数学勾股定理的专项培优易错试卷练习题附解析.doc

数学勾股定理的专项培优易错试卷练习题附解析

一、选择题
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，在矩形内部有一动点P满足S△PAB＝3S△PCD，则动点P到点A，B两点距离之和PA＋PB的最小值为（ ）

A．5 B． C． D．
2．如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若，则下列说法正确的是（ ）
①平分；②长为；③是等腰三角形；④的周长等于的长．

A．①②③ B．②④ C．②③④ D．③④
3．如图，在中，平分，平分，且交于，若，则的值为　　

A．36 B．9 C．6 D．18
4．如图，中，，，．设长是，下列关于的四种说法：①是无理数；②可以用数轴上的一个点来表示；③是13的算术平方根；④．其中所有正确说法的序号是（ ）

A．①② B．①③
C．①②③ D．②③④
5．如图，△ABC中，AB=10，BC=12，AC=，则△ABC的面积是（ ）．

A．36 B． C．60 D．
6．A、B、C分别表示三个村庄，米，米，米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（ ）
A．AB的中点 B．BC的中点
C．AC的中点 D．的平分线与AB的交点
7．如图，直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的两直边为直径作半圆，则阴影部分的面积是（  ）

A．6 B． C．2π D．12
8．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是( )
A．3，4，5 B．1，1，
C．8，12，13 D．、、
9．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了上图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）

A．1 B．2021 C．2020 D．2019
10．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是（　　）

A． B． C．4 D．7
二、填空题
11．如图，AB＝12，AB⊥BC于点B， AB⊥AD于点A，AD＝5，BC＝10，E是CD的中点，则AE的长是____ ___．

12．如图，∠MON＝90°，△ABC的顶点A、B分别在OM、ON上，当A点从O点出发沿着OM向右运动时，同时点B在ON上运动，连接OC．若AC＝4，BC＝3，AB＝5，则OC的长度的最大值是________．

13．如图，点E在边DB上，点A在内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC，给出下列结论，其中正确的是_____（填序号）
①BD＝CE；②∠DCB＝∠ABD＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）．

14．如图，这是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为 ，，，若，则的值是__________．

15．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA1的直角边OA在x轴上，点A1在第一象限，且OA=1，以点A1为直角顶点，OA1为一直角边作等腰直角三角形OA1A2，再以点A2为直角顶点，OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3…依此规律，则点A2018的坐标是_____．

16．在△ABC 中，若，则最长边上的高为_____．
17．若为直角三角形，，，，点在斜边上，且，则的长为__________．
18．在Rt△ABC中，直角边的长分别为a，b，斜边长c，且a+b=3，c=5，则ab的值为______．
19．如图,，点分别在上，且，点分别在上运动，则的最小值为______．

20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，BD是高，则点BD的长为_____．

三、解答题
21．如图，已知中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．

（1）当秒时，求的长；
（2）求出发时间为几秒时，是等腰三角形？
（3）若沿方向运动，则当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间．
22．如图所示，已知中，，，，、是的边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为．
（1）则____________；
（2）当为何值时，点在边的垂直平分线上？此时_________?
（3）当点在边上运动时，直接写出使成为等腰三角形的运动时间．

23．（1）如图1，在中，，，平分.
求证：.

小明为解决上面的问题作了如下思考：
作关于直线的对称图形，∵平分，∴点落在上，且，.因此，要证的问题转化为只要证出即可.
请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.

（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：
如图3，在四边形中，平分，，，，求的长.

24．已知：如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，以点为圆心，长为半径画弧，交线段与点.
（1）根据题意用尺规作图补全图形（保留作图痕迹）；
（2）设
①线段的长度是方程的一个根吗？并说明理由.
②若线段，求的值.

25．如图，△ABC中，，AB=AC，P是线段BC上一点,且.作点B关于直线AP的对称点D, 连结BD，CD，AD．
（1）补全图形.
（2）设∠BAP的大小为α.求∠ADC的大小(用含α的代数式表示).
（3）延长CD与AP交于点E,直接用等式表示线段BD与DE之间的数量关系.

