初一数学下册不等式试题(带答案)-培优试题.doc

一、选择题
1．已知，且，则（ ）
A． B． C．24 D．48
2．若关于的一元一次不等式组恰有个整数解，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若关于x的不等式组式的整数解为x=1和x=2，则满足这个不等式组的整数a，b组成的有序数对（a，b）共有（ ）对
A．0 B．1 C．3 D．2
4．关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
5．小兰：“小红，你上周买的笔和笔记本的价格是多少啊？”小红：“哦，…，我忘了！只记得先后买了两次，第一次买了 5 支笔和 10 本笔记本共花了 42 元钱，第二次买了 10 文笔和 5 本笔记本共花了 30 元钱．”请根据小红与小兰的对话，求得小红所买的笔和笔 记本的价格分别是( )
A．0.8 元／支，2.6 元／本 B．0.8 元／支，3.6 元／本
C．1.2 元／支，2.6 元／本 D．1.2 元／支，3.6 元／本
6．若关于x的一元一次不等式组的解集是xa，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．0 B．1 C．4 D．6
7．若方程组的解满足x＜1，且y＞1，则整数k的个数是(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
8．若，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
9．若不等式组的解集为x＞4，则a的取值范围是（ ）
A．a＞4 B．a＜4 C．a≤4 D．a≥4
10．若整数a使得关于x的不等式组有且仅有6个整数解，且使关于y的一元一次方程﹣＝1的解满足y＞21．则所有满足条件的整数a的值之和为（　　）
A．31 B．48 C．17 D．33
二、填空题
11．已知实数，，满足，且有最大值，则的值是__________．
12．已知一个两位数，将其个位上的数和十位上的数对调后组成一个新的两位数．若原两位数与8的和不大于新两位数的一半，则满足条件的两位数有______个.
13．已知关于的不等式的正整数解恰好是1，2，3，4，那么的取值范围是_______
14．运行程序如图所示,规定:从“输入一个值x"”到“结果是否为次程序如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是______________

15．关于的方程的解为非负数，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数的值的和为__________．
16．已知，、、为非负数，且，则的取值范围是__________.
17．如果不等式组的整数解仅为2，且a、b均为整数，则代数式2a2+b的最大值＝______．
18．对于数，符号 表示不超过的最大整数，暨，若关于的方程有正整数解，则的取值范围是________．
19．有一根长22cm的金属棒，将其截成x根3cm长的小段和y根5cm长的小段，剩余部分作废料处理，若使废料最少，则x＋y＝__．
20．定义：把的值叫做不等式组的“长度”若关于的一元一次不等式组解集的“长度”为3，则该不等式组的整数解之和为______．
三、解答题
21．某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
（进价、售价均保持不变，利润 = 销售收入-进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；

（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
22．某超市分别以每盏150元，190元的进价购进A，B两种品牌的护眼灯，下表是近两天的销售情况．
销售日期
销售数量(盏)
销售收入(元)
A品牌
B品牌
第一天
2
1
680
第二天
3
4
1670

（1）求A，B两种品牌护眼灯的销售价；
（2）若超市准备用不超过4900元的金额购进这两种品牌的护眼灯共30盏，求B品牌的护眼灯最多采购多少盏？
23．阅读理解：
定义：，，为数轴上三点，若点到点的距离是它到点的时距离的（为大于1的常数）倍，则称点是的倍点，且当是的倍点或的倍点时，我们也称是和两点的倍点．例如，在图1中，点是的2倍点，但点不是的2倍点．

