一元二次方程知识点+专题复习.doc

一元二次方程专题复习
考点一：一元二次方程定义与解法
1.定义：只含有一个未知数，并且含未知数项的最高次数是2，这样的整式方程叫一元二次方程，一元二次方程的标准形式是 。
2.常用解法
（1） 直接开平方法：如果＝a(a≥0)，则x＝±a，即方程的解为＝a，＝－a.
（2） 公式法:如果 ，得，。
（3）配方法
例：用配方法解
第一步，将二次项系数化为：，（两边同除以）
第二步，移项：
第三步，两边同加一次项系数的一半的平方：
第四步，完全平方：
第五步，直接开平方：，即:,
（4）因式分解法：若，则的解为，。
方法总结：解一元二次方程时，要注意根据方程的特点，选择适当的方法求解。一般地，若方程左边是一个完全平方式，右边是一个非负数或完全平方式，就采用直接开方法；若能分解因式就用因式分解法；当以上两种方法都行不通时，可采用公式法或配方法。 
Ø 【课前热身】
1. 当____________时，方程是一元二次方程.
2. 已知是方程的一个根，则方程的另一根为__________.
3.一元二次方程的解是_____________.
4. 若关于的一元二次方程，且，则方程必有一根为____________.
5. 用配方法解方程,则下列配方正确的是( )
A. B. C. D.
Ø 【典型例题解析】
1、 关于的一元二次方程中，求的取值范围.

2、 已知：关于的方程的一个根是，求方程的另一个根及的值。

3、 用配方法解方程:

【考点训练】
1、关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）A. B. C.或 D.
2、解方程的最适当的方法（    ）
A. 直接开平方法  B. 配方法 C. 因式分解法   D. 公式法
3、若，则一元二次方程有一根是（   ）
A. 2    B. 1     C. 0      D. －1
4、当__________时，不是关于的一元二次方程.
5、已知方程，则代数式_____________.
考点二：一元二次方程的判别式
关于x的一元二次方程(a≠0)的根的判别式为，有： 
1．＞0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根，即，。
2．＝0⇔一元二次方程(a≠0)有两个相等的实数根， 
3．＜0⇔一元二次方程(a≠0)没有实数根。
方法总结：针对这个考点，要求能根据一元二次方程根的判别式确定方程有无实根的情况。当然一元二次方程根的判别式的性质反用也成立，即已知根的情况，可以得到一个等式或不等式，从而确定系数的值或取值范围．
Ø 【课前热身】
1.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是( )
A. B. 且 C.≤ D. ≤且
2. 一元二次方程的根的情况为（　　）
A.有两个相等的实数根   B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根    D. 没有实数根
3.已知关于的一元二次方程.请你为选取一个合适的整数，当____________时，得到的方程有两个不相等的实数根；
4.若关于的方程有两个相等的实数根，求的取值范围。
Ø 【典型考题】
1.已知关于的方程，当为何非负整数时：
(1)方程只有一个实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程有两个不等的实数根.

2. 已知是三角形的三条边，求证：关于的方程没有实数根.

【课时训练】
1、一元二次方程的根的情况为（　　）
A.有两个相等的实数根   B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根    D.没有实数根
2、已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ）
A.  B.     C. ≥     D.
3、一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________.
4、求证：关于的方程有两个不相等的实数根。

考点三：韦达定理
韦达定理:如一元二次方程的两根为，则，
适用题型：(1)已知一根求另一根及未知系数；
(2)求与方程的根有关的代数式的值；
(3)已知两根求作方程；
(4)已知两数的和与积，求这两个数；
(5)确定根的符号:(是方程两根)；
（6）题目给出两根之间的关系，如两根互为相反数、互为倒数、两根的平方和或平方差是多少、两根是的两直角边求斜边等情况.
注意：（1）
（2）；
（3）①方程有两正根，则；
②方程有两负根，则 ；
③方程有一正一负两根，则；
④方程一根大于，另一根小于，则
（3） 应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时，一般把所求作得方程的二次项系数设为，即以为根的一元二次方程为;求字母系数的值时，需使二次项系数，同时满足≥;求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和，两根之积的代数式的形式，整体代入。
Ø 【课前热身】
1、（1）若是方程的两根，则
（2）若关于x的方程有一个根为-1，则另一个根为___________.
2、（1）设施方程的两个根，且，则______，m=__________.
（2）、是方程的两个，则__________，__________________.
Ø 【典型例题解析】
1、（1）若关于x的方程有一个根为1，则该方程的另一个根为___________。
（2）是一元二次方程的两个根，则的值是___________.
2、已知是方程的两个实数根，则_________.
3、（1）已知方程的两个根为4和9，则b=________,c=____________.
（2）设是一元二次方程的两根，求的值。

（3）已知方程的两根为，其中，求的值。

（4）、（1）若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为2和-4，则m+n的值是（ ）
A.-10 B.10 C.-6 D.-1
（5）若α，β是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A.10 B.9 C.8 D.7

第一讲 一元二次方程作业
一、填空题
1、关于的方程是一元二次方程，则的取值范
围是      ____  .
2、若是关于的方程的根，则的值为      ____  .
3、方程的根的情况是____________________.
4、写出一个既能直接开方法解，又能用因式分解法解的一元二次方程是.
5、在实数范围内定义一种运算“”，其规则为,根据这个规则，方程的解为_________________.
6、如果关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是_____________。
7、设是一元二次方程的两个根，则代数式的值为___________.
8、是整数，已知关于的一元二次方程只有整数根，则=__________.
二、选择题
1、关于的方程的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.不能确定
2、已知方程有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、 若关于的一元二次方程没有实数根，那么的最小整数值是（    ）
  A. 1   B. 2    C. 3     D.
4、如果是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根，那么的值是（ ）
A、1或2 B、0或 C、或 D、0或3
5、 设是方程的较大的一根，是方程的较小的一根，则（    ）
6、 A.    B.   C. 1      D. 2
三、解答题
1、解下列方程：

2、 已知方程有两个相等的实数根，求值，并求出方程的根。

3、 已知是的三条边长，且方程有两个相等的实数根，试判断的形状。

4、 已知关于的一元二次方程.
（1）求证：原方程恒有两个实数根;
（2）若方程的两个实数根一个小于5，另一个大于2，求的取值范围.

10