【6套】安徽当涂县第一中学2020中考提前自主招生数学模拟试卷附解析【冲刺实验班】.docx

中学自主招生数学试卷

一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣的倒数是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．
2．（3分）如图所示，m和n的大小关系是（　　）

A．m＝n B．m＝1.5n C．m＞n D．m＜n
3．（3分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正方形
4．（3分）据有关部门统计，2019年春节期间，广东各大景点的游客总数约25200000人次，将数25200000用科学记数法表示为（　　）
A．2.52×107 B．2.52×108 C．0.252×107 D．0.252×108
5．（3分）如图，直线l1∥l2，将等边三角形如图放置若∠α＝25°，则∠β等于（　　）

A．35° B．30° C．25° D．20°
6．（3分）某公司销售部有7个职员，他们5月份的工资分别是5300元、5800元、5300元、5500元、5800元、6500元和5800元，那么他们5月份工资的众数是（　　）
A．5300元 B．5500元 C．5800元 D．6500元
7．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，x2+1）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为M（，2），那么cosα的值是（　　）

A． B． C． D．
9．（3分）已知代数式a﹣2b+7的值是13，那么代数式2a﹣4b的值是（　　）
A．6 B．12 C．15 D．26
10．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，B＝60°，AD＝2，BC＝8，点P从点B出发沿折线BA﹣AD﹣DC匀速运动，同时，点Q从点B出发沿折线BC﹣CD匀速运动，点P与点Q的速度相同，当二者相遇时，运动停止，设点P运动的路程为x，△BPQ的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（　　）

A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）因式分解：x2y﹣y3＝　 　．
12．（4分）81的平方根等于　 　．
13．（4分）不等式组的解集是　 　．
14．（4分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣1，0）、C（0，1），将△ABC绕点B顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1，则点A1的坐标为　 　．

15．（4分）如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，AC＝4，菱形ABCD的面积为4，E为AD的中点，则OE的长为　 　．

16．（4分）如图所示，在平面直角坐标系中，点A（，0）、B（0，），以AB为边作正方形ABCB1，延长CB1交x轴于点A1，以A1B1为边作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交x轴于点A2，以A2B2为边作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交x轴于点A3，以A3B3为边作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则△A6B7A7的周长为　 　．

三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17．（6分）计算：|﹣3|﹣（2019+sin45°）0+﹣1
18．（6分）先化简，再求值：，其中x＝．
19．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8．
（1）作△ABC的内角∠CAB的平分线，与边BC交于点D（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）若AD＝BD，求CD的长度．

四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
20．（7分）某旅游团于早上8：00从某旅行社出发，乘大巴车前往“珠海长隆”旅游，“珠海长隆”离该旅行社有100千米，导游张某因有事情，于8：30从该旅行社自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比该旅游团提前20分钟到达“珠海长隆”．
（1）大巴与小车的平均速度各是多少？
（2）导游张某追上大巴的地点到“珠海长隆”的路程有多远？
21．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，点F在DE的延长线上，且AF＝CE＝AE．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B＝30°时，试猜想四边形ACEF是什么图形，并说明理由．

22．（7分）为了丰富校园文化生活，某校计划在午间校园广播台播放“百家讲坛”的部分内容为了了解学生的喜好，抽取若干名学生进行问卷调查（每人只选一项内容），整理调查结果，绘制统计图如下：

请根据统计图提供的信息回答以下问题：
（1）这一调查属于　 　（选填“抽样调查”或“普查”），抽取的学生数为　 　名；
（2）估计喜欢收听易中天《品三国》的学生约占全校学生的　 　%（精确到小数点后一位）；
（3）已知该校女学生共有1800名，则该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生大约有多少名？
五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点．点A的坐标为（m，3），点B与点A关于y＝x成轴对称，tan∠AOC＝．
（1）求k的值；
（2）直接写出点B的坐标，并求直线AB的解析式；
（3）P是y轴上一点，且S△PBC＝2S△AOB，求点P的坐标．