（1）特值尝试．
①若，图1中，点______是的2倍点．（填或）
②若，如图2，，为数轴上两个点，点表示的数是，点表示的数是4，数______表示的点是的3倍点．
（2）周密思考：
图2中，一动点从出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向左运动秒，若恰好是和两点的倍点，求所有符合条件的的值．（用含的式子表示）
（3）拓展应用
数轴上两点间的距离不超过30个单位长度时，称这两点处于“可视距离”．若（2）中满足条件的和两点的所有倍点均处于点的“可视距离”内，请直接写出的取值范围．（不必写出解答过程）
24．阅读材料：如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作．
例如，，，，那么，，其中．
例如，，，．
请你解决下列问题：
（1）__________，__________；
（2）如果，那么x的取值范围是__________；
（3）如果，那么x的值是__________；
（4）如果，其中，且，求x的值．
25．已知关于x、y的二元一次方程
（1）若方程组的解x、y满足，求a的取值范围；
（2）求代数式的值．
26．如图①，在平直角坐标系中，△ABO的三个顶点为A（a，b），B（﹣a，3b），O（0，0），且满足|b﹣2|＝0，线段AB与y轴交于点C．

（1）求出A，B两点的坐标；
（2）求出△ABO的面积；
（3）如图②，将线段AB平移至B点的对应点落在x轴的正半轴上时，此时A点的对应点为，记△的面积为S，若24＜S＜32，求点的横坐标的取值范围．
27．我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”．
（1）请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由；
①；
②．
（2）若关于x的组合是“有缘组合”，求a的取值范围；
（3）若关于x的组合是“无缘组合”；求a的取值范围．
28．对、定义了一种新运算T，规定（其中，均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，
已知，．
（1）求，的值；
（2）求．
（3）若关于的不等式组恰好有4个整数解，求的取值范围．
29．对于实数x，若，则符合条件的中最大的正数为的内数，例如：8的内数是5；7的内数是4．
（1）1的内数是______，20的内数是______，6的内数是______；
（2）若3是x的内数，求x的取值范围；
（3）一动点从原点出发，以3个单位/秒的速度按如图1所示的方向前进，经过秒后，动点经过的格点（横，纵坐标均为整数的点）中能围成的最大实心正方形的格点数（包括正方形边界与内部的格点）为，例如当时，，如图2①……；当时，，如图2②，③；……
①用表示的内数；
②当的内数为9时，符合条件的最大实心正方形有多少个，在这些实心正方形的格点中，直接写出离原点最远的格点的坐标．（若有多点并列最远，全部写出）

30．定义一种新运算“a※b”：当a≥b时，a※b＝2a+b；当a＜b时，a※b＝2a﹣b．
例如：3※（﹣4）＝2×3+（﹣4）＝2，（﹣6）※12＝2×（﹣6）﹣12＝﹣24．
（1）填空：（﹣2）※3＝　 　；
（2）若（3x﹣4）※（2x+3）＝2（3x﹣4）+（2x+3），则x的取值范围为　 　；
（3）已知（2x﹣6）※（9﹣3x）＜7，求x的取值范围；
（4）小明在计算（2x2﹣2x+4）※（x2+4x﹣6）时随意取了一个x的值进行计算，得出结果是0，小丽判断小明计算错了，小丽是如何判断的？请说明理由．

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一、选择题

1．B
解析：B
【分析】
由可得，而根据，可得，，由此确定a、b、c的取值，进而求解．
【详解】
解：∵，
∴，
又∵，
∴，，
∴，，
∴，，，
∴．
故选B．
【点睛】
本题综合考查了不等式性质和代数式求值；解题关键是根据a、b、c的取值范围求出a、b、c的值．
2．C
解析：C
【分析】
先求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知得出答案即可．
【详解】
解不等式3﹣2x＞1，得：x＜1，
解不等式x﹣a＞0，得：x＞a，
则不等式组的解集为a＜x＜1，
∵不等式组恰有3个整数解，
∴不等式组的整数解为﹣2、﹣1、0，
则﹣3≤a＜﹣2，
故选C．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能得出关于a的不等式组．
3．D
解析：D
【分析】
首先解不等式组的解集即可利用a、b表示，根据不等式组的整数解仅为1,2即可确定a、b的范围，即可确定a、b的整数解，即可求解.
【详解】

