人教版七年级数学下册名校课堂训练:期末几何压轴题测试(一)培优试卷.doc
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一、解答题 1.如图:在四边形ABCD中,A、B、C、D四个点的坐标分别是:(-2,0)、(0,6)、(4,4)、(2,0)现将四边形ABCD先向上平移1个单位,再向左平移2个单位,平移后的四边形是A'B'C′D' (1)请画出平移后的四边形A'B'C′D'(不写画法),并写出A'、B'、C′、D'四点的坐标. (2)若四边形内部有一点P的坐标为(a,b)写点P的对应点P′的坐标. (3)求四边形ABCD的面积. 2.问题情境: 如图1,AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°.求∠APC的度数.小明的思路是:过P作PE∥AB,通过平行线性质,可得∠APC=∠APE+∠CPE=50°+60°=110°. 问题解决: (1)如图2,AB∥CD,直线l分别与AB、CD交于点M、N,点P在直线I上运动,当点P在线段MN上运动时(不与点M、N重合),∠PAB=α,∠PCD=β,判断∠APC、α、β之间的数量关系并说明理由; (2)在(1)的条件下,如果点P在线段MN或NM的延长线上运动时.请直接写出∠APC、α、B之间的数量关系; (3)如图3,AB∥CD,点P是AB、CD之间的一点(点P在点A、C右侧),连接PA、PC,∠BAP和∠DCP的平分线交于点Q.若∠APC=116°,请结合(2)中的规律,求∠AQC的度数. 3.如图,直线,点是、之间(不在直线,上)的一个动点. (1)如图1,若与都是锐角,请写出与,之间的数量关系并说明理由; (2)把直角三角形如图2摆放,直角顶点在两条平行线之间,与交于点, 与交于点,与交于点,点在线段上,连接,有,求的值; (3)如图3,若点是下方一点,平分, 平分,已知,求的度数. 4.已知:如图(1)直线AB、CD被直线MN所截,∠1=∠2. (1)求证:AB//CD; (2)如图(2),点E在AB,CD之间的直线MN上,P、Q分别在直线AB、CD上,连接PE、EQ,PF平分∠BPE,QF平分∠EQD,则∠PEQ和∠PFQ之间有什么数量关系,请直接写出你的结论; (3)如图(3),在(2)的条件下,过P点作PH//EQ交CD于点H,连接PQ,若PQ平分∠EPH,∠QPF:∠EQF=1:5,求∠PHQ的度数. 5.已知直线AB//CD,点P、Q分别在AB、CD上,如图所示,射线PB按逆时针方向以每秒12°的速度旋转至PA便立即回转,并不断往返旋转;射线QC按逆时针方向每秒3°旋转至QD停止,此时射线PB也停止旋转. (1)若射线PB、QC同时开始旋转,当旋转时间10秒时,PB'与QC'的位置关系为 ; (2)若射线QC先转15秒,射线PB才开始转动,当射线PB旋转的时间为多少秒时,PB′//QC′. 6.如图1,已知直线m∥n,AB 是一个平面镜,光线从直线m上的点O射出,在平面镜AB上经点P反射后,到达直线n上的点Q.我们称OP为入射光线,PQ为反射光线,镜面反射有如下性质:入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角,即∠OPA=∠QPB. (1)如图1,若∠OPQ=82°,求∠OPA的度数; (2)如图2,若∠AOP=43°,∠BQP=49°,求∠OPA的度数; (3)如图3,再放置3块平面镜,其中两块平面镜在直线m和n上,另一块在两直线之间,四块平面镜构成四边形ABCD,光线从点O以适当的角度射出后,其传播路径为 O→P→Q→R→O→P→…试判断∠OPQ和∠ORQ的数量关系,并说明理由. 7.阅读下面文字: 对于 可以如下计算: 原式 上面这种方法叫拆项法,你看懂了吗? 仿照上面的方法,计算: (1) (2) 8.数学中有很多的可逆的推理.如果,那么利用可逆推理,已知n可求b的运算,记为,如, 则,则. ①根据定义,填空:_________,__________. ②若有如下运算性质:. 根据运算性质填空,填空:若,则__________;___________; ③下表中与数x对应的有且只有两个是错误的,请直接找出错误并改正. x 1.5 3 5 6 8 9 12 27 错误的式子是__________,_____________;分别改为__________,_____________. 