青岛市中考数学几何综合压轴题模拟专题.doc

青岛市中考数学几何综合压轴题模拟专题

一、中考几何压轴题
1．折纸是一种许多人熟悉的活动．近些年，经过许多人的努力，已经找到了多种将正方形折纸的一边三等分的精确折法，下面探讨其中的一种折法：
（综合与实践）
操作一：如图1，将正方形纸片ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将正方形纸片ABCD展开，得到折痕MN；
操作二：如图2，将正方形纸片ABCD的右上角沿MC折叠，得到点D的对应的点为D′；
操作三：如图3，将正方形纸片ABCD的左上角沿MD′折叠再展开，折痕MD′与边AB交于点P；
（问题解决）
请在图3中解决下列问题：
（1）求证：BP＝D′P；
（2）AP：BP＝　 　；

（拓展探究）
（3）在图3的基础上，将正方形纸片ABCD的左下角沿CD′折叠再展开，折痕CD′与边AB交于点Q．再将正方形纸片ABCD过点D′折叠，使点A落在AD边上，点B落在BC边上，然后再将正方形纸片ABCD展开，折痕EF与边AD交于点E，与边BC交于点F，如图4．试探究：点Q与点E分别是边AB，AD的几等分点？请说明理由．
2．如图，已知和均为等腰三角形，AC＝BC，DE＝AE，将这两个三角形放置在一起．
（1）问题发现：
如图①，当时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，则＝　 　°，线段BD、CE之间的数量关系是　 　；
（2）拓展探究：
如图②，当时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，请判断的度数及线段BD、CE之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：
如图③，，，AE＝2，连接CE、BD，在绕点A旋转的过程中，当时，请直接写出EC的长．

3．某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积之间的关系问题”进行了以下探究：

类比探究：
（1）如图2，在中，为斜边，分别以为直径，向外侧作半圆，则面积之间的关系式为_____________；
推广验证：
（2）如图3，在中，为斜边，分别以为边向外侧作，，满足，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；
拓展应用：
（3）如图4，在五边形中，，点在上，，求五边形的面积．
4．问题探究：
（1）如图①，已知在△ABC中，BC＝4，∠BAC＝45°，则AB的最大值是　 　．
（2）如图②，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为△ABC内一点，且AD＝2，BD＝2．，CD＝6，请求出∠ADB的度数．
问题解决：
（3）如图③，某户外拓展基地计划在一处空地上修建一个新的拓展游戏区△ABC，且AB＝AC．∠BAC＝120°，点A、B、C分别是三个任务点，点P是△ABC内一个打卡点．按照设计要求，CP＝30米，打卡点P对任务点A、B的张角为120°，即∠APB＝120°．为保证游戏效果，需要A、P的距离与B、P的距离和尽可能大，试求出AP+BP的最大值．

5．（模型构建）如图所示，在边长为1的正方形中，的顶点，分别在，上（可与点，，重合），且满足．的高线交线段于点（可与，重合），设．

（1）求的值．
（模型拓展）在（模型构建）的基础上，将条件“边长为1的正方形”改为“长、宽的矩形”（其他条件不变）．
（2）判断的值是否改变．若改变，请求出的取值范围；若不改变，请证明．
（深入探究）在（模型构建）的基础上，设的面积为．
（3）①求的最小值；
②当取到最小值时，直接写出与的数量关系．
6．综合与实践
（问题背景）
如图1，矩形中，．点E为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点C落在边的点处．

（问题解决）
（1）填空：的长为______．
（2）如图2，将沿线段向右平移，使点与点B重合，得到与交于点F，与交于点G．求的长；
（拓展探究）
（3）在图2中，连接，则四边形是平行四边形吗？若是，请予以证明；若不是，请说明理由．
7．在与中，且，点D始终在线段AB上（不与A、B重合）．

