七年级数学下册期末压轴题试题(带答案)-（一）解析.doc

一、解答题
1．如图1，在平面直角坐标系中，，且满足，过作轴于．
（1）求的面积．
（2）若过作交轴于，且分别平分，如图2，求的度数．
（3）在轴上存在点使得和的面积相等，请直接写出点坐标．

2．已知，点为平面内一点，于．

（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过点作的延长线于点，求证：；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点、在上，连接、、，且平分，平分，若，，求的度数．
3．汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图1，灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯射出的光束转动的速度是/秒，灯射出的光束转动的速度是/秒，且、满足．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且．

（1）求、的值；
（2）如图2，两灯同时转动，在灯射出的光束到达之前，若两灯射出的光束交于点，过作交于点，若，求的度数；
（3）若灯射线先转动30秒，灯射出的光束才开始转动，在灯射出的光束到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行?
4．阅读下面材料：
小亮同学遇到这样一个问题：
已知：如图甲，ABCD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．
求证：∠BED＝∠B+∠D．
（1）小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整．
证明：过点E作EFAB，
则有∠BEF＝ ．
∵ABCD，
∴ ，
∴∠FED＝ ．
∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．
（2）请你参考小亮思考问题的方法，解决问题：如图乙，
已知：直线ab，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E．
①如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，求∠BED的度数；
②如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BED的度数（用含有α，β的式子表示）．

5．点A，C，E在直线l上，点B不在直线l上，把线段AB沿直线l向右平移得到线段CD．

（1）如图1，若点E在线段AC上，求证：B+D=BED；
（2）若点E不在线段AC上，试猜想并证明B，D，BED之间的等量关系；
（3）在（1）的条件下，如图2所示，过点B作PB//ED，在直线BP，ED之间有点M，使得ABE=EBM，CDE=EDM，同时点F使得ABE=nEBF，CDE=nEDF，其中n≥1，设BMD=m，利用（1)中的结论求BFD的度数（用含m，n的代数式表示）．
6．已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD．
（1）如图1，求证：∠BCD＋∠CDE＝∠ABC；
（2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，探究∠ABC和∠F之间的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线交CD于点G，连接GB并延长至点H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．

7．对非负实数“四舍五入”到各位的值记为.即:当为非负整数时，如果，则；反之，当为非负整数时，如果，则．
例如：，．
（1）计算： ； ；
（2）①求满足的实数的取值范围，
②求满足的所有非负实数的值；
（3）若关于的方程有正整数解，求非负实数的取值范围．
8．据说，我国著名数学家华罗庚在一次访问途中，看到飞机邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数32768，它是一个正数的立方，希望求它的立方根，华罗庚不假思索给出了答案，邻座乘客非常惊奇，很想得知其中的奥秘，你知道华罗庚是怎样准确计算出的吗？请按照下面的问题试一试：
（1）由，因为，请确定是______位数；
（2）由32768的个位上的数是8，请确定的个位上的数是________，划去32768后面的三位数768得到32，因为，请确定的十位上的数是_____________
(3)已知13824和分别是两个数的立方，仿照上面的计算过程，请计算：=____;
9．先阅读材料，再解答问题：
我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出，给出了答案，众人十分惊讶，忙问计算的奥妙，你知道华罗庚怎样迅速而准确地计算出结果吗？请你按下面的步骤也试一试：
（1）我们知道，，那么，请你猜想：59319的立方根是_______位数
（2）在自然数1到9这九个数字中，________，________，________．
猜想：59319的个位数字是9，则59319的立方根的个位数字是________．
（3）如果划去59319后面的三位“319”得到数59，而，，由此可确定59319的立方根的十位数字是________，因此59319的立方根是________．
（4）现在换一个数103823，你能按这种方法得出它的立方根吗？
10．对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“梦幻数”，将一个“梦幻数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三数，把这三个新三位数的和与111的商记为K（n），例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为，，所以．
（1）计算：和；
（2）若x是“梦幻数”，说明：等于x的各数位上的数字之和；
（3）若x，y都是“梦幻数”，且，猜想：________，并说明你猜想的正确性．
11．阅读理解：
一个多位数，如果根据它的位数，可以从左到右分成左、中、右三个数位相同的整数，其中a代表这个整数分出来的左边数，b代表的这个整数分出来的中间数，c代表这个整数分出来的右边数，其中a，b，c数位相同，若b﹣a＝c﹣b，我们称这个多位数为等差数．
例如：357分成了三个数3，5，7，并且满足：5﹣3＝7﹣5；
413223分成三个数41，32，23，并且满足：32﹣41＝23﹣32；
所以：357和413223都是等差数．
（1）判断：148 　 　等差数，514335　 　等差数；（用“是”或“不是”填空）
（2）若一个三位数是等差数，试说明它一定能被3整除；
（3）若一个三位数T是等差数，且T是24的倍数，求该等差数T．
12．阅读下列解题过程：
为了求的值，可设，则，所以得，所以；
仿照以上方法计算：
（1） .
（2）计算：
（3）计算：
13．如图1在平面直角坐标系中，大正方形OABC的边长为m厘米，小正方形ODEF的边长为n厘米，且|m﹣4|+＝0．

