此时点M的坐标; (3)在第(2)的结论下,抛物线上的P的使S△PAD=S△ABM成立,求点P的坐标. 1012•桃源县校级自主招生)如图所示,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(3,0),(0,1),点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合),过点D作直线y=﹣+b交折线OAB于点E.记△ODE的面积为S. (1)当点E在线段OA上时,求S与b的函数关系式;并求出b的范围; (2)当点E在线段AB上时,求S与b的函数关系式;并求出b的范围; (3)当点E在线段OA上时,若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1,试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化?若不变,求出该重叠部分的面积;若改变,请说明理由. 参考答案与试题解析 一、选择题 1.不等式的解集是( ) A. ﹣<x≤2 B. ﹣3<x≤2 C. x≥2 D. x<﹣3 考点: 解一元一次不等式组. 分析: 先解不等式组中的每一个不等式的解集,再利用求不等式组解集的口诀“大小小大中间找”来求不等式组的解集. 解答: 解:由①得:x>﹣3, 由②得:x≤2, 所以不等式组的解集为﹣3<x≤2. 故选B. 点评: 解不等式组是考查学生的基本计算能力,求不等式组解集的时候,可先分别求出组成不等式组的各个不等式的解集,然后借助数轴或口诀求出所有解集的公共部分. 2.一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数,将骰子抛掷两次,掷第一次,将朝上一面的点数记为x,掷第二次,将朝上一面的点数记为y,则点(x,y)落在直线y=﹣x+5上的概率为( ) A. B. C. D. 考点: 列表法与树状图法;一次函数图象上点的坐标特征. 分析: 列举出所有情况,看落在直线y=﹣x+5上的情况占总情况的多少即可. 解答: 解:共有36种情况,落在直线y=﹣x+5上的情况有(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)4种情况,概率是,故选C. 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 点评: 如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=,注意本题是放回实验. 3.如图所示,在正方形铁皮中,剪下一个圆和一个扇形,使余料尽量少.用圆做圆锥的底面,用扇形做圆锥的侧面,正好围成一个圆锥,若圆的半径为r,扇形的半径为R,那么( ) A. R=2r B. R=r C. R=3r D. R=4r 考点: 圆锥的计算;弧长的计算. 专题: 压轴题. 分析: 让扇形的弧长等于圆的周长即可. 解答: 解:根据扇形的弧长等于圆的周长, ∴扇形弧长等于小圆的周长, 即:=2πr, 解得R=4r,故选D. 点评: 考查了扇形的弧长公式;圆的周长公式;用到的知识点为:圆锥的弧长等于底面周长. 4.如图所示,在边长为a的正方形中,剪去一个边长为b的小正方形(a>b),将余下部分拼成一个梯形,根据两个图形阴影部分面积的关系,可以得到一个关于a、b的恒等式为( ) A. (a﹣b)2=a2﹣2ab+b2 B. (a+b)2=a2+2ab+b2 C. a2﹣b2=(a+b)(a﹣b) D. a2+ab=a(a+b) 考点: 平方差公式的几何背景. 专题: 计算题. 分析: 可分别在正方形和梯形中表示出阴影部分的面积,两式联立即可得到关于a、b的恒等式. 解答: 解:正方形中,S阴影=a2﹣b2; 梯形中,S阴影=(2a+2b)(a﹣b)=(a+b)(a﹣b); 故所得恒等式为:a2﹣b2=(a+b)(a﹣b). 故选:C. 点评: 此题主要考查的是平方差公式的几何表示,运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键. 5.若直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3(m为常数)的交点在第四象限,则整数m的值为( ) A. ﹣3,﹣2,﹣1,0 B. ﹣2,﹣1,0,1 C. ﹣1,0,1,2 D. 0,1,2,3 考点: 两条直线相交或平行问题. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3(m为常数)的交点在第四象限,则交点坐标的符号为(+,﹣),解关于x、y的方程组,使x>0,y<0,即可求得m的值. 