由①得：
由②得：
不等式组的解集为：
∵整数解为为x=1和x=2
∴，
解得：，
∴a=1，b=6,5
∴整数a、b组成的有序数对（a,b）共有2个
故选D
【点睛】
本题考查一元一次不等式组的整数解，难度较大，熟练掌握一元一次不等式组相关知识点是解题关键.
4．C
解析：C
【分析】
分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解的个数可得答案．
【详解】
解不等式x-a≤0得x≤a，
解不等式3+2x＞-1得x＞-2，
∵不等式组的整数解共有4个，
∴这4个整数解为-1、0、1、2，
则2≤a＜3，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5．D
解析：D
【分析】
首先设小红所买的笔的价格是x元/支，笔记本的价格是y元/本，根据关键语句“第一次买了5支笔和10本笔记本共花了42元钱，”可得方程5x+10y=42，“第二次买了10支笔和5本笔记本共花了30元钱”可得方程10x+5y=30，联立两个方程，再解方程组即可.
【详解】
解：设小红所买的笔的价格是x元/支，笔记本的价格是y元/本，由题意得：
解得：
故答案为D.
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，再列出方程组即可.
6．B
解析：B
【分析】
先解关于x的一元一次不等式组 ，再根据其解集是x≤a，得a小于5；再解分式方程，根据其有非负整数解，同时考虑增根的情况，得出a的值，再求和即可.
【详解】
解：由不等式组，解得：
∵解集是x≤a，
∴a<5；
由关于的分式方程 得得2y-a+y-4=y-1

又∵非负整数解，
∴a≥-3，且a=-3，a=-1（舍，此时分式方程为增根），a=1，a=3它们的和为1.
故选B.
【点睛】
本题综合考查了含参一元一次不等式，含参分式方程的问题，需要考虑的因素较多，属于易错题.
7．A
解析：A
【分析】
本题可运用加减消元法，将x、y用含k的代数式表示，然后根据x＜1，y＞1得出k的范围，再根据k为整数可得出k的值．
【详解】
，①﹣②，得：4x=2k﹣3，∴x．
∵x＜1，∴1，解得：k．
将x代入②，得：2y3，∴y．
∵y＞1，∴1，解得：k，∴．
∵k为整数，∴k可取0，1，2，3，∴k的个数为4个．
故选A．
【点睛】
本题考查了二元一次方程和不等式的综合问题，通过把x，y的值用k的代数式表示，再根据x、y的取值判断k的值．
8．C
解析：C
【分析】
根据不等式的性质逐项判断即可；
【详解】
解：．，当时，，所以选项不符合题意；
．当，，，所以选项不符合题意；
．，则，，所以选项符合题意；
．，，则，所以选项不符合题意．
故选：．
【点睛】
本题主要考查了不等式的基本性质，准确分析判断是解题的关键．
9．C
解析：C
【分析】
分别解两个不等式，根据不等式组的解集即可求解．
【详解】
，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∵不等式组的解集是，
∴a≤4．
故选：C．
【点睛】
本题考查不等式组的解集，掌握“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了”取解集是解题的关键．
10．D
解析：D
【分析】
先求出不等式组的解集，根据不等式组的整数解的个数求出a的范围，求出方程的解，根据y＞21求出a的范围，求出公共部分，再求出a的整数解，最后求出答案即可．
【详解】
解：，
解不等式①，得x≤9，
解不等式②，得x≥，
所以不等式组的解集是≤x≤9，
∵a为整数，不等式组有且仅有6个整数解，
∴3＜≤4，
解得：13＜a≤17，
解方程﹣＝1得：y＝6+a，
∵y＞21，
∴6+a＞21，
解得：a＞15，
∴15＜a≤17，
∵a为整数，
∴a为16或17，
16+17＝33，
故选：D．
【点睛】
本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组和不等式组的整数解等知识点，能根据不等式组的解集及整数解的个数求出a的取值范围是解此题的关键．
二、填空题