（1）求点B、点D的坐标．
（2）起始状态如图1所示，将大正方形固定不动，小正方形以1厘米/秒的速度沿x轴向右平移，如图2．设平移的时间为t秒，在平移过程中两个正方形重叠部分的面积为S平方厘米．
①当t＝1.5时，S＝　 　平方厘米；
②在2≤t≤4这段时间内，小正方形的一条对角线扫过的图形的面积为　 　平方厘米；
③在小正方形平移过程中，若S＝2，则小正方形平移的时间t为　 　秒．
（3）将大正方形固定不动，小正方形从图1中起始状态沿x轴向右平移，在平移过程中，连接AD，过D点作DM⊥AD交直线BC于M，∠DAx的角平分线所在直线和∠CMD的角平分线所在直线交于N（不考虑N点与A点重合的情形），求∠ANM的大小并说明理由．
14．如图，已知，是的平分线．
（1）若平分，求的度数；
（2）若在的内部，且于，求证：平分；
（3）在（2）的条件下，过点作，分别交、于点、，绕着点旋转，但与、始终有交点，问：的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围．

15．如图，在平面直角坐标系中，点，，将线段AB进行平移，使点A刚好落在x轴的负半轴上，点B刚好落在y轴的负半轴上，A，B的对应点分别为，，连接交y轴于点C，交x轴于点D．
（1）线段可以由线段AB经过怎样的平移得到？并写出，的坐标；
（2）求四边形的面积；
（3）P为y轴上的一动点（不与点C重合），请探究与的数量关系，给出结论并说明理由．

16．某地葡萄丰收，准备将已经采摘下来的11400公斤葡萄运送杭州，现有甲、乙、丙三种车型共选择，每辆车运载能力和运费如表表示（假设每辆车均满载）
车型
甲
乙
丙
汽车运载量（公斤/辆）
600
800
900
汽车运费（元/辆）
500
600
700
（1）若全部葡萄都用甲、乙两种车型来运，需运费8700元，则需甲、乙两种车型各几辆？
（2）为了节省运费，现打算用甲、乙、丙三种车型都参与运送，已知它们的总辆数为15辆，你能分别求出这三种车型的辆数吗？怎样安排运费最省？
17．如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，边长为2的正方形ABCD（点D与点O重合）和边长为4的正方形EFGH的边CO和GH都在x轴上，且点H坐标为（7，0）．正方形ABCD以3个单位长度/秒的速度沿着x轴向右运动，记正方形ABCD和正方形EFGH重叠部分的面积为S，假设运动时间为t秒，且t＜4．
（1）点F的坐标为　 　；
（2）如图2，正方形ABCD向右运动的同时，动点P在线段FE上，以1个单位长度/秒的速度从F到E运动．连接AP，AE．
①求t为何值时，AP所在直线垂直于x轴；
②求t为何值时，S＝S△APE．

18．如图1，以直角的直角顶点为原点，以，所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点，，并且满足．
（1）直接写出点，点的坐标；
（2）如图1，坐标轴上有两动点，同时出发，点从点出发沿轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点从点出发沿轴正方向以每秒个单位长度的速度匀速运动，当点到达点整个运动随之结束；线段的中点的坐标是，设运动时间为秒．是否存在，使得与的面积相等？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，若，点是第二象限中一点，并且平分，点是线段上一动点，连接交于点，当点在上运动的过程中，探究，，之间的数量关系，直接写出结论．