24．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AO交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作⊙O，⊙O交AO所在的直线于D、E两点（点D在BC左侧）．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）连接CD，若AC＝AD，求tan∠D的值；
（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为5，求AB的长．

25．（9分）如图，在矩形ABCD中，CD＝3cm，BC＝4cm，连接BD，并过点C作CN⊥BD，垂足为N，直线l垂直BC，分别交BD、BC于点P、Q．直线l从AB出发，以每秒1cm的速度沿BC方向匀速运动到CD为止；点M沿线段DA以每秒1cm的速度由点D向点A匀速运动，到点A为止，直线1与点M同时出发，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）线段CN＝　 　；
（2）连接PM和QN，当四边形MPQN为平行四边形时，求t的值；
（3）在整个运动过程中，当t为何值时△PMN的面积取得最大值，最大值是多少？

参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣的倒数是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．
【分析】利用倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数，进而得出答案．
【解答】解：∵﹣2×（﹣）＝1，
∴﹣的倒数是﹣2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了倒数的定义，正确把握定义是解题关键．
2．（3分）如图所示，m和n的大小关系是（　　）

A．m＝n B．m＝1.5n C．m＞n D．m＜n
【分析】根据数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，可得：m＞n．
【解答】解：根据图示，可得：m＞0＞n，
∴m＞n．
故选：C．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，以及在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握．
3．（3分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正方形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．（3分）据有关部门统计，2019年春节期间，广东各大景点的游客总数约25200000人次，将数25200000用科学记数法表示为（　　）
A．2.52×107 B．2.52×108 C．0.252×107 D．0.252×108
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：25200000＝2.52×107．
故选：A．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
5．（3分）如图，直线l1∥l2，将等边三角形如图放置若∠α＝25°，则∠β等于（　　）

A．35° B．30° C．25° D．20°
【分析】过点B作BD∥l1，如图，根据平行线的性质可得∠ABD＝∠β．根据平行线的传递性可得BD∥l2，从而得到∠DBC＝∠α＝35°．再根据等边△ABC可得到∠ABC＝60°，就可求出∠DBC，从而解决问题．
【解答】解：过点B作BD∥l1，如图，
则∠ABD＝∠β．
∵l1∥l2，
∴BD∥l2，
∵∠DBC＝∠α＝35°．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠β＝∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝60°﹣25°＝35°．
故选：A．

【点评】本题主要考查了平行线的性质、平行线的传递性、等边三角形的性质等知识，当然也可延长BA与l2交于点E，运用平行线的性质及三角形外角的性质解决问题．
6．（3分）某公司销售部有7个职员，他们5月份的工资分别是5300元、5800元、5300元、5500元、5800元、6500元和5800元，那么他们5月份工资的众数是（　　）
A．5300元 B．5500元 C．5800元 D．6500元
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数．
【解答】解：他们5月份工资的众数是5800元，
故选：C．
【点评】此题考查了众数，众数是一组数据中出现次数最多的数．
7．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，x2+1）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据非负数的性质确定出点P的纵坐标是正数，然后根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：∵x2≥0，
∴x2+1≥1，
∴点P（﹣2，x2+1）在第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为M（，2），那么cosα的值是（　　）

A． B． C． D．
【分析】如图，作MH⊥x轴于H．利用勾股定理求出OM，即可解决问题．
【解答】解：如图，作MH⊥x轴于H．

∵M（，2），
∴OH＝，MH＝2，
∴OM＝＝3，
∴cosα＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9．（3分）已知代数式a﹣2b+7的值是13，那么代数式2a﹣4b的值是（　　）
A．6 B．12 C．15 D．26
【分析】首先根据a﹣2b+7＝13，求出a﹣2b的值是多少；然后把求出的a﹣2b的值代入，求出代数式2a﹣4b的值是多少即可．
【解答】解：∵a﹣2b+7＝13，
∴a﹣2b＝13﹣7＝6，
∴2a﹣4b＝2（a﹣2b）＝2×6＝12．
故选：B．
【点评】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．
10．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，B＝60°，AD＝2，BC＝8，点P从点B出发沿折线BA﹣AD﹣DC匀速运动，同时，点Q从点B出发沿折线BC﹣CD匀速运动，点P与点Q的速度相同，当二者相遇时，运动停止，设点P运动的路程为x，△BPQ的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（　　）