9.阅读下面的文字,解答问题. 对于实数a,我们规定:用符号[a]表示不大于a的最大整数;用{a}表示a减去[a]所得的差. 例如:[]=1,[2.2]=2,{}=﹣1,{2.2}=2.2﹣2=0.2. (1)仿照以上方法计算:[]= {5﹣}= ; (2)若[]=1,写出所有满足题意的整数x的值: . (3)已知y0是一个不大于280的非负数,且满足{}=0.我们规定:y1=[],y2=[],y3=[],…,以此类推,直到yn第一次等于1时停止计算.当y0是符合条件的所有数中的最大数时,此时y0= ,n= . 10.请观察下列等式,找出规律并回答以下问题. ,,,,…… (1)按照这个规律写下去,第5个等式是:______;第n个等式是:______. (2)①计算:. ②若a为最小的正整数,,求: . 11.阅读下面文字: 对于 可以如下计算: 原式 上面这种方法叫拆项法,你看懂了吗? 仿照上面的方法,计算: (1) (2) 12.先阅读然后解答提出的问题: 设a、b是有理数,且满足,求ba的值. 解:由题意得, 因为a、b都是有理数,所以a﹣3,b+2也是有理数, 由于是无理数,所以a-3=0,b+2=0, 所以a=3,b=﹣2, 所以. 问题:设x、y都是有理数,且满足,求x+y的值. 13.如图1,在平面直角坐标系中,A(a,0)是x轴正半轴上一点,C是第四象限内一点,CB⊥y轴交y轴负半轴于B(0,b),且|a﹣3|+(b+4)2=0,S四边形AOBC=16. (1)求点C的坐标. (2)如图2,设D为线段OB上一动点,当AD⊥AC时,∠ODA的角平分线与∠CAE的角平分线的反向延长线交于点P,求∠APD的度数;(点E在x轴的正半轴). (3)如图3,当点D在线段OB上运动时,作DM⊥AD交BC于M点,∠BMD、∠DAO的平分线交于N点,则点D在运动过程中,∠N的大小是否会发生变化?若不变化,求出其值;若变化,请说明理由. 14.已知,点在与之间. (1)图1中,试说明:; (2)图2中,的平分线与的平分线相交于点,请利用(1)的结论说明:. (3)图3中,的平分线与的平分线相交于点,请直接写出与之间的数量关系. 15.如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC,点A的坐标是(4,0),点B的坐标是(2,3),点C在x轴的负半轴上,且AC=6. (1)直接写出点C的坐标. (2)在y轴上是否存在点P,使得S△POB=S△ABC若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. (3)把点C往上平移3个单位得到点H,作射线CH,连接BH,点M在射线CH上运动(不与点C、H重合).试探究∠HBM,∠BMA,∠MAC之间的数量关系,并证明你的结论. 16.如图,数轴上两点A、B对应的数分别是﹣1,1,点P是线段AB上一动点,给出如下定义:如果在数轴上存在动点Q,满足|PQ|=2,那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数,特别地,当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数. (1)﹣3,0,2.5是连动数的是 ; (2)关于x的方程2x﹣m=x+1的解满足是连动数,求m的取值范围 ; (3)当不等式组的解集中恰好有4个解是连动整数时,求a的取值范围. 17.如图,A点的坐标为(0,3),B点的坐标为(﹣3,0),D为x轴上的一个动点且不与B,O重合,将线段AD绕点A逆时针旋转90°得线段AE,使得AE⊥AD,且AE=AD,连接BE交y轴于点M. (1)如图,当点D在线段OB的延长线上时, ①若D点的坐标为(﹣5,0),求点E的坐标. ②求证:M为BE的中点. ③探究:若在点D运动的过程中,的值是否是定值?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由. (2)请直接写出三条线段AO,DO,AM之间的数量关系(不需要说明理由). 18.