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202X嘉兴市中考数学二次函数和几何综合专题

一、二次函数压轴题
1．定义：若抛物线的顶点和与x轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形时．则称此抛物线为正抛物线．
概念理解：
（1）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．试证明：以点A为顶点，且与x轴交于D、C两点的抛物线是正抛物线；
问题探究：
（2）已知一条抛物线经过x轴的两点E、F（E在F的左边），E（1，0）且EF＝2若此条抛物线为正抛物线，求这条抛物线的解析式；
应用拓展：
（3）将抛物线y1＝﹣x2+2x+9向下平移9个单位后得新的抛物线y2．抛物线y2的顶点为P，与x轴的两个交点分别为M、N（M在N左侧），把△PMN沿x轴正半轴无滑动翻滚，当边PN与x轴重合时记为第1次翻滚，当边PM与x轴重合时记为第2次翻滚，依此类推…，请求出当第2019次翻滚后抛物线y2的顶点P的对应点坐标．

2．探究：已知二次函数y＝ax2﹣2x+3经过点A(﹣3，0)．
(1)求该函数的表达式；
(2)如图所示，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，且点P的横坐标为t，连接AC，PA，PC．
①求△ACP的面积S关于t的函数关系式；
②求△ACP的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
拓展：在平面直角坐标系中，点M的坐标为(﹣1，3)，N的坐标为(3，1)，若抛物线y＝ax2﹣2x+3(a＜0)与线段MN有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．

3．如图1，点EF在直线l的同一侧，要在直线l上找一点K，使KE与KF的距离之和最小，我们可以作出点E关于l的对称点E′，连接FE′交直线L于点K，则点K即为所求．

（1）（实践运用）抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）．如图2．
①求该抛物线的解析式；
②在抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小，并求出此时点P的坐标及PA+PC的最小值．
（2）（知识拓展）在对称轴上找一点Q，使|QA﹣QC|的值最大，并求出此时点Q的坐标．
4．综合与探究
如图1，抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），其中，与y轴相交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点E．点P是抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，过点P作直线于点F，求的最大值；
（3）如图2，连接，抛物线上是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点和点（点在点的左侧），交轴于点．点是线段上的一个动点，沿以每秒1个单位长度的速度由点向点运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，连接．

（1）求直线的表达式；
（2）在点运动过程中，运动时间为何值时，？
（3）在点运动过程中，的周长是否存在最小值？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．综合与探究．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣3x+4与x轴分别交于点A和点B（点A在点B的左侧），交y轴于点C．点P是线段OA上的一个动点，沿OA以每秒1个单位长度的速度由点O向点A运动，过点P作DP⊥x轴，交抛物线于点D，交直线AC于点E，连接BE．

（1）求直线AC的表达式；
（2）在点P运动过程中，运动时间为何值时，EC＝ED？
（3）在点P运动过程中，△EBP的周长是否存在最小值？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
7．根据我们学习函数的过程与方法，对函数y＝x2＋bx＋2﹣c|x﹣1|的图像和性质进行探究，已知该函数图像经过（﹣1，﹣2）与（2，1）两点，
（1）该函数的解析式为　 　，补全下表：
x
⋯
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1

1
2
3
⋯
y
⋯

2
﹣1
﹣2

2
1
2
⋯
（2）描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，写出这个函数的一条性质：　 　．
（3）结合你所画的图象与函数y＝x的图象，直接写出x2＋bx＋2﹣c|x﹣1|≤x的解集　 　．

8．某校九年级数学兴趣社团的同学们学习二次函数后，有兴趣的在一起探究“函数的有关图象和性质”．探究过程如下：
（1）列表：问______．
x
…

0
1
2

…
y
…
6
2
0
0
0
2
m
…
（2）请在平面直角坐标系中画出图象．

（3）若方程（p为常数）有三个实数根，则______．
（4）试写出方程（p为常数）有两个实数根时，p的取值范围是______．
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．
（1）求此抛物线的表达式：
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
（3）试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