A．
B．
C．
D．
【分析】①当点P在AB上运动时（0≤x≤6），y＝BQ×BPsinB＝x2，当x＝6时，y＝9；②6＜t＜8，y为常数；③当x≥8时，点PC＝6+2+6﹣t＝14﹣t，QC＝t﹣8，则PQ＝22﹣2t，而△BPQ的高常数，即可求解．
【解答】解：由题意得：四边形ABCD为等腰梯形，如下图，分别过点A、D作梯形的高AM、DN交BC于点M、N，

则MN＝AD＝2，BM＝NC＝（BC﹣AD）＝3，
则AB＝2BM＝6，
①当点P在AB上运动时（0≤x≤6），
y＝BQ×BPsinB＝x2，当x＝6时，y＝9，
图象中符合条件的有B、D；
②6＜t＜8，y为常数；
③当x≥8时，点PC＝6+2+6﹣t＝14﹣t，QC＝t﹣8，
则PQ＝22﹣2t，
而△BPQ的高常数，故y的表达式为一次函数，
故在B、D中符合条件的为B，
故选：B．
【点评】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、一次函数、解直角三角形等知识，此类问题关键是，要弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）因式分解：x2y﹣y3＝　y（x+y）（x﹣y）　．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
【解答】解：x2y﹣y3＝y（x2﹣y2）＝y（x+y）（x﹣y）．
故答案为y（x+y）（x﹣y）
【点评】本题考查因式分解﹣提公因式法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，属于中考常考题型、
12．（4分）81的平方根等于　±9　．
【分析】一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，据此求解即可．
【解答】解：81的平方根等于：±＝±9．
故答案为：±9．
【点评】此题主要考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
13．（4分）不等式组的解集是　2＜x≤3　．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【解答】解：解不等式x﹣1＞1，得：x＞2，
解不等式3+2x≥4x﹣3，得：x≤3，
所以不等式组的解集为2＜x≤3，
故答案为：2＜x≤3．
【点评】本题考查了不等式组的解法，求不等式组中每个不等式的解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
14．（4分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣1，0）、C（0，1），将△ABC绕点B顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1，则点A1的坐标为　（2，1）　．

【分析】正确画出图形解决问题即可．
【解答】解：观察图象可知：点A1的坐标为（2，1）．
故答案为（2，1）．

【点评】本题考查坐标与图形变化的性质，解题的关键是理解题意，学会正确画出图形解决问题．
15．（4分）如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，AC＝4，菱形ABCD的面积为4，E为AD的中点，则OE的长为　　．

【分析】直接利用菱形的面积和性质得出AO，DO的长，再利用勾股定理得出菱形的边长，进而利用直角三角形中线的性质得出答案．
【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝4，菱形ABCD的面积为4，
∴AO＝2，DO＝，∠AOD＝90°，
∴AD＝3，
∵E为AD的中点，
∴OE的长为：AD＝．
故答案为：
【点评】此题主要考查了菱形的性质，正确得出AD的长是解题关键．
16．（4分）如图所示，在平面直角坐标系中，点A（，0）、B（0，），以AB为边作正方形ABCB1，延长CB1交x轴于点A1，以A1B1为边作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交x轴于点A2，以A2B2为边作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交x轴于点A3，以A3B3为边作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则△A6B7A7的周长为　27（3+）　．