如图1,已知,点A(1,a),AH⊥x轴,垂足为H,将线段AO平移至线段BC,点B(b,0),其中点A与点B对应,点O与点C对应,a、b满足. (1)填空:①直接写出A、B、C三点的坐标A(________)、B(________)、C(________); ②直接写出三角形AOH的面积________. (2)如图1,若点D(m,n)在线段OA上,证明:4m=n. (3)如图2,连OC,动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动,同时点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动.若经过t秒,三角形AOP与三角形COQ的面积相等,试求t的值及点P的坐标. 19.学校将20××年入学的学生按入学年份、年级、班级、班内序号的顺序给每一位学生编号,如2015年入学的8年级3班的46号学生的编号为15080346.张山同学模仿二维码的方式给学生编号设计了一套身份识别系统,在5×5的正方形风格中,黑色正方形表示数字1,白色正方形表示数字0. 我们把从上往下数第i行、从左往右数第j列表示的数记为aij,(其中,i、j=1,2,3,4,5),规定Ai=16ai1+8ai2+4ai3+2ai4+ai5. (1)若A1表示入学年份,A2表示所在年级,A3表示所在班级,A4表示编号的十位数字,A5表示编号的个位数字. ①图1是张山同学的身份识别图案,请直接写出张山同学的编号; ②请在图2中画出2018年入学的9年级5班的39号同学的身份识别图案; (2)张山同学又设计了一套信息加密系统,其中A1表示入学年份加8,A2表示所在年级的数减6再加上所在班级的数,A3表示所在年级的数乘2后减3再减所在班级的数,将编号(班内序号)的末两位单列出来,作为一个两位数,个位与十位数字对换后再加2,所得结果的十位数字用A4表示、个位数字用A5表示.例如:2018年9年级5班的39号同学,其加密后的身份识别图案中,A1=18+8=26,A2=9-6+5=8,A3=9×2-3-5=10,93+2=95,所以A4=9,A5=5,所以其加密后的身份识别(26081095)图案如图3所示.图4是李思同学加密后的身份识别图案,请求出李思同学的编号. 20.两个两位数的和是68,在较大的两位数的右边接着写较小的两位数,得到一个四位数;在较大的两位数的左边写上较小的两位数,也得到一个四位数.已知前一个四位数比后一个四位数大990.若设较大的两位数为x,较小的两位数为y,回答下列问题: (1)可得到下列哪一个方程组? A. B. C. D. (2)解所确定的方程组,求这两个两位数. 21.某校规划在一块长AD为18 m、宽AB为13 m的长方形场地ABCD上,设计分别与AD,AB平行的横向通道和纵向通道,其余部分铺上草皮,如图所示,若设计三条通道,一条横向,两条纵向,且它们的宽度相等,其余六块草坪相同,其中一块草坪两边之比AM∶AN=8∶9,问通道的宽是多少? 22.某公园的门票价格如下表所示: 某中学七年级(1)、(2)两个班计划去游览该公园,其中(I)班的人数较少,不足 50 人;(2) 班人数略多,有 50 多人.如果两个班都以班为单位分别购票,则一共应付 1172 元,如 果两个班联合起来,作为一个团体购票,则需付 1078 元. (1)列方程求出两个班各有多少学生; (2)如果两个班联合起来买票,是否可以买单价为 9 元的票?你有什么省钱的方法来帮 他们买票呢?请给出最省钱的方案. 23.已知,在平面直角坐标系中,三角形三个顶点的坐标分别为,,,轴,且、满足. (1)则______;______;______; (2)如图1,在轴上是否存在点,使三角形的面积等于三角形的面积?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由; (3)如图2,连接交于点,点在轴上,若三角形的面积小于三角形的面积,直接写出的取值范围是______. 24.在平面直角坐标系中,把线段先向右平移h个单位,再向下平移1个单位得到线段(点A对应点C),其中分别是第三象限与第二象限内的点. (1)若,求C点的坐标; (2)若,连接,过点B作的垂线l ①判断直线l与x轴的位置关系,并说明理由; ②已知E是直线l上一点,连接,且的最小值为1,若点B,D及点都是关于x,y的二元一次方程的解为坐标的点,试判断是正数、负数还是0?并说明理由. 25.