解答: 解:由题意得, 解得, ∵直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3(m为常数)的交点在第四象限, ∴,解得:﹣3, 又∵m的值为整数,∴m=﹣2,﹣1,0,1, 故选B. 点评: 考查了平面直角坐标系中点的符号,是一道一次函数综合性的题目,是中档题. 二、填空题(每小题4分,共24分) 6.定义新运算:a⊕b=,则函数y=3⊕x的图象大致是 . 考点: 一次函数的图象;反比例函数的图象. 专题: 新定义. 分析: 根据题意可得y=3⊕x=,再根据反比例函数的性质可得函数图象所在象限和形状,进而得到答案. 解答: 解:由题意得y=3⊕x=, 当x≥3时,y=2;当x<3且x≠0时,y=﹣,图象如图:, 故答案为: 点评: 此题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质,要掌握它们的性质才能灵活解题. 7.|π﹣3.14|+sin30°+3.14﹣8= π . 考点: 实数的运算;特殊角的三角函数值. 专题: 计算题. 分析: 原式第一项利用绝对值的代数意义化简,第二项利用特殊角的三角函数值计算,最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果. 解答: 解:原式=π﹣3.14++3.14﹣=π, 故答案为:π 点评: 此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 8.函数y=的自变量x的取值范围是 x<﹣1或x≥4 . 考点: 函数自变量的取值范围. 分析: 根据被开方数为非负数和分母不能为0计算即可. 解答: 解:由题意得,x2﹣3x﹣4≥0,x+1≠0, 解得,x<﹣1或x≥4, 故答案为:x<﹣1或x≥4. 点评: 本题考查的是函数自变量的范围,一般从三个方面考虑:(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数. 9.将边长为a的正三角形各边三等分,以这六个分点为顶点构成一个正六边形,则这个正六边形的面积为 a2 . 考点: 正多边形和圆. 分析: 由于正三角形各边三等分,就把整个三角形平均分成9个小正三角形,以这六个分点为顶点构成一个正六边形正好相当于6个小正三角形的面积. 解答: 解:如图所示: ∵新的正六边形有三个顶点在正三角形的三边上,且是三边的等分点, ∴连接正三角形的顶点与它对边的中点,可以看出新的正六边形的面积是六个小正三角形的面积之和, ∵边长为a的正三角形各边三等分, ∴小正三角形的边长为a, ∴每个小正三角形的面积是×a×=a×a=a2, ∴新的正六边形的面积=a2×6=a2; 故答案为:a2. 点评: 此题考查了正三角形的性质、正三角形面积的计算方法;熟练掌握正三角形的性质,并能进行推理计算是解决问题的关键. 10.如图,AB是⊙O的直径,C,D为⊙0上的两点,若∠CDB=30°,则∠ABC的度数为 60° ,cos∠ABC= . 考点: 圆周角定理;特殊角的三角函数值. 分析: 由于AB是⊙O的直径,由圆周角定理可知∠ACB=90°,则∠A和∠ABC互余,欲求∠ABC需先求出∠A的度数,已知了同弧所对的圆周角∠CDB的度数,则∠A=∠CDB,由此得解. 解答: 解:连接AC, ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB=90°,即∠A+∠ABC=90°; 又∵∠A=∠CDB=30°, ∴∠ABC=90°﹣∠A=60°, ∴cos∠ABC=. 故答案为:60°. 点评: 此题主要考查了圆周角定理及其推论,半圆(弧)和直径所对的圆周角是直角,同弧所对的圆周角相等,还考查了三角函数,掌握圆周角定理是解题的关键. 11.已知实数x,y满足x2+3x+y﹣3=0,则x+y的最大值为 4 . 考点: 二次函数的应用. 专题: 压轴题. 分析: 将函数方程x2+3x+y﹣3=0代入x+y,把x+y表示成关于x的函数,根据二次函数的性质求得最大值. 解答: 解:由x2+3x+y﹣3=0得 y=﹣x2﹣3x+3,把y代入x+y得: x+y=x﹣x2﹣3x+3=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4≤4, ∴x+y的最大值为4. 故答案为:4. 点评: 本题考查了二次函数的性质及求最大值的方法,即完全平方式法. 12.古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,…叫做三角形数,它有一定的规律.若把第一个数记为a1,第二数记为a2,…,第n个数记为an.计算a2﹣a1,a3﹣a2,a4﹣a3,…,由此推算a10﹣a9= 10 ,a2012= 2025078 . 考点: 规律型:数字的变化类. 