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人教七年级下册数学期末解答题培优（附答案）
一、解答题
1．如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一个长方形纸板的面积为162平方厘米，求正方形纸板的边长．

2．教材中的探究：如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度为1）．

（1）阅读理解：图1中大正方形的边长为________，图2中点A表示的数为________；
（2）迁移应用：
请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．
①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图．
②利用①中的成果，在图4的数轴上分别标出表示数－0.5以及 的点，并比较它们的大小．

3．动手试一试，如图1，纸上有10个边长为1的小正方形组成的图形纸．我们可以按图2的虚线将它剪开后，重新拼成一个大正方形．

（1）基础巩固：拼成的大正方形的面积为______，边长为______；
（2）知识运用：如图3所示，将图2水平放置在数轴上，使得顶点B与数轴上的重合．以点B为圆心，边为半径画圆弧，交数轴于点E，则点E表示的数是______；
（3）变式拓展：
①如图4，给定的方格纸（每个小正方形边长为1），你能从中剪出一个面积为13的正方形吗？若能，请在图中画出示意图；
②请你利用①中图形在数轴上用直尺和圆规表示面积为13的正方形边长所表示的数．

4．已知在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．
（1）计算图①中正方形的面积与边长．
（2）利用图②中的正方形网格，作出面积为8的正方形，并在此基础上建立适当的数轴，在数轴上表示实数和．

5．如图，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．

（1）求出这个魔方的棱长；
（2）图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的边长．
二、解答题
6．如图1，已知直线CD∥EF，点A，B分别在直线CD与EF上．P为两平行线间一点．

（1）若∠DAP＝40°，∠FBP＝70°，则∠APB＝　 　
（2）猜想∠DAP，∠FBP，∠APB之间有什么关系？并说明理由；
（3）利用（2）的结论解答：
①如图2，AP1，BP1分别平分∠DAP，∠FBP，请你写出∠P与∠P1的数量关系，并说明理由；
②如图3，AP2，BP2分别平分∠CAP，∠EBP，若∠APB＝β，求∠AP2B．（用含β的代数式表示）
7．如图1，点在直线、之间，且．
（1）求证：；
（2）若点是直线上的一点，且，平分交直线于点，若，求的度数；
（3）如图3，点是直线、外一点，且满足，，与交于点．已知，且，则的度数为______（请直接写出答案，用含的式子表示）．

8．已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．
（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：　 ；（不需要证明）
如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：　 ；（不需要证明）
（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数；
（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．

9．如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．
（1）根据图1填空：∠1＝　 　°，∠2＝　 　°；
（2）现把三角板绕B点逆时针旋转n°．
①如图2，当n＝25°，且点C恰好落在DG边上时，求∠1、∠2的度数；
②当0°＜n＜180°时，是否会存在三角板某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线垂直？如果存在，请直接写出所有n的值和对应的那两条垂线；如果不存在，请说明理由．

10．已知，如图：射线分别与直线、相交于、两点，的角平分线与直线相交于点，射线交于点，设，且．
（1）________，________；直线与的位置关系是______；
（2）如图，若点是射线上任意一点，且，试找出与之间存在一个什么确定的数量关系？并证明你的结论．
（3）若将图中的射线绕着端点逆时针方向旋转（如图）分别与、相交于点和点时，作的角平分线与射线相交于点，问在旋转的过程中的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．

三、解答题
11．[感知]如图①，，求的度数．

小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程．
解：（1）如图①，过点P作．
∴（_____________），
∴，
∴________（平行于同一条直线的两直线平行），
∴_____________（两直线平行，同旁内角互补），
∴，
∴，
∴，即．
[探究]如图②，，求的度数；
[应用]（1）如图③，在[探究]的条件下，的平分线和的平分线交于点G，则的度数是_________º．
（2）已知直线，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上（点C在点D的左侧），连接，若平分平分，且所在的直线交于点E．设，请直接写出的度数（用含的式子表示）．
12．已知：三角形ABC和三角形DEF位于直线MN的两侧中，直线MN经过点C，且，其中，，，点E、F均落在直线MN上．