11．8
【分析】
把变形得，故可求出有最大值时，a，b的值，代入故可求解．
【详解】
设=
∴a-2b=（m+n）a+(m-n)b
∴，解得
∴=
∵，
∴，
∴
∴有最大值1
此时，
解得a=1，b=
解析：8
【分析】
把变形得，故可求出有最大值时，a，b的值，代入故可求解．
【详解】
设=
∴a-2b=（m+n）a+(m-n)b
∴，解得
∴=
∵，
∴，
∴
∴有最大值1
此时，
解得a=1，b=0
∴=8
故答案为：8．
【点睛】
此题主要考查不等式组的应用与求解，解二元一次方程组，解题的关键是根据题意把把变形得，从而求解．
12．8
【分析】
设原两位数的十位数为x，个位数为y,将原两位数与个位十位对调后的两位数分别用x，y表示，根据题意列不等式，结合x,y的取值范围确定其值.
【详解】
解：设原两位数的十位数为x，个位数为
解析：8
【分析】
设原两位数的十位数为x，个位数为y,将原两位数与个位十位对调后的两位数分别用x，y表示，根据题意列不等式，结合x,y的取值范围确定其值.
【详解】
解：设原两位数的十位数为x，个位数为y,（0<x<10且为整数, 0≤y<10,且为整数），
根据题意得， ，
∴ ，
当x=1时，y≥ , ∴y=5,6,7,8,9
当x=2时，y≥ , ∴y=7,8,9
当x=3时，y≥ , y无解.
∴满足条件的两位数有8个.
故答案为：8.
【点睛】
本题考查不等式的实际应用题，数字问题，用个位和十位数表示两位数是解决问题的前提，根据不等量关系列不等式确定x,y之间的关系是解答此题的关键.
13．8<m≤10
【分析】
先求出不等式的解集，根据已知得出关于m的不等式组，求出即可.
【详解】
解：不等式的解集是： ，
∵不等式的正整数解恰是1，2，3，4，
∴
∴m的取值范围是.
故答案为：
解析：8<m≤10
【分析】
先求出不等式的解集，根据已知得出关于m的不等式组，求出即可.
【详解】
解：不等式的解集是： ，
∵不等式的正整数解恰是1，2，3，4，
∴
∴m的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
本题考查一元一次不等式的整数解的应用，求出关于m的不等式组，准确确定m的界点值是解答此题的关键之处.
14．【分析】
由输入的数运行了三次才停止，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得到x的取值范围
【详解】
解：根据题意前两次输入值都小于19，第三次值大于19可得不等式组为：
，解得
故答案为
解析：
【分析】
由输入的数运行了三次才停止，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得到x的取值范围
【详解】
解：根据题意前两次输入值都小于19，第三次值大于19可得不等式组为：
，解得
故答案为
【点睛】
本题考查程序框图以及不等式的解法，理解程序框图为解题关键
15．5
【解析】
【分析】
先求出方程的解与不等式组的解集，再根据题目中的要求求出相应的的值即可解答本题．
【详解】
解：解方程，得：，
由题意得，
解得：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
解析：5
【解析】
【分析】
先求出方程的解与不等式组的解集，再根据题目中的要求求出相应的的值即可解答本题．
【详解】
解：解方程，得：，
由题意得，
解得：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组有解，
，
则，
符合条件的整数的值的和为，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查一元一次方程的解、一元一次不等式组的整数解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
16．【解析】
【分析】
由，可得到y和z的关于x的表达式，再根据y，z为非负实数，列出关于x的不等式组，求出x的取值范围，并将N转化为关于x的表达式，将x的最大值和最小值代入解析式即可得到N的最大值和
