【中考数学】提分专练07以圆为背景的计算题与证明题总复习.docx

提分专练(七)　以圆为背景的计算题与证明题

|类型1|　平面直角坐标系中的圆
1.如图T7-1,在平面直角坐标系xOy中,以点O为圆心的圆分别交x轴的正半轴于点M,交y轴的正半轴于点N.劣弧MN
的长为65π,直线y=-43x+4与x轴、y轴分别交于点A,B.
(1)求证:直线AB与☉O相切; [*#@#*~%^^&*#@ASW@!~]
(2)求图中所示的阴影部分的面积(结果用π表示).

图T7-1 [*#^@@~%^&*#@*ASW%&!]

[*#@#~*%^&*#^@A~SW&!]

2.[2017·酒泉] 如图T7-2,AN是☉M的直径,NB∥x轴,AB交☉M于点C.
(1)若点A0,6,N0,2,∠ABN=30°,求点B的坐标;
(2)若D为线段NB的中点,求证:直线CD是☉M的切线.

图T7-2

|类型2|　垂径定理与勾股定理联手
3.[2017·金华] 如图T7-3,已知:AB是☉O的直径,点C在☉O上,CD是☉O的切线,AD⊥CD于点D.E是AB延长线上的一
点,CE交☉O于点F,连接OC,AC.
(1)求证:AC平分∠DAO.
(2)若∠DAO=105°,∠E=30°.
①求∠OCE的度数;
②若☉O的半径为22,求线段EF的长. [*#@#~%^&*#@AS@*W!~%]

　图T7-3

[*#@#~^%@^&*#@%AS&W!]
|类型3|　与圆有关的图形的面积
4.[2018·达州] 已知,如图T7-4,以等边三角形ABC的边BC为直径作☉O,分别交AB,AC于点D,E,过点D作DF⊥AC于点
F. [*#%@@*~%^&*#@AS&W^!]
(1)求证:DF是☉O的切线;
(2)若等边三角形ABC的边长为8,求由DE,DF,EF围成的阴影部分的面积.

图T7-4 [*#@~%^&#^*#@~@&ASW!]

|类型4|　与圆的切线有关的问题
5.[2017·扬州] 如图T7-5,已知▱OABC的三个顶点A,B,C在以O为圆心的半圆上,过点C作CD⊥AB,分别交AB,AO的延
长线于点D,E,AE交半圆O于点F,连接CF.
(1)判断直线DE与半圆O的位置关系,并说明理由.
(2)①求证:CF=OC;
②若半圆O的半径为12,求阴影部分的周长. [*#@~%&^^~&*#@A%SW*!]

图T7-5

|类型5|　圆与四边形结合的问题
6.正方形ABCD内接于☉O,如图T7-6所示,在劣弧AB上取一点E,连接DE,BE,过点D作DF∥BE交☉O于点F,连接
BF,AF,且AF与DE相交于点G,求证: [*#@~%^#*@&*#@%ASW!~]
(1)四边形EBFD是矩形;
(2)DG=BE.

图T7-6

|类型6|　圆与三角函数结合的问题
7.如图T7-7,AB是☉O的弦,点C为半径OA的中点,过点C作CD⊥OA交弦AB于点E,连接BD,且DE=DB.
(1)判断BD与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)若CD=15,BE=10,tanA=512,求☉O的直径. [*#@@~%^&*#@A^~SW!&#]
[*#%@#~%^&@*#@^~ASW!]
图T7-7

[*%#@~%^&*#@A^#SW!@*]

|类型7|　圆与相似三角形结合的问题
8.[2017·黄冈] 已知:如图T7-8,MN为☉O的直径,ME是☉O的弦,MD垂直于过点E的直线DE,垂足为点D,且ME平分
∠DMN.
求证:(1)DE是☉O的切线;
(2)ME2=MD·MN.

图T7-8

参考答案

1.解:(1)证明:作OD⊥AB于D,如图所示:

∵劣弧MN的长为65π,
∴90π×OM180=65π,
解得OM=125,
即☉O的半径为125,
∵直线y=-43x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,
当y=0时,x=3;当x=0时,y=4,
∴A(3,0),B(0,4),
∴OA=3,OB=4,
∴AB=32+42=5,
∵△AOB的面积=12AB·OD=12OA·OB,
∴OD=OA×OBAB=125=半径,
∴直线AB与☉O相切.
(2)图中所示的阴影部分的面积=△AOB的面积-扇形OMN的面积=12×3×4-14π×1252=6-3625π.
2.解:(1)∵A的坐标为(0,6),N的坐标为(0,2),∴AN=4,
∵∠ABN=30°,∠ANB=90°,
∴AB=2AN=8,
∴由勾股定理可知:NB=43,∴B(43,2).

(2)证明:连接MC,NC.
∵AN是☉M的直径,
∴∠ACN=90°,
∴∠NCB=90°,
在Rt△NCB中,D为NB的中点,
∴CD=12NB=ND,
∴∠CND=∠NCD,
∵MC=MN,∴∠MCN=∠MNC.
∵∠MNC+∠CND=90°,∴∠MCN+∠NCD=90°,
即MC⊥CD.∴直线CD是☉M的切线.
3.解:(1)证明:∵CD是☉O的切线,∴OC⊥CD.
∵AD⊥CD,∴OC∥AD.∴∠DAC=∠ACO.
∵OA=OC,∴∠OAC=∠ACO.
∴∠DAC=∠OAC.∴AC平分∠DAO.
(2)①∵OC∥AD,
∴∠EOC=∠DAO=105°.
∴∠OCE=180°-∠EOC-∠E=180°―105°―30°=45°.
②如图,过点O作OG⊥CE于G,可得FG=CG.
在Rt△OGC中,OC=22,∠OCE=45°,
∴OG=CG=22×22=2.∴FG=CG=2.
在Rt△OGE中,OG=2,∠E=30°,
∴EG=OGtanE=233=23.
∴EF=EG-FG=23-2. [*#^@@~%^&*#@*ASW%&!]