（1）如图1，当点C与点E重合时，求证：；聪明的小丽过点C作，并利用这条辅助线解决了问题．请你根据小丽的思考，写出解决这一问题的过程．
（2）将三角形DEF沿着NM的方向平移，如图2，求证：；
（3）将三角形DEF沿着NM的方向平移，使得点E移动到点，画出平移后的三角形DEF，并回答问题，若，则________．（用含的代数式表示）
13．综合与探究（问题情境）
王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．
（1）如图1，EF∥MN，点A、B分别为直线EF、MN上的一点，点P为平行线间一点，请直接写出∠PAF、∠PBN和∠APB之间的数量关系；
（问题迁移）
（2）如图2，射线OM与射线ON交于点O，直线m∥n，直线m分别交OM、ON于点A、D，直线n分别交OM、ON于点B、C，点P在射线OM上运动．
①当点P在A、B（不与A、B重合）两点之间运动时，设∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由；
②若点P不在线段AB上运动时（点P与点A、B、O三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系．

14．如图，AB⊥AK，点A在直线MN上，AB、AK分别与直线EF交于点B、C，∠MAB+∠KCF=90°．

（1）求证：EF∥MN；
（2）如图2，∠NAB与∠ECK的角平分线交于点G，求∠G的度数；
（3）如图3，在∠MAB内作射线AQ，使∠MAQ=2∠QAB，以点C为端点作射线CP，交直线AQ于点T，当∠CTA=60°时，直接写出∠FCP与∠ACP的关系式．
15．如图，直线，一副三角板（，，）按如图①放置，其中点在直线上，点均在直线上，且平分．

（1）求的度数．
（2）如图②，若将三角形绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（的对应点分别为）．设旋转时间为秒．
①在旋转过程中，若边，求的值；
②若在三角形绕点旋转的同时，三角形绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转（的对应点分别为）．请直接写出当边时的值．
四、解答题
16．如图①，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°．

（1）将图①中的三角板OMN沿BA的方向平移至图②的位置，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；
（2）将图①中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转，使∠BON＝30°，如图③，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；
（3）将图①中的三角板OMN绕点O按每秒30°的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第____________秒时，直线MN恰好与直线CD垂直．（直接写出结果）
17．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点.令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α.
（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2=　 　°；
（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：　 　；

（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由.

（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：　　.
18．【问题探究】如图1，DF∥CE，∠PCE=∠α，∠PDF=∠β，猜想∠DPC与α、β之间有何数量关系？并说明理由；
【问题迁移】
如图2，DF∥CE，点P在三角板AB边上滑动，∠PCE=∠α，∠PDF=∠β.
（1）当点P在E、F两点之间运动时，如果α=30°，β=40°，则∠DPC= °.

（2）如果点P在E、F两点外侧运动时（点P与点A、B、E、F四点不重合），写出∠DPC与α、β之间的数量关系，并说明理由．

（图1） （图2）
19．如图，△ABC和△ADE有公共顶点A，∠ACB＝∠AED＝90°，∠BAC=45°，∠DAE=30°．
（1）若DE//AB，则∠EAC＝　 　；
（2）如图1，过AC上一点O作OG⊥AC，分别交AB、AD、AE于点G、H、F．
①若AO＝2，S△AGH＝4，S△AHF＝1，求线段OF的长；
②如图2，∠AFO的平分线和∠AOF的平分线交于点M，∠FHD的平分线和∠OGB的平分线交于点N，∠N+∠M的度数是否发生变化？若不变，求出其度数；若改变，请说明理由．

20．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°．求∠APC度数．
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°．
问题迁移：
(1)如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
(2)在(1)的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不重合)，请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．

【参考答案】
一、解答题
1．正方形纸板的边长是18厘米
【分析】
根据正方形的面积公式进行解答．
【详解】
解：设小长方形的宽为x厘米，则小长方形的长为厘米，即得正方形纸板的边长是厘米，根据题意得：
，
∴，
取正值，可得，
解析：正方形纸板的边长是18厘米
【分析】
根据正方形的面积公式进行解答．
【详解】
解：设小长方形的宽为x厘米，则小长方形的长为厘米，即得正方形纸板的边长是厘米，根据题意得：
，
∴，
取正值，可得，
∴答：正方形纸板的边长是18厘米．
【点评】
本题考查了算术平方根的实际应用，解题的关键是熟悉正方形的面积公式．
2．（1）；（2）①见解析；②见解析，
【分析】
（1）设正方形边长为a，根据正方形面积公式，结合平方根的运算求出a值，则知结果；
（2） ① 根据面积相等，利用割补法裁剪后拼得如图所示的正方形；
②
解析：（1）；（2）①见解析；②见解析，
【分析】
（1）设正方形边长为a，根据正方形面积公式，结合平方根的运算求出a值，则知结果；
（2） ① 根据面积相等，利用割补法裁剪后拼得如图所示的正方形；
②由题（1）的原理得出大正方形的边长为，然后在数轴上以-3为圆心，以大正方形的边长为半径画弧交数轴的右方与一点M，再把N点表示出来，即可比较它们的大小．
【详解】
解：设正方形边长为a，
∵a2=2，
∴a=，
故答案为：，；
（2）解：①裁剪后拼得的大正方形如图所示：