解析：
【解析】
【分析】
由，可得到y和z的关于x的表达式，再根据y，z为非负实数，列出关于x的不等式组，求出x的取值范围，并将N转化为关于x的表达式，将x的最大值和最小值代入解析式即可得到N的最大值和最小值．
【详解】
解：∵，
∴解关于y，z的方程可得：，
∵、、为非负数，
∴，
解得，
∴= =，
∵-2＜0，∴N随x增大而减小，
∴故当x=5时，N有最大值65；
当x=10时，N有最小值55．
∴55≤N≤65．
故答案为55≤N≤65．
【点睛】
本题主要考查一次函数的性质的知识，解决本题的关键是根据题目方程组，求得用N表示的x、y、z表达式，进而根据x、y、z皆为非负数，求得N的取值范围．
17．78
【解析】
【分析】
解不等式组后依据整数解仅为2可得，解之得到a、b的范围，再进一步利用a、b均为整数求解可得．
【详解】
解不等式3x-a≥0，得：x≥，
解不等式2x-b＜0，得：x＜，
解析：78
【解析】
【分析】
解不等式组后依据整数解仅为2可得，解之得到a、b的范围，再进一步利用a、b均为整数求解可得．
【详解】
解不等式3x-a≥0，得：x≥，
解不等式2x-b＜0，得：x＜，
∵整数解仅为2，
∴，
解得：3＜a≤6，4＜b≤6，
∵a、b均为整数，
∴当a=6、b=6时，2a2+b取得最大值，最大值为2×62+6=78，
故答案为78．
【点睛】
考查了一元一次不等式组的整数解，注意各个不等式的解集的公式部分就是这个不等式组的解集．但本题是要求整数解的，所以要找出在这范围内的整数．
18．【分析】
根据符号的定义，得到，求解不等式，得到，有正整数解，得到，求解即可．
【详解】
解：∵，可得到，
求得
有正整数解，可以得到，即，解得
故答案为
【点睛】
此题考查了绝对值不等式以及对新
解析：
【分析】
根据符号的定义，得到，求解不等式，得到，有正整数解，得到，求解即可．
【详解】
解：∵，可得到，
求得
有正整数解，可以得到，即，解得
故答案为
【点睛】
此题考查了绝对值不等式以及对新符号的理解，解题的关键的是根据符号定义以及方程求得不等式．
19．6
【分析】
根据金属棒的长度是22cm，则可以得到3x+5y≤22，再根据x，y都是正整数，即可求得所有可能的结果，分别计算出剩料的长度，即可得到答案．
【详解】
∵一根长22cm的金属棒，将其截
解析：6
【分析】
根据金属棒的长度是22cm，则可以得到3x+5y≤22，再根据x，y都是正整数，即可求得所有可能的结果，分别计算出剩料的长度，即可得到答案．
【详解】
∵一根长22cm的金属棒，将其截成x根3cm长的小段和y根5cm长的小段，
∴3x+5y≤22，
∴，
∵，且y为正整数，
∴y的值可以为1、2、3、4，
当y＝1时，x≤，则x＝5，此时，所剩的废料是：22﹣5﹣3×5＝2cm，
当y＝2时，x≤4，则x＝4，此时，所剩的废料是：22﹣2×5﹣4×3＝0cm，
当y＝3时，x≤，则x＝2，此时，所剩的废料是：22﹣3×5﹣2×3＝1cm，
当y＝4时，x≤，则x＝0（舍去），
∴废料最少的是：x＝4，y＝2，
∴x＋y＝6，
故答案为：6
【点睛】
本题考查了不等式的应用，正确确定x，y的所有取值情况是解题关键．
20．【分析】
解不等式组求得不等式的解集为−a≤x≤2a−3，根据题意得出2a−3−（−a）＝3，解得a＝2，即可得到不等式的解集为−2≤x≤1，进而即可求得不等式组的整数解之和为−2．
【详解】
解
解析：
【分析】
解不等式组求得不等式的解集为−a≤x≤2a−3，根据题意得出2a−3−（−a）＝3，解得a＝2，即可得到不等式的解集为−2≤x≤1，进而即可求得不等式组的整数解之和为−2．
【详解】
解：，
由①得x≥−a，
由②x≤2a−3，
∴不等式组的解集为−a≤x≤2a−3，
∵关于x的一元一次不等式组
解集的“长度”为3，
∴2a−3−（−a）＝3，
∴a＝2，
∴不等式组的解集为−2≤x≤1，
∴不等式组的整数解为−2，−1，0，1，它们的和为−2．
故答案为−2．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次方程，求得a的值是解题的关键．
三、解答题

