【6套合集】江苏省丹阳高级中学2020中考提前自主招生数学模拟试卷附解析.docx

重点高中提前招生模拟考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求）
1．﹣4的相反数是（　　）
　 A． B． ﹣ C． 4 D． ﹣4

2．绵阳科技城是四川省第二大城市，2012年国民生产总值约为14000000万元，用科学记数法表示应为（　　）万元．
　 A． 14×107 B． 1.4×107 C． 1.4×106 D． 0.14×107

3．一次数学测试后，随机抽取九年级某班5名学生的成绩如下：91，78，98，85，98．关于这组数据说法错误的是（　　）
　 A． 平均数是91 B． 极差是20 C． 中位数是91 D． 众数是98

4．在一个不透明的盒子中装有3个红球、2个黄球和1个绿球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为（　　）
　 A． B． C． D． 1

5．已知x是实数，且（x﹣2）（x﹣3）=0，则x2+x+1的值为（　　）
　 A． 13 B． 7 C． 3 D． 13或7或3

6．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点．若EF=2，BC=5，CD=3，则sinC等于（　　）

　 A． B． C． D．

7．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（　　）

　 A． 点（0，3） B． 点（2，3） C． 点（6，1） D． 点（5，1）

8．将抛物线y=3x2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是（　　）
　 A． y=3（x+2）2+1 B． y=3（x+2）2﹣1 C． y=3（x﹣2）2+1 D． y=3（x﹣2）2﹣1

9．下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax2+（a+c）x+c与一次函数y=ax+c的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（　　）
　 A． B． C． D．

10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC=2，则sinB的值是（　　）

　 A． B． C． D．

11．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4．将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°后，得到矩形FGCE（点A、B、D的对应点分别为点F、G、E）．动点P从点B开始沿BC﹣CE运动到点E后停止，动点Q从点E开始沿EF﹣FG运动到点G后停止，这两点的运动速度均为每秒1个单位．若点P和点Q同时开始运动，运动时间为x（秒），△APQ的面积为y，则能够正确反映y与x之间的函数关系的图象大致是（　　）

　 A． B． C． D．

12．如图，在△ABC中，AB=AC=5，CB=8，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分面积是（　　）

　 A． B． 25π﹣24 C． 25π﹣12 D．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请将答案填入答题卡相应的横线上.）
13．函数中自变量x的取值范围是　　　　　　．

14．分解因式：a3﹣4a2+4a=　　　　　　．

15．已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2﹣8x+15=0的两根，且两圆的圆心距O1O2=t+2，若这两个圆相交，则t的取值范围为　　　　　　．

16．在平面直角坐标系xOy中，有一只电子青蛙在点A（1，0）处．第一次，它从点A先向右跳跃1个单位，再向上跳跃1个单位到达点A1；第二次，它从点A1先向左跳跃2个单位，再向下跳跃2个单位到达点A2；第三次，它从点A2先向右跳跃3个单位，再向上跳跃3个单位到达点A3；第四次，它从点A3先向左跳跃4个单位，再向下跳跃4个单位到达点A4；…依此规律进行，点A7的坐标为　　　　　　；若点An的坐标为（2014，2013），则n=　　　　　　．

17．如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线与⊙O交于点C，若⊙O的半径为3，PA=4．弦AC的长为　　　　　　．

18．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，且AE=AD，连接DE交对角线AC于H，连接BH．下列结论：
①△ACD≌△ACE；②△CDE为等边三角形；③；④，
其中结论正确的是　　　　　　．

三、解答题（本大题共7个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1）计算：+（﹣1）0﹣2sin60°+3﹣1．
（2）先化简，后计算：（÷）•，其中a=﹣3．

20．近年来，北京郊区依托丰富的自然和人文资源，大力开发建设以农业观光园为主体的多类型休闲旅游项目，京郊旅游业迅速崛起，农民的收入逐步提高．以下是根据北京市统计局2013年1月发布的“北京市主要经济社会发展指标”的相关数据绘制的统计图表的一部分．
北京市2009﹣2012年农业观光园经营年收入增长率统计表
年份 年增长率（精确到1%）
2009年 12%
2010年
2011年 22%
2012年 24%
请根据以上信息解答下列问题：
（1）北京市2010年农业观光园经营年收入的年增长率是　　　　　　；（结果精确到1%）
（2）请补全条形统计图并在图中标明相应数据；（结果精确到0.1）
（3）如果从2012年以后，北京市农业观光园经营年收入都按30%的年增长率增长，请你估算，若经营年收入要不低于2008年的4倍，至少要到　　　　　　年．（填写年份）