4.解:(1)证明:连接OD,CD.
[*#@#~*%^&*#^@A~SW&!]
∵BC是直径,∴∠BDC=90°.
∵△ABC是等边三角形,∴点D是AB的中点.
∵点O是BC的中点,∴OD∥AC.
∵DF⊥AC,∴OD⊥DF.
∵OD是半径,∴DF是☉O的切线.
(2)连接OD,OE,DE.
[*#@#~%^&&*#@ASW!@%~]
∵同(1)可知点E是AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,△ADE是等边三角形.∵等边三角形ABC的边长为8,
∴等边三角形ADE的边长为4. [*#@~%~@%^&*#^@A*SW!]
∵DF⊥AC,∴EF=2,DF=23.
∴△DEF的面积=12·EF·DF=12×2×23=23.
△ADE的面积=△ODE的面积=43. [*#*@~^@%^&*#@~A&SW!]
扇形ODE的面积=60·π·42360=8π3. [**~#@#~%^&*#@AS&W!^]
∴阴影部分的面积=△DEF的面积+△ODE的面积-扇形ODE的面积=23+43-83π=63-8π3.
5.解:(1)DE与半圆O相切.理由如下:
∵CD⊥AB,∴∠D=90°.
∵四边形ABCO是平行四边形,∴OC∥AD,
∴∠OCE=∠D=90°,∴OC⊥DE.
又∵OC是半圆O的半径,
∴DE与半圆O相切.
(2)①证明:连接AC,
∵四边形ABCO是平行四边形,∴AB=OC,BC∥AF,
∴∠BCA=∠FAC,∴BA=CF,∴BA=CF,
∴CF=OC.
②∵CF=OC=OF,
∴△OCF为等边三角形,∴∠COF=60°,
∴在Rt△OCE中,CE=3OC=123,OE=2OC=24,
∴EF=12,lCF=60π·12180=4π,
∴C阴影部分=EF+CE+lCF=12+123+4π.
6.[解析] (1)直接利用正方形的性质、圆周角定理结合平行线的性质得出∠BED=∠BAD=90°,∠BFD=∠BCD=90°,
∠EDF=90°,进而得出答案;
(2)直接利用正方形的性质得出AD的度数是90°,进而得出DG=DF,则BE=DG.
证明:(1)∵正方形ABCD内接于☉O,
∴∠BED=∠BAD=90°,∠BFD=∠BCD=90°,
又∵DF∥BE,∴∠EDF+∠BED=180°,
∴∠EDF=90°,
∴四边形EBFD是矩形.
(2)∵正方形ABCD内接于☉O,
∴AD的度数是90°,∴∠AFD=45°,
又∵∠GDF=90°,∴∠DGF=∠DFG=45°,∴DG=DF,
又∵在矩形EBFD中,BE=DF,∴BE=DG.
7.[解析] (1)连接OB,由圆的半径相等和已知条件证明∠OBD=90°,即可证明BD是☉O的切线;
(2)过点D作DG⊥BE于G,根据等腰三角形的性质得到EG=12BE=5,由两角相等的三角形相似,得△ACE∽△DGE,利用相似三角形对应角相等得到sin∠EDG=sinA=513,在Rt△EDG中,利用勾股定理求出DG的长,根据三角形相似得到比例式,代入数据即可得到结果. [*#@~%~%@^&**#@ASW&!]
解:(1)BD与☉O相切.理由如下:连接OB, [*~#@^~#%^&*#@%A*SW!]
∵OB=OA,DE=DB,
∴∠A=∠OBA,∠DEB=∠ABD,
又∵CD⊥OA,∴∠A+∠AEC=∠A+∠DEB=90°,
∴∠OBA+∠ABD=90°,
∴OB⊥BD,∴BD是☉O的切线.
(2)如图,过点D作DG⊥BE于G,
∵DE=DB,∴EG=12BE=5,
∵∠ACE=∠DGE=90°,∠AEC=∠GED,

∴△ACE∽△DGE,
∴∠GDE=∠A,
∵tanA=512,∴sinA=513,
∴sin∠EDG=sinA=EGDE=513,
∴DE=13,
在Rt△EDG中,DG=DE2-EG2=12,
∵CD=15,DE=13,∴CE=2,
∵△ACE∽△DGE,∴ACDG=CEGE,∴AC=CEGE·DG=245,
∴☉O的直径=2OA=4AC=965.
8.证明:(1)∵OM=OE,∴∠OME=∠OEM.
∵ME平分∠DMN,
∴∠OME=∠DME.
∴∠OEM=∠DME.

∵MD⊥DE,∴∠MDE=90°.
∴在△MDE中,
∠DEM+∠DME=90°.
∴∠DEM+∠OEM=90°.
即∠OED=90°,∴OE⊥DE.
又∵OE为☉O的半径,
∴DE是☉O的切线. [*#@~%^&&*^#@%#@ASW!]
(2)如图,连接NE.∵MN为☉O的直径,
∴∠MEN=90°.∴∠MEN=∠MDE=90°.
又由(1)可知,∠NME=∠DME.
∴△DME ∽△EMN.∴MDME=MEMN,∴ME2=MD·MN.