【分析】利用相似三角形的性质，探究规律，利用规律解决问题即可．
【解答】解：由题意：A1B1∥A2B2，
∴∠AA1B1＝∠A1A2B2，
∵∠AB1A1＝∠A1B2A2＝90°，
∴△AB1C1∽△A1B2C2，
∴＝，
∵△AB1A1的周长为3+，△A1B2A2的周长为（3+）•，△A2B3A3的周长为（3+）•（）2，…，△AnBn+1An+1的周长为（3+）•（）n，
∴△A6B7A7的周长为（3+）•（）6＝27（3+）．
故答案为：27（3+）．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，规律型问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17．（6分）计算：|﹣3|﹣（2019+sin45°）0+﹣1
【分析】直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝3﹣1﹣3
＝﹣1．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．（6分）先化简，再求值：，其中x＝．
【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：
＝
＝2x，
当x＝时，原式＝2（﹣1）＝2﹣2．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
19．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8．
（1）作△ABC的内角∠CAB的平分线，与边BC交于点D（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）若AD＝BD，求CD的长度．

【分析】（1）利用基本作图作∠BAC的平分线；
（2）利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠CAD＝∠B＝30°，在Rt△ACB中利用含30度的直角三角形三边的关系得到AC＝4，然后在Rt△ACD中求CD．
【解答】解：（1）如图，AD为所作；

（2）∵AD＝BD，
∴∠DAB＝∠B，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB＝∠CAD，
∴∠DAB＝∠CAD＝∠B，
而∠DAB+∠CAD+∠B＝90°，
∴∠CAD＝∠B＝30°，
在Rt△ACB中，AC＝AB＝4，
在Rt△ACD中，tan∠CAD＝，
∴CD＝4tan30°＝4×＝．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了角平分线的性质．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
20．（7分）某旅游团于早上8：00从某旅行社出发，乘大巴车前往“珠海长隆”旅游，“珠海长隆”离该旅行社有100千米，导游张某因有事情，于8：30从该旅行社自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比该旅游团提前20分钟到达“珠海长隆”．
（1）大巴与小车的平均速度各是多少？
（2）导游张某追上大巴的地点到“珠海长隆”的路程有多远？
【分析】（1）设大巴的平均速度为x千米/时，则小车的平均速度为1.5x千米/时，根据题意列出方程，求出方程的解得到结果；
（2）设导游张某追上大巴的地点到“珠海长隆”的路程为y千米，根据题意列出方程，求出方程的解得到结果．
【解答】解：（1）设大巴的平均速度为x千米/时，则小车的平均速度为1.5x千米/时，
根据题意得：＝++，
解得：x＝40，
经检验x＝40是分式方程的解，且1.5×40＝60，
则大巴与小车的平均速度各是40千米/时，60千米/时；
（2）设导游张某追上大巴的地点到“珠海长隆”的路程为y千米，
由题意得：＝+，
解得：y＝40，
经检验y＝40是分式方程的解，且符合题意，
则导游张某追上大巴的地点到“珠海长隆”的路程有40千米．
【点评】此题考查了分式方程的应用，弄清题意是解本题的关键．
21．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，点F在DE的延长线上，且AF＝CE＝AE．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B＝30°时，试猜想四边形ACEF是什么图形，并说明理由．

【分析】（1）易知DE是△ABC的中位线，则FE∥AC，BE＝EA＝CE＝AF；因此△AFE、△AEC都是等腰三角形，可得∠F＝∠5＝∠1＝∠2，即∠FAE＝∠AEC，由此可证得AF∥EC，即可得出结论；
（2）证出AC＝CE，即可得出结论．
【解答】（1）证明：四边形ACEF是平行四边形；
∵DE垂直平分BC，
∴D为BC的中点，ED⊥BC，
又∵AC⊥BC，
∴ED∥AC，
∴E为AB中点，
∴ED是△ABC的中位线．
∴BE＝AE，FD∥AC．
∴BD＝CD，
∴Rt△ABC中，CE是斜边AB的中线，
∴CE＝AE＝AF．
∴∠F＝∠5＝∠1＝∠2．
∴∠FAE＝∠AEC．
∴AF∥EC．
又∵AF＝EC，
∴四边形ACEF是平行四边形；
（2）解：当∠B＝30°时，四边形ACEF为菱形；
理由：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AC＝AB，
由（1）知CE＝AB，
∴AC＝CE
又∵四边形ACEF为平行四边形
∴四边形ACEF为菱形．