（1）问题发现：如图1，若度，的度数______，______；
（2）类比探究：如图2，若度，试求的度数和的值；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，M为DE的中点，当时，BM的最小值为多少？直接写出答案．
8．（1）问题发现
如图1，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠BED=45°，点E是线段AC上一动点，连接DE．
填空：①则的值为______；②∠EAD的度数为_______．
（2）类比探究
如图2，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠BED=60°，点E是线段AC上一动点，连接DE．请求出的值及∠EAD的度数；
（3）拓展延伸
如图3，在（2）的条件下，取线段DE的中点M，连接AM、BM，若BC=4，则当△ABM是直角三角形时，求线段AD的长．

9．（1）（问题发现）
如图①，正方形的两边分别在正方形的边和上，连接．
填空：①线段与的数量关系为______；
②直线与所夹锐角的度数为_______．
（2）（拓展探究）
如图②，将正方形绕点逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明．
（3）（解决问题）
如图③，在正方形中，，点M为直线上异于B，C的一点，以为边作正方形，点N为正方形的中心，连接，若，直接写出的长．

10．某数学学习小组在复习线段垂直平分线性质时，提出了以下几个问题，请你帮他们解决：
[数学理解]
(1)点是线段垂直平分线上的一点，则的值为 ；
[拓展延伸]
(2)在平面直角坐标系中，点， 点在轴上，且， 则点的坐标为 ．
(3)经小组探究发现，如图，延长线段到点，使，以点为因心，长为半径作园，则对于上任一点，都有，请你证明这个结论：

[问题解决]
(4)如图，某人乘船以25千米/时的速度沿一笔直的河从码头到码头，再立即坐车沿一笔直公路以75千米/时的速度回到住处，已知乘船和坐车所用的时间相等请在河边上确定码头的位置．(请画出示意图并简要说明理由)

11．如图1，已知直角三角形，，，点是边上一点，过作于点，连接，点是中点，连接，．
（1）发现问题：
线段，之间的数量关系为______；的度数为______；
（2）拓展与探究：
若将绕点按顺时针方向旋转角，如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
（3）拓展与运用：
如图3所示，若绕点旋转的过程中，当点落到边上时，边上另有一点，，，连接，请直接写出的长度．

12．（性质探究）
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．
（1）判断△AFG的形状并说明理由．
（2）求证：BF=2OG．
（迁移应用）
（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当时，求的值．
（拓展延伸）
（4）若DF交射线AB于点F，（性质探究）中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值．

13．问题发现：（1）如图1，与同为等边三角形，连接则与的数量关系为________；直线与所夹的锐角为_________；
类比探究：（2）与同为等腰直角三角形，其他条件同（1），请问（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
拓展延伸：（3）中，为的中位线，将绕点逆时针自由旋转，已知，在自由旋转过程中，当在一条直线上时，请直接写出的值．

14．（1）问题发现
如图1，ABC是等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，若∠ADE＝60°，则AB，CE，BD，DC之间的数量关系是　 　．
（2）拓展探究
如图2，ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠B＝α，点D，E分别在边BC，AC上．若∠ADE＝α，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
（3）解决问题
如图3，在ABC中，∠B＝30°，AB＝AC＝4cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→B方向勾速运动，同时点M从点B出发，以cm/s的速度沿B→C方向匀速运动，当其中一个点运动至终点时，另一个点随之停止运动，连接PM，在PM右侧作∠PMG＝30°，该角的另一边交射线CA于点G，连接PC．设运动时间为t（s），当△APG为等腰三角形时，直接写出t的值．

15．如图1所示，边长为4的正方形与边长为的正方形的顶点重合，点在对角线上．

（问题发现）如图1所示，与的数量关系为________；
（类比探究）如图2所示，将正方形绕点旋转，旋转角为，请问此时上述结论是否还成立？如成立写出推理过程，如不成立，说明理由；
（拓展延伸）若点为的中点，且在正方形的旋转过程中，有点、、在一条直线上，直接写出此时线段的长度为________
16．（感知）（1）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：=．
（探究）（2）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，连接BG交CD于点H．求证：BH=GH．
（拓展）（3）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且=，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG=CG．