10．小云在学习过程中遇到一个函数．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：
（1）当时，对于函数，即，当时，随的增大而 ，且；对于函数，当时，随的增大而 ，且；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数，当时，随的增大而 ．
（2）当时，对于函数，当时，与的几组对应值如下表：

0

1

2

3

0

1

综合上表，进一步探究发现，当时，随的增大而增大．在平面直角坐标系中，画出当时的函数的图象．

（3）过点(0，m)（）作平行于轴的直线，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线与函数的图象有两个交点，则的最大值是 ．
二、中考几何压轴题
11．问题情境：两张直角三角形纸片中，．连接，，过点作的垂线，分别交线段，于点，（与在直线异侧）．

特例分析：
（1）如图1，当时，求证：；
拓展探究：
（2）当，探究下列问题：
①如图2，当时，直接写出线段与之间的数量关系： ；
②如图3，当时，猜想与之间的数量关系，并说明理由；
推广应用：
（3）若图3中，，设的面积为，则的面积为 ．（用含，的式子表示）
12．石家庄某学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动，在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，机器人乙同时从端点B出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计，兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．
（观察）
①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　 　个单位长度．
②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为35个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　 　个单位长度．
（发现）
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图象（线段OP，不包括点O，如图2所示）
①a＝　 　；
②分别求出各部分图象对应的函数解析式，并在图2中补全函数图象．

（拓展）
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，若这两个机器人在第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是　 　．（直接写出结果）
13．如图1，在等腰三角形中，点分别在边上，连接点分别为的中点．

（1）观察猜想
图1中，线段的数量关系是____，的大小为_____；
（2）探究证明
把绕点顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸
把绕点在平面内自由旋转，若，请求出面积的最大值．
14．（问题情境）在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），点P为直线BC上一动点（不与点B、C重合），连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ旋转角为α，连接CQ．

（特例分析）（1）当α＝90°，点P在线段BC上时，过P作PF∥AC交直线AB于点F，如图①，易得图中与△APF全等的一个三角形是　 ，∠ACQ＝　 　°．
（拓展探究）（2）当点P在BC延长线上，AB：AC＝m：n时，如图②，试求线段BP与CQ的比值；
（问题解决）（3）当点P在直线BC上，α＝60°，∠APB＝30°，CP＝4时，请直接写出线段CQ的长．
15．探究：如图1和图2，四边形中，已知，，点、分别在、上，．

（1）①如图1，若、都是直角，把绕点逆时针旋转90°至，使与重合，直接写出线段、和之间的数量关系____________________；
②如图2，若、都不是直角，但满足，线段、和之间①中的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（2）拓展：如图3，在中，，，点、均在边上，且，若，求的长．
16．在与中，且，点D始终在线段AB上（不与A、B重合）．

（1）问题发现：如图1，若度，的度数______，______；
（2）类比探究：如图2，若度，试求的度数和的值；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，M为DE的中点，当时，BM的最小值为多少？直接写出答案．
17．（模型构建）如图所示，在边长为1的正方形中，的顶点，分别在，上（可与点，，重合），且满足．的高线交线段于点（可与，重合），设．

（1）求的值．
（模型拓展）在（模型构建）的基础上，将条件“边长为1的正方形”改为“长、宽的矩形”（其他条件不变）．
（2）判断的值是否改变．若改变，请求出的取值范围；若不改变，请证明．
（深入探究）在（模型构建）的基础上，设的面积为．
（3）①求的最小值；
②当取到最小值时，直接写出与的数量关系．
18．《函数的图象与性质》拓展学习展示：
（问题）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴相交于，两点，与轴交于点，则______，______．
（操作）将图①中抛物线沿方向平移长度的距离得到拋物线，在轴左侧的部分与在轴右侧的部分组成的新图象记为，如图②．请直接写出图象对应的函数解析式．
（探究）在图②中，过点作直线平行于轴，与图象交于，两点，如图③．求出图象在直线上方的部分对应的函数随的增大而增大时的取值范围．
（应用）是抛物线对称轴上一个动点，当是直角三角形时，直接写出点的坐标．