【点评】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，垂直平分线的性质，本题中熟练掌握含30°的直角三角形的性质是解题的关键．
22．（7分）为了丰富校园文化生活，某校计划在午间校园广播台播放“百家讲坛”的部分内容为了了解学生的喜好，抽取若干名学生进行问卷调查（每人只选一项内容），整理调查结果，绘制统计图如下：

请根据统计图提供的信息回答以下问题：
（1）这一调查属于　抽样调查　（选填“抽样调查”或“普查”），抽取的学生数为　300　名；
（2）估计喜欢收听易中天《品三国》的学生约占全校学生的　35.3　%（精确到小数点后一位）；
（3）已知该校女学生共有1800名，则该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生大约有多少名？
【分析】（1）男女生所有人数之和；
（2）听品三国的学生生人数除以总人数．
（3）求出抽取的样本中收听品红楼梦的女学生所占的比例，乘1800即可求解；
【解答】解：（1）这一调查属于抽样调查，
抽查的人数为：20+10+30+15+30+38+64+42+6+45＝300人；
故答案为：抽样调查，300；
（2）（64+42）÷300≈35.3%；
故答案为：35.3；
（3）×1800＝540人
该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生大约有540名．
【点评】本题考查条形统计图、用样本估计总体以及从统计表中获取信息的能力，及统计中用样本估计总体的思想．
五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点．点A的坐标为（m，3），点B与点A关于y＝x成轴对称，tan∠AOC＝．
（1）求k的值；
（2）直接写出点B的坐标，并求直线AB的解析式；
（3）P是y轴上一点，且S△PBC＝2S△AOB，求点P的坐标．

【分析】（1）作AD⊥y轴于D，根据正切函数，可得AD的长，得到A的坐标，根据待定系数法，可得k的值；
（2）根据题意即可求得B点的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；
（3）先根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC求得△AOB的面积为4，然后设P（0，t），得出S△PBC＝|t﹣2|×3＝|t﹣2|，由S△PBC＝2S△AOB列出关于t的方程，解得即可．
【解答】解：（1）作AD⊥y轴于D，
∵点A的坐标为（m，3），
∴OD＝3，
∵tan∠AOC＝．
∴＝，即＝，
∴AD＝1，
∴A（﹣1，3），
∵在反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象上，
∴k＝﹣1×3＝﹣3；
（2）∵点B与点A关于y＝x成轴对称，
∴B（3，﹣1），
∵A、B在一次函数y＝ax+b的图象上，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2；
（3）连接OC，
由直线AB为y＝﹣x+2可知，C（0，2），
∵S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×2×1+×2×3＝4，
∵P是y轴上一点，
∴设P（0，t），
∴S△PBC＝|t﹣2|×3＝|t﹣2|，
∵S△PBC＝2S△AOB，
∴|t﹣2|＝2×4，
∴t＝或t＝﹣，
∴P点的坐标为（0，）或（0，﹣）．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，利用待定系数法是解题关键．
24．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AO交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作⊙O，⊙O交AO所在的直线于D、E两点（点D在BC左侧）．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）连接CD，若AC＝AD，求tan∠D的值；
（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为5，求AB的长．

【分析】（1）过点O作OF⊥AB，由角平分线到性质可得OC＝OF，即可证AB是⊙O的切线；
（2）通过证明△ACE∽△ADC，可得＝＝，即可求tan∠D的值；
（3）由相似三角形的性质可得，即可求AD＝18，AC＝12＝AF，通过证明△OBF∽△ABC，可得，可得关于OB，BF的方程组，即可求BF的长，即可求AB的长．
【解答】证明：（1）如图，过点O作OF⊥AB，