17．如图（1），在矩形中，，点分别是边的中点，四边形为矩形，连接．

（1）问题发现
在图（1）中，_________；
（2）拓展探究
将图（1）中的矩形绕点旋转一周，在旋转过程中，的大小有无变化？请仅就图（2）的情形给出证明；
（3）问题解决
当矩形旋转至三点共线时，请直接写出线段的长．
18．问题情境：两张直角三角形纸片中，．连接，，过点作的垂线，分别交线段，于点，（与在直线异侧）．

特例分析：
（1）如图1，当时，求证：；
拓展探究：
（2）当，探究下列问题：
①如图2，当时，直接写出线段与之间的数量关系： ；
②如图3，当时，猜想与之间的数量关系，并说明理由；
推广应用：
（3）若图3中，，设的面积为，则的面积为 ．（用含，的式子表示）
19．[探索发现]（1）如图①，△ABC与△ADE为等腰三角形，且两顶角∠ABC＝∠ADE，连接BD与CE，则△ABD与△ACE的关系是　 　；
[操作探究]（2）在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝100°，D是BC的中点，在线段AD上任取一点P，连接PB，将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°，点B的对应点是点E，连接BE，得到△BPE，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你探究，当点E在直线AD上时，如图②所示，连接CE，判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由．
[拓展应用]（3）在（2）的应用下，请在图③中画出△BPE，使得点E在直线AD的右侧，连接CE，试求出点P在线段AD上运动时，AE的最小值．

20．问题提出
（1）如图（1），在等边三角形ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，则∠ACN＝ °．
类比探究
（2）如图（2），在等边三角形ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
拓展延伸
（3）如图（3），在等腰三角形ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等腰三角形AMN，使AM＝MN，连接CN．添加一个条件，使得∠ABC＝∠ACN仍成立，写出你所添加的条件，并说明理由．

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一、中考几何压轴题

1．（1）见解析；（2）2：1；（3）点Q是AB边的四等分点，点E是AD边的五等分点，理由见解析
【分析】
（1）如图1，连接PC，根据正方形的性质、HL定理证明△CD′P≌△CBP，根据全等三角形的性
解析：（1）见解析；（2）2：1；（3）点Q是AB边的四等分点，点E是AD边的五等分点，理由见解析
【分析】
（1）如图1，连接PC，根据正方形的性质、HL定理证明△CD′P≌△CBP，根据全等三角形的性质得出结论；
（2）设BP＝x，根据翻转变换的性质、勾股定理列出方程，解方程即可；
（3）如图2，连接QM，证明Rt△AQM≌Rt△D′QM（HL），得到AQ＝D′Q，设正方形ABCD的边长为1，AQ＝QD′＝y，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】
（1）证明：如图1，连接PC．

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，
∴∠MD′C＝∠D＝90°，
∴∠CD′P＝∠B＝90°，
在Rt△CD′P和Rt△CBP中，
，
∴Rt△CD′P≌Rt△CBP（HL），
∴BP＝D′P；
（2）解：设正方形纸片ABCD的边长为1．则AM＝DM＝D′M＝．
设BP＝x，则MP＝MD′+D′P＝DM+BP＝+x，AP＝1﹣x，
在Rt△AMP中，根据勾股定理得AM2+AP2＝MP2．
∴（）2+（1﹣x）2＝（+x）2，
解得x＝，
∴BP＝，AP＝，
∴AP：BP＝2：1，
故答案为：2：1．
（3）解：点Q是AB边的四等分点，点E是AD边的五等分点．
理由：如图2，连接QM．