某数码专营店销售A,B两种品牌智能手机,这两种手机的进价和售价如表所示: A B 进价(元/部) 3300 3700 售价(元/部) 3800 4300 (1)该店销售记录显示,三月份销售A、B两种手机共34部,且销售A种手机的利润恰好是销售B种手机利润的2倍,求该店三月份售出A种手机和B种手机各多少部? (2)根据市场调研,该店四月份计划购进这两种手机共40部,要求购进B种手机数不低于A种手机数的,用于购买这两种手机的资金低于140000元,请通过计算设计所有可能的进货方案. 26.如图,在平面直角坐标系中,轴,轴,且,动点从点出发,以每秒的速度,沿路线向点运动;动点从点出发,以每秒的速度,沿路线向点运动.若两点同时出发,其中一点到达终点时,运动停止. (Ⅰ)直接写出三个点的坐标; (Ⅱ)设两点运动的时间为秒,用含的式子表示运动过程中三角形的面积; (Ⅲ)当三角形的面积的范围小于16时,求运动的时间的范围. 27.阅读理解: 例1.解方程|x|=2,因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2,所以方程|x|=2的解为x=±2. 例2.解不等式|x﹣1|>2,在数轴上找出|x﹣1|=2的解(如图),因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为﹣1或3,所以方程|x﹣1|=2的解为x=﹣1或x=3,因此不等式|x﹣1|>2的解集为x<﹣1或x>3. 参考阅读材料,解答下列问题: (1)方程|x﹣2|=3的解为 ; (2)解不等式:|x﹣2|≤1. (3)解不等式:|x﹣4|+|x+2|>8. (4)对于任意数x,若不等式|x+2|+|x﹣4|>a恒成立,求a的取值范围. 28.定义:如果一个两位数a的十位数字为m,个位数字为n,且、、,那么这个两位数叫做“互异数”. 将一个“互异数”的十位数字与个位数字对调后得到一个新的两位数,把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为. 例如:,对调个位数字与十位数字得到新两位数41,新两位数与原两位数的和为,和与11的商为,所以. 根据以上定义,解答下列问题: (1)填空:①下列两位数:20,21,22中,“互异数”为________; ②计算:________;________;(m、n分别为一个两位数的十位数字与个位数字) (2)如果一个“互异数”b的十位数字是x,个位数字是y,且;另一个“互异数”c的十位数字是,个位数字是,且,请求出“互异数”b和c; (3)如果一个“互异数”d的十位数字是x,个位数字是,另一个“互异数”e的十位数字是,个位数字是3,且满足,请直接写出满足条件的所有x的值________; (4)如果一个“互异数”f的十位数字是,个位数字是x,且满足的互异数有且仅有3个,则t的取值范围________. 29.在平面直角坐标系中,对于任意两点,,如果,则称与互为“距点”.例如:点,点,由,可得点与互为“距点”. (1)在点,,中,原点的“距点”是_____(填字母); (2)已知点,点,过点作平行于轴的直线. ①当时,直线上点的“距点”的坐标为_____; ②若直线上存在点的“点”,求的取值范围. (3)已知点,,,的半径为,若在线段上存在点,在上存在点,使得点与点互为“距点”,直接写出的取值范围. 30.如图1,在平面直角坐标系中,A(a,0),C(b,2),且满足,过C作轴于B, (1)求a,b的值; (2)在y轴上是否存在点P,使得△ABC和△OCP的面积相等,若存在,求出点P坐标,若不存在,试说明理由. (3)若过B作BD∥AC交y轴于D,且AE,DE分别平分∠CAB,∠ODB,如图2,图3, ①求:∠CAB+∠ODB的度数; ②求:∠AED的度数. 【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除 一、解答题 1.(1)图见解析,A′(-4,1),B′(-2,7),C′(2,5),D′(0,1);(2)P′的坐标为:(a-2,b+1);(3)四边形ABCD的面积为22. 【分析】 (1)直接利用平移画出图形,再根据图形写出对应点的坐标进而得出答案; (2)利用平移规律进而得出对应点坐标的变化规律:向上平移1个单位,纵坐标加1;向左平移2个单位,横坐标减2; (3)利用四边形ABCD所在的最小矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案. 