2006年北京高考理科数学真题及答案.doc

2006年北京高考理科数学真题及答案

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项：
1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡。
2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。

一、 本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1） 在复平面内，复数对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限
（C）第三象限 （D）第四象限
（2）若与都是非零向量，则“”是“”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（3）在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有
（A）36个 （B）24个
（C）18个 （D）6个
（4）平面的斜线交于点，过定点的动直线与垂直，且交于点，则动点的轨迹是
（A）一条直线 （B）一个圆
（C）一个椭圆 （D）双曲线的一支
（5）已知是上的减函数，那么的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
（6）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间上的任意，恒成立”的只有
（A） （B）
（C） （D）
（7）设，则等于
（A） （B）
（C） （D）
（8）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口的机动车辆数如图所示，图中分别表示该时段单位时间通过路段的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则20，30；35，30；55，50
（A）
（B）
（C）
（D）

第Ⅱ卷（共110分）
注意事项：
1． 用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上
2． 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。
（9）的值等于__________________.
（10）在的展开式中，的系数中__________________（用数字作答）.
（11）若三点共线，则的值等于_________________.
（12）在中，若，则的大小是______________.
（13）已知点的坐标满足条件，点为坐标原点，那么的最小值等于_______,最大值等于____________.
（14）已知三点在球心为，半径为的球面上，，且，那么两点的球面距离为_______________，球心到平面的距离为______________.

三、 解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（15）（本小题共12分）
已知函数，
（Ⅰ）求的定义域；
（Ⅱ）设是第四象限的角，且，求的值.
（16）（本小题共13分）
已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）的值.
（17）（本小题共14分）
如图，在底面为平行四边表的四棱锥中，，平面，且，点是的中点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求二面角的大小.

（18）（本小题共13分）
某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.
方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.
（Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；
（Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）

（19）（本小题共14分）
已知点，动点满足条件.记动点的轨迹为.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.

（20）（本小题共14分）
在数列中，若是正整数，且，则称为“绝对差数列”.
（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；
（Ⅱ）若“绝对差数列”中，，数列满足，，分别判断当时，与的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；
（Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.

2006年北京高考理科数学真题参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）D　　　　　　（2）C　　　　　（3）B　　　　　（4）A
（5）C　　　　　　（6）A　　　　　（7）D　　　　　（8）C

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9）　　　　　　　　　（10）－14
（1）　　　　　　　　　　（12）
（13）　　　　　　　（14）　

三、解答题（本大题共6小题，共80分）
（15）（共12分）
解：（Ⅰ）由cosx≠0得
故f(x)的定义域为
（Ⅱ）因为，且a是第四象限的角。
所以，
故

（16）（共13分）
解法一：
（Ⅰ）由图象可知，在（－∞，1）上，在（1，2）上，
在（2，＋∞）上
故在（－∞，1），（2，＋∞）上递增，在（1，2）上递减。
因此在x=1处取得极大值，所以。
（Ⅱ）
由
得
解得a=2，b= -9，c=12

解法二：
（Ⅰ）同解法一。
（Ⅱ）设
又
所以

由
即
得m=6
所以a=2，b= -9，c=12

（17）（共14分）
解法一：
（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD
∴AB是PB在平面ABCD上的射影
又∵AB⊥AC，AC平面ABCD，
∴AC⊥PB
（Ⅱ）连接BD，与AC相交于O，连接EO。
∵ABCD是平等四边形，
∴O是BD的中点，
又E是PD的中点，
∴EO∥PB
又PB平面AEC，EO平面AEC，
∴PB∥平面AEC。
（Ⅲ）取BC中点G，连接OG，则点G的坐标为
又
∴
∴OE⊥AC，OG⊥AC
∴∠EOG是二面角E-AC-B的平面角。
∵

∴

∴二面角的大小为

（18）（共13分）
解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B，C，
则
（Ⅰ）应聘者用方案一考试通过的概率

应聘者用方案二考试通过的概率

（Ⅱ）因为所以

即采用第一种方案，该应聘者考试通过的概率较大。

（19）（共14分）
解法一：
（Ⅰ）由知动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，实半轴长
又半焦距c=2，故虚半轴长
所以W的方程为
（Ⅱ）设A，B的坐标分别为（），（）
当
当AB与x 轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，与W的方程联立，消去y得：

故
所以

又因为
综上，当取得最小值2。
解法二：
（Ⅰ）同解法一。
（Ⅱ）设A，B的坐标分别为，则

令
则，所以

当且仅当时，“=”成立
所以的最小值是2。

（20）（共14分）
（Ⅰ）解：
（答案不惟一）
（Ⅱ）解：因为绝对差数列，所以自第20项开始，该数列是。
即自第20项开始，每三个相邻的项周期地取值3，0，3，所以当时，an的极限不存在。
当
（Ⅲ）证明：根据定义，数列必在有限项后出现零项，证明如下：
假设中没有零项，由于，所以对于任意的n，都有，从而当
；
当
即的值要么比至少小1，那么比至少小1。
令
则
由于c1是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项c1<0，这与cn>0（n=1,2,3,…）矛盾，从而必有零项。
若第一次出现的零项为第n项，记，则自第n项开始，每三个相邻的项周期地取值0，A，A即

所以绝对差数列中有无穷多个零的项。