②设拼成的大正方形的边长为b，
∴b2=5，
∴b=±，
在数轴上以-3为圆心，以大正方形的边长为半径画弧交数轴的右方与一点M，则M表示的数为-3+，看图可知，表示-0.5的N点在M点的右方，

∴比较大小：．
【点睛】
本题主要考查平方根与算术平方根的应用及实数的大小比较，熟练掌握平方根与算术平方根的意义及实数的大小比较是解题的关键．
3．（1）10，；（2）；（3）见解析；（4）见解析
【分析】
（1）易得10个小正方形的面积的和，那么就得到了大正方形的面积，求得面积的算术平方根即可为大正方形的边长；
（2）根据大正方形的边长结合实
解析：（1）10，；（2）；（3）见解析；（4）见解析
【分析】
（1）易得10个小正方形的面积的和，那么就得到了大正方形的面积，求得面积的算术平方根即可为大正方形的边长；
（2）根据大正方形的边长结合实数与数轴的关系可得结果；
（3）以2×3的长方形的对角线为边长即可画出图形；
（4）得到①中正方形的边长，再利用实数与数轴的关系可画出图形．
【详解】
解：（1）∵图1中有10个小正方形，
∴面积为10，边长AD为；
（2）∵BC=，点B表示的数为-1，
∴BE=，
∴点E表示的数为；
（3）①如图所示：

②∵正方形面积为13，
∴边长为，
如图，点E表示面积为13的正方形边长．

【点睛】
本题考查了图形的剪拼，正方形的面积，算术平方根，实数与数轴，巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键．
4．（1）正方形的面积为10，正方形的边长为；（2）见解析
【分析】
（1）利用正方形的面积减去4个直角三角形的面积即可求出正方形的面积，然后根据算术平方根的意义即可求出边长；
（2）根据（1）的方法画
解析：（1）正方形的面积为10，正方形的边长为；（2）见解析
【分析】
（1）利用正方形的面积减去4个直角三角形的面积即可求出正方形的面积，然后根据算术平方根的意义即可求出边长；
（2）根据（1）的方法画出图形，然后建立数轴，根据算术平方根的意义即可表示出结论．
【详解】
解：（1）正方形的面积为4×4－4××3×1=10
则正方形的边长为；
（2）如下图所示，正方形的面积为4×4－4××2×2=8，所以该正方形即为所求，如图建立数轴，以数轴的原点为圆心，正方形的边长为半径作弧，分别交数轴于两点

∴正方形的边长为
∴弧与数轴的左边交点为，右边交点为，实数和在数轴上如图所示．
【点睛】
此题考查的是求网格中图形的面积和实数与数轴，掌握算术平方根的意义和利用数轴表示无理数是解题关键．
5．（1）棱长为4；（2）边长为：（或）
【分析】
（1）由立方体的体积为棱长的立方可以得到答案；（2）用勾股定理直接计算得到答案．
【详解】
解：（1）设正方体的棱长为，则，所以，即正方体的棱长为4．
解析：（1）棱长为4；（2）边长为：（或）
【分析】
（1）由立方体的体积为棱长的立方可以得到答案；（2）用勾股定理直接计算得到答案．
【详解】
解：（1）设正方体的棱长为，则，所以，即正方体的棱长为4．
（2）因为正方体的棱长为4，所以AB＝．
【点睛】
本题考查的是立方根与算术平方根的理解与计算，由实际的情境去理解问题本身就是求一个数的立方根与算术平方根是关键．
二、解答题
6．（1）110°；（2）猜想：∠APB=∠DAP+∠FBP，理由见解析；（3）①∠P=2∠P1，理由见解析；②∠AP2B=．
【分析】
（1）过P作PM∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠APM=
解析：（1）110°；（2）猜想：∠APB=∠DAP+∠FBP，理由见解析；（3）①∠P=2∠P1，理由见解析；②∠AP2B=．
【分析】
（1）过P作PM∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠APM=∠DAP，再根据平行公理求出CD∥EF然后根据两直线平行，内错角相等可得∠MPB=∠FBP，最后根据∠APM+∠MPB=∠DAP+∠FBP等量代换即可得证；
（2）结论：∠APB=∠DAP+∠FBP．
（3）①根据（2）的规律和角平分线定义解答； ②根据①的规律可得∠APB=∠DAP+∠FBP，∠AP2B=∠CAP2+∠EBP2，然后根据角平分线的定义和平角等于180°列式整理即可得解．
【详解】
（1）证明：过P作PM∥CD，