19．先阅读下面材料，再完成任务：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数，满足，……①，，……②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得，的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，则______，______；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记木共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么______．
20．两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大990．若设较大的两位数为x，较小的两位数为y，回答下列问题：
（1）可得到下列哪一个方程组？
A． B．
C． D．
（2）解所确定的方程组，求这两个两位数．
21．如图①，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，直线OC上所有的点坐标，都是二元一次方程的解，直线AC上所有的点坐标，都是二元一次方程的解，过C作x轴的平行线，交y轴与点B．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）如图②，点M、N分别为线段BC，OA上的两个动点，点M从点C以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点N从点O以每秒1．5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒，且0＜t＜4，试比较四边形MNAC的面积与四边形MNOB的面积的大小．

22．七年（1）（2）两班各40人参加垃圾分类知识竞赛，规则如图．比赛中，所有同学均按要求一对一连线，无多连、少连．
（1）分数5，10，15，20中，每人得分不可能是________分．
（2）七年（1）班有4人全错，其余成员中，满分人数是未满分人数的2倍；七年（2）班所有人都得分，最低分人数的2倍与其他未满分人数之和等于满分人数．
①问（1）班有多少人得满分？
②若（1）班除0分外，最低得分人数与其他未满分人数相等，问哪个班的总分高？

23．如图，平面直角坐标系中，已知点A（a，0），B（0，b），其中a，b满足．将点B向右平移24个单位长度得到点C．点D，E分别为线段BC，OA上一动点，点D从点C以2个单位长度/秒的速度向点B运动，同时点E从点O以3个单位长度/秒的速度向点A运动，在D，E运动的过程中，DE交四边形BOAC的对角线OC于点F．设运动的时间为t秒（0＜t＜10），四边形BOED的面积记为S四边形BOED（以下面积的表示方式相同）．
（1）求点A和点C的坐标；
（2）若S四边形BOED≥S四边形ACDE，求t的取值范围；
（3）求证：在D，E运动的过程中，S△OEF＞S△DCF总成立．

24．某校为了丰富同学们的课外活动，决定给全校20个班每班配4副乒乓球拍和若干乒乓球，两家体育用品商店对同一款乒乓球拍和乒乓球推出让利活动，甲商店买一副乒乓球拍送10个乒乓球，乙商店所有商品均打九折（按标价的90％）销售，已知2副乒乓球拍和10个乒乓球110元，3副乒乓球拍和20个乒乓球170元。
请解答下列问题：
（1）求每副乒乓球拍和每个乒乓球的单价为多少元.
（2）若每班配4副乒乓球拍和40个乒乓球，则甲商店的费用为 元，乙商店的费用为 元.
（3）每班配4副乒乓球拍和m（m＞100）个乒乓球则甲商店的费用为 元，乙商店的费用为 元.
（4）若该校只在一家商店购买，你认为在哪家超市购买更划算？
25．如图，在平面直角坐标系中，已知两点，且a、b满足点在射线AO上（不与原点重合）．将线段AB平移到DC，点D与点A对应，点C与点B对应，连接BC，直线AD交y轴于点E．请回答下列问题：

（1）求A、B两点的坐标；
（2）设三角形ABC面积为，若4＜≤7，求m的取值范围；
（3）设，请给出，满足的数量关系式，并说明理由．
26．阅读材料：
关于x，y的二元一次方程ax+by=c有一组整数解，则方程ax+by=c的全部整数解可表示为（t为整数）．问题：求方程7x+19y=213的所有正整数解．
小明参考阅读材料，解决该问题如下：
解：该方程一组整数解为，则全部整数解可表示为（t为整数）．
因为解得．因为t为整数，所以t=0或-1．
所以该方程的正整数解为和 ．
（1）方程3x-5y=11的全部整数解表示为：（t为整数），则= ；
（2）请你参考小明的解题方法，求方程2x+3y=24的全部正整数解；
（3）方程19x+8y=1908的正整数解有多少组? 请直接写出答案．
27．我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”．
（1）请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由；
①；
②．
（2）若关于x的组合是“有缘组合”，求a的取值范围；
（3）若关于x的组合是“无缘组合”；求a的取值范围．
28．对于三个数，，，表示，，这三个数的平均数，表示，，这三个数中最小的数，如：
，；
，．
解决下列问题：
（1）填空：______；
（2）若，求的取值范围；
（3）①若，那么______；
②根据①，你发现结论“若，那么______”（填，，大小关系）；
③运用②解决问题：若，求的值．
29．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，现同时将点分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的对应点.连接.
(1)写出点的坐标并求出四边形的面积.
(2)在轴上是否存在一点，使得的面积是面积的2倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
(3)若点是直线上一个动点，连接，当点在直线上运动时，请直接写出与的数量关系.