∵AO平分∠BAC，OF⊥AB，∠ACB＝90°
∴OC＝OF，
∴OF为⊙O半径，且OF⊥AB
∴AB是⊙O切线．
（2）连接CE

∵DE是直径
∴∠DCE＝90°
∵∠ACB＝90°
∴∠DCE＝∠ACB
∴∠DCO＝∠ACE
∵OC＝OD
∴∠D＝∠DCO
∴∠ACE＝∠D，且∠A＝∠A
∴△ACE∽△ADC
∴＝＝
∴tan∠D＝
（3）∵△ACE∽△ADC
∴
∴AC2＝AD（AD﹣10），且AC＝AD
∴AD＝18
∴AC＝12
∵AO＝AO，OC＝OF
∴Rt△AOF≌Rt△AOC（HL）
∴AF＝AC＝12
∵∠B＝∠B，∠OFB＝∠ACB＝90°
∴△OBF∽△ABC
∴
即
∴
∴BF＝
∴AB＝FA+BF＝12+
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用方程的思想求BF的长度是本题的关键．
25．（9分）如图，在矩形ABCD中，CD＝3cm，BC＝4cm，连接BD，并过点C作CN⊥BD，垂足为N，直线l垂直BC，分别交BD、BC于点P、Q．直线l从AB出发，以每秒1cm的速度沿BC方向匀速运动到CD为止；点M沿线段DA以每秒1cm的速度由点D向点A匀速运动，到点A为止，直线1与点M同时出发，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）线段CN＝　　；
（2）连接PM和QN，当四边形MPQN为平行四边形时，求t的值；
（3）在整个运动过程中，当t为何值时△PMN的面积取得最大值，最大值是多少？

【分析】（1）由矩形的性质和勾股定理可求BD的长，由三角形的面积公式可求CN的长；
（2）由勾股定理可求DN的长，通过证明△DMN∽△DAB，可得，可得DM的值，即可求t的值；
（3）分两种情况讨论，利用三角形面积公式列出△PMN的面积与t的关系式，可求△PMN的面积的最大值．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形
∴BC＝AD＝4cm，∠BCD＝90°＝∠A，
∴BD＝＝5cm，
∵S△BCD＝BC×CD＝×BD×CN
∴CN＝
故答案为：
（2）在Rt△CDN中，DN＝＝
∵四边形MPQN为平行四边形时
∴PQ∥MN，且PQ⊥BC，AD∥BC
∴MN⊥AD
∴MN∥AB
∴△DMN∽△DAB
∴
即
∴DM＝cm
∴t＝s
（3）∵BD＝5，DN＝
∴BN＝
如图，过点M作MH⊥BD于点H，

∵sin∠MDH＝sin∠BDA＝
∴
∴MH＝t
当0＜t＜
∵BQ＝t，
∴BP＝t，
∴PN＝BD﹣BP﹣DN＝5﹣﹣t＝﹣t
∴S△PMN＝×PN×MH＝×t×（﹣t）＝﹣t2+t
∴当t＝s时，S△PMN有最大值，且最大值为，
当t＝s时，点P与点N重合，点P，点N，点M不构成三角形；
当＜t≤4时，如图，

∴PN＝BP﹣BN＝t﹣
∴S△PMN＝×PN×MH＝×t×（t﹣）＝t2﹣t

当＜t≤4时，S△PMN随t的增大而增大，
∴当t＝4时，S△PMN最大值为，
∵＞
∴综上所述：t＝4时，△PMN的面积取得最大值，最大值为．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题关键．

中学自主招生数学试卷

一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣的倒数是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．
2．（3分）如图所示，m和n的大小关系是（　　）