∴∠APM=∠DAP．（两直线平行，内错角相等），
∵CD∥EF（已知），
∴PM∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
∴∠MPB=∠FBP．（两直线平行，内错角相等），
∴∠APM+∠MPB=∠DAP+∠FBP．（等式性质） 即∠APB=∠DAP+∠FBP=40°+70°=110°．
（2）结论：∠APB=∠DAP+∠FBP．
理由：见（1）中证明．
（3）①结论：∠P=2∠P1；
理由：由（2）可知：∠P=∠DAP+∠FBP，∠P1=∠DAP1+∠FBP1，
∵∠DAP=2∠DAP1，∠FBP=2∠FBP1，
∴∠P=2∠P1．
②由①得∠APB=∠DAP+∠FBP，∠AP2B=∠CAP2+∠EBP2，
∵AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，
∴∠CAP2=∠CAP，∠EBP2=∠EBP，
∴∠AP2B=∠CAP+∠EBP，
= （180°-∠DAP）+ （180°-∠FBP），
=180°- （∠DAP+∠FBP），
=180°- ∠APB，
=180°- β．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键，此类题目，难点在于过拐点作平行线．
7．（1）见解析；（2）10°；（3）
【分析】
（1）过点E作EF∥CD，根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，得出结合已知条件，得出即可证明；
（2）过点E作HE∥CD，设 由（1）得AB∥CD
解析：（1）见解析；（2）10°；（3）
【分析】
（1）过点E作EF∥CD，根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，得出结合已知条件，得出即可证明；
（2）过点E作HE∥CD，设 由（1）得AB∥CD，则AB∥CD∥HE，由平行线的性质，得出再由平分，得出则，则可列出关于x和y的方程，即可求得x，即的度数；
（3）过点N作NP∥CD，过点M作QM∥CD，由（1）得AB∥CD，则NP∥CD∥AB∥QM，根据和，得出根据CD∥PN∥QM,DE∥NB,得出即根据NP∥AB，得出再由，得出由AB∥QM,得出因为，代入的式子即可求出．
【详解】
（1）过点E作EF∥CD，如图，

∵EF∥CD,
∴
∴
∵,
∴
∴EF∥AB，
∴CD∥AB；
（2）过点E作HE∥CD，如图，
设
由（1）得AB∥CD，则AB∥CD∥HE，
∴
∴
又∵平分，
∴
∴
即
解得：即；

（3）过点N作NP∥CD，过点M作QM∥CD，如图，
由（1）得AB∥CD，则NP∥CD∥AB∥QM，

∵NP∥CD，CD∥QM，
∴,
又∵，
∴
∵,
∴
∴
又∵PN∥AB，
∴
∵,
∴
又∵AB∥QM，
∴
∴
∴．
【点睛】
本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解决问题的关键是作平行线构造相等的角，利用两直线平行，内错角相等，同位角相等来计算和推导角之间的关系．
8．（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不变，30°
【分析】
（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB
解析：（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不变，30°
【分析】
（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；
（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，进而可求解；
（3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ=∠BME，进而可求解．
【详解】
解：（1）过E作EH∥AB，如图1，

∴∠BME＝∠MEH，
∵AB∥CD，
∴HE∥CD，
∴∠END＝∠HEN，
∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，
即∠BME＝∠MEN﹣∠END．
如图2，过F作FH∥AB，
∴∠BMF＝∠MFK，
∵AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠FND＝∠KFN，
∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，
即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．