【详解】 解:(1)如图所示:A′(-4,1),B′(-2,7),C′(2,5),D′(0,1); (2)若四边形内部有一点P的坐标为(a,b)写点P的对应点P′的坐标为:(a-2,b+1); (3)四边形ABCD的面积为:6×6-×2×6-×2×4-×2×4=22. 【点睛】 此题主要考查了平移变换以及坐标系内四边形面积求法,正确得出对应点位置是解题关键. 2.(1)∠APC=α+β,理由见解析;(2)∠APC=α-β或∠APC=β-α;(3)58° 【分析】 (1)过点P作PE∥AB,根据平行线的判定与性质即可求解; (2)分点P在线段MN或NM的延长线上运动两种情况,根据平行线的判定与性质及角的和差即可求解; (3)过点P,Q分别作PE∥AB,QF∥AB,根据平行线的判定与性质及角的和差即可求解. 【详解】 解:(1)如图2,过点P作PE∥AB, ∵AB∥CD, ∴PE∥AB∥CD, ∴∠APE=α,∠CPE=β, ∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β. (2)如图,在(1)的条件下,如果点P在线段MN的延长线上运动时, ∵AB∥CD,∠PAB=α, ∴∠1=∠PAB=α, ∵∠1=∠APC+∠PCD,∠PCD=β, ∴α=∠APC+β, ∴∠APC=α-β; 如图,在(1)的条件下,如果点P在线段NM的延长线上运动时, ∵AB∥CD,∠PCD=β, ∴∠2=∠PCD=β, ∵∠2=∠PAB+∠APC,∠PAB=α, ∴β=α+∠APC, ∴∠APC=β-α; (3)如图3,过点P,Q分别作PE∥AB,QF∥AB, ∵AB∥CD, ∴AB∥QF∥PE∥CD, ∴∠BAP=∠APE,∠PCD=∠EPC, ∵∠APC=116°, ∴∠BAP+∠PCD=116°, ∵AQ平分∠BAP,CQ平分∠PCD, ∴∠BAQ=∠BAP,∠DCQ=∠PCD, ∴∠BAQ+∠DCQ=(∠BAP+∠PCD)=58°, ∵AB∥QF∥CD, ∴∠BAQ=∠AQF,∠DCQ=∠CQF, ∴∠AQF+∠CQF=∠BAQ+∠DCQ=58°, ∴∠AQC=58°. 【点睛】 此题考查了平行线的判定与性质,添加辅助线将两条平行线相关的角联系到一起是解题的关键. 3.(1)见解析;(2);(3)75° 【分析】 (1)根据平行线的性质、余角和补角的性质即可求解. (2)根据平行线的性质、对顶角的性质和平角的定义解答即可. (3)根据平行线的性质和角平分线的定义以及三角形内角和解答即可. 【详解】 解:(1)∠C=∠1+∠2, 证明:过C作l∥MN,如下图所示, ∵l∥MN, ∴∠4=∠2(两直线平行,内错角相等), ∵l∥MN,PQ∥MN, ∴l∥PQ, ∴∠3=∠1(两直线平行,内错角相等), ∴∠3+∠4=∠1+∠2, ∴∠C=∠1+∠2; (2)∵∠BDF=∠GDF, ∵∠BDF=∠PDC, ∴∠GDF=∠PDC, ∵∠PDC+∠CDG+∠GDF=180°, ∴∠CDG+2∠PDC=180°, ∴∠PDC=90°-∠CDG, 由(1)可得,∠PDC+∠CEM=∠C=90°, ∴∠AEN=∠CEM, ∴, (3)设BD交MN于J. ∵BC平分∠PBD,AM平分∠CAD,∠PBC=25°, ∴∠PBD=2∠PBC=50°,∠CAM=∠MAD, ∵PQ∥MN, ∴∠BJA=∠PBD=50°, ∴∠ADB=∠AJB-∠JAD=50°-∠JAD=50°-∠CAM, 由(1)可得,∠ACB=∠PBC+∠CAM, ∴∠ACB+∠ADB=∠PBC+∠CAM+50°-∠CAM=25°+50°=75°. 【点睛】 本题考查了平行线的性质、余角和补角的性质,解题的关键是根据平行找出角度之间的关系. 4.(1)见解析;(2)∠PEQ+2∠PFQ=360°;(3)30° 【分析】 (1)首先证明∠1=∠3,易证得AB//CD; (2)如图2中,∠PEQ+2∠PFQ=360°.作EH//AB.理由平行线的性质即可证明; (3)如图3中,设∠QPF=y,∠PHQ=x.∠EPQ=z,则∠EQF=∠FQH=5y,想办法构建方程即可解决问题; 【详解】 (1)如图1中, ∵∠2=∠3,∠1=∠2, ∴∠1=∠3, ∴AB//CD. (2)结论:如图2中,∠PEQ+2∠PFQ=360°. 