26．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，，，均为等边三角形，在轴正半轴上，点，点，点在内部，点在的外部，，，与交于点，连接，，，.

（1）求点的坐标；
（2）判断与的数量关系，并说明理由；
（3）直接写出的周长.
27．已知组正整数：第一组：3，4，5；第二组：8，6，10；第三组：15，8，17；第四组：24，10，26；第五组：35，12，37；第六组：48，14，50；…
（1）是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理由；
（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例．
28．在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（m，0）在坐标轴上，点C，O关于直线AB对称，点D在线段AB上．
（1）如图1，若m＝8，求AB的长；
（2）如图2，若m＝4，连接OD，在y轴上取一点E，使OD＝DE，求证：CE＝DE；
（3）如图3，若m＝4，在射线AO上裁取AF，使AF＝BD，当CD+CF的值最小时，请在图中画出点D的位置，并直接写出这个最小值．

29．已知是等边三角形，点D是BC边上一动点，连结AD
如图1，若，，求AD的长；
如图2，以AD为边作，分别交AB，AC于点E，F．
小明通过观察、实验，提出猜想：在点D运动的过程中，始终有，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法
想法1：利用AD是的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证．
想法2：利用AD是的角平分线，构造的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证．
请你参考上面的想法，帮助小明证明一种方法即可
小聪在小明的基础上继续进行思考，发现：四边形AEDF的面积与AD长存在很好的关系若用S表示四边形AEDF的面积，x表示AD的长，请你直接写出S与x之间的关系式．

30．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝2，CD是边AB的高线，动点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AC运动；同时，动点F从点C出发，以相同的速度沿射线CB运动．设E的运动时间为t（s）（t＞0）．
（1）AE＝　 　（用含t的代数式表示），∠BCD的大小是　 　度；
（2）点E在边AC上运动时，求证：△ADE≌△CDF；
（3）点E在边AC上运动时，求∠EDF的度数；
（4）连结BE，当CE＝AD时，直接写出t的值和此时BE对应的值．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．B
解析：B
【分析】
首先由，得知动点P在与AB平行且与AB的距离为3的直线上，作点A关于直线的对称点E，连接AE、BE，则BE的长就是所求的最短距离，然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值．
【详解】
解：∵， 设点P到CD的距离为h，则点P到AB的距离为(4-h),
则，解得：h=1，∴点P到CD的距离1，到AB的距离为3，
∴如下图所示，动点P在与AB平行且与AB的距离为3的直线上，作点A关于直线的对称点E，连接AE、BE，且两点之间线段最短，

∴PA+PB的最小值即为BE的长度，AE=6，AB=3，∠BAE=90°，
根据勾股定理：，
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称—最短路线问题（两点之间线段最短），勾股定理，得出动点P所在的位置是解题的关键．
2．B
解析：B
【分析】
根据折叠前后得到对应线段相等，对应角相等判断①③④式正误即可，根据等腰直角三角形性质求BC和DE的关系．
【详解】
解：根据折叠的性质知，△，且都是等腰直角三角形，
∴，，
∴
不能平分①错误；
，，
，
，，
②正确；
，
，
，
，
不是等腰三角形，
故③错误；
的周长，
故④正确．
故选：．
【点睛】
本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②等腰直角三角形，三角形外角与内角的关系，等角对等边等知识点．
3．A
解析：A
【分析】
先根据角平分线的定义、角的和差可得，再根据平行线的性质、等量代换可得，然后根据等腰三角形的定义可得，从而可得，最后在中，利用勾股定理即可得．
【详解】
平分，平分，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
故选：A．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的定义、勾股定理等知识点，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键．
4．C
解析：C
【分析】
根据勾股定理即可求出答案．
【详解】
解：∵∠ACB＝90°，
∴在RtABC中，m＝AB＝＝，
故①②③正确，
∵m2＝13，9＜13＜16，
∴3＜m＜4，
故④错误，
故选：C．
【点睛】
本题考查勾股定理及算术平方根、无理数的估算，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型．
5．A
解析：A
【分析】
作于点D，设，得，，结合题意，经解方程计算得BD，再通过勾股定理计算得AD，即可完成求解．
【详解】
如图，作于点D

