【6套】江苏金陵中学河西分校2020中考提前自主招生数学模拟试卷附解析【冲刺实验班】.docx

中学自主招生数学试卷

一．选择题（满分24分，每小题3分）
1．下列说法正确的是（　　）
A．0是无理数 B．π是有理数 C．4是有理数 D．是分数
2．12月2日，2018年第十三届南宁国际马拉松比赛开跑，2.6万名跑者继续刷新南宁马拉松的参与人数纪录!把2.6万用科学记数法表示为（　　）
A．0.26×103 B．2.6×103 C．0.26×104 D．2.6×104
3．下列计算错误的是（　　）
A．4x3•2x2＝8x5 B．a4﹣a3＝a
C．（﹣x2）5＝﹣x10 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
4．已知一个几何体及其左视图如图所示，则该几何体的主视图是（　　）

A． B． C． D．
5．如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（　　）

A．∠1+∠3＝180° B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠4＝∠6
6．解分式方程＝﹣2时，去分母变形正确的是（　　）
A．﹣1+x＝﹣1﹣2（x﹣2） B．1﹣x＝1﹣2（x﹣2）
C．﹣1+x＝1+2（2﹣x） D．1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2）
7．数学课上，小明进行了如下的尺规作图（如图所示）：
（1）在△AOB（OA＜OB）边OA、OB上分别截取OD、OE，使得OD＝OE；
（2）分别以点D、E为圆心，以大于DE为半径作弧，两弧交于△AOB内的一点C；
（3）作射线OC交AB边于点P．
那么小明所求作的线段OP是△AOB的（　　）

A．一条中线 B．一条高
C．一条角平分线 D．不确定
8．如图，平面内一个⊙O半径为4，圆上有两个动点A、B，以AB为边在圆内作一个正方形ABCD，则OD的最小值是（　　）

A．2 B． C．2﹣2 D．4﹣4
二．填空题（满分30分，每小题3分）
9．若a，b都是实数，b＝+﹣2，则ab的值为　 　．
10．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的余弦值是　 　．

11．因式分解：9a3b﹣ab＝　 　．
12．已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个相等的实根，则k的值是　 　．
13．如图，李明从A点出发沿直线前进5米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了45米，则每次旋转的角度α为　 　．

14．如图，一次函数y＝ax+b的图象经过A（2，0）、B（0，﹣1）两点，则关于x的不等式ax+b＜0的解集是　 　．

15．已知圆锥的底面半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面积是　 　．
16．反比例函数y＝﹣图象上三点的坐标分别为A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是　 　（用“＞”连接）
17．如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是　 　．（结果保留π）

18．如图1，在等边三角形ABC中，点P为BC边上的任意一点，且∠APD＝60°，PD交AC于点D，设线段PB的长度为x，CD的长度为y，若y与x的函数关系的大致图象如图2，则等边三角形ABC的面积为　 　．

三．解答题
19．（8分）（1）计算：2cos60°﹣（﹣π）0+﹣（）﹣2
（2）解不等式组：，并求不等式组的整数解．
20．（8分）先化简，再求值：（）•（x2﹣1），其中x是方程x2﹣4x+3＝0的一个根．
21．（8分）初三年级教师对试卷讲评课中学生参与的深度与广度进行评价调查，其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项．评价组随机抽取了若干名初中学生的参与情况，绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图（均不完整），请根据图中所给信息解答下列问题：

（1）在这次评价中，一共抽查了　 　名学生；
（2）在扇形统计图中，项目“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数为　 　度；
（3）请将频数分布直方图补充完整；
（4）如果全市有6000名初三学生，那么在试卷评讲课中，“独立思考”的初三学生约有多少人？
22．（8分）现如今，“垃圾分类”意识已深入人心，如图是生活中的四个不同的垃圾分类投放桶．其中甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾．
（1）直接写出甲投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；
（2）求乙投放的两袋垃圾不同类的概率．

23．（10分）五月初，某地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共4000件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用450元购买甲种物品的件数恰好与用400元购买乙种物品的件数相同
（1）求甲、乙两种救灾物品每件的价格分别是多少元？
（2）经调查，灾区对乙种物品件数需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此求的比例购买这4000件物品，而筹集资金多少元？
24．（10分）如图，四边形ABCD为矩形，点E是边BC的中点，AF∥ED，AE∥DF
（1）求证：四边形AEDF为菱形；
（2）试探究：当AB：BC＝　 　，菱形AEDF为正方形？请说明理由．