19．（1）证明推断：如图（1），在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，．求证：；

（2）类比探究：如图（2），在矩形中，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；

（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，若，，求的长．
20．（问题发现）（1）如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B、C重合）将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连结EC，则线段BD与CE的数量关系是　 ，位置关系是　 ；

（探究证明）（2）如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，BD与CE具有怎样的位置关系，并说明理由；
（拓展延伸）（3）如图3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，将△ACD绕顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角∠CAE为α（0°＜α＜360°），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段BE的长度．

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一、二次函数压轴题

1．A
解析：（1）详见解析；（2）y＝或y＝；（3）当第2019次翻滚后抛物线y2的顶点P的对应点坐标为（4039，3）．
【分析】
（1）由Rt△ABC中AD是斜边BC的中线可得AD＝CD，由抛物线对称性可得AD＝AC，即证得△ACD是等边三角形．
（2）设抛物线顶点为G，根据正抛物线定义得△EFG是等边三角形，又易求E、F坐标，即能求G点坐标．由于不确定点G纵坐标的正负号，故需分类讨论，再利用顶点式求抛物线解析式．
（3）根据题意求出抛物线y2的解析式，并按题意求出P、M、N的坐标，得到等边△PMN，所以当△PMN翻滚时，每3次为一个周期，点P回到x轴上方，且横坐标每多一个周期即加6，其规律为当翻滚次数n能被3整除时，横坐标为： +n×2＝（2n+1）．2019能被3整除，代入即能求此时点P坐标．
【详解】
解：（1）证明：∠BAC＝90°，点D是BC的中点
∴AD＝BD＝CD＝BC
∵抛物线以A为顶点与x轴交于D、C两点
∴AD＝AC
∴AD＝AC＝CD
∴△ACD是等边三角形
∴以A为顶点与x轴交于D、C两点的抛物线是正抛物线．
（2）∵E（1，0）且EF＝2，点F在x轴上且E在F的左边
∴F（3，0）
∵一条经过x轴的两点E、F的抛物线为正抛物线，设顶点为G
∴△EFG是等边三角形
∴xG＝
①当G（2，）时，设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+
把点E（1，0）代入得：a+＝0
∴a＝﹣
∴y＝﹣（x﹣2）2+
②当G（2，﹣）时，设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2﹣
把点E（1，0）代入得：a﹣＝0
∴a＝
∴y＝（x﹣2）2﹣
综上所述，这条抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+或y＝（x﹣2）2﹣
（3）∵抛物线y1＝﹣x2+2x+9＝﹣（x﹣）2+12
∴y1向下平移9个单位后得抛物线y2＝﹣（x﹣）2+3
∴P（，3），M（0，0），N（2，0）
∴PM＝MN＝PN＝2
∴△PMN是等边三角形
∴第一次翻滚顶点P的坐标变为P1（4，0），第二次翻滚得P2与P1相同，第三次翻滚得P3（7，3）
即每翻滚3次为一个周期，当翻滚次数n能被3整除时，点P纵坐标为3，横坐标为： +n×2＝（2n+1）
∵2019÷3＝673
∴（2×2019+1）×＝4039
∴当第2019次翻滚后抛物线y2的顶点P的对应点坐标为（4039，3）．
【点睛】
本题考查了新定义的理解、性质运用，二次函数的图象与性质，直角三角形和等边三角形的性质．第（3）题的解题关键是发现等边△PMN每3次翻滚看作一个周期，点P对应点坐标的特征，是规律探索的典型题．
2．探究：（1）；（2）①，②的面积的最大值是，此时点的坐标为，拓展：.
【分析】
（1）由待定系数法易求解析式；
（2）过点作于点，交于点.设点的坐标为，由可得关于t的二次函数，进而可求最大值.
（3）根据抛物线与MN的位置关系可知当抛物线经过M点时，a取最大值.
【详解】
探究：（1）∵抛物线经过点，
∴，解得.
∴抛物线的表达式为.
（2）①过点作于点，交于点.