21．如图，已知等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，圆心O在△ABC内部，且⊙O经过B、C两点，若BC=8，AO=1，求⊙O的半径．

22．某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2300元，销售单价定为3000元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2500元．
（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2500元？
（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获得的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

23．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作FE⊥AB于点E，交AC的延长线于点F．
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）若AE=6，sin∠CFD=，求EB的长．

24．如图，AB为⊙O的直径，AB=4，P为AB上一点，过点P作⊙O的弦CD，设∠BCD=m∠ACD．
（1）已知，求m的值，及∠BCD、∠ACD的度数各是多少？
（2）在（1）的条件下，且，求弦CD的长；
（3）当时，是否存在正实数m，使弦CD最短？如果存在，求出m的值，如果不存在，说明理由．

25．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣），抛物线y=x2+bx+c经过点B，且与直线l的另一个交点为C（n，）．
（1）求n的值和抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜n）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；
（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请求出点A1的横坐标．

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求）
1．﹣4的相反数是（　　）
　 A． B． ﹣ C． 4 D． ﹣4

考点： 相反数．
专题： 常规题型．
分析： 根据相反数的定义作答即可．
解答： 解：﹣4的相反数是4．
故选C．
点评： 本题考查了相反数的知识，注意互为相反数的特点：互为相反数的两个数的和为0．

2．绵阳科技城是四川省第二大城市，2012年国民生产总值约为14000000万元，用科学记数法表示应为（　　）万元．
　 A． 14×107 B． 1.4×107 C． 1.4×106 D． 0.14×107

考点： 科学记数法—表示较大的数．
分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答： 解：将14000000万用科学记数法表示为1.4×107万元，
故选B．
点评： 本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．一次数学测试后，随机抽取九年级某班5名学生的成绩如下：91，78，98，85，98．关于这组数据说法错误的是（　　）
　 A． 平均数是91 B． 极差是20 C． 中位数是91 D． 众数是98

考点： 极差；算术平均数；中位数；众数．
分析： 根据平均数、中位数、众数和极差的定义求解．
解答： 解：根据定义可得，极差是20，众数是98，中位数是91，平均数是90．故A错误．
故选A．
点评： 本题重点考查平均数，中位数，众数及极差的概念及求法．

4．在一个不透明的盒子中装有3个红球、2个黄球和1个绿球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为（　　）
　 A． B． C． D． 1

考点： 概率公式．
专题： 计算题．
分析： 根据概率的求法，找准两点：
①全部情况的总数为6；
②符合条件的情况数目为2；二者的比值就是其发生的概率．
解答： 解：∵黄球共有2个，球数共有3+2+1=6个，
∴P（黄球）==，
故选B．
点评： 本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

5．已知x是实数，且（x﹣2）（x﹣3）=0，则x2+x+1的值为（　　）
　 A． 13 B． 7 C． 3 D． 13或7或3

考点： 二次根式有意义的条件．
分析： 根据二次根式的性质求出x≤1，求出x的值，代入求出即可．
解答： 解：∵要使（x﹣2）（x﹣3）有意义，
∴1﹣x≥0，
∴x≤1，
∵x是实数，且（x﹣2）（x﹣3）=0，
∴x﹣2=0，x﹣3=0，=0，
∴x=2或x=3或x=1，
∴x=1，
∴x2+x+1=12+1+1=3，
故选C．
点评： 本题考查了二次根式的性质和求代数式的值的应用，关键是求出x的值．

6．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点．若EF=2，BC=5，CD=3，则sinC等于（　　）

　 A． B． C． D．

考点： 三角形中位线定理；勾股定理的逆定理．
分析： 如图，连接BD，由三角形中位线定理得到BD的长度，然后利用勾股定理的逆定理推知△BCD为直角三角形，最后由锐角三角函数的定义进行解答．
解答： 解：连接BD，
∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴EF∥BD，EF=BD，
∵EF=2，
∴BD=4，
又∵BC=5，CD=3，
∴BD2+CD2=BC2，
∴△BDC是直角三角形，
∴sinC==，
故选：C．