25．（10分）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的弦，∠1＝∠2，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：BE＝CF．

26．（10分）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面
的最大距离是5m．
（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是　 　（填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是　 　，求出你所选方案中的抛物线的表达式；
（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．

27．（12分）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AC＝BC＝10，cos∠ACB＝，点E在对角线AC上（不与点A、C重合），∠EDC＝∠ACB，DE的延长线与射线CB交于点F，设AD的长为x．
（1）如图1，当DF⊥BC时，求AD的长；
（2）设EC＝y，求y关于x的函数解析式，并直接写出定义域；
（3）当△DFC是等腰三角形时，求AD的长．

28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值；
（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△ODP中OD边上的高为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线KL平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．

参考答案
一．选择题
1．解：A、0是有理数，所以A选项错误；
B、π不是有理数，是无理数，所以B选项错误；
C、4是有理数中的正整数，所以C选项正确；
D、是一个无理数，所以选项D错误．
故选：C．
2．解：2.6万用科学记数法表示为：2.6×104，
故选：D．
3．解：A、4x3•2x2＝8x5，故原题计算正确；
B、a4和a3不是同类项，不能合并，故原题计算错误；
C、（﹣x2）5＝﹣x10，故原题计算正确；
D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故原题计算正确；
故选：B．
4．解：由主视图定义知，该几何体的主视图为：

故选：A．
5．解：A．由∠1+∠3＝180°，∠1+∠2＝180°，可得∠2＝∠3，故能判断直线a∥b；
B．由∠2＝∠3，能直接判断直线a∥b；
C．由∠4＝∠5，不能直接判断直线a∥b；
D．由∠4＝∠6，能直接判断直线a∥b；
故选：C．
6．解：去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2），
故选：D．
7．解：利用作法可判断OC平分∠AOB，
所以OP为△AOB的角平分线．
故选：C．
8．解：如图，连接OA，OB，将△OAB绕点A逆时针旋转90°得到△PAD，
则OA＝PD＝4，∠OAP＝90°，
∴OP＝＝4，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝99°，
∴∠DBP＝∠BAO，
∴△DBP≌△ABO（SAS），
∴PD＝OA＝4，
∵OD+PD≥OP，
∴OD≥OP﹣PD＝4﹣4．
故选：D．

二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
9．解：∵b＝+﹣2，
∴1﹣2a＝0，
解得：a＝，
则b＝﹣2，
故ab＝（）﹣2＝4．
故答案为：4．
10．解：∵AB2＝32+42＝25、AC2＝22+42＝20、BC2＝12+22＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，
则cos∠BAC＝＝，
故答案为：．
11．解：原式＝ab（9a2﹣1）＝ab（3a+1）（3a﹣1）．
故答案为：ab（3a+1）（3a﹣1）
12．解：∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个相等的实根，
∴，
解得：k＝．
故答案为：．
13．解：向左转的次数45÷5＝9（次），
则左转的角度是360°÷9＝40°．
故答案是：40°．
14．解：由一次函数y＝ax+b的图象经过A（2，0）、B（0，﹣1）两点，
根据图象可知：x的不等式ax+b＜0的解集是x＜2，
故答案为：x＜2．
15．解：底面半径是2，则底面周长＝4π，圆锥的侧面积＝×4π×4＝8π．
16．解：反比例函数y＝﹣图象在二、四象限，
点A在第二象限，y1＞0，
点B、C都在第四象限，在第四象限，y随x的增大而增大，且纵坐标为负数，所以y2＜y3＜0，
因此，y2＜y3＜0＜y1，即：y1＞0＞y3＞y2．
故答案为：y1＞y3＞y2．
17．解：延长DC，CB交⊙O于M，N，
则图中阴影部分的面积＝×（S圆O﹣S正方形ABCD）＝×（4π﹣4）＝π﹣1，
故答案为：π﹣1．

18．解：由题可得，∠APD＝60°，∠ABC＝∠C＝60°，
∴∠BAP＝∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴，
设AB＝a，则，
∴y＝，
当x＝时，y取得最大值2，
即P为BC中点时，CD的最大值为2，
∴此时∠APB＝∠PDC＝90°，∠CPD＝30°，
∴PC＝BP＝4，
∴等边三角形的边长为8，
∴根据等边三角形的性质，可得S＝×82＝16．
故答案为：16．