30．规定:二元一次方程有无数组解，每组解记为,称为亮点，将这些亮点连接得到一条直线，称这条直线是亮点的隐线，答下列问题：
(1) 已知，则是隐线的亮点的是 ;
(2) 设是隐线的两个亮点，求方程中的最小的正整数解;
(3)已知是实数， 且,若是隐线的一个亮点，求隐线中的最大值和最小值的和.

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一、解答题

1．（1）4；（2）；（2）或．
【分析】
（1）根据非负数的性质易得，，然后根据三角形面积公式计算；
（2）过作，根据平行线性质得，且，，所以；然后把 代入计算即可；
（3）分类讨论：设，当在轴正半轴上时，过作轴，轴，轴，利用可得到关于的方程，再解方程求出；
当在轴负半轴上时，运用同样方法可计算出．
【详解】
解：（1），
，，
，，

，，，
的面积；
（2）解：轴，，
，
又∵，
∴，
过作，如图①，

，
，
，
，分别平分，，即：，，
；
（3）或．
解：①当在轴正半轴上时，如图②，

设，
过作轴，轴，轴，
，
，解得，
②当在轴负半轴上时，如图③

，解得，
综上所述：或．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质：两直线平行，内错角相等．也考查了非负数的性质、坐标与图形性质以及三角形面积公式．构造矩形求三角形面积是解题关键．
2．（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【分析】
（1）先根据平行线的性质得到,然后结合即可证明；
（2）过作，先说明，然后再说明得到，最后运用等量代换解答即可；
（3）设∠DBE=a，则∠BFC=3a，根据角平分线的定义可得∠ABD=∠C=2a，∠FBC=∠DBC=a+45°，根据三角形内角和可得∠BFC+∠FBC+∠BCF=180°，可得∠AFC=∠BCF的度数表达式，再根据平行的性质可得∠AFC+∠NCF=180°，代入即可算出a的度数，进而完成解答．
【详解】
（1）证明：∵，
∴，
∵于，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：过作，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；

（3）设∠DBE=a，则∠BFC=3a，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABD=∠C=2a，
又∵AB⊥BC，BF平分∠DBC，
∴∠DBC=∠ABD+∠ABC=2a+90，即：∠FBC=∠DBC=a+45°
又∵∠BFC+∠FBC+∠BCF=180°，即：3a+a+45°+∠BCF=180°
∴∠BCF=135°-4a，
∴∠AFC=∠BCF=135°-4a，
又∵AM//CN，
∴∠AFC+∠ NCF=180°，即：∠AFC+∠BCN+∠BCF=180°，
∴135°-4a+135°-4a+2a=180，解得a=15°，
∴∠ABE=15°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质及角的计算，熟练应用平行线的性质、角平分线的性质是解答本题的关键．
3．（1），；（2）30°；（3）15秒或82.5秒
【分析】
（1）解出式子即可；
（2）根据，用含t的式子表示出，根据（2）中给出的条件得出方程式 ，求出 t的值，进而求出的度数；
（3）根据灯B的要求，t<150，在这个时间段内A可以转3次，分情况讨论．
【详解】
解：（1）．
又，．
，；
（2）设灯转动时间为秒，

如图，作，而

，，
，
，
，

，

（3）设灯转动秒，两灯的光束互相平行．
依题意得
①当时，

两河岸平行，所以
两光线平行，所以
所以，
即：，
解得；
②当时，

两光束平行，所以
两河岸平行，所以

所以，，
解得；
③当时，图大概如①所示
，
解得（不合题意）
综上所述，当秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行．
【点睛】
这道题考察的是平行线的性质和一元一次方程的应用．根据平行线的性质找到对应角列出方程是解题的关键．
4．（1）∠B，EF，CD，∠D；（2）①65°；②180°﹣
【分析】
（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；
（2）①如图1，过点E作EF∥AB，当点B在点A的左侧时，根据∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，参考小亮思考问题的方法即可求∠BED的度数；
②如图2，过点E作EF∥AB，当点B在点A的右侧时，∠ABC＝α，∠ADC＝β，参考小亮思考问题的方法即可求出∠BED的度数．
【详解】
解：（1）过点E作EF∥AB，
则有∠BEF＝∠B，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED＝∠D，
∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D；
故答案为：∠B；EF；CD；∠D；
（2）①如图1，过点E作EF∥AB，有∠BEF＝∠EBA．