设直线的解析式为，
将、代入，
，解得：，
∴直线的解析式为.
∵点在抛物线上，点在直线上，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴ ，
∴ .
②∵，
∴当时，，
当时，.
∴的面积的最大值是，此时点的坐标为.
[拓展]：抛物线y=ax2−2x+3(a<0),当x=1时，y=a-2+3=a+1＜3，故抛物线右边一定与MN有交点，
当x=-1，y=a+2+3=a+5，在M点或下方时，抛物线左边边一定与MN有交点，
即a+5≤3；
∴；
【点睛】
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形面积的计算，极值的确定，关键是确定出抛物线解析式，难点是数形结合确定a点的求值范围．
3．A
解析：（1）①y=x2﹣2x﹣3，②点P的坐标为（1，﹣2），PA+PC的最小值为3；（2）点Q的坐标为（1，﹣6）．
【详解】
分析：（1）①由点A、B的坐标可将抛物线的解析式变形为交点式，代入点C的坐标即可求出a值，此题得解；
②由点A、B关于抛物线的对称轴对称可得出连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PA+PC的值最小，根据抛物线的解析式可求出其对称轴为直线x=1，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出过点B、C的直线的解析式，代入x=1求出y值，由此即可得出点P的坐标，再利用勾股定理求出线段BC的长即可；
（2）连接AC并延长AC交抛物线对称轴与点Q，此时|QA﹣QC|的值最大，且|QA﹣QC|的最大值为线段AC的长（三角形两边之差小于第三边），由点A、C的坐标利用待定系数法可求出过点A、C的直线的解析式，代入x=1求出y值，由此即可得出点Q的坐标，此题得解．
详解：（1）①∵抛物线与x轴的交点为A（﹣1，0）、B（3，0），∴抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3）．
∵抛物线过点C（0，﹣3），∴﹣3=（0+1）×（0﹣3）a，∴a=1，∴该抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3．
②∵点A、B关于抛物线的对称轴对称，∴连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PA+PC的值最小，如图3所示．
∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x=1．
利用待定系数法可求出过点B、C的直线为y=x﹣3，当x=1时，y=x﹣3=1﹣3=﹣2，∴点P的坐标为（1，﹣2），PA+PC的最小值为BC==3．
（2）连接AC并延长AC交抛物线对称轴与点Q，此时|QA﹣QC|的值最大，且|QA﹣QC|的最大值为线段AC的长，如图4所示．
利用待定系数法可求出过点A、C的直线为y=﹣3x﹣3，当x=1时，y=﹣3x﹣3=﹣3×1﹣3=﹣6，∴点Q的坐标为（1，﹣6）．

点睛：本题是二次函数的综合题．考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数的性质、二次函数解析式的三种形式以及三角形的三边关系，解题的关键是：（1）①根据点的坐标利用待定系数法求出抛物线的解析式；②由点A、B关于抛物线的对称轴对称，找出当PA+PC的值最小时点P的位置；（2）利用三角形的三边关系找出使|QA﹣QC|的值最大时点Q的位置．
4．F
解析：（1）抛物线的表达式为；（2）；（3）存在，点P的坐标为：或
【分析】
（1）把点的坐标分别代入解析式，转化为方程组求解即可；
（2）设点P的横坐标为m，用含有m的代数式表示PF，转化为二次函数最值问题求解即可；
（3）利用构造平行线法，三角形全等法，构造出符合题意的角，后利用交点思想求解即可．
【详解】
解：（1）抛物线与x轴交于两点，

解得
抛物线的表达式为．
（2）∵抛物线的表达式为．
对称轴为直线，
点E的坐标为．
令，代入抛物线的表达式，得，
∴点C的坐标为．
在中，，
．
．
设直线的表达式为，由经过，

解得
∴直线的表达式为．
如答图，过点P作轴，交于点G．
设点P的横坐标为m，则
．
轴，
，
．

．
．
．
当时，．
（3）存在，理由如下：①在x轴的正半轴上取一点E，使得OA=OE=1，则点E（1,0），
∵OA=OE，∠AOC=∠EOC=90°，CO=CO，
∴△AOC≌△EOC，
∴∠ACO=∠ECO，
过点B作BP∥CE，交抛物线y=于点P，