设，则
∴，
∴
∵AB=10，AC=
∴
∴
∴
∴△ABC的面积
故选：A．
【点睛】
本题考察了直角三角形、勾股定理、一元一次方程的知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质，从而完成求解．
6．A
解析：A
【分析】
先计算AB2=2890000，BC2=640000，AC2=2250000，可得BC2+AC2=AB2，那么△ABC是直角三角形，而直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而可确定P点的位置．
【详解】
解：如图

∵AB2=2890000，BC2=640000，AC2=2250000
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴活动中心P应在斜边AB的中点．
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理．解题的关键是证明△ABC是直角三角形．
7．A
解析：A
【分析】
分别求出以AB、AC、BC为直径的半圆及△ABC的面积，再根据S阴影=S1+S2+S△ABC-S3即可得出结论．
【详解】
解：如图所示：

∵∠BAC=90°，AB=4cm，AC=3cm，BC=5cm，
∴以AB为直径的半圆的面积S1=2π（cm2）；
以AC为直径的半圆的面积S2=π（cm2）；
以BC为直径的半圆的面积S3=π（cm2）；
S△ABC=6（cm2）；
∴S阴影=S1+S2+S△ABC-S3=6（cm2）；
故选A．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
8．C
解析：C
【分析】
根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可作出判断．
【详解】
A. 32+42=52，能构成直角三角形，故不符合题意；
B. 12+12=（）2，能构成直角三角形，故不符合题意；
C. 82+122≠132，不能构成直角三角形，故符合题意；
D.（）2+（）2=（）2，能构成直角三角形，故不符合题意，
故选C.
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
9．B
解析：B
【分析】
根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．
【详解】
解：由题意得，正方形A的面积为1，
由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积=1，
∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，
∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，
……
∴“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2021，
故选：B．

【点睛】
本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
10．A
解析：A
【解析】
试题解析：作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E，

∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBE=90°
又∠DAB+∠ABD=90°
∴∠BAD=∠CBE，
，
∴△ABD≌△BCE
∴BE=AD=3
在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BC=，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC=.
故选A．
考点：1.勾股定理；2.全等三角形的性质；3.全等三角形的判定．
二、填空题

11．5
【详解】
解：如图，延长AE交BC于点F，

∵点E是CD的中点,
∴DE=CE，,
∵AB⊥BC，AB⊥AD,
∴AD∥BC,
∴∠ADE=∠BCE且DE=CE，∠AED=∠CEF,
∴△AED≌△FEC（ASA）,
∴AD=FC=5，AE=EF,
∴BF=BC-FC=5,
∴在Rt△ABF中，,

故答案为：6.5．
12．5
【解析】
试题分析：取AB中点E，连接OE、CE，在直角三角形AOB中，OE=AB，利用勾股定理的逆定理可得△ACB是直角三角形，所以CE=AB，利用OE+CE≥OC，所以OC的最大值为OE+CE，即OC的最大值=AB=5．

考点：勾股定理的逆定理，
13．①③
【分析】
①由已知条件证明DAB≌EAC即可；
②由①可得ABD=ACE<45°，DCB>45°；
③由ECB+EBC=ABD+ECB+ABC=ACE+ECB+ABC =45°+45°=90°可判断③；
④由BE2＝BC2－EC2＝2AB2－（CD2﹣DE2）＝2AB2－CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）－CD2可判断④．
【详解】
解：∵DAE＝BAC＝90°，
∴DAB＝EAC，
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴AED=ADE=ABC=ACB=45°，
∵在DAB和EAC中，
，
∴DAB≌EAC，
∴BD＝CE，ABD＝ECA，故①正确；
由①可得ABD=ACE<45°，DCB>45°故②错误；
∵ECB+EBC=ABD+ECB+ABC=ACE+ECB+ABC =45°+45°=90°，
∴CEB＝90°，即CE⊥BD，故③正确；
∴BE2＝BC2－EC2＝2AB2－（CD2﹣DE2）＝2AB2－CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）－CD2．
∴BE2＝2（AD2+AB2）－CD2，故④错误．
故答案为：①③．
【点睛】
本题主要考查全等三角形判定与性质以及勾股定理的应用，熟记全等三角形的判定与性质定理以及勾股定理公式是解题关键．
14．48
【分析】
用a和b表示直角三角形的两个直角边，然后根据勾股定理列出正方形面积的式子，求出的面积．
【详解】
解：本图是由八个全等的直角三角形拼成的，设这个直角三角形两个直角边中较长的长度为a，较短的长度为b，即图中的，，
则，，，
∵，
∴