理由:作EH//AB. ∵AB//CD,EH//AB, ∴EH//CD, ∴∠1=∠2,∠3=∠4, ∴∠2+∠3=∠1+∠4, ∴∠PEQ=∠1+∠4, 同法可证:∠PFQ=∠BPF+∠FQD, ∵∠BPE=2∠BPF,∠EQD=2∠FQD,∠1+∠BPE=180°,∠4+∠EQD=180°, ∴∠1+∠4+∠EQD+∠BPE=2×180°, 即∠PEQ+2(∠FQD+∠BPF)=360°, ∴∠PEQ+2∠PFQ=360°. (3)如图3中,设∠QPF=y,∠PHQ=x.∠EPQ=z,则∠EQF=∠FQH=5y, ∵EQ//PH, ∴∠EQC=∠PHQ=x, ∴x+10y=180°, ∵AB//CD, ∴∠BPH=∠PHQ=x, ∵PF平分∠BPE, ∴∠EPQ+∠FPQ=∠FPH+∠BPH, ∴∠FPH=y+z﹣x, ∵PQ平分∠EPH, ∴Z=y+y+z﹣x, ∴x=2y, ∴12y=180°, ∴y=15°, ∴x=30°, ∴∠PHQ=30°. 【点睛】 本题考查了平行线的判定与性质,角平分线的定义等知识.(2)中能正确作出辅助线是解题的关键;(3)中能熟练掌握相关性质,找到角度之间的关系是解题的关键. 5.(1)PB′⊥QC′;(2)当射线PB旋转的时间为5秒或25秒或45秒时,PB′∥QC′ 【分析】 (1)求出旋转10秒时,∠BPB′和∠CQC′的度数,设PB′与QC′交于O,过O作OE∥AB,根据平行线的性质求得∠POE和∠QOE的度数,进而得结论; (2)分三种情况:①当0<t≤15时,②当15<t≤30时,③当30<t<45时,根据平行线的性质,得出角的关系,列出t的方程便可求得旋转时间. 【详解】 解:(1)如图1,当旋转时间30秒时,由已知得∠BPB′=10°×12=120°,∠CQC′=3°×10=30°, 过O作OE∥AB, ∵AB∥CD, ∴AB∥OE∥CD, ∴∠POE=180°﹣∠BPB′=60°,∠QOE=∠CQC′=30°, ∴∠POQ=90°, ∴PB′⊥QC′, 故答案为:PB′⊥QC′; (2)①当0<t≤15时,如图,则∠BPB′=12t°,∠CQC′=45°+3t°, ∵AB∥CD,PB′∥QC′, ∴∠BPB′=∠PEC=∠CQC′, 即12t=45+3t, 解得,t=5; ②当15<t≤30时,如图,则∠APB′=12t﹣180°,∠CQC'=3t+45°, ∵AB∥CD,PB′∥QC′, ∴∠BPB′=∠BEQ=∠CQC′, 即12t﹣180=45+3t, 解得,t=25; ③当30<t≤45时,如图,则∠BPB′=12t﹣360°,∠CQC′=3t+45°, ∵AB∥CD,PB′∥QC′, ∴∠BPB′=∠BEQ=∠CQC′, 即12t﹣360=45+3t, 解得,t=45; 综上,当射线PB旋转的时间为5秒或25秒或45秒时,PB′∥QC′. 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质,第(1)题关键是作平行线,第(2)题关键是分情况讨论,运用方程思想解决几何问题. 6.(1)49°,(2)44°,(3)∠OPQ=∠ORQ 【分析】 (1)根据∠OPA=∠QPB.可求出∠OPA的度数; (2)由∠AOP=43°,∠BQP=49°可求出∠OPQ的度数,转化为(1)来解决问题; (3)由(2)推理可知:∠OPQ=∠AOP+∠BQP,∠ORQ=∠DOR+∠RQC,从而∠OPQ=∠ORQ. 【详解】 解:(1)∵∠OPA=∠QPB,∠OPQ=82°, ∴∠OPA=(180°-∠OPQ)×=(180°-82°)×=49°, (2)作PC∥m, ∵m∥n, ∴m∥PC∥n, ∴∠AOP=∠OPC=43°, ∠BQP=∠QPC=49°, ∴∠OPQ=∠OPC+∠QPC=43°+49°=92°, ∴∠OPA=(180°-∠OPQ)×=(180°-92°)×44°, (3)∠OPQ=∠ORQ. 理由如下:由(2)可知:∠OPQ=∠AOP+∠BQP,∠ORQ=∠DOR+∠RQC, ∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角, ∴∠AOP=∠DOR,∠BQP=∠RQC, ∴∠OPQ=∠ORQ. 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质和入射角等于反射角的规定,解决本题的关键是注意问题的设置环环相扣、前为后用的设置目的. 7.(1)(2) 【分析】 (1)根据例子将每项的整数部分相加,分数部分相加即可解答; (2)根据例子将每项的整数部分相加,分数部分相加即可解答. 