∴∠QD′M＝180°﹣∠MD′C＝90°，
∴∠QD′M＝∠A＝90°．
在Rt△AQM和Rt△D′QM中，
，
∴Rt△AQM≌Rt△D′QM（HL），
∴AQ＝D′Q，
设正方形ABCD的边长为1，AQ＝QD′＝y，
则QP＝AP﹣AQ＝﹣y．
在Rt△QPD′中，根据勾股定理得QD′2+D′P2＝QP2．
∵D′P＝BP＝，
∴y2+（）2＝（﹣y）2，
解得y＝．
∴AQ：AB＝1：4，即点Q是AB边的四等分点，
∵EF∥AB，
∴，即，
解得AE＝．
∴点E为AD的五等分点．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，翻转变换的性质全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及方程思想是解题的关键．
2．（1）；（2），理由见解析；（3）CE的长为2或4，理由见解析．
【分析】
（1）证明，得出CE＝BD，，即可得出结论；
（2）证明，得出，，即可得出结论；
（3）先判断出，再求出：
①当点E在点D
解析：（1）；（2），理由见解析；（3）CE的长为2或4，理由见解析．
【分析】
（1）证明，得出CE＝BD，，即可得出结论；
（2）证明，得出，，即可得出结论；
（3）先判断出，再求出：
①当点E在点D上方时，先判断出四边形APDE是矩形，求出AP＝DP＝AE＝2，再根据勾股定理求出，BP＝6，得出BD＝4；
②当点E在点D下方时，同①的方法得，AP＝DP＝AE＝1，BP＝6，进而得出BD＝BP+DP ＝8，即可得出结论．
【详解】
解：（1）为等腰三角形，，
∴是等边三角形，
同理可得是等边三角形

故答案为：．
（2），理由如下：
在等腰三角形ABC中，AC＝BC，，
，
同理，，
，，
，
，
，
，
点B、D、E在同一条直线上:

；
（3）由（2）知，，
，
在中，，
，
①当点E在点D上方时，如图③，
过点A作交BD的延长线于P，
，
，
四边形APDE是矩形，
，
矩形APDE是正方形，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
；
②当点E在点D下方时，如图④
同①的方法得，AP＝DP＝AE＝2，BP＝6，
BD＝BP+DP＝8，
，
综上CE的长为2或4．

【点睛】
本题是几何变换的综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，判断出三角形ACE和三角形ABD相似是关键．
3．（1）S1+S2=S3，(2)成立，证明见解析，（3）
【分析】
（1）分别写出三个半圆的面积，再利用勾股定理转化即可．
（2）先证明三个三角形相似，再计算出三个三角形的面积，即可得出结论．
（3）
解析：（1）S1+S2=S3，(2)成立，证明见解析，（3）
【分析】
（1）分别写出三个半圆的面积，再利用勾股定理转化即可．
（2）先证明三个三角形相似，再计算出三个三角形的面积，即可得出结论．
（3）先添加辅助线，在第二问的思路下，先证明三个三角形相似，得出三个三角形的面积关系，再利用30°、45°的直角三角形计算出相应的边，计算出五边形的面积即可．
【详解】
解：（1）设AB=b,AC=a,BC=c.则有：
所以
在Rt△ABC中，有a2+b2=c2，且

故答案为：S1+S2=S3
（2）∵
∴
设AB、AC、BC边上的高分别为h1，h2，h3
∴，设AB=b,AC=a,BC=c
则
∴

又在Rt△ABC中，有a2+b2=c2
∴
故依然成立
（3）连接PD、BD，作AF⊥BP，EM⊥PD

∵∠ABP=30°，∠BAP=105°
∴∠APB=45°
在Rt△ABF中，AF= AB= , BF=3,在Rt△AFP中,AF=PF=,则AP= ，
∵∠A=∠E,
∴△ABP∽△EDP
∴∠EPD=45°∠EDP=30°
∴∠BPD=90° 又PE=
∴PM=EM=1,MD=
则PD=1+
∴