∵AB∥CD，
∴EF∥CD．
∴∠FED＝∠EDC．
∴∠BEF+∠FED＝∠EBA+∠EDC．
即∠BED＝∠EBA+∠EDC，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠EBA＝∠ABC＝30°，∠EDC＝∠ADC＝35°，
∴∠BED＝∠EBA+∠EDC＝65°．
答：∠BED的度数为65°；
②如图2，过点E作EF∥AB，有∠BEF+∠EBA＝180°．

∴∠BEF＝180°﹣∠EBA，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD．
∴∠FED＝∠EDC．
∴∠BEF+∠FED＝180°﹣∠EBA+∠EDC．
即∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠EBA＝∠ABC＝，∠EDC＝∠ADC＝，
∴∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC＝180°﹣．
答：∠BED的度数为180°﹣．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
5．（1）见解析；（2）当点E在CA的延长线上时，∠BED=∠D-∠B；当点E在AC的延长线上时，∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D；（3）
【分析】
（1）如图1中，过点E作ET∥AB．利用平行线的性质解决问题．
（2）分两种情形：如图2-1中，当点E在CA的延长线上时，如图2-2中，当点E在AC的延长线上时，构造平行线，利用平行线的性质求解即可．
（3）利用（1）中结论，可得∠BMD=∠ABM+∠CDM，∠BFD=∠ABF+∠CDF，由此解决问题即可．
【详解】
解：（1）证明：如图1中，过点E作ET∥AB．由平移可得AB∥CD，

∵AB∥ET，AB∥CD，
∴ET∥CD∥AB，
∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，
∴∠BED=∠BET+∠DET=∠B+∠D．
（2）如图2-1中，当点E在CA的延长线上时，过点E作ET∥AB．

∵AB∥ET，AB∥CD，
∴ET∥CD∥AB，
∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，
∴∠BED=∠DET-∠BET=∠D-∠B．
如图2-2中，当点E在AC的延长线上时，过点E作ET∥AB．

∵AB∥ET，AB∥CD，
∴ET∥CD∥AB，
∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，
∴∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D．
（3）如图，设∠ABE=∠EBM=x，∠CDE=∠EDM=y，

∵AB∥CD，
∴∠BMD=∠ABM+∠CDM，
∴m=2x+2y，
∴x+y=m，
∵∠BFD=∠ABF+∠CDF，∠ABE=n∠EBF，∠CDE=n∠EDF，
∴∠BFD===．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会条件常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
6．（1）证明见解析；（2）；（3）．
【分析】
（1）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，由此即可得证；
（2）过点作，同（1）的方法，先根据平行线的性质得出，，从而可得，再根据垂直的定义可得，由此即可得出结论；
（3）过点作，延长至点，先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的定义、结合（2）的结论可得，然后根据角的和差、对顶角相等可得，由此即可得出答案．
【详解】
证明：（1）如图，过点作，

，
，
，
，即，
，
；
（2）如图，过点作，

，
，
，
，即，
，
，
，
，
；
（3）如图，过点作，延长至点，

，
，
，
，
平分，平分，
，
由（2）可知，，
，
又，
．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、对顶角相等、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
7．（1）2，3 （2）①② （3）
【分析】
（1）根据新定义的运算规则进行计算即可；
（2）①根据新定义的运算规则即可求出实数的取值范围；②根据新定义的运算规则和为整数，即可求出所有非负实数的值；
（3）先解方程求得，再根据方程的解是正整数解，即可求出非负实数的取值范围．
【详解】
（1）2；3；
（2）①∵
∴
解得；
②∵
∴
解得
∵为整数
∴
故所有非负实数的值有；
（3）