【详解】 (1) (2)原式 【点睛】 此题考察新计算方法,正确理解题意是解题的关键,根据例子即可仿照计算. 8.①1,3;②0.6020;0.6990;③f(1.5),f(12);f(1.5)=3a-b+c-1,f(12)=2-b-2c. 【分析】 ①根据定义可得:f(10b)=b,即可求得结论; ②根据运算性质:f(mn)=f(m)+f(n),f()=f(n)-f(m)进行计算; ③通过9=32,27=33,可以判断f(3)是否正确,同样依据5=,假设f(5)正确,可以求得f(2)的值,即可通过f(8),f(12)作出判断. 【详解】 解:①根据定义知:f(10b)=b, ∴f(10)=1, f(103)=3. 故答案为:1,3. ②根据运算性质,得:f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2f(2)=0.3010×2=0.6020, f(5)=f()=f(10)-f(2)=1-0.3010=0.6990. 故答案为:0.6020;0.6990. ③若f(3)≠2a-b,则f(9)=2f(3)≠4a-2b, f(27)=3f(3)≠6a-3b, 从而表中有三个对应的f(x)是错误的,与题设矛盾, ∴f(3)=2a-b; 若f(5)≠a+c,则f(2)=1-f(5)≠1-a-c, ∴f(8)=3f(2)≠3-3a-3c, f(6)=f(3)+f(2)≠1+a-b-c, 表中也有三个对应的f(x)是错误的,与题设矛盾, ∴f(5)=a+c, ∴表中只有f(1.5)和f(12)的对应值是错误的,应改正为: f(1.5)=f()=f(3)-f(2)=(2a-b)-(1-a-c)=3a-b+c-1, f(12)=f()=2f(6)-f(3)=2(1+a-b-c)-(2a-b)=2-b-2c. ∵9=32,27=33, ∴f(9)=2f(3)=2(2a-b)=4a-2b,f(27)=3f(3)=3(2a-b)=6a-3b. 【点睛】 本题考查了幂的应用,新定义运算等,解题的关键是深刻理解所给出的定义或规则,将它们转化为我们所熟悉的运算. 9.(1)2;3﹣;(2)1、2、3;(3)256,4 【分析】 (1)依照定义进行计算即可; (2)由题可知,,则可得满足题意的整数的的值为1、2、3; (3)由,可知,是某个整数的平方,又是符合条件的所有数中最大的数,则,再依次进行计算. 【详解】 解:(1)由定义可得,,, . 故答案为:2;. (2), ,即, 整数的值为1、2、3. 故答案为:1、2、3. (3),即, 可设,且是自然数, 是符合条件的所有数中的最大数, , , , , , 即. 故答案为:256,4. 【点睛】 本题属于新定义类问题,主要考查估算无理数大小,无理数的整数部分和小数部分,理解定义内容是解题关键. 10.(1),;(2)①;② 【分析】 (1)根据规律可得第5个算式;根据规律可得第n个算式; (2)①根据运算规律可得结果. ②利用非负数的性质求出与的值,代入原式后拆项变形,抵消即可得到结果. 【详解】 (1)根据规律得:第5个等式是,第n个等式是; (2)①, , , ; ②为最小的正整数,, ,, 原式, , , , . 【点睛】 本题主要考查了数字的变化规律,发现规律,运用规律是解答此题的关键. 11.(1)(2) 【分析】 (1)根据例子将每项的整数部分相加,分数部分相加即可解答; (2)根据例子将每项的整数部分相加,分数部分相加即可解答. 【详解】 (1) (2)原式 【点睛】 此题考察新计算方法,正确理解题意是解题的关键,根据例子即可仿照计算. 12.7或-1. 【分析】 根据题目中给出的方法,对所求式子进行变形,求出x、y的值,进而可求x+y的值. 【详解】 解:∵, ∴, ∴=0,=0 ∴x=±4,y=3 当x=4时,x+y=4+3=7 当x=-4时,x+y=-4+3=-1 ∴x+y的值是7或-1. 【点睛】 本题考查实数的运算,解题的关键是弄清题中给出的解答方法,然后运用类比的思想进行解答. 13.(1) C(5,﹣4);(2)90°;(3)见解析. 【详解】 分析:(1)利用非负数的和为零,各项分别为零,求出a,b即可; (2)用同角的余角相等和角平分线的意义即可; (3)利用角平分线的意义和互余两角的关系简单计算证明即可. 