点评： 此题主要考查了锐角三角形的定义以及三角形中位线的性质以及勾股定理逆定理，根据已知得出△BDC是直角三角形是解题关键．

7．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（　　）

　 A． 点（0，3） B． 点（2，3） C． 点（6，1） D． 点（5，1）

考点： 切线的判定；坐标与图形性质．
专题： 数形结合．
分析： 先根据垂径定理的推论得到过格点A，B，C的圆的圆心P点坐标（2，0），连结PB，过点B作PB的垂线，根据切线的判定定理得l为⊙P的切线，然后利用l经过的格点对四个选项进行判断．
解答： 解：作AB和BC的垂直平分线，它们相交于P点，如图，
则过格点A，B，C的圆的圆心P点坐标为（2，0），
连结PB，过点B作PB的垂线，则l为⊙P的切线，
从图形可得点（1，3）和点（5，1）在直线l上，
故选D．

点评： 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了垂径定理和坐标与图形性质．

8．将抛物线y=3x2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是（　　）
　 A． y=3（x+2）2+1 B． y=3（x+2）2﹣1 C． y=3（x﹣2）2+1 D． y=3（x﹣2）2﹣1

考点： 二次函数图象与几何变换．
专题： 探究型．
分析： 根据函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
解答： 解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=3x2先向左平移2个单位可得到抛物线y=3（x+2）2；
由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=3（x+2）2先向下平移1个单位可得到抛物线y=3（x+2）2﹣1．
故选B．
点评： 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．

9．下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax2+（a+c）x+c与一次函数y=ax+c的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（　　）
　 A． B． C． D．

考点： 二次函数的图象；一次函数的图象．
专题： 压轴题．
分析： 本题可先由一次函数y=ax+c图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+（a+c）x+c的图象相比较看是否一致，用排除法即可解答．
解答： 解：A、一次函数y=ax+c的图象过一、三象限，a＞0，与二次函数开口向下，即a＜0相矛盾，错误；
B、一次函数y=ax+c的图象过二、四象限，a＜0，与二次函数开口向上，a＞0相矛盾，错误；
C、y=ax2+（a+c）x+c=（ax+c）（x+1），故此二次函数与x轴的两个交点为（﹣，0），（﹣1，0），一次函数y=ax+c与x轴的交点为（﹣，0），故两函数在x轴上有交点，错误；
排除A、B、C，
故选D．
点评： 本题考查二次函数与一次函数的图象性质，比较简单．

10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC=2，则sinB的值是（　　）

　 A． B． C． D．

考点： 锐角三角函数的定义；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．
分析： 求角的三角函数值，可以转化为求直角三角形边的比，连接DC．根据同弧所对的圆周角相等，就可以转化为：求直角三角形的锐角的三角函数值的问题．
解答： 解：连接DC．
根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACD=90°．
根据同弧所对的圆周角相等，得∠B=∠D．
∴sinB=sinD==．
故选A．

点评： 综合运用了圆周角定理及其推论．注意求一个角的锐角三角函数时，能够根据条件把角转化到一个直角三角形中．

11．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4．将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°后，得到矩形FGCE（点A、B、D的对应点分别为点F、G、E）．动点P从点B开始沿BC﹣CE运动到点E后停止，动点Q从点E开始沿EF﹣FG运动到点G后停止，这两点的运动速度均为每秒1个单位．若点P和点Q同时开始运动，运动时间为x（秒），△APQ的面积为y，则能够正确反映y与x之间的函数关系的图象大致是（　　）