21．（1）A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元；（2）超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元；（3）超市不能实现利润1400元的目标；
【分析】
（1）根据第一周和第二周的销售量和销售收入，可列写2个等式方程，再求解二元一次方程组即可；
（2）利用不多于5400元这个量，列写不等式，得到A型电风扇a台的一个取值范围，从而得出a的最大值；
（3）将B型电风扇用(30-a)表示出来，列写A、B两型电风扇利润为1400的等式方程，可求得a的值，最后在判断求解的值是否满足（2）中a的取值范围即可
【详解】
解：（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，
依题意得：，解得：，
答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元．
（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30-a）台．
依题意得：200a+170（30-a）≤5400，解得：a≤10．
答：超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元；
（3）依题意有：（250-200）a+（210-170）（30-a）=1400，
解得：a=20，∵a≤10，
∴在（2）的条件下超市不能实现利润1400元的目标．
【点睛】
本题是二元一次方程和一元一次不等式应用题的综合考查，解题关键是依据题意，找出等量关系式(不等关系式)，然后按照题目要求相应求解
22．（1）A品牌为210元/盏，B品牌为260元/盏．（2）10盏．
【分析】
（1）设A品牌护眼灯的销售价为x元/盏，B品牌护眼灯的销售价为y元/盏，根据总价=单价×数量结合两天的销售情况，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设采购m盏B品牌的护眼灯，则采购(30-m)盏A品牌的护眼灯，根据总价=单价×数量结合总费用不超过4900元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【详解】
（1）设A品牌护眼灯的销售价为x元/盏，B品牌护眼灯的销售价为y元/盏，
依题意，得：，
解得：．
答：A品牌护眼灯的销售价为210元/盏，B品牌护眼灯的销售价为260元/盏．
（2）设采购m盏B品牌的护眼灯，则采购(30-m)盏A品牌的护眼灯，
依题意，得：150(30-m)+190m≤4900，
解得：m≤10．
答：B品牌的护眼灯最多采购10盏．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
销售日期
销售数量(盏)
销售收入(元)
A品牌
B品牌
第一天
2
1
680
第二天
3
4
1670