三．解答题（共10小题，满分96分）
19．解：（1）原式＝2×﹣1﹣2﹣9
＝1﹣1﹣2﹣9
＝﹣11；
（2）
解不等式①得：x≥﹣2，
解不等式②得：x＜5，
∴不等式组的解集为：﹣2≤x＜5，
∴不等式组的整数解为﹣2，﹣1，0，1，2，3，4．
20．解：（）•（x2﹣1）
＝
＝2x+2+x﹣1
＝3x+1，
由x2﹣4x+3＝0得x1＝1，x2＝3，
当x＝1时，原分式中的分母等于0，使得原分式无意义，
当x＝3时，原式＝3×3+1＝10．
21．解：（1）调查的总人数是：224÷40%＝560（人），故答案是：560；
（2）“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数是：360×＝54°，故答案是：54；
（3）“讲解题目”的人数是：560﹣84﹣168﹣224＝84（人）．
；
（4）在试卷评讲课中，“独立思考”的初三学生约有：6000×＝1800（人）．
22．解：（1）∵垃圾要按A，B，C、D类分别装袋，甲投放了一袋垃圾，
∴甲投放的垃圾恰好是A类：厨余垃圾的概率为：；

（2）记这四类垃圾分别为A、B、C、D，
画树状图如下：

由树状图知，乙投放的垃圾共有16种等可能结果，其中乙投放的两袋垃圾不同类的有12种结果，
所以乙投放的两袋垃圾不同类的概率为＝．
23．解：（1）设甲种救灾物品每件的价格x元/件，则乙种救灾物品每件的价格为（x﹣10）元/件，
可得：，
解得：x＝90，
经检验x＝90是原方程的解，
答：甲单价 90 元/件、乙 80 元/件．
（2）设甲种物品件数y件，可得：
y+3y＝4000，
解得：y＝1000，
所以筹集资金＝90×1000+80×3000＝330000 元，
答：筹集资金330000 元．
24．（1）证明：∵AF∥ED，AE∥DF，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，
∵点E是边BC的中点，
∴BE＝CE，
在△ABE和△DCE中
，
∴△ABE≌△DCE，
∴EA＝ED，
∴四边形AEDF为菱形；
（2）解：当AB：BC＝1：2，菱形AEDF为正方形．
理由如下：
∵AB：BC＝1：2，
而点E是边BC的中点，
∴AB＝EA，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴∠AEB＝45°，
∵△ABE≌△DCE，
∴∠DEC＝45°，
∴∠AED＝90°，
∵四边形AEDF为菱形，
∴菱形AEDF为正方形．
故答案为1：2．
25．证明：连接DB、DF，
∵∠A的平分线AD交圆于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，∠DFB＝∠DFC＝90°，∠BAD＝∠CAD，
∴DB＝DC，
∴在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF．

26．解：（1）选择方案二，根据题意知点B的坐标为（10，0），
由题意知，抛物线的顶点坐标为（5，5），且经过点O（0，0），B（10，0），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣5）2+5，
把点（0，0）代入得：
0＝a（0﹣5）2+5，即a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣5）2+5，
故答案为：方案二，（10，0）；

（2）由题意知，当x＝5﹣3＝2时，﹣（x﹣5）2+5＝，
所以水面上涨的高度为米．
27．解：（1）设：∠ACB＝∠EDC＝∠α＝∠CAD，
∵cosα＝，∴sinα＝，
过点A作AH⊥BC交于点H，
AH＝AC•sinα＝6＝DF，BH＝2，

如图1，设：FC＝4a，
∴cos∠ACB＝，则EF＝3a，EC＝5a，
∵∠EDC＝∠α＝∠CAD，∠ACD＝∠ACD，
∴△ADC∽△DCE，
∴AC•CE＝CD2＝DF2+FC2＝36+16a2＝10•5a，
解得：a＝2或（舍去a＝2），
AD＝HF＝10﹣2﹣4a＝；
（2）过点C作CH⊥AD交AD的延长线于点H，