，
∴．
故答案是：48．
【点睛】
本题考查勾股定理，解题的关键是要熟悉赵爽弦图中勾股定理的应用．
15．（0，21009）
【解析】
【分析】本题点A坐标变化规律要分别从旋转次数与点A所在象限或坐标轴、点A到原点的距离与旋转次数的对应关系．
【详解】∵∠OAA1=90°，OA=AA1=1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，再以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…，
∴OA1=，OA2=（）2，…，OA2018=（）2018，
∵A1、A2、…，每8个一循环，
∵2018=252×8+2
∴点A2018的在y轴正半轴上，OA2018==21009，
故答案为（0，21009）.
【点睛】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还应该注意象限符号．
16．
【分析】
解方程可求得a=4，b=3，故三角形ABC是直角三角形，在利用三角形的面积转化得到斜边上的高.
【详解】
解：∵，
将两个方程相加得：，
∵a＞0，
∴a=4
代入得：，
∵b＞0，
∴b=3，
∵a=3，b=4，c=5满足勾股定理逆定理，
∴△ABC是直角三角形，
如下图，∠ACB=90°，CD⊥AB，

，
即：，
解得：CD=，
故答案为：.
【点睛】
本题考查求解三角形的高，解题关键是利用三角形的面积进行转化，在同一个三角形中，一个底乘对应高等于另一个底乘对应高.
17．5
【分析】
在直角中，依据勾股定理求出的长度，再算出，过点B作于点E，通过等面积法求出BE，得到两个直角三角形，分别运用勾股定理算出，两者相加即为的长.
【详解】
解：如图，过点B作于点E，则,,

∵直角中，，，，
∴,
又∵，
∴，,
∴,
∵,
∴,,
∴.
故答案为：5.
【点睛】
本题考查了勾股定理，通过作直角三角形斜边上的高，既构造了两个直角三角形求位置线段，又通过等面积法求出了一条直角边的长度，为运用勾股定理求线段创造了条件；故在求线段长时，可以考虑构造直角三角形.
18．10
【分析】
先根据勾股定理得出a2+b2＝c2，利用完全平方公式得到（a+b）2﹣2ab＝c2，再将a+b＝3，c＝5代入即可求出ab的值．
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，直角边的长分别为a，b，斜边长c，
∴a2+b2＝c2，
∴（a+b）2﹣2ab＝c2，
∵a+b＝3，c＝5，
∴（3）2﹣2ab＝52，
∴ab＝10．
故答案为10．
【点睛】
本题考查勾股定理以及完全平方公式，灵活运用完全平方公式是解题关键.
19．10
【分析】
首先作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值，易得△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∠N′OM′=90°，继而可以求得答案．
【详解】
作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．
根据轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°，OM′=OM=6，ON′=ON=8，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′=90°．在Rt△M′ON′中，M′N′==10．
故答案为10．

【点睛】
本题考查了最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到直角三角形是解题的关键．
20．
【解析】
试题分析：根据等腰三角形的性质和勾股定理可知BC边上的高为8，然后根据三角形的面积法可得，解得BD=.
三、解答题

21．（1）；（2）；（3）5.5秒或6秒或6.6秒
【分析】
（1）根据点、的运动速度求出，再求出和，用勾股定理求得即可；
（2）由题意得出，即，解方程即可；
（3）当点在边上运动时，能使成为等腰三角形的运动时间有三种情况：
①当时（图，则，可证明，则，则，从而求得；
②当时（图，则，易求得；
③当时（图，过点作于点，则求出，，即可得出．
【详解】
（1）解：（1），
，
，
；
（2）解：根据题意得：，
即，
解得：；
即出发时间为秒时，是等腰三角形；
（3）解：分三种情况：
①当时，如图1所示：