∵方程的解为正整数
∴或2
①当时，是方程的增根，舍去
②当时，．
【点睛】
本题考查了新定义下的运算问题，掌握新定义下的运算规则是解题的关键．
8．（1）两；（2）2，3；（3）24，-48．
【分析】
（1）根据题中所给的分析方法先求出这32768的立方根都是两位数；
（2）继续分析求出个位数和十位数即可；
（3）利用（1）（2）中材料中的过程进行分析可得结论．
【详解】
解：（1）由103=1000，1003=1000000，
∵1000＜32768＜100000，
∴10＜＜100，
∴是两位数；
故答案为：两；
（2）∵只有个位数是2的立方数是个位数是8，
∴的个位上的数是2
划去32768后面的三位数768得到32，
因为33=27，43=64，
∵27＜32＜64，
∴30＜＜40．
∴的十位上的数是3．
故答案为：2，3；
（3）由103=1000，1003=1000000，
1000＜13824＜1000000，
∴10＜＜100，
∴是两位数；
∵只有个位数是4的立方数是个位数是4，
∴的个位上的数是4
划去13824后面的三位数824得到13，
因为23=8，33=27，
∵8＜13＜27，
∴20＜＜30．
∴=24；
由103=1000，1003=1000000，
1000＜110592＜1000000，
∴10＜＜100，
∴是两位数；
∵只有个位数是8的立方数是个位数是2，
∴的个位上的数是8，
划去110592后面的三位数592得到110，
因为43=64，53=125，
∵64＜110＜125，
∴40＜＜50．
∴=-48；
故答案为：24，-48．
【点睛】
此题考查立方根，解题关键在于理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数．
9．（1）两；（2）125，343，729，9；（3）3，39；（4）47
【分析】
（1）根据夹逼法和立方根的定义进行解答；
（2）先分别求得1至9中奇数的立方，然后根据末位数字是几进行判断即可；
（3）先利用（2）中的方法判断出个数数字，然后再利用夹逼法判断出十位数字即可；
（4）利用（3）中的方法确定出个位数字和十位数字即可．
【详解】
（1）∵1000＜59319＜1000000，
∴59319的立方根是两位数；
（2）∵125，343，729，
∴59319的个位数字是9，则59319的立方根的个位数字是9；
（3）∵，且59319的立方根是两位数，
∴59319的立方根的十位数字是3，
又∵59319的立方根的个位数字是9，
∴59319的立方根是39；
（4）∵1000＜103823＜1000000，
∴103823的立方根是两位数；
∵125，343，729，
∴103823的个位数字是3，则103823的立方根的个位数字是7；
∵，且103823的立方根是两位数，
∴103823的立方根的十位数字是4，
又∵103823的立方根的个位数字是7，
∴103823的立方根是47．
【点睛】
考查了立方根的概念和求法，解题关键是理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数．
10．（1）;（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据的定义，可以直接计算得出；
（2）设，得到新的三个数分别是：，这三个新三位数的和为，可以得到：；
（3）根据（2）中的结论，猜想：．
【详解】
解：（1）已知，所以新的三个数分别是：，
这三个新三位数的和为，
；
同样，所以新的三个数分别是：，
这三个新三位数的和为，
．
（2）设，得到新的三个数分别是：，
这三个新三位数的和为，
可得到：，即等于x的各数位上的数字之和．
（3）设，由（2）的结论可以得到：
，
，
，
根据三位数的特点，可知必然有：
，
，
故答案是：．
【点睛】
此题考查了多位数的数字特征，每个数字是10以内的自然数且不为0，解题的关键是：结合新定义，可以计算出问题的解，注意把握每个数字都会出现一次的特点，区别数字与多为数的不同．
11．（1）不是，是；（2）见解析；（3）432或456或840或864或888
【分析】
（1）根据等差数的定义判定即可；
（2）设这个三位数是M，，根据等差数的定义可知，进而得出即可．
（3）根据等差数的定义以及24的倍数的数的特征可先求出a的值，再根据是8的倍数可确定c的值，又因为，所以可确定a、c为偶数时b才可取整数有意义，排除不符合条件的a、c值，再将符合条件的a、c代入求出b的值，即可求解．
【详解】
解：（1）∵ ，
∴148不是等差数，
∵ ，
∴514335是等差数；
（2）设这个三位数是M，，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴这个等差数是3的倍数；
（3）由（2）知 ，
∵T是24的倍数，
∴ 是8的倍数，
∵2c是偶数，
∴只有当35a也是偶数时才有可能是8的倍数，
∴或4或6或8，
当时， ，此时若，则 ，若 ，则 ，若 ，则，大于70又是8的倍数的最小数是72，之后是80,88当时 不符合题意；
当时，，此时若，则，若，则，（144、152是8的倍数），
当时，，此时若，则，若，则，
（216、244是8的倍数），
当时，，此时若，则，若，则，
若，则，（280,288,296是8的倍数），
∵，
∴若a是偶数，则c也是偶数时b才有意义，
∴和是c是奇数均不符合题意，
当时， ，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综上，T为432或456或840或864或888．
【点睛】
本题考查新定义下的实数运算、有理数混合运算，整式的加减运算，能够结合倍数的特点及熟练掌握整数的奇偶性是解题关键．
12．（1）；（2）；（3）.
【分析】
仿照阅读材料中的方法求出所求即可．
【详解】
解：（1）根据
得：
（2）设，
则，
∴，
∴
即：
（3）设，
则，
∴，
∴
即：
同理可求⸫
∵