CD2＝CH2+DH2＝（ACsinα）2+（ACcosα﹣x）2，
即：CD2＝36+（8﹣x）2，
由（1）得：AC•CE＝CD2，
即：y＝x2﹣x+10（0＜x＜16且x≠10）…①，
（3）①当DF＝DC时，
∵∠ECF＝∠FDC＝α，∠DFC＝∠DFC，
∴△DFC∽△CFE，∵DF＝DC，
∴FC＝EC＝y，∴x+y＝10，
即：10＝x2﹣x+10+x，
解得：x＝6；
②当FC＝DC，
则∠DFC＝∠FDC＝α，
则：EF＝EC＝y，DE＝AE＝10﹣y，
在等腰△ADE中，cos∠DAE＝cosα＝＝＝，
即：5x+8y＝80，
将上式代入①式并解得：x＝；
③当FC＝FD，
则∠FCD＝∠FDC＝α，而∠ECF＝α≠∠FCD，不成立，
故：该情况不存在；
故：AD的长为6和．
28．解：（1）∵点A在线段OE上，E（8，0），OA＝2
∴A（2，0）
∵OA：AD＝1：3
∴AD＝3OA＝6
∵四边形ABCD是矩形
∴AD⊥AB
∴D（2，﹣6）
∵抛物线y＝ax2+bx经过点D、E
∴ 解得：
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x

（2）如图1，作点M关于x轴的对称点点M'，作点N关于y轴的对称点点N'，连接FM'、GN'、M'N'
∵y＝x2﹣4x＝（x﹣4）2﹣8
∴抛物线对称轴为直线x＝4
∵点C、D在抛物线上，且CD∥x轴，D（2，﹣6）
∴yC＝yD＝﹣6，即点C、D关于直线x＝4对称
∴xC＝4+（4﹣xD）＝4+4﹣2＝6，即C（6，﹣6）
∴AB＝CD＝4，B（6，0）
∵AM平分∠BAD，∠BAD＝∠ABM＝90°
∴∠BAM＝45°
∴BM＝AB＝4
∴M（6，﹣4）
∵点M、M'关于x轴对称，点F在x轴上
∴M'（6，4），FM＝FM'
∵N为CD中点
∴N（4，﹣6）
∵点N、N'关于y轴对称，点G在y轴上
∴N'（﹣4，﹣6），GN＝GN'
∴C四边形MNGF＝MN+NG+GF+FM＝MN+N'G+GF+FM'
∵当M'、F、G、N'在同一直线上时，N'G+GF+FM'＝M'N'最小
∴C四边形MNGF＝MN+M'N'＝＝2+10＝12
∴四边形MNGF周长最小值为12．

（3）存在点P，使△ODP中OD边上的高为．
过点P作PE∥y轴交直线OD于点E
∵D（2，﹣6）
∴OD＝，直线OD解析式为y＝﹣3x
设点P坐标为（t， t2﹣4t）（0＜t＜8），则点E（t，﹣3t）
①如图2，当0＜t＜2时，点P在点D左侧
∴PE＝yE﹣yP＝﹣3t﹣（t2﹣4t）＝﹣t2+t
∴S△ODP＝S△OPE+S△DPE＝PE•xP+PE•（xD﹣xP）＝PE（xP+xD﹣xP）＝PE•xD＝PE＝﹣t2+t
∵△ODP中OD边上的高h＝，
∴S△ODP＝OD•h
∴﹣t2+t＝×2×
方程无解
②如图3，当2＜t＜8时，点P在点D右侧
∴PE＝yP﹣yE＝t2﹣4t﹣（﹣3t）＝t2﹣t
∴S△ODP＝S△OPE﹣S△DPE＝PE•xP﹣PE•（xP﹣xD）＝PE（xP﹣xP+xD）＝PE•xD＝PE＝t2﹣t
∴t2﹣t＝×2×
解得：t1＝﹣4（舍去），t2＝6
∴P（6，﹣6）
综上所述，点P坐标为（6，﹣6）满足使△ODP中OD边上的高为．

（4）设抛物线向右平移m个单位长度后与矩形ABCD有交点K、L
∵KL平分矩形ABCD的面积
∴K在线段AB上，L在线段CD上，如图4
∴K（m，0），L（2+m，0）
连接AC，交KL于点H
∵S△ACD＝S四边形ADLK＝S矩形ABCD
∴S△AHK＝S△CHL
∵AK∥LC
∴△AHK∽△CHL
∴
∴AH＝CH，即点H为AC中点
∴H（4，﹣3）也是KL中点
∴
∴m＝3
∴抛物线平移的距离为3个单位长度．