=

所以五边形的面积为：
【点睛】
本题考查勾股定理、与勾股定理有关的图形问题、相似三角形．是中考的常考知识．
4．（1）4（2）135°（3）PA+PB的最大值为米
【分析】
（1）作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC，求出OA=OB=OC=2，可得结论；
（2）将△ABD绕点B顺时针旋转90°得到△CBT
解析：（1）4（2）135°（3）PA+PB的最大值为米
【分析】
（1）作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC，求出OA=OB=OC=2，可得结论；
（2）将△ABD绕点B顺时针旋转90°得到△CBT，连接DT，利用勾股定理的逆定理证明∠CTD＝90°，可得结论；
（3）将△ABP绕点A逆时针旋转120°得到△ACK，延长CK交PA延长线于J，作△PJC的外接圆，连接OP，OC，OJ，证明PA+PB =JC，再求出JC的最大值即可求解．
【详解】
（1）如图①，作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC，
∵∠BOC=2∠BAC＝90°，OB=OC
∴△OBC是等腰直角三角形
∵BC=4
∴OB=OC=2=OA
∵AB≤OA+OB
∴AB≤4
∴AB的最大值为4
故答案为：4；

（2）如图②，将△ABD绕点B顺时针旋转90°得到△CBT，连接DT
由题意可得DT=BD=2，CT=AD=2
∵CD=6
∴
∴∠CTD＝90°，
∵△BDT是等腰直角三角形
∴∠DTB=45°
∴∠CTB=45°+90°=135°
∴∠ADB=∠CTB=135°

（3）如图③，将△ABP绕点A逆时针旋转120°得到△ACK，延长CK交PA延长线于J，作△PJC的外接圆，连接OP，OC，OJ
∵∠PAK＝120°，∠AKC＝∠APB＝120°
∴∠JAK＝∠JKA＝60°
∴∠AJK＝60°
∴△JAK是等边三角形
∴AK=KJ
∴∠COP＝2∠AJK＝120°
∵PC=30
∴OP=OC=OJ=
∵CJ≤OJ+OC
∴CJ≤
∵PA+PB=AK+CK+KJ+KC=JC
∴PA+PB的最大值为米．

【点睛】
此题主要考查旋转的综合运用，解题的关键是熟知三角形外接圆的性质、三角函数的应用、旋转的性质、等边三角形的性质、勾股定理的应用及三角形的三边关系的应用．
5．（1）=1；（2）改变， ；（3）①= ；②GB=（）DG．
【分析】
（1）利用三点共线，可以求出k=1；
（2）当点G与点E重合时，DG取最小值，当点F与点C重合时，DG取最大值，进而求出k的取
解析：（1）=1；（2）改变， ；（3）①= ；②GB=（）DG．
【分析】
（1）利用三点共线，可以求出k=1；
（2）当点G与点E重合时，DG取最小值，当点F与点C重合时，DG取最大值，进而求出k的取值范围；
（3）①设BE=m，BF=n，利用一元二次方程的根与系数的关系进行和不等式进行求解；
②根据①求出的EF=，由于ΔDEF为等腰三角形，EF为底，所以G为EF中点，易得GB=，进而可以求出GB=（）DG．
【详解】
如图1所示，把ΔDAE，ΔDCF分别沿着DE、DF翻折，

在正方形ABCD中，ADC=DAB=DCB=90°’，AD=CD,
ADE+CDF=ADC-EDF=90°-45°=45°，
翻折后，AD，CD重合．
设重合线为AG'，则DG'E=DG'F=90°，
DG'EF，且E、G'、F三点共线，则G'在EF上。
又DGEF，
DG'与DG重合，
DG=DG'=AD．
k= =1．
（2)k的值发生改变．
①如图2所示，当点G与点E重合时，DG取最小值，

DEF=90°
又EDF=45°，
ΔDEF是等腰直角三角形，则DE=EF．
易证ΔADE ΔBEF，
AD=BE=6，
AE=AB-BE=8-6=2，
在RtΔADE中，由勾股定理，得DE= ，

②如图3所示，当点F与点C重合时，DG取最大值，

EDC=45°，
AB//DF，则AED=EDC=45°，
ΔDAE是等腰直角三角形，则AD=AE=6，
BE=AB-AE=8-6=2，
在RtΔEBC中，由勾股定理得：CE=，
易证ΔDGC~ΔCBE， ，即DG= ，
，
综上所述，．
（3)①设BE=m，BF=n，
易知ΔBEF的周长为2．
，
一元二次方程 有求根公式：
，，
所以，
，
则m，n是关于x的方程 的两个实数根，
，解得： ．
S=DG·EF=EF，
当EF=时，S取最小值．
②ΔDEF为等腰三角形，EF为底，
G为EF中点，易得GB= EF=，