A．m＝n B．m＝1.5n C．m＞n D．m＜n
3．（3分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正方形
4．（3分）据有关部门统计，2019年春节期间，广东各大景点的游客总数约25200000人次，将数25200000用科学记数法表示为（　　）
A．2.52×107 B．2.52×108 C．0.252×107 D．0.252×108
5．（3分）如图，直线l1∥l2，将等边三角形如图放置若∠α＝25°，则∠β等于（　　）

A．35° B．30° C．25° D．20°
6．（3分）某公司销售部有7个职员，他们5月份的工资分别是5300元、5800元、5300元、5500元、5800元、6500元和5800元，那么他们5月份工资的众数是（　　）
A．5300元 B．5500元 C．5800元 D．6500元
7．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，x2+1）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为M（，2），那么cosα的值是（　　）

A． B． C． D．
9．（3分）已知代数式a﹣2b+7的值是13，那么代数式2a﹣4b的值是（　　）
A．6 B．12 C．15 D．26
10．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，B＝60°，AD＝2，BC＝8，点P从点B出发沿折线BA﹣AD﹣DC匀速运动，同时，点Q从点B出发沿折线BC﹣CD匀速运动，点P与点Q的速度相同，当二者相遇时，运动停止，设点P运动的路程为x，△BPQ的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（　　）

A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）因式分解：x2y﹣y3＝　 　．
12．（4分）81的平方根等于　 　．
13．（4分）不等式组的解集是　 　．
14．（4分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣1，0）、C（0，1），将△ABC绕点B顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1，则点A1的坐标为　 　．

15．（4分）如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，AC＝4，菱形ABCD的面积为4，E为AD的中点，则OE的长为　 　．

16．（4分）如图所示，在平面直角坐标系中，点A（，0）、B（0，），以AB为边作正方形ABCB1，延长CB1交x轴于点A1，以A1B1为边作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交x轴于点A2，以A2B2为边作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交x轴于点A3，以A3B3为边作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则△A6B7A7的周长为　 　．

三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17．（6分）计算：|﹣3|﹣（2019+sin45°）0+﹣1
18．（6分）先化简，再求值：，其中x＝．
19．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8．
（1）作△ABC的内角∠CAB的平分线，与边BC交于点D（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）若AD＝BD，求CD的长度．

四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
20．（7分）某旅游团于早上8：00从某旅行社出发，乘大巴车前往“珠海长隆”旅游，“珠海长隆”离该旅行社有100千米，导游张某因有事情，于8：30从该旅行社自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比该旅游团提前20分钟到达“珠海长隆”．
（1）大巴与小车的平均速度各是多少？
（2）导游张某追上大巴的地点到“珠海长隆”的路程有多远？
21．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，点F在DE的延长线上，且AF＝CE＝AE．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B＝30°时，试猜想四边形ACEF是什么图形，并说明理由．

22．（7分）为了丰富校园文化生活，某校计划在午间校园广播台播放“百家讲坛”的部分内容为了了解学生的喜好，抽取若干名学生进行问卷调查（每人只选一项内容），整理调查结果，绘制统计图如下：

请根据统计图提供的信息回答以下问题：
（1）这一调查属于　 　（选填“抽样调查”或“普查”），抽取的学生数为　 　名；
（2）估计喜欢收听易中天《品三国》的学生约占全校学生的　 　%（精确到小数点后一位）；
（3）已知该校女学生共有1800名，则该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生大约有多少名？
五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点．点A的坐标为（m，3），点B与点A关于y＝x成轴对称，tan∠AOC＝．
（1）求k的值；
（2）直接写出点B的坐标，并求直线AB的解析式；
（3）P是y轴上一点，且S△PBC＝2S△AOB，求点P的坐标．

24．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AO交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作⊙O，⊙O交AO所在的直线于D、E两点（点D在BC左侧）．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）连接CD，若AC＝AD，求tan∠D的值；
（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为5，求AB的长．

25．（9分）如图，在矩形ABCD中，CD＝3cm，B