中学自主招生数学试卷

一、选择题(3分×10=30分)
1. 下列各数中,是5的相反数的是( )
A． -5 B． 5 C．0.5 D． 0.2
2.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A． B．C． D．
3. 人类已知最大的恒星是盾牌座UY,它的规模十分巨大,如果将盾牌座UY放在太阳系的中心,它的表面将接近土星轨道,半径约等于1.43344937×109km.那么这个数的原数是( )
A.143 344 937 km B. 1 433 449 370 km C. 14 334 493 700 km D. 1.43344937 km
4.下列计算正确的是( )
A．2a-3a=-1 B．(a2b3)3=a5b6 C．a2 ·a3=a6 D．a2+3a2=4a2
5. 已知关于x的分式方程mx+=2有解,则m的取值范围是（ ）
A.m≤1且m≠0 B. m≤1 C. m≥-1 D. m≥-1 且m≠0
6. 如图所示,该物体的主视图为（ ）
A．B．C．D．

7. 如图所示,在Rt△ABC中∠A=25°,∠ACB=90°,以点C为圆心,BC
为半径的圆交AB于一点D,交AC于点E,则∠DCE的度数为（ ）
A. 30° B. 25° C. 40° D. 50°

8. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．

9. 如图所示,分别用两个质地均匀的转盘转得一个数,①号转盘表示
数字2的扇形对应的圆角为120°,②号转盘表示数字3的扇形对
应的圆心角也是120°,则转得的两个数之积为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．

10. 如图1所示,小明(点P)在操场上跑步,操场由两段半圆形
弯道和两段直道构成,若小明从点A (右侧弯道起点)
出发以顺时针方向沿着跑道行进.设行进的路程为x,
小明到右侧半圆形弯道的圆心O的距离PO为y,
可绘制出如图2所示函数图象,那么a-b的值应为( )
A．4 B．π-1 C． D．π
二、填空题(3分×5=15分)
11. (-3)0+= .

12. 如图所示,直线ABCD被BC所截,若AB∥CD,∠1=45°,∠2=35°,则∠3= .

13.二次函数y=x2-2mx+1在x≤1时y随x增大而减小,则m的取值范围是 .

14. 如图所示,在平行四边形ABCD中,AD=2,AB=4,∠A=30°,以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E. 连接CE,则阴影部分的面积是 .(结果保留π)

15.如图所示,正方形ABCD中,AB=8,BE=DF=1,M是射线AD上的动点,点A关于直线EM的对称点为A，，当△A，FC为以FC为直角边的直角三角形时,对应的MA的长为 .

三、解答题(本大题共8小题，满分75分)
16. (8分)先化简÷(x-),然后从-<x<的范围内选取一个合适的正整数作为x的值代入求值.

17.(9分) 陈老师为了了解所教班级学生完成数学纠错的具体情况，对本班部分学生进行了为期半年的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A：很好；B：较好；C：一般；D：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
⑴陈老师一共调查了多少名同学？
⑵将条形统计图补充完整；
⑶为了共同进步，陈老师想从被调查的A类学生中随机选取一位同学，再从D类学生中随机选取一位同学组成二人学习小组,请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．

18.(9分)如图所示,⊙O是等腰三角形ABC的外接圆,AB=AC,延长BC至点D,使CD=AC,连接AD交⊙O于点E,连接BE、CE,BE交AC于点F.
⑴求证：CE=AE
⑵填空： ①当∠ABC= 时,四边形AOCE是菱形；
②若AE=,AB=,则DE的长为 .

19. (9分) 如图所示，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长
为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与
底座构成的∠BAD=60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC
与水平线所成的角为30°，求此时灯罩顶端C到桌面的
高度CE的长？
（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）

20.(9分)如图所示,直线y=ax+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点,与双曲线y=(x>0)相交于点P,
PC⊥x轴于点C,且PC=2,点A的坐标为(-2,0).
⑴求双曲线的解析式；
⑵若点Q为双曲线上点P右侧的一点,且QH⊥x轴
于H,当以点Q、C、H为顶点的三角与△AOB相似
时,求点Q的坐标.

21.(10分)为了迎接暑假的学生购物高峰,某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋. 其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表

甲
乙
进价(元/双)
m
m-20
售价(元/双)
240
160
已知:用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同.
⑴求m的值
⑵由于资金有限,该店能够购进的甲种运动鞋不超过105双,要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润(利润=售价-进价)不少于21700元,求该专卖店共有几种进货方案(只需计算种数,不用列举各种方案)?
⑶在⑵的条件下,专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动,决定对甲种运动鞋每双优惠a(50<a<70)元出售,乙种运动鞋价格不变.那么该专卖店要获得最大利润应如何进货.