∴∠PBC=∠ECB，
∵C（0，3），B（3，0），
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠ABC，
∵∠OCB=∠ECB+∠ECO=∠PBC+∠ACO，
∴∠ABC=∠PBC+∠ACO，
设直线CE的解析式为y=kx+3，把点E（1,0）代入解析式，得k+3=0，
解得k=-3，
∴直线CE的解析式为y=-3x+3，
∵BP∥CE，
∴设直线BP的解析式为y=-3x+b，把点B（3,0）代入解析式，得-9+b=0，
解得b=9，
∴直线BP的解析式为y=-3x+9，
∴-3x+9=，
解得x=2，或x=3（与B重合，舍去）
当x=2时，y=-3x+9=3，
∴点P的坐标为（2，3）；
②在y轴的正半轴上取一点Q，使得OA=OQ=1，则点Q（0,1），
∵OA=OQ，∠AOC=∠QOB=90°，CO=BO，
∴△AOC≌△QOB，
∴∠ACO=∠QBO，

延长BQ交抛物线y=于点P，
∵∠ABC =∠PBC+∠QBO，
∴∠ABC=∠PBC+∠ACO，
设直线BQ的解析式为y=mx+1，把点B（3,0）代入解析式，得3m+1=0，
解得m=-，
∴直线BQ的解析式为y=-x+1，
∴-x+1=，
解得x=，或x=3（与B重合，舍去）
当x=时，y=-x+1=，
∴点P的坐标为；
综上所述，存在这样的点P，且点P的坐标为：或．
【点睛】
本题考查了待定系数法确定二次函数，一次函数的解析式，二次函数的最值，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，准确表示PF，利用构造平行线，三角形全等，确定满足条件的P点位置是解题的关键．
5．A
解析：（1）；（2）或；（3）存在，
【分析】
（1）根据二次函数的解析式可以求出点A和点坐标，把点A和点的坐标代入联立方程组，即可确定一次函数的解析式；
（2）由题意可得点P的坐标，从而可得点D的坐标，故可求得ED的长，再由A、C的坐标可知：OA=OC，即△AOC是等腰直角三角形，因DP⊥x轴，故△AEP也是等腰直角三角形，可分别得到AC、AE的长，故可得EC的长，由题意EC=ED，即可得关于t的方程，解方程即可；
（3）由EP=AP，得，是定值，周长最小，就转化为最小，根据垂线段最短就可确定点的特殊位置，从而求出点的坐标．
【详解】
解：（1）∵抛物线与轴分别交于点和点，交轴于点，
∴当时，，即，
当时，，，，即，，
设直线的解析式为：
则，
∴，
∴直线的表达式：．
（2）∵点沿以每秒1个单位长度的速度由点向点运动，
∴，，
∵轴，
∴，，
∴
∵，，
∴，，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴，由勾股定理得：，
∵轴，
在中，，
∴△AEP也是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴当时，即或时，．
（3）在中，，
∴，
∴的周长：．
∴当最小时的周长最小．
当时，最小，
∵，
∴，
在中，，，，，
∴，
∴，
∴．