【点睛】
此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．
13．（1）；（2）①3，②4，③1或5；（3），理由见解析
【分析】
（1）由非负性的性质以及算数平方根的性质可得出的值，可答案可求出；
（2）①1.5秒时，小正方形向右移动1.5厘米，即可计算出重叠部分的面积；
②画出图形，计算所得图形面积即可；
③小正方形的高不变，根据面积即可求出小正方形平移的距离和时间；
（3）过作轴，过作轴，设，则，得出，得出，得出， ．
【详解】
解（1），
，
；
（2）①当秒时，小正方形向右移动1.5厘米，
（平方厘米）；
②如图1所示，小正方形的一条对角线扫过的面积为红色平行四边形，

面积为：（平方厘米）；
③如图2，小正方形平移距离为（厘米），

小正方形平移的距离为1厘米或5厘米，
或，
综上所述，小正方形平移的时间为1或5秒；
（3）如图3，过作轴，过作轴，

平分,
设，
则，
，
，
，
平分，
，
．
【点睛】
本题考查了非负数的性质、坐标与图形的性质、平移的性质、平行线的性质、角平分线的性质、解题的关键是熟练掌握平行线的性质及平移的性质．
14．（1）90°；（2）见解析；（3）不变，180°
【分析】
（1）根据邻补角的定义及角平分线的定义即可得解；
（2）根据垂直的定义及邻补角的定义、角平分线的定义即可得解；
（3），过，分别作，，根据平行线的性质及平角的定义即可得解．
【详解】
解（1），分别平分和，
，，
，
；
（2），
，即，
，
是的平分线，
，
，
又，
，
又在的内部，
平分；
（3）如图，不发生变化，，过，分别作，，

则有，
，，，，
，，
，
，，
，

，
不变．
【点睛】
此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质及作出合理的辅助线是解题的关键．
15．（1）向左平移4个单位，再向下平移6个单位，，；（2）24；（3）见解析
【分析】
（1）利用平移变换的性质解决问题即可．
（2）利用分割法确定四边形的面积即可．
（3）分两种情形：点在点的上方，点在点的下方，分别求解即可．
【详解】
解：（1）点，，
又将线段进行平移，使点刚好落在轴的负半轴上，点刚好落在轴的负半轴上，
线段是由线段向左平移4个单位，再向下平移6个单位得到，
，．
（2）．
（3）连接．
，，
的中点坐标为在轴上，
．
，
轴，
同法可证，
，
，
，
同法可证，，
，，
当点在点的下方时，
，，
，
，
当点在点的上方时，．

【点睛】
本题考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是理解题意，学会有分割法求四边形的面积，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考题型．
16．（1）甲3辆，乙12辆；（2）有三种方案，具体见解析，甲4辆，乙9辆，丙2辆最省钱．
【分析】
（1）设需要甲x辆，乙y辆，根据运送11400公斤和需运费8700元，可列出方程组求解．
（2）设需要甲x辆，乙y辆，则丙（15﹣x﹣y）辆，根据甲汽车运载量+乙汽车运载量+丙汽车运载量=11400，列方程，化简后，根据甲、乙、丙三种车型都参与运送，即x＞0，y＞0，15﹣x﹣y＞0，解不等式即可求出x的范围，进而得出方案．计算出每种方案需要的运费，比较即可