　 A． B． C． D．

考点： 动点问题的函数图象．
分析： 先求出点P在BE上运动是时间为6秒，点Q在EF﹣FG上运动是时间为6秒，然后分：
①当0≤x≤4时，根据△APQ的面积为y=S矩形MBEF﹣S△ABP﹣S△PEQ﹣S梯形FMAQ，列式整理即可得解；
②当4＜x≤6时，根据△APQ的面积为△APQ的面积为y=S梯形MBPQ﹣S△BPA﹣S△AMQ，列式整理即可得解，再根据函数解析式确定出函数图象即可．
解答： 解：①如图1，延长AD交EF于H，延长FG与BA的延长线交于点M．
当0≤x≤4时，y=6×4﹣×2•x﹣（6﹣x）•x﹣×（4﹣x+2）×6=x2﹣x+6=（x﹣1）2+，
此时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，且顶点坐标是（1，）．
故C、D选项错误；
②点Q在GF上时，4＜x≤6，
BP=x，MQ=6+4﹣x=10﹣x，
△APQ的面积为y=S梯形MBPQ﹣S△BPA﹣S△AMQ，
=（x+10﹣x）×4﹣•2•x﹣（10﹣x）•2，
=10，
综上所述，y=，
故选：A．

点评： 本题考查了动点问题的函数图象，根据点Q运动时间和位置，分点Q在CE﹣EF、GF上两种情况，利用割补法求得△APQ的面积，从而得到函数关系式是解题的关键，也是本题的难点．

12．如图，在△ABC中，AB=AC=5，CB=8，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分面积是（　　）

　 A． B． 25π﹣24 C． 25π﹣12 D．

考点： 扇形面积的计算；等腰三角形的性质．
分析： 设以AB、AC为直径作半圆交BC于D点，连AD，根据直径所对的圆周角为直角得到AD⊥BC，再根据勾股定理计算出AD，然后利用阴影部分面积=半圆AC的面积+半圆AB的面积﹣△ABC的面积计算即可．
解答： 解：设以AB、AC为直径作半圆交BC于D点，连AD，如图，
∴AD⊥BC，
∴BD=DC=BC=4，
∵AB=AC=5，
∴AD=3，
∴阴影部分面积=半圆AC的面积+半圆AB的面积﹣△ABC的面积
=π×（）2﹣×8×3
=π﹣12．
故选：D．

点评： 本题考查了不规则图形面积的计算方法：把不规则的图形面积的计算转化为规则图形的面积和差来计算．也考查了圆周角定理的推论以及勾股定理．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请将答案填入答题卡相应的横线上.）
13．函数中自变量x的取值范围是　x≥2　．

考点： 函数自变量的取值范围．
分析： 根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
解答： 解：依题意，得x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
点评： 本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．

14．分解因式：a3﹣4a2+4a=　a（a﹣2）2　．

考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
专题： 因式分解．
分析： 观察原式a3﹣4a2+4a，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣4a+4是完全平方公式，利用完全平方公式继续分解可得．
解答： 解：a3﹣4a2+4a，
=a（a2﹣4a+4），
=a（a﹣2）2．
故答案为：a（a﹣2）2．
点评： 本题考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法（完全平方公式）．要求灵活运用各种方法进行因式分解．

15．已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2﹣8x+15=0的两根，且两圆的圆心距O1O2=t+2，若这两个圆相交，则t的取值范围为　0＜t＜6　．

考点： 圆与圆的位置关系；解一元二次方程-因式分解法．
分析： 首先求得方程的两根，然后根据相交两圆的圆心距的取值范围确定t的取值范围即可．
解答： 解：∵⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2﹣8x+15=0的两根，
∴解方程得两圆的半径分别为3和5，
∵相交两圆的圆心距O1O2=t+2，
∴5﹣3＜t+2＜5+3
解得：0＜t＜6，
故答案为：0＜t＜6
点评： 本题考查了两圆半径、圆心距与两圆位置之间的关系，如果设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R﹣r＜P＜R+r；内切P=R﹣r；内含P＜R﹣r．

16．在平面直角坐标系xOy中，有一只电子青蛙在点A（1，0）处．第一次，它从点A先向右跳跃1个单位，再向上跳跃1个单位到达点A1；第二次，它从点A1先向左跳跃2个单位，再向下跳跃2个单位到达点A2；第三次，它从点A2先向右跳跃3个单位，再向上跳跃3个单位到达点A3；第四次，它从点A3先向左跳跃4个单位，再向下跳跃4个单位到达点A4；…依此规律进行，点A7的坐标为　（5，4）　；若点An的坐标为（2014，2013），则n=　4025　．