故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．
∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，
∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，
∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，
∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°，
解得∠BMF＝60°，
∴∠FME＝2∠BMF＝120°；
（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．
由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，
∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，
∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME＋∠END），∠ENP＝∠END，
∵EQ∥NP，
∴∠NEQ＝∠ENP，
∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝（∠BME＋∠END）﹣∠END＝∠BME，
∵∠BME＝60°，
∴∠FEQ＝×60°＝30°．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键．
9．（1）120，90；（2）①∠1=120°-n°，∠2=90°+n°；②见解析
【分析】
（1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答；
（2）①根据邻补角的定义求出∠ABE，再根据两直线平行，同位角相
解析：（1）120，90；（2）①∠1=120°-n°，∠2=90°+n°；②见解析
【分析】
（1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答；
（2）①根据邻补角的定义求出∠ABE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠1=∠ABE，根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BCG，然后根据周角等于360°计算即可得到∠2；
②结合图形，分AB、BC、AC三条边与直尺垂直讨论求解．
【详解】
解：（1）∠1=180°-60°=120°，
∠2=90°；
故答案为：120，90；
（2）①如图2，

∵∠ABC=60°，
∴∠ABE=180°-60°-n°=120°-n°，
∵DG∥EF，
∴∠1=∠ABE=120°-n°，
∠BCG=180°-∠CBF=180°-n°，
∵∠ACB+∠BCG+∠2=360°，
∴∠2=360°-∠ACB-∠BCG
=360°-90°-（180°-n°）
=90°+n°；
②当n=30°时，∵∠ABC=60°，
∴∠ABF=30°+60°=90°，
AB⊥DG（EF）；

当n=90°时，
∠C=∠CBF=90°，
∴BC⊥DG（EF），AC⊥DE（GF）；

当n=120°时，
∴AB⊥DE（GF）．

【点睛】
本题考查了平行线角的计算，垂线的定义，主要利用了平行线的性质，直角三角形的性质，读懂题目信息并准确识图是解题的关键．
10．（1）35，35，平行；（2）∠FMN+∠GHF=180°，证明见解析；（3）不变，2
【分析】
（1）根据（α-35）2+|β-α|=0，即可计算α和β的值，再根据内错角相等可证AB∥CD；
（2
解析：（1）35，35，平行；（2）∠FMN+∠GHF=180°，证明见解析；（3）不变，2
【分析】
（1）根据（α-35）2+|β-α|=0，即可计算α和β的值，再根据内错角相等可证AB∥CD；
（2）先根据内错角相等证GH∥PN，再根据同旁内角互补和等量代换得出∠FMN+∠GHF=180°；
（3）作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R，先根据同位角相等证ER∥FQ，得∠FQM1=∠R，设∠PER=∠REB=x，∠PM1R=∠RM1B=y，得出∠EPM1=2∠R，即可得=2．
【详解】
解：（1）∵（α-35）2+|β-α|=0，
∴α=β=35，
∴∠PFM=∠MFN=35°，∠EMF=35°，
∴∠EMF=∠MFN，
∴AB∥CD；
（2）∠FMN+∠GHF=180°；
理由：由（1）得AB∥CD，
∴∠MNF=∠PME，
∵∠MGH=∠MNF，
∴∠PME=∠MGH，
∴GH∥PN，
∴∠GHM=∠FMN，
∵∠GHF+∠GHM=180°，
∴∠FMN+∠GHF=180°；
（3）的值不变，为2，
理由：如图3中，作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R，
∵AB∥CD，
∴∠PEM1=∠PFN，
∵∠PER=∠PEM1，∠PFQ=∠PFN，
∴∠PER=∠PFQ，
∴ER∥FQ，

∴∠FQM1=∠R，
设∠PER=∠REB=x，∠PM1R=∠RM1B=y，
则有：，
可得∠EPM1=2∠R，
∴∠EPM1=2∠FQM1，
∴==2．
【点睛】
本题主要考查平行线的判定与性质，熟练掌握内错角相等证平行，平行线同旁内角互补等知识是解题的关键．
三、解答题
11．[感知]见解析；[探究]70°；[应用]（1）35；（2）或
【分析】
[感知]过点P作PM∥AB，根据平行线的性质得到∠1=∠AEP，∠2+∠PFD=180°，求出∠2的度数，结合∠1可得结果；
解析：[感知]见解析；[探究]70°；[应用]（1）35；（2）或
【分析】
[感知]过点P作PM∥AB，根据平行线的性质得到∠1=∠AEP，∠2+∠PFD=180°，求出∠2的度数，结合∠1可得结果；
[探究]过点P作PM∥AB，根据AB∥CD，PM∥CD，进而根据平行线的性质即可求∠EPF的度数；
[应用]（1）如图③所示，在[探究]的条件下，根据∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，可得∠G的度数；
（2）画出图形，分点A在点B左侧和点A在点B右侧，两种情况，分别求解．
【详解】
解：[感知]如图①，过点P作PM∥AB，
∴∠1=∠AEP=40°（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD，
∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠2+∠PFD=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠PFD=130°（已知），
∴∠2=180°-130°=50°，
∴∠1+∠2=40°+50°=90°，即∠EPF=90°；
[探究]如图②，过点P作PM∥AB，