则，
，
，
，

，
，
，
秒．
②当时，如图2所示：

则
秒．
③当时，如图3所示：

过点作于点，
则
，
，
，
秒．
由上可知，当为5.5秒或6秒或6.6秒时，
为等腰三角形．
【点睛】
本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用．
22．（1）12；（2）t=12.5s时，13 cm；（3）11s或12s或13.2s
【分析】
（1）由勾股定理即可得出结论；
（2）由线段垂直平分线的性质得到PC= PA=t，则PB=16-t．在Rt△BPC中，由勾股定理可求得t的值，判断出此时，点Q在边AC上，根据CQ=2t-BC计算即可；
（3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分BQ=BC、CQ=BC和BQ=CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
【详解】
（1）在Rt△ABC中，BC(cm)．
故答案为：12；
（2）如图，点P在边AC的垂直平分线上时，连接PC，
∴PC= PA=t，PB=16-t．
在Rt△BPC中，，即，
解得：t=．
∵Q从B到C所需的时间为12÷2=6(s)，＞6，
∴此时，点Q在边AC上，CQ=(cm)；

（3）分三种情况讨论：
①当CQ=BQ时，如图1所示，

则∠C=∠CBQ．
∵∠ABC=90°，
∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠ABQ，
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=10，
∴BC+CQ=22，
∴t=22÷2=11(s)．
②当CQ=BC时，如图2所示，

则BC+CQ=24，
∴t=24÷2=12(s)．
③当BC=BQ时，如图3所示，

过B点作BE⊥AC于点E，
则BE，
∴CE=7.2．
∵BC=BQ，BE⊥CQ，
∴CQ=2CE=14.4，
∴BC+CQ=26.4，
∴t=26.4÷2=13.2(s)．
综上所述：当t为11s或12s或13.2s时，△BCQ为等腰三角形．
【点睛】
本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．
23．（1）证明见解析；（2）21.
【分析】
（1）只需要证明，再根据等角对等边即可证明,再结合小明的分析即可证明；
（2）作△ADC关于AC的对称图形,过点C作CE⊥AB于点E，则=BE．设=BE=x．在Rt△CEB和Rt△CEA中，根据勾股定理构建方程即可解决问题.
【详解】
解：（1）证明：如下图，作△ADC关于CD的对称图形△A′DC，

∴A′D=AD，C A′=CA，∠CA′D=∠A=60°，
∵CD平分∠ACB，
∴A′点落在CB上
∵∠ACB=90°，
∴∠B=90°-∠A=30°，
∴∠A′DB=∠CA′D-∠B=30°，即∠A′DB=∠B，
∴A′D=A′B，
∴CA+AD=CA′+A′D=CA′+A′B=CB.
（2）如图，作△ADC关于AC的对称图形△AD′C．

∴D′A=DA=9，D′C=DC=10，
∵AC平分∠BAD，
∴D′点落在AB上，
∵BC=10，
∴D′C=BC，
过点C作CE⊥AB于点E，则D′E=BE，
设D′E=BE=x，
在Rt△CEB中，CE2=CB2-BE2=102-x2，
在Rt△CEA中，CE2=AC2-AE2=172-（9+x）2．
∴102-x2=172-（9+x）2，
解得：x=6，
∴AB=AD′+D′E+EB=9+6+6=21．
【点睛】
本题考查轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质.（1）中证明∠A′DB=∠B不是经常用的等量代换，而是利用角之间的计算求得它们的度数相等，这有点困难，需要多注意；（2）中掌握方程思想是解题关键.
24．（1）详见解析；（2）①线段的长度是方程的一个根，理由详见解析；②
【分析】
（1）根据题意，利用尺规作图画出图形即可；
（2）①根据勾股定理求出AD，然后把AD的值代入方程，即可得到答案；
②先得到出边长的关系，然后根据勾股定理，列出方程，解方程后得到答案.
【详解】
（1）解：作图，如图所示：