详解:(1)∵(a﹣3)2+|b+4|=0, ∴a﹣3=0,b+4=0, ∴a=3,b=﹣4, ∴A(3,0),B(0,﹣4), ∴OA=3,OB=4, ∵S四边形AOBC=16. ∴0.5(OA+BC)×OB=16, ∴0.5(3+BC)×4=16, ∴BC=5, ∵C是第四象限一点,CB⊥y轴, ∴C(5,﹣4); (2)如图, 延长CA,∵AF是∠CAE的角平分线, ∴∠CAF=0.5∠CAE, ∵∠CAE=∠OAG, ∴∠CAF=0.5∠OAG, ∵AD⊥AC, ∴∠DAO+∠OAG=∠PAD+∠PAG=90°, ∵∠AOD=90°, ∴∠DAO+∠ADO=90°, ∴∠ADO=∠OAG, ∴∠CAF=0.5∠ADO, ∵DP是∠ODA的角平分线, ∴∠ADO=2∠ADP, ∴∠CAF=∠ADP, ∵∠CAF=∠PAG, ∴∠PAG=∠ADP, ∴∠APD=180°﹣(∠ADP+∠PAD)=180°﹣(∠PAG+∠PAD)=180°﹣90°=90° 即:∠APD=90° (3)不变,∠ANM=45°理由:如图, ∵∠AOD=90°, ∴∠ADO+∠DAO=90°, ∵DM⊥AD, ∴∠ADO+∠BDM=90°, ∴∠DAO=∠BDM, ∵NA是∠OAD的平分线, ∴∠DAN=0.5∠DAO=0.5∠BDM, ∵CB⊥y轴, ∴∠BDM+∠BMD=90°, ∴∠DAN=0.5(90°﹣∠BMD), ∵MN是∠BMD的角平分线, ∴∠DMN=0.5∠BMD, ∴∠DAN+∠DMN=0.5(90°﹣∠BMD)+0.5∠BMD=45° 在△DAM中,∠ADM=90°, ∴∠DAM+∠DMA=90°, 在△AMN中, ∠ANM=180°﹣(∠NAM+∠NMA)=180°﹣(∠DAN+∠DAM+∠DMN+∠DMA)=180°﹣[(∠DAN+DMN)+(∠DAM+∠DMA)] =180°﹣(45°+90°)=45°, ∴D点在运动过程中,∠N的大小不变,求出其值为45° 点睛:此题是四边形综合题,主要考查了非负数的性质,四边形面积的计算方法,角平分线的意义,解本题的关键是用整体的思想解决问题,也是本题的难点. 14.(1)说明过程请看解答;(2)说明过程请看解答;(3)∠BED=360°-2∠BFD. 【分析】 (1)图1中,过点E作EG∥AB,则∠BEG=∠ABE,根据AB∥CD,EG∥AB,所以CD∥EG,所以∠DEG=∠CDE,进而可得∠BED=∠ABE+∠CDE; (2)图2中,根据∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F,结合(1)的结论即可说明:∠BED=2∠BFD; (3)图3中,根据∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F,过点E作EG∥AB,则∠BEG+∠ABE=180°,因为AB∥CD,EG∥AB,所以CD∥EG,所以∠DEG+∠CDE=180°,再结合(1)的结论即可说明∠BED与∠BFD之间的数量关系. 【详解】 解:(1)如图1中,过点E作EG∥AB, 则∠BEG=∠ABE, 因为AB∥CD,EG∥AB, 所以CD∥EG, 所以∠DEG=∠CDE, 所以∠BEG+∠DEG=∠ABE+∠CDE, 即∠BED=∠ABE+∠CDE; (2)图2中,因为BF平分∠ABE, 所以∠ABE=2∠ABF, 因为DF平分∠CDE, 所以∠CDE=2∠CDF, 所以∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2(∠ABF+∠CDF), 由(1)得:因为AB∥CD, 所以∠BED=∠ABE+∠CDE, ∠BFD=∠ABF+∠CDF, 所以∠BED=2∠BFD. (3)∠BED=360°-2∠BFD. 图3中,过点E作EG∥AB, 则∠BEG+∠ABE=180°, 因为AB∥CD,EG∥AB, 所以CD∥EG, 所以∠DEG+∠CDE=180°, 所以∠BEG+∠DEG=360°-(∠ABE+∠CDE), 即∠BED=360°-(∠ABE+∠CDE), 因为BF平分∠ABE, 所以∠ABE=2∠ABF, 因为DF平分∠CDE, 所以∠CDE=2∠CDF, ∠BED=360°-2(∠ABF+∠CDF), 由(1)得:因为AB∥CD, 所以∠BFD=∠ABF+∠CDF, 所以∠BED=360°-2∠BFD.- 配套讲稿:
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