∴∠MPE=∠AEP=50°，
∵AB∥CD，
∴PM∥CD，
∴∠PFC=∠MPF=120°，
∴∠EPF=∠MPF-∠MPE=120°-50°=70°；
[应用]（1）如图③所示，
∵EG是∠PEA的平分线，FG是∠PFC的平分线，
∴∠AEG=∠AEP=25°，∠GFC=∠PFC=60°，

过点G作GM∥AB，
∴∠MGE=∠AEG=25°（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD（已知），
∴GM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠GFC=∠MGF=60°（两直线平行，内错角相等）．
∴∠G=∠MGF-∠MGE=60°-25°=35°．
故答案为：35．
（2）当点A在点B左侧时，
如图，故点E作EF∥AB，则EF∥CD，
∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，
∵平分平分，，
∴∠ABE=∠BEF=，∠CDE=∠DEF=，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=；

当点A在点B右侧时，
如图，故点E作EF∥AB，则EF∥CD，
∴∠DEF=∠CDE，∠ABG=∠BEF，
∵平分平分，，
∴∠DEF=∠CDE=，∠ABG=∠BEF=，
∴∠BED=∠DEF-∠BEF=；

综上：∠BED的度数为或．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，角平分线的定义，解决本题的关键是熟练运用平行线的性质．
12．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；．
【分析】
（1）过点C作，得到，再根据，，得到，进而得到，最后证明；
（2）先证明，再证明，得到，问题得证；
（3）根据题意得到，根据（２）结论得到∠D
解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；．
【分析】
（1）过点C作，得到，再根据，，得到，进而得到，最后证明；
（2）先证明，再证明，得到，问题得证；
（3）根据题意得到，根据（２）结论得到∠DEF=∠ECA=，进而得到，根据三角形内角和即可求解．
【详解】
解：（1）过点C作，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，，
又，
，
，
，
，
，
；
（3）如图三角形DEF即为所求作三角形．

∵，
∴，
由（2）得，DE∥AC，
∴∠DEF=∠ECA=，
∵，
∴∠ACB=，
∴ ，
∴∠A=180°-=．
故答案为为：．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，三角形的内角和等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识，根据题意画出图形是解题关键．
13．（1）∠PAF＋∠PBN＋∠APB＝360°；（2）①，见解析；②或
【分析】
（1）作PC∥EF，如图1，由PC∥EF，EF∥MN得到PC∥MN，根据平行线的性质得∠PAF＋∠APC＝180°，∠
解析：（1）∠PAF＋∠PBN＋∠APB＝360°；（2）①，见解析；②或
【分析】
（1）作PC∥EF，如图1，由PC∥EF，EF∥MN得到PC∥MN，根据平行线的性质得∠PAF＋∠APC＝180°，∠PBN＋∠CPB＝180°，即有∠PAF＋∠PBN＋∠APB＝360°；
（2）①过P作PE∥AD交ON于E，根据平行线的性质，可得到，，于是；
②分两种情况：当P在OB之间时；当P在OA的延长线上时，仿照①的方法即可解答．
【详解】
解：（1）∠PAF＋∠PBN＋∠APB＝360°，理由如下：
作PC∥EF，如图1，