22.(10分)等腰直角三角形ABC中,AC=BC=4，E为AC中点,以CE为斜边作如图所示等腰直角三角形CED.
(1)观察猜想: 如图1所示,过D作DF⊥AE于F,交AB于G,线段CD与BG的关系为 ；
(2)探究证明:如图2所示，将△CDE绕点C顺时针旋转到如图所示位置，过D作DF⊥AE于F，过B作DE的平行线与直线FD交于点G,(1)中结论是否成立?请说明理由；
(3)拓展延伸: 如图3所示,当E、D、G共线时,直接写出DG的长度.

23.(11分)如图所示,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)， D(8,8).抛物线y=ax2+bx过A、C两点.
(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式；
(2动点P从点A出发,沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动.速度均为1个单位长度，运动时间为t秒.
①如图1所示,过点P作PE⊥AB交AC于点E,过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G,点G关于抛物线对称轴的对称点为H,求当t为何值时,△HAC的面积为16；
②如图2所示,连接EQ,过Q作QM⊥AC于M,在点P、Q运动的过程中，是否存在某个t,使得∠QEM=
2∠QCE,若存在请直接写出相应的t值,若不存在说明理由.

参考答案
一、选择题(3分×10=30分)
1.A 2.C 3.B 4.D 5.B 6.B 7.C 8.A 9.C 10.D
二、填空题(3分×5=15分)
11.-2 12.80° 13.m≥1 14.3- 15. 或
三、解答题(本大题共8小题，满分75分)
16.解：= = =
当x=1时，原式=
17. 解：（1）（6+4）÷50%=20．
所以王老师一共调查了20名学生，
故答案为：20；
（2）C类学生人数：20×25%=5（名），
C类女生人数：5-2=3（名），D类学生占的百分比：
1-15%-50%-25%=10%，D类学生人数：20×10%=2（名），
D类男生人数：2-1=1（名），×360°=36°，
故答案为：3；36°；补充条形统计图如图.
（3）由题意画树形图如下：

从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选
两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种．
所以P（所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学）==
18.（1）证明：∵四边形ABCE为圆O的内接四边形，∴∠ABC=∠CED，∠DCE=∠BAE，
又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠CED=∠ACB，又∠AEB和∠ACB都为所对的圆周角，∴∠AEB=∠ACB，∴∠CED=∠AEB，∵AB=AC，CD=AC，∴AB=CD，
在△ABE和△CDE中，∴△ABE≌△CDE（AAS）
(2)①60°；②
19.解：由题意得：AD⊥CE，过点B作BM⊥CE，BF⊥EA，
∵灯罩BC长为30cm，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，
∵CM⊥MB，即三角形CMB为直角三角形，∴sin30°= ∴CM=15cm，
在直角三角形ABF中，sin60°=解得：BF=20∠ADC=∠BMD=∠BFD=90°，
∴四边形BFDM为矩形，∴MD=BF，∴CE=CM+MD+DE=CM+BF+ED=15+20+2≈51.6cm．
答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是51.6cm．
20. 解：（1）把A（-2，0）代入y=ax+1中，求得a=∴y=x+1由PC=2，把y=2代入y=x+1中，得x=2，即P（2，2），把P代入y= 得：k=4，则双曲线解析式为y=
（2）设Q（m，n），∵Q（m，n）在y=上，
∴n=当△QCH∽△BA
中学自主招生数学试卷

一、选择题(3分×10=30分)
1. 下列各数中,是5的相反数的是( )
A． -5 B． 5 C．0.5 D． 0.2
2.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A． B．C． D．
3. 人类已知最大的恒星是盾牌座UY,它的规模十分巨大,如果将盾牌座UY放在太阳系的中心,它的表面将接近土星轨道,半径约等于1.43344937×109km.那么这个数的原数是( )
A.143 344 937 km B. 1 433 449 370 km C. 14 334 493 700 km D. 1.43344937 km
4.下列计算正确的是( )
A．2a-3a=-1 B．(a2b3)3=a5b6 C．a2 ·a3=a6 D．a2+3a2=4a2
5. 已知关于x的分式方程mx+=2有解,则m的取值范围是（ ）
A.m≤1且m≠0 B. m≤1 C. m≥-1 D. m≥-1 且m≠0
6. 如图所示,该物体的主视图为（ ）
A．B．C．D．