GB=（）DG．
【点睛】
本题考查了正方形、矩形、等腰三角形的性质及一元二次方程的灵活运用，有一定的难度，解题关键是画出正确的图形进行解答．
6．（1）6；（2）；（3）四边形不是平行四边形，理由见解析．
【分析】
（1）先根据已知条件和矩形的性质可得CD=AB=10,AD=BC=8，再根据折叠的性质可得DC＇=DC=10，最后运用勾股定理解
解析：（1）6；（2）；（3）四边形不是平行四边形，理由见解析．
【分析】
（1）先根据已知条件和矩形的性质可得CD=AB=10,AD=BC=8，再根据折叠的性质可得DC＇=DC=10，最后运用勾股定理解答即可；
（2）先根据折叠的性质和勾股定理可求得，进而求得BE、EC，然后连接，根据平移的性质可得，进而说明，最后运用相似三角形的性质解答即可；
（3）先由折叠可得，再根据平移的性质和等腰三角形的判定与性质得到，过点作于点H，则且，根据相似三角形的性质可得；设，则，在中，运用勾股定理求得和DH；然后再在中求得，可以发现即，即可发现四边形不可能是平行四边形．
【详解】
解：（1）如图：∵矩形中，
∴CD=AB=10，AD=BC=8
根据折叠的性质可得DC＇=DC=10
在直角三角形ADC＇中，AC＇=．
（2）由折叠可知：．
在中，根据勾股定理可求得，
∴．
在中，设，根据勾股定理，得，
解得，即．
如图：连接，则由平移可知，，且．

于是可得，
∴，
又∵，
∴．
（3）四边形不是平行四边形，理由如下：
由折叠可知；
又∵平移可知，且，
∴，
∴，即是等腰三角形，
∴．
如图，过点作于点H，则且，

∴ ．
设，则，
在中，根据勾股定理，得，
解得，
∴，
∴．
而在中，，
根据勾股定理可求得，
∴，即，
故四边形不可能是平行四边形．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解答本题的关键．
7．（1）90度；1；（2）的度数为90度，的值为；（3）BM的最小值为1．
【分析】
（1）度，利用SAS证明，即可得出，的值为1；
（2）度，证明，即可得出，；
（3）当CD最小时，即CD垂直于AB
解析：（1）90度；1；（2）的度数为90度，的值为；（3）BM的最小值为1．
【分析】
（1）度，利用SAS证明，即可得出，的值为1；
（2）度，证明，即可得出，；
（3）当CD最小时，即CD垂直于AB时，CD最小，此时DE最小，而BM是直角三角形DBE斜边上的中线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【详解】
（1）①∵
∴
∴
∵，
∴
∴，
∴
∴，
∴，的值为1；
（2）在中，，令，则，同理令，
∴，
∴①
∵
即
∴②
有①②得
∴，