考点： 规律型：点的坐标．
分析： 根据青蛙在点A（1，0）的变化情况，得出其中的规律，奇数次横纵坐标每次加一，偶数则每次减一，从而求出点A7的坐标，再根据点An的坐标为（2014，2013）在第一象限，以第一次的结果为基础，设为m，求出m的值，即可得出答案．
解答： 解：∵青蛙在点A（1，0）处，
∴第一次在点（2，1），
第二次在点（0，﹣1），
第三次在点（3，2），
第四次在点（﹣1，﹣2），
第五次在点（4，3），
第六次在点（﹣2，﹣3），
从上可以看出除去一二两次，奇数次横纵坐标每次加一，偶数则每次减一，
∴A7（5，4），
∵点An的坐标为（2014，2013），在第一象限，若以第一次的结果为基础，设置为m，
An（2+m÷2，1+m÷2），
2+m÷2=2014，
m=4024，
n=m+1=4024+1=4025．
故答案为：（5，4，），4025．
点评： 本题考查了点的坐标，用到的知识点是点的移动问题，解题的关键是通过观察，得出其中的规律奇数次横纵坐标每次加一，偶数则两个每次减一．

17．如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线与⊙O交于点C，若⊙O的半径为3，PA=4．弦AC的长为　　．

考点： 切线的性质．
专题： 压轴题．
分析： 连接OA，过A作AD垂直于C，由PA为圆O的切线，得到PA与AO垂直，在直角三角形AOP中利用勾股定理求出OP的长，利用面积法求出AD的长，在直角三角形APD中，利用勾股定理求出PD的长，由CP﹣PD求出DC的长，在直角三角形ADC中，利用勾股定理即可求出AC的长．
解答： 解：连接OA，过A作AD⊥CP，
∵PA为圆O的切线，
∴PA⊥OA，
在Rt△AOP中，OA=3，PA=4，
根据勾股定理得：OP=5，
∵S△AOP=AP•AO=OP•AD，
∴AD===，
根据勾股定理得：PD==，
∴CD=PC﹣PD=8﹣=，
则根据勾股定理得：AC==．
故答案为：

点评： 此题考查了切线的性质，勾股定理，以及三角形的面积，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．

18．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，且AE=AD，连接DE交对角线AC于H，连接BH．下列结论：
①△ACD≌△ACE；②△CDE为等边三角形；③；④，
其中结论正确的是　①②④　．

考点： 直角梯形；全等三角形的判定；等边三角形的判定．
专题： 压轴题．
分析： △AED与△ABC是等腰直角三角形，根据这个条件就可求得：△ACD≌△ACE的条件，就可进行判断．
解答： 解：①∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
又∵∠BAD=90°，
∴∠BAC=∠DAC，
又AD=AE，AC=AC，
∴△ACD≌△ACE；故①正确；

②同理∠AED=45°，
∠BEC=90°﹣∠BCE=90°﹣15°=75°，
∴∠DEC=180°﹣45°﹣75°=60°，
∵ACD≌△ACE，
∴CD=CE，
∴△CDE为等边三角形．故②正确．

③∵∠EAC=∠DAC，AD=AE，AH=AH，
∴△AEH≌△ADH，
∴∠CHE=90°，
∵△CHE为直角三角形，且∠HEC=60°
∴EC=2EH
∵∠ECB=15°，
∴EC≠4EB，
∴=2不成立；

④作EC的中垂线交BC于点F，连接EF，则EF=FC，
∴∠FEC=∠BCE=15°，
∴∠BFE=30°，
设BE=a，
则EF=FC=2a，
在直角△BEF中，BF=a，
∴BC=a+2a=（2+）a，
∴S△BEC=BE•BC=a2；
在直角△BEC中，EC==2a，
∵△CDE为等边三角形，
∴S△ECD==（2+）=（3+2）a2，EH=a，HC=EC=a，
又∵△AED是等腰直角三角形，AH是高，
∴AH=EH=a，
∴S△EHC=a2，
∴====．故④正确；
故答案为：①②④．

点评： 认识到题目中的等腰直角三角形是解决本题的关键．

三、解答题（本大题共7个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1）计算：+（﹣1）0﹣2sin60°+3﹣1．
（2）先化简，后计算：（÷）•，其中a=﹣3．