分析: 先计算a2﹣a1=3﹣1=2;a3﹣a2=6﹣3=3;a4﹣a3=10﹣6=4,则a10﹣a9=10,a2=1+2,a3=1+2+3,a4=1+3+4,即第n个三角形数等于1到n的所有整数的和,然后计算n=2012的a的值. 解答: 解:∵a2﹣a1=3﹣1=2; a3﹣a2=6﹣3=3; a4﹣a3=10﹣6=4, ∴a10﹣a9=10 ∵a2=1+2, a3=1+2+3, a4=1+2+3+4, … ∴a2012=1+2+3+4+…+2012==2025078. 故答案为:10,2025078. 点评: 本题考查了规律型:数字的变化类,通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素,然后推广到一般情况是解答此题的关键. 三.解答题:(共52分) 13.先化简:÷﹣,然后在0,1,2,3中选一个你认为合格的a值,代入求值. 考点: 分式的化简求值. 分析: 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再选出合适的x的值代入进行计算即可. 解答: 解:原式=•+a =a+a =2a. 当a=2时,原式=4a. 点评: 本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键. 1012•桃源县校级自主招生)关于x的一元二次议程x2﹣x+p+1=0有两个实数根x1,x2. (1)求p的取值范围. (2)[1+x1(1﹣x2)][1+x2(1﹣x1)]=9,求p的值. 考点: 根的判别式;根与系数的关系. 分析: (1)根据题意得出△≥0,求出即可; (2)根据根与系数的关系得出x1+x2=1,x1•x2=p+1,整理后得出(1﹣x1•x2)2+(x1+x2)(1﹣x1•x2)+x1•x2=9,代入求出即可. 解答: 解:(1)△=(﹣1)2﹣4(p+1)=﹣3﹣4p, 当﹣3﹣4p≥0,即p≤﹣时,方程有两个实数根, 即p的取值范围是p≤﹣; (2)根据根与系数的关系得:x1+x2=1,x1•x2=p+1, ∵[1+x1(1﹣x2)][1+x2(1﹣x1)]=9, ∴(1﹣x1•x2)2+(x1+x2)(1﹣x1•x2)+x1•x2=9, ∴[1﹣(p+1)]2+1×[1﹣(p+1)]+(p+1)=9, 解得:p±2, ∵p≤﹣, ∴p=﹣2. 点评: 本题考查了根与系数的关系,根的判别式的应用,能正确利用知识点进行计算是解此题的关键,题目比较典型. 15.某服装厂批发应夏季T恤衫,其单价y(元)与批发数量x(件)(x为正整数)之间的函数关系如图所示, (1)直接写出y与x的函数关系式; (2)一个批发商一次购进250件T恤衫,所花的钱数是多少元?(其他费用不计); (3)若每件T恤衫的成本价是20元,当100<x≤400件,(x为正整数)时,求服装厂所获利润w (元)与x(件)之间的函数关系式,并求一次批发多少件时所获利润最大,最大利润是多少? 考点: 二次函数的应用. 分析: (1)由题意设出一次函数的解析式,再根据点在直线上待定系数法求出函数解析式; (2)列出总利润的函数表达式,转化为求函数最值问题,最后求出最大利润; (3)根据利润=单件利润×批发数量,列出二次函数表达式,再运用二次函数性质解决最值问题. 解答: 解:(1)当0≤x<100时,y=60; 当x≥100时,设y=kx+b,由图象可以看出过(100,60),(400,40),则 , , ∴y=; (2)∵250>100, ∴当x=250件时,y=﹣×250+=50元, ∴批发商一次购进250件T恤衫,所花的钱数是:50×250=12500元; (3)W=(﹣x+﹣20)×x=﹣x2+x=﹣(x﹣350)2+, ∴当一次性批发350件时,所获利润最大,最大利润是元. 点评: 本题考查了待定系数法求函数关系式以及运用函数的性质解决问题,根据题意列出函数表达式是解决问题的关键. 16.如图,抛物线y=ax2+c(a>0)经过梯形ABCD的四个顶点,梯形的底AD在x轴上,A点到原点的距离为2,梯形的高为3,C点到y轴的距离为1, (1)求抛物线的解析式; (2)点M为y轴上的任意一点,求点M到A,B两点的距离之和的最小值及此时点M的坐标; (3)在第(2)的结论下,抛物线上的P的使S△PAD=S△ABM成立,求点P的坐标. 考点: 二次函数综合题. 分析: (1)易知A(﹣2,0),C(1,﹣3),将A、C两点的坐标代入y=ax2+c,利用待定系数法即可求出抛物线的解析式; (2)由于A、D关于抛物线对称轴即y轴对称,那么连接BD,BD与y轴的交点即为所求的M点,可先求出直线BD的解析式,即可得到M点的坐标; (3)设直线BC与y轴的交点为N,那么S△ABM=S梯形AONB﹣S△BMN﹣S△AOM,由此可求出△ABM和△PAD的面积;在△PAD中,AD的长为定值,可根据其面积求出P点纵坐标的绝对值,然后代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标. 