7. 如图所示,在Rt△ABC中∠A=25°,∠ACB=90°,以点C为圆心,BC
为半径的圆交AB于一点D,交AC于点E,则∠DCE的度数为（ ）
A. 30° B. 25° C. 40° D. 50°

8. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．

9. 如图所示,分别用两个质地均匀的转盘转得一个数,①号转盘表示
数字2的扇形对应的圆角为120°,②号转盘表示数字3的扇形对
应的圆心角也是120°,则转得的两个数之积为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．

10. 如图1所示,小明(点P)在操场上跑步,操场由两段半圆形
弯道和两段直道构成,若小明从点A (右侧弯道起点)
出发以顺时针方向沿着跑道行进.设行进的路程为x,
小明到右侧半圆形弯道的圆心O的距离PO为y,
可绘制出如图2所示函数图象,那么a-b的值应为( )
A．4 B．π-1 C． D．π
二、填空题(3分×5=15分)
11. (-3)0+= .

12. 如图所示,直线ABCD被BC所截,若AB∥CD,∠1=45°,∠2=35°,则∠3= .

13.二次函数y=x2-2mx+1在x≤1时y随x增大而减小,则m的取值范围是 .

14. 如图所示,在平行四边形ABCD中,AD=2,AB=4,∠A=30°,以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E. 连接CE,则阴影部分的面积是 .(结果保留π)

15.如图所示,正方形ABCD中,AB=8,BE=DF=1,M是射线AD上的动点,点A关于直线EM的对称点为A，，当△A，FC为以FC为直角边的直角三角形时,对应的MA的长为 .

三、解答题(本大题共8小题，满分75分)
16. (8分)先化简÷(x-),然后从-<x<的范围内选取一个合适的正整数作为x的值代入求值.

17.(9分) 陈老师为了了解所教班级学生完成数学纠错的具体情况，对本班部分学生进行了为期半年的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A：很好；B：较好；C：一般；D：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
⑴陈老师一共调查了多少名同学？
⑵将条形统计图补充完整；
⑶为了共同进步，陈老师想从被调查的A类学生中随机选取一位同学，再从D类学生中随机选取一位同学组成二人学习小组,请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．

18.(9分)如图所示,⊙O是等腰三角形ABC的外接圆,AB=AC,延长BC至点D,使CD=AC,连接AD交⊙O于点E,连接BE、CE,BE交AC于点F.
⑴求证：CE=AE
⑵填空： ①当∠ABC= 时,四边形AOCE是菱形；
②若AE=,AB=,则DE的长为 .

19. (9分) 如图所示，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长
为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与
底座构成的∠BAD=60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC
与水平线所成的角为30°，求此时灯罩顶端C到桌面的
高度CE的长？
（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）

20.(9分)如图所示,直线y=ax+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点,与双曲线y=(x>0)相交于点P,
PC⊥x轴于点C,且PC=2,点A的坐标为(-2,0).
⑴求双曲线的解析式；
⑵若点Q为双曲线上点P右侧的一点,且QH⊥x轴
于H,当以点Q、C、H为顶点的三角与△AOB相似
时,求点Q的坐标.

21.(10分)为了迎接暑假的学生购物高峰,某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋. 其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表

甲
乙
进价(元/双)
m
m-20
售价(元/双)
240
160
已知:用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同.
⑴求m的值
⑵由于资金有限,该店能够购进的甲种运动鞋不超过105双,要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润(利润=售价-进价)不少于21700元,求该专卖店共有几种进货方案(只需计算种数,不用列举各种方案)?
⑶在⑵的条件下,专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动,决定对甲种运动鞋每双优惠a(50<a<70)元出售,乙种运动鞋价格不变.那么该专卖店要获得最大利润应如何进货.

22.(10分)等腰直角三角形ABC中,AC=BC=4，E为AC中点,以CE为斜边作如图所示等腰直角三角形CED.
(1)观察猜想: 如图1所示,过D作DF⊥AE于F,交AB于G,线段CD与BG的关系为 ；
(2)探究证明:如图2所示，将△CDE绕点C顺时针旋转到如图所示位置，过D作DF⊥AE于F，过B作DE的平行线与直线FD交于点G,(1)中结论是否成立?请说明理由；
(3)拓展延伸: 如图3所示,当E、D、G共线