∴
（3）在中，，
∴，
当CD最小时，即CD垂直于AB时，CD最小，此时DE最小，
而，∴，
而BM是直角三角形DBE斜边上的中线，
∴
【点睛】
本题涉及全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、特殊的三角函数值和直角三角形的性质．是一个综合性比较强的题目，要熟练掌握各个知识点．
8．（1）1，；（2），∠EAD=90°；（3）线段AD的长为（2+6）．
【分析】
（1）由题意可得Rt△ABC和Rt△DBE均为等腰直角三角形，通过证明△ABD≌△BCE，可得AD=EC，∠DAB=
解析：（1）1，；（2），∠EAD=90°；（3）线段AD的长为（2+6）．
【分析】
（1）由题意可得Rt△ABC和Rt△DBE均为等腰直角三角形，通过证明△ABD≌△BCE，可得AD=EC，∠DAB=∠BCE=45°，从而可得到结论；
（2）通过证明△ABD∽△BCE，可得的值，∠BAD=∠ACB=60°，即可求∠EAD的度数；
（3）由直角三角形的性质可证AM=BM=DE，即可求DE=4，由勾股定理可求CE的长，从而可求出AD的长．
【详解】
（1）∵∠ABC=∠DBE=90°, ∠ACB=∠BED=45°，
∴∠CBE=∠ABD,∠CAB=45°
∴AB=BC，BE=DE，
∴△BCE≌△BAD
∴AD=CE，∠BAD=∠BCE=45°
∴=1，∠EAD=∠CAB+∠BAD=90°
故答案为：1，
（2），∠EAD=90°
理由如下：∵∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠BED=60°
∴∠ABD=∠EBC，∠BAC=∠BDE=30°
∴在Rt△ABC中，tan∠ACB==tan60°=
在Rt△DBE中，tan∠BED==tan60°=
∴=
又∵∠ABD=∠EBC
∴△ABD∽△BCE
∴==，∠BAD=∠ACB=60°
∵∠BAC=30°
∴∠EAD=∠BAD+∠BAC=60°+30°=90°，
（3）如图，由（2）知：==，∠EAD=90°
∴AD=CE，
在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=4，
∴AC=8，AB=4，
∵∠EAD=∠EBD=90°，且点M是DE的中点，
∴AM=BM=DE，
∵△ABM为直角三角形，
∴AM2+BM2=AB2=（4）2=48，
∴AM=BM=2，
∴DE=4，
设EC=x，则AD=x，AE=8-x
Rt△ADE中，AE2+AD2=DE2
∴(8-x)2+(x)2=(4)2，
解之得：x=2+2（负值舍去），
∴EC=2+2，
∴AD=CE=2+6，
∴线段AD的长为（2+6），

【点睛】
本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识.
9．（1）①；②；（2）仍然成立，证明见解析；（3）或
【分析】
（1）【问题发现】连接．易证，，三点共线．易知．，推出，从而得出与所夹锐角的度数；
（2）【拓展探究】连接，，延长交的延长线于点，交于点
解析：（1）①；②；（2）仍然成立，证明见解析；（3）或
【分析】
（1）【问题发现】连接．易证，，三点共线．易知．，推出，从而得出与所夹锐角的度数；
（2）【拓展探究】连接，，延长交的延长线于点，交于点，根据四边形的性质得到，根据得到，根据相似三角形的性质即可解决问题；
（3）【解决问题】需分两种情况讨论：①当点M在线段BC上时，连接AB，AN，根据正方形的性质得到∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，可得∠BAM=∠CAN，根据，可得△ABM∽△CAN，从而得到CN=BM，根据，可得到BM=AC-CM=2，从而可求出CN的值；
②当点M在线段BC的延长线上时，连接AB，AN，根据正方形的性质得到∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，可得∠BAM=∠CAN，根据，可得△ABM∽△CAN，从而得到CN=BM，根据，可得到BM=AC+CM=6，从而可求出CN的值．
【详解】
解：（1）【问题发现】如图①中，①线段与的数量关系为；
②直线与所夹锐角的度数为．
理由：如图①中，连接．易证，，三点共线．

∵．，
∴．
故答案为，．
（2）【拓展探究】结论不变．

理由：连接，，延长交的延长线于点，交于点．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）【解决问题】
①当点M在线段BC上时，如图，连接AB，AN，

∵四边形ADBC，四边形AMEF为正方形，
∴∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，
∴∠BAC-∠MAC=∠MAN-∠MAC，
即∠BAM=∠CAN，
∵，
∴△ABM∽△CAN，
∴，
∴CN=BM，
∵，
∴BM=AC-CM=2，
∴CN=BM=；
②当点M在线段BC的延长线上时，如图，连接AB，AN，