解答: 解:(1)由题意可得:A(﹣2,0),C(1,﹣3), ∵抛物线y=ax2+c(a>0)经过A、C两点, ∴,解得, ∴抛物线的解析式为:y=x2﹣4; (2)由于A、D关于抛物线的对称轴(即y轴)对称,连接BD,则BD与y轴的交点即为M点; 设直线BD的解析式为:y=kx+b(k≠0), ∵B(﹣1,﹣3),D(2,0), ∴, 解得 , ∴直线BD的解析式为y=x﹣2, 当x=0时,y=﹣2, ∴点M的坐标是(0,﹣2); (3)设BC与y轴的交点为N,则有N(0,﹣3), ∵M(0,﹣2),B(﹣1,﹣3), ∴MN=1,BN=1,ON=3, ∴S△ABM=S梯形AONB﹣S△BMN﹣S△AOM=(1+2)×3﹣×1×1﹣×2×2=2, ∴S△PAD=S△ABM=2. ∵S△PAD=AD•|yP|=2,AD=4, ∴|yP|=1. 当P点纵坐标为1时,x2﹣4=1,解得x=±, ∴P1(,1),P2(﹣,1); 当P点纵坐标为﹣1时,x2﹣4=﹣1,解得x=±, ∴P3(,﹣1),P4(﹣,﹣1); 故存在符合条件的P点,且P点坐标为:P1(,1),P2(﹣,1),P3(,﹣1),P4(﹣,﹣1). 点评: 此题是二次函数的综合题型,其中涉及到二次函数解析式的确定、函数图象交点及图形面积的求法,轴对称的性质等.当所求图形不规则时,一般要将不规则图形转换为几个规则图形面积的和差来求. 1012•桃源县校级自主招生)如图所示,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(3,0),(0,1),点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合),过点D作直线y=﹣+b交折线OAB于点E.记△ODE的面积为S. (1)当点E在线段OA上时,求S与b的函数关系式;并求出b的范围; (2)当点E在线段AB上时,求S与b的函数关系式;并求出b的范围; (3)当点E在线段OA上时,若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1,试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化?若不变,求出该重叠部分的面积;若改变,请说明理由. 考点: 一次函数综合题. 专题: 压轴题. 分析: (1)要表示出△ODE的面积,要分两种情况讨论,①如果点E在OA边上,只需求出这个三角形的底边OE长(E点横坐标)和高(D点纵坐标),代入三角形面积公式即可;(2)如果点E在AB边上,这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积; (3)重叠部分是一个平行四边形,由于这个平行四边形上下边上的高不变,因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化. 解答: 解:(1)∵四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(3,0),(0,1), ∴B(3,1), 若直线经过点A(3,0)时,则b= 若直线经过点B(3,1)时,则b= 若直线经过点C(0,1)时,则b=1 ①若直线与折线OAB的交点在OA上时,即1<b≤,如图1, 此时E(2b,0) ∴S=OE•CO=×2b×1=b; (2)若直线与折线OAB的交点在BA上时,即<b<,如图2 此时E(3,),D(2b﹣2,1), ∴S=S矩﹣(S△OCD+S△OAE+S△DBE) =3﹣[(2b﹣2)×1+×(5﹣2b)•(﹣b)+×3(b﹣)] =b﹣b2, ∴S=; (3)如图3,设O1A1与CB相交于点M,OA与C1B1相交于点N,则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积. 由题意知,DM∥NE,DN∥ME, ∴四边形DNEM为平行四边形 根据轴对称知,∠MED=∠NED, 又∠MDE=∠NED, ∴∠MED=∠MDE, ∴MD=ME, ∴平行四边形DNEM为菱形. 过点D作DH⊥OA,垂足为H, 由题易知,D(2b﹣2,1), 对于y=﹣+b,令y=0,得x=2b,则E(2b,0), ∴DH=1,HE=2b﹣(2b﹣2)=2, 设菱形DNEM的边长为a, 则在Rt△DHN中,由勾股定理知:a2=(2﹣a)2+12, ∴a=, ∴S四边形DNEM=NE•DH=. ∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发- 配套讲稿:
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