考点： 分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
分析： （1）利用零指数幂，负整数指数幂的法则及特殊角的三角函数值求解即可，
（2）先化简，再把a=﹣3代入求值即可．
解答： 解：（1）计算：+（﹣1）0﹣2sin60°+3﹣1
=2+1﹣2×+，
=+．
（2）（÷）•
=××，
=，
当a=﹣3时，原式==．
点评： 本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是熟记零指数幂，负整数指数幂的法则及特殊角的三角函数值．

20．近年来，北京郊区依托丰富的自然和人文资源，大力开发建设以农业观光园为主体的多类型休闲旅游项目，京郊旅游业迅速崛起，农民的收入逐步提高．以下是根据北京市统计局2013年1月发布的“北京市主要经济社会发展指标”的相关数据绘制的统计图表的一部分．
北京市2009﹣2012年农业观光园经营年收入增长率统计表
年份 年增长率（精确到1%）
2009年 12%
2010年
2011年 22%
2012年 24%
请根据以上信息解答下列问题：
（1）北京市2010年农业观光园经营年收入的年增长率是　17%　；（结果精确到1%）
（2）请补全条形统计图并在图中标明相应数据；（结果精确到0.1）
（3）如果从2012年以后，北京市农业观光园经营年收入都按30%的年增长率增长，请你估算，若经营年收入要不低于2008年的4倍，至少要到　2015　年．（填写年份）

考点： 条形统计图；统计表．
分析： （1）先用2010年的年收入减去2009年的年收入，得到2010年比2009年增加的年收入，再除以2009年的年收入即可；
（2）设2011年的年收入为x亿元，根据表格中2011年的年增长率是22%，列出方程，解方程即可；
（3）设从2012年以后，再过y年，能够使经营年收入不低于2008年的4倍，列出不等式26.9（1+30%）y≥13.6×4，解不等式即可．
解答： 解：（1）∵2010年的年收入为17.8亿元，2009年的年收入为15.2亿元，
∴2010年比2009年增加的年收入为：17.8﹣15.2=2.6亿元，
∴2010年农业观光园经营年收入的年增长率是：×100%≈17%．
故答案为17%；

（2）设2011年的年收入为x亿元，
由题意，得=22%，
解得x≈21.7．
补全统计图如下：

（3）设从2012年以后，再过y年，能够使经营年收入不低于2008年的4倍，
由题意，得26.9（1+30%）y≥13.6×4，
解得y≈3，
2012+3=2015．
即若经营年收入要不低于2008年的4倍，至少要到2015年．
故答案为2015．
点评： 本题考查的是条形统计图与统计表的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决本题的关键．

21．如图，已知等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，圆心O在△ABC内部，且⊙O经过B、C两点，若BC=8，AO=1，求⊙O的半径．

考点： 垂径定理；勾股定理．
分析： 连结BO、CO，延长AO交BC于点D，由于△ABC是等腰直角三角形，故∠BAC=90°，AB=AC，再根据OB=OC，可知直线OA是线段BC的垂直平分线，故AD⊥BC，且D是BC的中点，在Rt△ABC中根据AD=BD=BC，可得出BD=AD，再根据AO=1可求出OD的长，再根据勾股定理可得出OB的长．
解答： 解：连结BO、CO，延长AO交BC于D．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴AB=AC
∵O是圆心，
∴OB=OC，
∴直线OA是线段BC的垂直平分线，
∴AD⊥BC，且D是BC的中点，
在Rt△ABC中，AD=BD=BC，
∵BC=8，
∴BD=AD=4，
∵AO=1，
∴OD=BD﹣AO=3，
∵AD⊥BC，
∴∠BDO=90°，
∴OB===5．

点评： 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．

22．某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2300元，销售单价定为3000元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2500元．
（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2500元？
（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获得的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