∵PC∥EF，EF∥MN，
∴PC∥MN，
∴∠PAF＋∠APC＝180°，∠PBN＋∠CPB＝180°，
∴∠PAF＋∠APC+∠PBN＋∠CPB＝360°,
∴∠PAF＋∠PBN＋∠APB＝360°；
（2）①，

理由如下：如答图，过P作PE∥AD交ON于E，
∵AD∥BC，
∴PE∥BC，
∴，，
∴
②当P在OB之间时，，理由如下：

如备用图1，过P作PE∥AD交ON于E，
∵AD∥BC，
∴PE∥BC，
∴，，
∴；
当P在OA的延长线上时，，理由如下：
如备用图2，过P作PE∥AD交ON于E，
∵AD∥BC，
∴PE∥BC，
∴，，
∴；
综上所述，∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系是或.
【点睛】
本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．难点是分类讨论作平行辅助线．
14．（1）见解析；（2）∠CGA=45°；（3）∠FCP=2∠ACP或∠FCP+2∠ACP=180°．
【分析】
（1）有垂直定义可得∠MAB+∠KCN=90°，然后根据同角的余角相等可得∠KAN=∠K
解析：（1）见解析；（2）∠CGA=45°；（3）∠FCP=2∠ACP或∠FCP+2∠ACP=180°．
【分析】
（1）有垂直定义可得∠MAB+∠KCN=90°，然后根据同角的余角相等可得∠KAN=∠KCF，从而判断两直线平行；
（2）设∠KAN=∠KCF=α，过点G作GH∥EF，结合角平分线的定义和平行线的判定及性质求解；
（3）分CP交射线AQ及射线AQ的反向延长线两种情况结合角的和差关系分类讨论求解．
【详解】
解：（1）∵AB⊥AK
∴∠BAC=90°
∴∠MAB+∠KAN=90°
∵∠MAB+∠KCF=90°
∴∠KAN=∠KCF
∴EF∥MN
（2）设∠KAN=∠KCF=α
则∠BAN=∠BAC+∠KAN=90°＋α
∠KCB=180°－∠KCF=180°－α
∵AG平分∠NAB，CG平分∠ECK
∴∠GAN=∠BAN=45°＋α，∠KCG=∠KCB=90°－α
∴∠FCG=∠KCG+∠KCF=90°＋α
过点G作GH∥EF
∴∠HGC=∠FCG=90°＋α
又∵MN∥EF
∴MN∥GH
∴∠HGA=∠GAN=45°＋α
∴∠CGA=∠HGC－∠HGA=（90°＋α）－（45°＋α）=45°

（3）①当CP交射线AQ于点T

∵
∴
又∵
∴
由（1）可得：EF∥MN
∴
∵
∴
∵，
∴
∴
即∠FCP+2∠ACP=180°
②当CP交射线AQ的反向延长线于点T，延长BA交CP于点G

，由EF∥MN得
∴
又∵，，
∴

∵，
∴
∴
∴
由①可得
∴
∴
综上，∠FCP=2∠ACP或∠FCP+2∠ACP=180°．
【点睛】
本题考查平行线的判定和性质以及角的和差关系，准确理解题意，正确推理计算是解题关键．
15．（1）60°；（2）①6s；②s或s
【分析】
（1）利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题．
（2）①首先证明∠GBC=∠DCN=30°，由此构建方程即可解决问题．
②分两种情形：如图③中，当
解析：（1）60°；（2）①6s；②s或s
【分析】
（1）利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题．
（2）①首先证明∠GBC=∠DCN=30°，由此构建方程即可解决问题．
②分两种情形：如图③中，当BG∥HK时，延长KH交MN于R．根据∠GBN=∠KRN构建方程即可解决问题．如图③-1中，当BG∥HK时，延长HK交MN于R．根据∠GBN+∠KRM=180°构建方程即可解决问题．
【详解】
解：（1）如图①中，

∵∠ACB=30°，
∴∠ACN=180°-∠ACB=150°，
∵CE平分∠ACN，
∴∠ECN=∠ACN=75°，
∵PQ∥MN，
∴∠QEC+∠ECN=180°，
∴∠QEC=180°-75°=105°，
∴∠DEQ=∠QEC-∠CED=105°-45°=60°．
（2）①如图②中，

∵BG∥CD，
∴∠GBC=∠DCN，
∵∠DCN=∠ECN-∠ECD=75°-45°=30°，
∴∠GBC=30°，
∴5t=30，
∴t=6s．
∴在旋转过程中，若边BG∥CD，t的值为6s．
②如图③中，当BG∥HK时，延长KH交MN于R．

∵BG∥KR，
∴∠GBN=∠KRN，
∵∠QEK=60°+4t，∠K=∠QEK+∠KRN，
∴∠KRN=90°-（60°+4t）=30°-4t，
∴5t=30°-4t，
∴t=s．
如图③-1