∵四边形ADBC，四边形AMEF为正方形，
∴∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，
∴∠BAC+∠MAC=∠MAN+∠MAC，
即∠BAM=∠CAN,
∵,
∴△ABM∽△CAN，
∴，
∴CN=BM，
∵，
∴BM=AC+CM=2=6，
∴CN=BM=．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质．解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
10．（1）1；（2）或；（3）见解析；（4）以的中点为圆心，为半径作，则与河边的交点为所求点的位置，画出示意图见解析；简要理由见解析．
【分析】

（1）直接利用垂直平分线的性质证明即可；
（2）根据求
解析：（1）1；（2）或；（3）见解析；（4）以的中点为圆心，为半径作，则与河边的交点为所求点的位置，画出示意图见解析；简要理由见解析．
【分析】
（1）直接利用垂直平分线的性质证明即可；
（2）根据求出的长，再根据，即可求出点的坐标；
（3）连接，根据推出，从而推出，证明，即可证明；
（4）在线段上作点，使，在线段的延长线上作点，使，以的中点为圆心，为半径作，则与河边的交点为所求点的位置.
同（3）证明即可证明结论.
【详解】
（1）∵点是线段垂直平分线上的一点，
∴，
∴，
故答案为：1；
（2）∵
∴，
∵，
∴，
∴点的坐标为或，
故答案为：或；
（3）如图，连接，

∵，，
∴，
∵的半径为，
∴，
∴.
∴，
∴.
∵，
∴，
∴.
∴.
（4）如图，在线段上作点，使，

在线段的延长线上作点，使.
以的中点为圆心，为半径作，则与河边的交点为所求点的位置.
简要理由:
由于水路速度为陆路速度的，且时间相等，所以水路的距离必为陆路距离的，即需，连接，同(3)可证，
∵，，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴
又∵
，
由此，得.
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，准确的理解题意画出图形和作出正确的辅助线是解题的关键.
11．（1），；（2）结论成立，理由见解析；（3）．
【分析】
（1）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质即可求出的度数；
（2）如图（见解析），先根据
解析：（1），；（2）结论成立，理由见解析；（3）．
【分析】
（1）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质即可求出的度数；
（2）如图（见解析），先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形中位线定理可得，再根据等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形的外角性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据平行线的性质、等边三角形的判定与性质、角的和差即可求出的度数；
（3）如图（见解析），先根据直角三角形的性质可得，从而可得，再分别在和中，根据直角三角形的性质、勾股定理可得，从而可得，然后在中，利用勾股定理即可得．
【详解】
（1）在中，，点是中点，
，
同理可得：，
，
在中，，，
，
又，
，
，
，
，
，
，
；
（2）结论成立，理由如下：
如图，分别取AB的中点为M，取AD的中点为N，连接FM、CM、EN、FN，
，，
又点是中点，
是的中位线，
，
，
同理可得：，
，
绕点按顺时针方向旋转角，，
，
，
，，
，
，
，
同理可得：，
，
在和中，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
；

（3）如图，过点G作，交AE延长线于点F，
在中，，
，
，
，
由旋转的性质得：，
在中，，
，
在中，，
，
，
则在中，．

【点睛】
本题考查了直角三角形的性质、三角形中位线定理、三角形全等的判定定理与性质、旋转的性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
12．（1）等腰三角形，理由见解析；（2）见解析；（3）；（4）或
【分析】
（1）如图1中，△AFG是等腰三角形，利用全等三角形的性质证明即可．
（2）如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG
解析：（1）等腰三角形，理由见解析；（2）见解析；（3）；（4）或
【分析】
（1）如图1中，△AFG是等腰三角形，利用全等三角形的性质证明即可．
（2）如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG=∠OLG．首先证明OG=OL，再证明BF=2OL即可解决问题．
（3）如图3中，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA=∠CDA=90°，利用相似三角形的性质解决问题即可．
（4）设OG=a，AG=k．分两种情形：①如图4中，连接EF，当点F在线段AB上时，点G在OA上．②如图5中，当点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF．分别求解即可解决问题．
【详解】
（1）解：如图1中，△AFG是等腰三角形．

理由：∵AE平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∵DF⊥A