23．（1）①B；②7或；（2）或或；（3）n≥．
【分析】
（1）①直接根据新定义的概念即可求出答案；
②根据新定义的概念列出绝对值方程即可求解；
（2）设P点所表示的数为4-2t，再根据新定义的概念列出方程即可求解；
（3）分，，三种情况分别表示出PN的值，再根据PN的范围列出不等式组即可求解．
【详解】
（1）①由数轴可知，点A表示的数为-1，点B表示的数为2，点C表示的数为1，点D表示的数为0，
∴AD=1，AC=2
∴AD=AC
∴点A不是的2倍点
∴BD=2，BC=1
∴BD=2BC
∴点B是的2倍点
故答案为：B；
②若点C是点的3倍点
∴CM=3CN
设点C表示的数为x
∴CM=，CN=
∴ =3
即或
解得x=7或x=
∴数7或表示的点是的3倍点．
故答案为：7或；
（2）设点P表示的数为4-2t，
∴PM=，PN=2t
∵若恰好是和两点的倍点，
∴当点P是的n倍点
∴PM=nPN
∴=n×2t
即6-2t=2nt或6-2t=-2nt
解得或
∵n＞1
∴
∴当点P是的n倍点
∴PN=nPM
∴2t=n×
即2t= n×或-2t= n×
解得或
∴符合条件的t值有或或；
（3）∵PN=2t
∴当时，PN=
当时，PN=，
当时，PN=
∵点P均在点N的可视距离之内
∴PN≤30
∴
解得n≥
∴n的取值范围为n≥．
【点睛】
此题主要考查主要方程与不等式组的应用，解题的关键是根据新定义概念列出方程或不等式求解．
24．（1）4，-7；（2）；（3）；（4）或或或
【分析】
（1）根据表示不超过x的最大整数的定义及例子直接求解即可；
（2）根据表示不超过x的最大整数的定义及例子直接求解即可；
（3）由材料中“，其中”得出，解不等式，再根据3x+1为整数，即可计算出具体的值；
（4）由材料中的条件可得，由，可求得的范围，根据为整数，分情况讨论即可求得x的值．
【详解】
（1），．
故答案为：4，-7．
（2）如果． 那么x的取值范围是．
故答案为：．
（3）如果，那么．
解得：
∵是整数．
∴．
故答案为：．
（4）∵，其中，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，0，1，2．
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
∴或或或．
【点睛】
本题考查了新定义下的不等式的应用，关键是理解题中的意义，列出不等式求解；最后一问要注意不要漏了情况．
25．（1）；（2）-17
【分析】
（1）解方程组求出x、y的值，根据列不等式组求出答案；
（2）将两个方程相加，求得6x+3y=-9，即可得到答案．
【详解】
解：（1）解方程组得，
∵，
∴,
解得；
（2）由①+②得2x+y=-3，
∴3（2x+y）=-9，即6x+3y=-9，
∴=-9-8=-17．
【点睛】
此题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式组，已知式子的值求代数式的值，正确解方程组是解题的关键．
26．（1）A（－3，2），B（3，6）；（2）△ABO的面积为12；（3）点的横坐标的取值范围是．
【分析】
（1）根据算术平方根和绝对值的非负性可得a＝－3，b＝2，进而可求得A，B两点的坐标；
（2）过A作AE⊥x轴，垂足为E，过B作BF⊥x轴，垂足为F，根据即可求得答案；
（3）先根据可求得点C的坐标，设（m，0），根据平移的性质可得（m－6，－4），过点、、分别作坐标轴的平行线，交点记为点M、N、H，根据可得，再根据24＜S＜32可求得，进而可求得点的横坐标的取值范围．
【详解】
解：（1）∵，，，
∴a＋3＝0且b－2＝0，
∴a＝－3，b＝2，
又∵A（a，b），B（－a，3b），
∴A，B两点的坐标为A（－3，2），B（3，6）；
（2）如图，过A作AE⊥x轴，垂足为E，过B作BF⊥x轴，垂足为F，