【点睛】
本题是综合与探究题，此类问题的考查特点是综合性和探究性强，考查内容是一次函数解析式的确定、特殊点坐标的确定、三角形周长最小值等，渗透了分类讨论、数形结合、转化等数学思想，难度较大．
6．A
解析：（1）直线AC的表达式为y＝x+4；（2）运动时间为0或（4﹣）秒时，EC＝ED；（3）
【分析】
（1）由抛物线的解析式中x，y分别为0，求出A，C的坐标，再利用待定系数法确定直线AC的解析式；
（2）设出运动时间为t秒，然后用t表示线段OP，CE，AP，DE的长度，利用已知列出方程即可求解；
（3）利用等量代换求出△EBP的周长为AB+BE，由于AB为定值，BE最小时，△EBP的周长最小，根据垂线段最短，确定点E的位置，解直角三角形求出OP，点P坐标可求．
【详解】
解：（1）∵ 抛物线y＝﹣x2﹣3x+4与x轴分别交于A，B，交y轴于点C，
∴ 当x＝0时，y＝4．
∴ C（0，4）．
当y＝0时，﹣x2﹣3x+4＝0，
∴ x1＝﹣4，x2＝1，
∴ A（﹣4，0），B（1，0）．
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴
解得：
∴ 直线AC的表达式为y＝x+4．
（2）设点P的运动时间为t秒，
∵点P以每秒1个单位长度的速度由点O向点A运动，
∴ OP＝t．
∴ P（﹣t，0）．
∵ A（﹣4，0），C（0，4），
∴ OA＝OC＝4．
∴ Rt△AOC为等腰直角三角形．
∴ ∠CAO＝∠ACO＝45°，AC＝OA＝4．
∵ DP⊥x轴，
在Rt△APE中，∠CAP＝45°，
∴ AP＝PE＝4﹣t，AE＝AP＝（4﹣t）．
∴ EC＝AC﹣AE＝t．
∵ E，P的横坐标相同，
∴ E（﹣t，﹣t+4），D（﹣t，﹣t2+3t+4）．
∴ DE＝（﹣t2+3t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t．
∵ EC＝DE，
∴﹣t2+4t＝t．
解得：t＝0或t＝4﹣．
∴ 当运动时间为0或（4﹣）秒时，EC＝ED．
（3）存在．P的坐标为（﹣，0）．
在Rt△AEP中，∠OAC＝45°，
∴ AP＝EP．
∴ △AEB的周长为EP+BP+BE＝AP+BP+BE＝AB+BE．
∵ AB＝5，
∴ 当BE最小时，△AEB的周长最小．
当BE⊥AC时，BE最小．
在Rt△AEB中，
∵∠AEB＝90°，∠BAC＝45°，AB＝5，BE⊥AC，
∴ PB＝AB＝．
∴ OP＝PB﹣OB＝．
∴ P（﹣，0）．
【点睛】
本题考查了二次函数，一次函数的图象和性质，垂线段最短的性质，等腰三角形的性质，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是解题的关键．
7．(1) y＝x2﹣x+2﹣3|x﹣1|，补全表格见解析，(2) 函数图像见解析，当x=-1时，函数有最小值，最小值为-2；(3) ≤x≤或≤x≤．
【分析】
（1）将点（﹣1，﹣2）与（2，1）代入解析式即可；
（2）画出函数图象，观察图象得到一条性质即可
（3）根据图象，求出两个函数图象的交点坐标，通过观察可确定解解集．
【详解】
解：（1）∵该函数图象经过（﹣1，﹣2）与（2，1）两点，
∴，
∴，
∴y＝x2﹣x+2﹣3|x﹣1|，
故答案为：y＝x2﹣x+2﹣3|x﹣1|；
当x=-4时，y=7；当x=0时，y=-1；
补全表格如图，
x
⋯
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
⋯
y
⋯
7
2
﹣1
﹣2
-1
2
1
2
⋯
（2）函数图像如图所示，当x=-1时，函数有最小值，最小值为-2；
（3）当x≥1时，x2﹣x+2﹣3x+3=x，
解得，，，观察图象可知不等式的解集为：≤x≤；
当x＜1时，x2﹣x+2+3x﹣3=x，
解得，，，观察图象可知不等式的解集为：≤x≤；
∴不等式x2+bx+2﹣c|x﹣1|≤x的解集为≤x≤或≤x≤．

【点睛】
本题考查二次函数与不等式的关系；掌握描点法画函数图象，利用数形结合解不等式是解题的关键．
8．（1）；（2）见解析；（3）；（4）或．
【分析】
（1）把x=代入解析式，计算即可；
（2）按照画图像的基本步骤画图即可；
（3）一个方程有两个不同实数根，另一个方程有两个相等的实数根和两个方程都有两个不同的实数根，但是有一个公共根；
（4）结合函数的图像，分直线经过顶点和在x轴上方两种情形解答即可．
【详解】
（1）当x=时，