（2）解：①线段的长度是方程的一个根.
理由如下：依题意得，
在中，

；
线段的长度是方程的一个根
②依题意得：

在中，

【点睛】
本题考查的是基本作图，勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．
25．（1）见解析；（2）∠ADC=；（3）
【分析】
（1）根据题意画出图形即可；
（2）根据对称的性质，等腰三角形的性质及角与角之间的和差关系进行计算即可；
（3）画出图形，结合（2）的结论证明△BED为等腰直角三角形，从而得出结论.
【详解】
解：（1）如图所示；

（2）∵点B与点D关于直线AP对称，∠BAP=α，
∴∠PAD=α，AB=AD，
∵，
∴，
又∵AB=AC，
∴AD=AC，
∴∠ADC==；
（3）如图，连接BE，

由（2）知：∠ADC=，
∵∠ADC=∠AED+∠EAD，且∠EAD=α，
∴∠AED=45°，
∵点B与点D关于直线AP对称，即AP垂直平分BD，
∴∠AED=∠AEB=45°，BE=DE，
∴∠BED=90°，
∴△BED是等腰直角三角形，
∴，
∴.
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，明确角与角之间的关系，学会添加常用辅助线构造直角三角形是解题的关键.
26．（1），；（2）；（3）.
【分析】
（1）由等边三角形的性质得出，，由勾股定理得出，即可得出点的坐标；
（2）由等边三角形的性质得出，，，证出，由证明，即可得出；
（3）证出，求出，由全等三角形的性质得出，证出，由等边三角形的性质得，即可得出答案．
【详解】
解：（1）是等边三角形，点，点，
，，，
点的坐标为，；
（2）；理由如下：
，均为等边三角形，
，，，
，
在和中，，
，
；
（3），
，
，
，
是等边三角形，，
，
，
，
，
，
，
，
，为等边三角形，
为斜边的中点，
，
的周长．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、勾股定理、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
27．（1）不存在，见解析；（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数，见解析.
【分析】
（1）根据题意可知，这n组正整数符合规律m2-1，2m，m2+1（m≥2，且m为整数）．分三种情况：m2-1=71；2m=71；m2+1=71；进行讨论即可求解；
（2）由于（m2-1） 2+（2m） 2=m4+2m2+1=（m2+1） 2，根据勾股定理的逆定理即可求解．
【详解】
（1）不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71．
理由如下：
根据题意可知，这组正整数符合规律，，（，且为整数）．
若，则，此时不符合题意；
若，则，此时不符合题意；
若，则，此时不符合题意，
所以不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71．
（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．
理由如下：
对于一组数：，，（，且为整数）．
因为
所以若一个三角形三边长分别为，，（，且为整数），则该三角形为直角三角形．
因为当，且为整数时，表示任意一个大于2的偶数，，均为正整数，
所以以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．
【点睛】
考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．注意分类思想的应用
28．（1）AB＝4；（2）见解析；（3）CD+CF的最小值为4.
【分析】
（1）根据勾股定理可求AB的长；
（2）过点D作DF⊥AO，根据等腰三角形的性质可得OF＝EF，根据轴对称的性质等腰直角三角形的性质可得AF＝DF，设OF＝EF＝x，AE＝4﹣2x，根据勾股定理用参数x表示
DE，CE的长，即可证CE＝DE；
（3）过点B作BM⊥OB，在BM上截取BM＝AO，过点C作CN⊥BM，交MB的延长线于点N，根据锐角三角函数可得∠ABO＝30°，根据轴对称的性质可得AC＝AO＝4，BO＝BC＝4，∠ABO＝∠ABC＝30°，∠OAB＝∠CAB＝60°，根据“SAS”可证△ACF≌△BMD，可得CF＝DM，则当点D在CM上时，CF+CD的值最小，根据直角三角形的性质可求CN，BN的长，根据勾股定理可求CM的长，即可得CF+CD的最小值．
【详解】
（1）∵点A（0，4），B（m，0），且m＝8，
∴AO＝4，BO＝8，
在Rt△ABO中，AB＝
（2）如图，过点D作DF⊥AO，