考点： 二次函数的应用．
分析： （1）设件数为x，则销售单价为3000﹣10（x﹣10）元，根据销售单价恰好为2500元，列方程求解；
（2）由利润y=（销售单价﹣成本单价）×件数，及销售单价均不低于2600元，按0≤x≤10，10＜x≤60，x＞60三种情况列出函数关系式．
解答： 解：（1）设商家一次购买该种产品x件时，销售单价恰好为2500元，
依题意得3000﹣10（x﹣10）=2500，
解得x=60．
答：商家一次购买该种产品60件时，销售单价恰好为2500元；
（2）当0≤x≤10时，y=（3000﹣2300）x=700x；
当10＜x≤60时，y=x[3000﹣10（x﹣10）﹣2300]=﹣10x2+700x；
当x＞60时，y=（2500﹣2300）x=200x；
所以y=．
点评： 本题考查了二次函数的运用．关键是明确销售单价与销售件数之间的函数关系式，会表达单件的利润及总利润．

23．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作FE⊥AB于点E，交AC的延长线于点F．
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）若AE=6，sin∠CFD=，求EB的长．

考点： 切线的判定；相似三角形的判定与性质．
分析： （1）如图，欲证明EF与⊙O相切，只需证得OD⊥EF．
（2）通过解直角△AEF可以求得AF=10．设⊙O的半径为r，由平行线分线段成比例得到=，即=，则易求AB=AC=2r=，所以EB=AB﹣AE=﹣6=．
解答： （1）证明：如图，连接OD．
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC．
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B
∴∠ODC=∠B
∴OD∥AB
∴∠ODF=∠AEF
∵EF⊥AB
∴∠ODF=∠AEF=90°
∴OD⊥EF
∵OD是⊙O的半径，
∴EF与⊙O相切；

（2）解：由（1）知，OD∥AB，OD⊥EF．
在Rt△AEF中，sin∠CFD==，AE=6，
则AF=10．
∵OD∥AB，
∴=．
设⊙O的半径为r，
∴=，
解得，r=．
∴AB=AC=2r=，
∴EB=AB﹣AE=﹣6=．

点评： 本题考查了切线的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．

24．如图，AB为⊙O的直径，AB=4，P为AB上一点，过点P作⊙O的弦CD，设∠BCD=m∠ACD．
（1）已知，求m的值，及∠BCD、∠ACD的度数各是多少？
（2）在（1）的条件下，且，求弦CD的长；
（3）当时，是否存在正实数m，使弦CD最短？如果存在，求出m的值，如果不存在，说明理由．

考点： 圆的综合题．
分析： （1）首先求出m的值，进而由∠BCD=2∠ACD，∠ACB=∠BCD+∠ACD求出即可；
（2）根据已知得出AD，BD的长，再利用△APC∽△DPB得出AC•DP=AP•DB=×2=①，PC•DP=AP•BP=×=②，同理△CPB∽△APD，得出BC•DP=BP•AD=×2=③，进而得出AC，BC与DP的关系，进而利用勾股定理得出DP的长，即可得出PC，DC的长；
（3）由，AB=4，则，得出，要使CD最短，则CD⊥AB于P于是，
即可得出∠POD的度数，进而得出∠BCD，∠ACD的度数，即可得出m的值．
解答： 解：（1）如图1，
由，
得 m=2，
连结AD、BD
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°，∠ADB=90°
又∵∠BCD=2∠ACD，∠ACB=∠BCD+∠ACD
∴∠ACD=30°，∠BCD=60°；

（2）如图1，连结AD、BD，则∠ABD=∠ACD=30°，AB=4
∴AD=2，，
∵，
∴，，
∵∠APC=∠DPB，∠ACD=∠ABD
∴△APC∽△DPB
∴，
∴AC•DP=AP•DB=×2=①，
PC•DP=AP•BP=×=②
同理△CPB∽△APD
∴，
∴BC•DP=BP•AD=×2=③，
由①得，由③得，
，
在△ABC中，AB=4，
∴，
∴
由②，
得
∴；

方法二：由①÷③得，
在△ABC中，AB=4，AC=×=，
BC=×2=
由③，
得
由②，
得
∴；

（3）如图2，连结OD，由，AB=4，
则，
则，
则，

要使CD最短，则CD⊥AB于点P
于是，
∵∠POD=30°
∴∠ACD=15°，∠BCD=75°
∴m=5，故存在这样的m值，且m=5．

点评： 此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的判定与性质和锐角三角函数关系和圆周角定理等知识，熟练利用圆周角定理以及垂径定理得出是解题关键．

25．如图1，在平面直角坐标系xO