=
=，
∴；
（2）画图像如下；

（3）当x≥0时，函数为；当x＜0时，函数为；
∵方程（p为常数）有三个实数根，
∴两个方程有一个公共根，设这个根为a，
则，
解得a=0，
当a=0时，p=0，
故答案为：p=0；
（4）∵方程（p为常数）有两个实数根，
∴p＞0；
或△=0
即1+4p=0，
解得．
综上所述，p的取值范围是或．
【点睛】
本题考查了二次函数图像，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握抛物线与一元二次方程的关系，灵活运用分类思想，数形结合思想是解题的关键．
9．A
解析：（1）；（2），当m＝2时，PN的最大值为；（3）Q(1，3)或(，)
【分析】
（1）由二次函数交点式表达式，即可求解．
（2）由PN＝PQsin∠PQN＝（﹣m2+ m+4+m﹣4）即可求解．
（3）分AC＝AQ、AC＝CQ、CQ＝AQ三种情况，当AC＝AQ时，构造直角三角形AMQ利用勾股定理可求坐标，AC＝CQ时，先求BQ再求MB，即可得到坐标，CQ＝AQ时，联立解得不合题意．
【详解】
解：（1）由二次函数交点式表达式得：y＝a（x+3）（x﹣4）＝a（x2﹣x﹣12）＝ax2﹣ax﹣12a，
即：﹣12a＝4，解得：a＝﹣，
则抛物线的表达式为，
（2）设点P（m，﹣m2+m+4），则点Q（m，﹣m+4），
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，
PN＝PQsin∠PQN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）＝﹣（m﹣2）2+，
∵﹣＜0，
∴PN有最大值，
当m＝2时，PN的最大值为．
（3）存在，理由：
点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4），
则AC＝5，AB＝7，BC＝4，∠OBC＝∠OCB＝45°，
将点B（4，0）、C（0，4）的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b
得
解得
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4…①，
设直线AC的解析式为y=mx+n
把点A（﹣3，0）、C（0，4）代入得
解得
∴直线AC的表达式为：y＝x+4，
设直线AC的中点为K（﹣，2），过点M与CA垂直直线的表达式中的k值为﹣，
设过点K与直线AC垂直直线的表达式为y＝﹣x+q
把K（﹣，2）代入得2=﹣×（﹣）+q
解得q=
∴y＝﹣x+…②，
①当AC＝AQ时，如图1，

则AC＝AQ＝5，
设：QM＝MB＝n，则AM＝7﹣n，
由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，解得：n＝3或4（舍去4），
故点Q（1，3），
②当AC＝CQ时，如图1，
CQ＝5，则BQ＝BC﹣CQ＝4﹣5，
则QM＝MB＝，
故点Q（，）．
③当CQ＝AQ时，
联立①②，，
解得，x＝（舍去），
综上所述点Q的坐标为：Q（1，3）或Q（，）．
【点睛】
此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、一次函数的图像与性质、二次函数的图像与性质及等腰三角形的性质．
10．（1）减小，减小，减小；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据一次函数的性质，二次函数的性质分别进行判断，即可得到答案；
（2）根据表格的数据，进行描点，连线，即可画出函数的图像；
（3）根据函数图像和性质，当时，函数有最大值，代入计算即可得到答案．
【详解】
解：（1）根据题意，在函数中，
∵,
∴函数在中，随的增大而减小；
∵，
∴对称轴为：，
∴在中，随的增大而减小；
综合上述，在中，随的增大而减小；
故答案为：减小，减小，减小；
（2）根据表格描点，连成平滑的曲线，如图：

（3）由（2）可知，当时，随的增大而增大，无最大值；
由（1）可知在中，随的增大而减小；
∴在中，有
当时，，
∴m的最大值为；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，以及函数的最值问题，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出函数图像，并求函数的最大值．
二、中考几何压轴题