∵DE＝DO，DF⊥AO，
∴EF＝FO，
∵m＝4，
∴AO＝BO＝4，
∴∠ABO＝∠OAB＝45°，
∵点C，O关于直线AB对称，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，AO＝AC＝OB＝BC＝4，
∴∠CAO＝∠CBO＝90°，
∵DF⊥AO，∠BAO＝45°，
∴∠DAF＝∠ADF＝45°，
∴AF＝DF，
设OF＝EF＝x，AE＝4﹣2x，
∴AF＝DF＝4﹣x，
在Rt△DEF中，DE＝
在Rt△ACE中，CE＝
∴CE＝DE，
（3）如图，过点B作BM⊥OB，在BM上截取BM＝AO，过点C作CN⊥BM，交MB的延长线于点N，

∵m＝4，
∴OB＝4，
∴tan∠ABO＝，
∴∠ABO＝30°
∵点C，O关于直线AB对称，
∴AC＝AO＝4，BO＝BC＝4，∠ABO＝∠ABC＝30°，∠OAB＝∠CAB＝60°，
∴∠CAF＝120°，∠CBO＝60°
∵BM⊥OB，∠ABO＝30°，
∴∠ABM＝120°，
∴∠CAF＝∠ABM，且DB＝AF，BM＝AO＝AC＝4，
∴△ACF≌△BMD（SAS）
∴CF＝DM，
∵CF+CD＝CD+DM，
∴当点D在CM上时，CF+CD的值最小，
即CF+CD的最小值为CM的长，
∵∠CBO＝60°，BM⊥OB，
∴∠CBN＝30°，且BM⊥OB，BC＝4，
∴CN＝2，BN＝CN＝6，
∴MN＝BM+BN＝4+6＝10，
在Rt△CMN中，CM＝，
∴CD+CF的最小值为.
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，最短路径问题等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
29．（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
由等边三角形的性质可求，，，由勾股定理可求AG，AD的长；
想法1：过点A作于点M，作，交DE的延长线于点H，由角平分线的性质可得，由“AAS”可证≌，可得；
想法2：延长DE至N，使，由“SAS”可证≌，可得，，由四边形内角和为，可得，可得；
由想法1可得．
【详解】
如图，过点A作于点G，

，，
，
是等边三角形，，
，，
，
在中，，
在中，
想法1：如图，过点A作于点M，作，交DE的延长线于点H，

平分，，
，
，
，
，
，且，
，且，，
≌
，
想法2：如图，延长DE至N，使，

，，，
≌
，，
，
，
，
，且，
，
，
，
如图，

由中想法1可得≌，
，
，
，，
，，
，
，，
≌
，
．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
30．（1）t，45；（2）详见解析；（3）90°；（4）t的值为﹣1或+1，BE=．
【解析】
【分析】
（1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题；
（2）根据SAS即可证明△ADE≌△CDF；
（3）由△ADE≌△CDF，即可推出∠ADE=∠CDF，推出∠EDF=∠ADC=90°；
（4）分两种情形分别求解即可解决问题．
【详解】
（1）由题意：AE=t．
∵CA=CB，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠BCD=∠ACD=45°．
故答案为t，45．
（2）∵∠ACB=90°，CA=CB，CD⊥AB，∴CD=AD=BD，∴∠A=∠DCB=45°．
∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF（SAS）．
（3）∵点E在边AC上运动时，△ADE≌△CDF，∴∠ADE=∠CDF，∴∠EDF=∠ADC=90°．

（4）①当点E在AC边上时，如图1．在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，AC=CB，AB=2，CD⊥AB，∴CD=AD=DB=1，AC=BC．
∵CE=CD=1，∴AE=AC﹣CE1，∴t1．
∵BC=，∴BE===；
②当点E在AC的延长线上时，如图2，AE=AC+EC1，∴t1．
∵BC=，∴BE===；

综上所述：满足条件的t的值为1或1，BE=．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．