∵ A（－3，2），B（3，6），
∴ AE＝2，BF＝6，EF＝6，EO＝3，OF＝3，
∴

∴△ABO的面积为12；
（3）由（2）知：，
而
∴，
解得：CO＝4，
∴C（0，4），
∵在x的正半轴上，
∴设（m，0），且m＞0，
此时由平移的性质易知（m－6，－4），
∴如图所示，过点、、分别作坐标轴的平行线，交点记为点M、N、H，

则

，
即，
又∵，
∴，
解得：，
∴，
∴点的横坐标的取值范围是．
【点睛】
本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，平移的性质，用割补法求三角形的面积，以及解一元一次不等式组，熟练掌握用割补法求三角形的面积是解决本题的关键．
27．（1）①组合是“无缘组合”，②组合是“有缘组合”；（2）a＜-3；（3）a<
【分析】
（1）先求方程的解，再解不等式，根据“有缘组合”和“无缘组合“的定义，判断即可；
（2）先解方程和不等式，然后根据“有缘组合”的定义求a的取值范围；
（3）先解方程和不等式，然后根据“无缘组合”的定义求a的取值范围．
【详解】
解：（1）①∵2x-4＝0，
∴x=2，
∵5x-2＜3，
∴x＜1，
∵2不在x＜1范围内，
∴①组合是“无缘组合”；
②，
去分母，得：2（x-5）＝12-3（3-x），
去括号，得：2x-10＝12-9+3x，
移项，合并同类项，得：x＝-13．
解不等式，
去分母，得：2（x+3）-4＜3-x，
去括号，得：2x+6-4＜3-x，
移项，合并同类项，得：3x＜1，
化系数为1，得：x＜．
∵-13在x＜范围内，
∴②组合是“有缘组合”；
（2）解方程5x+15＝0得，
x＝-3，
解不等式，得：
x＞a，
∵关于x的组合是“有缘组合”，
∴-3在x＞a范围内，
∴a＜-3；
（3）解方程，
去分母，得5a-x-6＝4x-6a，
移项，合并同类项，得：5x＝11a-6，
化系数为1得：x＝，
解不等式+1≤x+a，
去分母，得：x-a+2≤2x+2a，
移项，合并同类项，得：x≥-3a+2，
∵关于x的组合是“无缘组合，
∴<-3a+2，
解得：a<．
【点睛】
本题考查一元一次不等式组和新定义，关键是对“有缘组合”与“无缘组合”的理解．
28．（1），；（2）；（3）．
【分析】
（1）根据题中的新定义列出关于与的方程组，求出方程组的解即可得到与的值；
（2）利用题中的新定义将，代入计算即可；
（3）利用题中的新定义化简已知不等式组，表示出解集，由不等式组恰好有4个整数解，确定出的范围，再解不等式组即可．
【详解】
解：（1）根据题意得：
，
解得：；
（2）由（1）得：
∴；
（3）根据题意得：，
由①得：；由②得：，
不等式组的解集为，
不等式组恰好有4个整数解，即，1，2，3，
，
解得：．
【点睛】
此题考查了解二元一次方程组以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则、理解新定义的意义是解本题的关键．
29．（1）2，7，4；（2）；（3）①t的内数；②符合条件的最大实心正方形有2个，离原点最远的格点的坐标有两个，为．
【分析】
（1）根据内数的定义即可求解；
（2）根据内数的定义可列不等式，求解即可；
（3）①分析可得当时，即t的内数为2时，；当时，即t的内数为3时，，当时，即t的内数为4时，……归纳可得结论；②分析可得当t的内数为奇数时，最大实心正方形有2个；当t的内数为偶数时，最大实心正方形有1个；且最大实心正方形的边长为：的內数－1，即可求解．
【详解】
解：（1），所以1的内数是2；
，所以20的内数是7；
，所以6的内数是4；
（2）∵3是x的內数，
∴，
解得；
（3）①当时，即t的内数为2时，；
当时，即t的内数为3时，，
当时，即t的内数为4时，，
……
∴t的内数；
②当t的内数为2时，最大实心正方形有1个；
当t的内数为3时，最大实心正方形有2个，
当t的内数为4时，最大实心正方形有1个，
……
即当t的内数为奇数时，最大实心正方形有2个；当t的内数为偶数时，最大实心正方形有1个；
∴当的內数为9时，符合条件的最大实心正方形有2个，
由前几个例子推理可得最大实心正方形的边长为：的內数－1，
∴此时最大实心正方形的边长为8，
离原点最远的格点的坐标有两个，为．
【点睛】
本题考查图形类规律探究，明确题干中内数的定义是解题的关键．
30．（1）7；（2）x≥7；（3）或x＜3；（4）详见解析．
【分析】
（1）先判断a、b的大小，再根据相应公式计算可得；
（2）结合公式知3x﹣4≥2x+3，解之可得；
（3）由题意可得或，分别求解可得；
（4）先利用作差法判断出2x2﹣2x+4＞x2+4x﹣6，再根据公式计算（2x2﹣2x+4）※（x2+4x﹣6）即可．
【详解】
（1）（﹣2）※3＝2×（﹣2）﹣3＝﹣7.
故答案为：﹣7；
（2）∵（3x﹣4）※（2x+3）＝2（3x﹣4）+（2x+3），
∴3x﹣4≥2x+3，
解得：x≥7.
故答案为：x≥7．
（3）由题意可知分两种情况讨论：
①，解得；
②，解得；
综上：x的取值范围为或x＜3；
（4）∵2x2﹣2x+4﹣（x2+4x﹣6）
＝x2﹣6x+10
＝（x﹣3）2+1＞0
∴2x2﹣2x+4＞x2+4x﹣6，
∴原式＝2（2x2﹣2x+4）+（x2+4x﹣6）
＝4x2﹣4x+8+x2+4x﹣6
＝5x2+4；
∴小明计算错误．
【点睛】
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤和弄清新定义是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．