11．（1）详见解析；（2）①；②，证明详见解析；（3）．
【分析】
（1）在等腰三角形ABM中三线合一，即AM还为三角形的角平分线与底边中线，可用AAS证，可得，即可得证；
（2）①由题意可知，，，且，
解析：（1）详见解析；（2）①；②，证明详见解析；（3）．
【分析】
（1）在等腰三角形ABM中三线合一，即AM还为三角形的角平分线与底边中线，可用AAS证，可得，即可得证；
（2）①由题意可知，，，且，，可证∽，同理可证∽，可得，，即可得出BD与AN的数量关系；②过E点作AC的平行线，交AN的延长线于点P，连接PC，可证∽，即，可得，四边形为平行四边形，所以，即可得出BD与AN的数量关系；
（3）由（2）②已证四边形为平行四边形，所以，且∽，，所以，即ACE的面积可得．
【详解】
（1）证明：∵，于点，
∴，，（等腰三角形三线合一）
∵，
，
且，
∴，
∵，
∴，即．
∴，
∵，
∴，
在ABM和CAN中，

∴（AAS），
∴，∴．
（2）①．
∵由题意可知，，，且，，
∴，
∴∽，
同理，，，且，，
∴，
∴∽，
∴，即，，即，
∴．
②．证明：过E点作AC的平行线，交AN的延长线于点P，连接PC．

∴，
∵，
∴，
∴，
∵于点，∴．
∴．
∴．
∴，
∴∽，
∴，
∵，∴，，
∴．
∵，∴四边形为平行四边形．
∴，∴．
（3）．
∵由（2）②已证四边形为平行四边形，
∴，
又∵∽，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考察了等腰三角形三线合一、全等三角形的证明与应用、相似三角形的证明与应用、平行四边形的性质，解题的关键在于构造出全等三角形，且掌握相似三角形面积之比为边长之比的平方．
12．【观察】①90；②105；【发现】①50；②y＝，补全图象见解析；【拓展】0＜x≤12或48≤x≤72
【分析】
【观察】①先据题意求出两个机器人速度的关系，再确定第二次迎面相遇的位置，然后设此时相
解析：【观察】①90；②105；【发现】①50；②y＝，补全图象见解析；【拓展】0＜x≤12或48≤x≤72
【分析】
【观察】①先据题意求出两个机器人速度的关系，再确定第二次迎面相遇的位置，然后设此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可求出结果；
②仿照①的解题思路和方法解答即可；
【发现】①当点第二次相遇地点刚好在点B时，根据题意可列方程150﹣x＝2x，解出的x的值即为a的值；
②分0＜x≤50与50＜x＜75两种情况，分别求出正比例函数与一次函数的关系式，进一步即可补全函数图象；
【拓展】分三种情况画出图形，然后根据题意得出相应的分式方程，解方程即可得出y与x的关系，进而可得关于x的不等式，解不等式即可得到结论．
【详解】
解：【观察】①∵相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，
∴相遇地点与点B之间的距离为150﹣30＝120个单位长度，
设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为v＝4v，
∴机器人甲从相遇点到点B所用的时间为，
机器人乙从相遇地点到点A再返回到点B所用时间为，而，
∴机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，
机器人乙从第一次相遇地点到点A，返回到点B，再返回向A时和机器人甲第二次迎面相遇，
设此时相遇点距点A为m个单位，

根据题意得，30+150+150﹣m＝4（m﹣30），解得：m＝90，
故答案为：90；
②∵相遇地点与点A之间的距离为35个单位长度，
∴相遇地点与点B之间的距离为150﹣35＝115个单位长度，
设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为，
∴机器人乙从相遇点到点A再到点B所用的时间为，
机器人甲从相遇点到点B所用时间为，而，
∴机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，
机器人乙从第一次相遇地点到点A，返回到点B，再返回向A时和机器人甲第二次迎面相遇，
设此时相遇点距点A为m个单位，
根据题意得，35+150+150﹣m＝（m﹣35），解得：m＝105，
故答案为：10