天津市第一中学初一数学压轴题专题.doc

天津市第一中学初一数学压轴题专题一、七年级上册数学压轴题1已知，O为直线AB上一点，射线OC将分成两部分，若时，（1）如图1，若OD平分，OE平分，求的度数；（2）如图2，在（1）的基础上，将以每秒的速度绕点O顺时针旋转，同时射线OC以每秒的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t为何值时，射线OC平分？t为何值时，射线OC平分？答案：（1）90；（2）s；12s【分析】（1）由角平分线的定义结合平角的定义可直接求解；（2）结合角平分线的定义，平角的定义列方程，解方程结可求解；结合角平分线的定义，平角的定义列方程解析：（1）90；（2）s；12s【分析】（1）由角平分线的定义结合平角的定义可直接求解；（2）结合角平分线的定义，平角的定义列方程，解方程结可求解；结合角平分线的定义，平角的定义列方程，解方程结可求解【详解】解：（1）OD平分AOC，OE平分COB，COD=AOC，COE=BOC，AOC+BOC=180，DOE=COD+COE=90；（2）由题意得：DOE=90，当OC平分DOE时，COD=COE=45，45+60-3t+9t+60=180，解得t=，故t为s时，射线OC平分DOE；由题意得：BOE=60，当OC平分BOE时，COE=COB=30，30+3t+90+2（120-9t）=180，解得t=12，故t为12s时，射线OC平分BOE【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，角平分线的定义，角的计算等知识的综合运用，列方程求解角的度数是解题的关键2已知多项式，次数是b，4a与b互为相反数，在数轴上，点A表示a，点B表示数b(1)a= ，b= ；(2)若小蚂蚁甲从点A处以3个单位长度/秒的速度向左运动，同时小蚂蚁乙从点B处以4个单位长度/秒的速度也向左运动，丙同学观察两只小蚂蚁运动，在它们刚开始运动时，在原点O处放置一颗饭粒，乙在碰到饭粒后立即背着饭粒以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t秒，求甲、乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时所对应的时间t(写出解答过程)(3)若小蚂蚁甲和乙约好分别从A，B两点，分别沿数轴甲向左，乙向右以相同的速度爬行，经过一段时间原路返回，刚好在16s时一起重新回到原出发点A和B，设小蚂蚁们出发t(s)时的速度为v(mm/s)，v与t之间的关系如下图，(其中s表示时间单位秒，mm表示路程单位毫米)t（s）0t22t55t16v（mm/s）10168当t为1时，小蚂蚁甲与乙之间的距离是 当2t5时，小蚂蚁甲与乙之间的距离是 (用含有t的代数式表示)答案：（1）-2，8；（2）秒或10秒；（3）30mm；32t-14【分析】（1）根据多项式的次数的定义可得b值，再由相反数的定义可得a值；（2）分两种情况讨论：甲乙两小蚂蚁均向左运动，即0解析：（1）-2，8；（2）秒或10秒；（3）30mm；32t-14【分析】（1）根据多项式的次数的定义可得b值，再由相反数的定义可得a值；（2）分两种情况讨论：甲乙两小蚂蚁均向左运动，即0t2时，此时OA=2+3t，OB=8-4t；甲向左运动，乙向右运动，即t2时，此时OA=2+3t，OB=4t-8；（3）令t=1，根据题意列出算式计算即可；先得出小蚂蚁甲和乙爬行的路程及各自爬行的返程的路程，则可求得小蚂蚁甲与乙之间的距离【详解】解：（1）多项式4x6y2-3x2y-x-7，次数是b，b=8；4a与b互为相反数，4a+8=0，a=-2故答案为：-2，8；（2）分两种情况讨论：甲乙两小蚂蚁均向左运动，即0t2时，此时OA=2+3t，OB=8-4t；OA=OB，2+3t=8-4t，解得：t=；甲向左运动，乙向右运动，即t2时，此时OA=2+3t，OB=4t-8；OA=OB，2+3t=4t-8，解得：t=10；甲、乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时所对应的时间t为秒或10秒；（3）当t为1时，小蚂蚁甲与乙之间的距离是：8+101-（-2-101）=30mm；小蚂蚁甲和乙同时出发以相同的速度爬行，小蚂蚁甲和乙爬行的路程是相同的，各自爬行的总路程都等于：102+163+811=156（mm），原路返回，刚好在16s时一起重新回到原出发点A和B，小蚂蚁甲和乙返程的路程都等于78mm，甲乙之间的距离为：8-（-2）+1022+16（t-2）2=32t-14故答案为：32t-14【点睛】本题考查了一元一次方程在数轴上两点之间的距离问题中的应用，具有方程思想并会分类讨论是解题的关键3在数轴上，点A代表的数是-12，点B代表的数是2，AB表示点A与点B之间的距离（1）若点P为数轴上点A与点B之间的一个点，且AP=6，则BP=_；若点P为数轴上一点，且BP=2，则AP=_；（2）若C点为数轴上一点，且点C到点A点的距离与点C到点B的距离的和是20，求C点表示的数；（3）若点M从点A出发，点N从点B出发，且M、N同时向数轴负方向运动，M点的运动速度是每秒6个单位长度，N点的运动速度是每秒8个单位长度，当MN=2时求运动时间t的值答案：（1）8；16；（2）-15或5；（3）6或8【分析】（1）根据题目要求，P在数轴上点A与B之间，所以根据BP=AB-AP进行求解需要考虑两种情况，即P在数轴上点A与B之间时和当P不在解析：（1）8；16；（2）-15或5；（3）6或8【分析】（1）根据题目要求，P在数轴上点A与B之间，所以根据BP=AB-AP进行求解需要考虑两种情况，即P在数轴上点A与B之间时和当P不在数轴上点A与B之间时当P在数轴上点A与B之间时，AP=AB-BP当P不在数轴上点A与B之间时，此时有两种情况，一种是超越A点，在A点左侧，此时BP14，不符合题目要求另一种情况是P在B点右侧，此时根据AP=AB+BP作答（2）根据前面分析，C不可能在AB之间，所以，C要么在A左侧，要么在B右侧根据这两种情况分别进行讨论计算（3）分点M在点N的左侧和点M在点N的右侧，两种情况分别列出方程求解【详解】解：（1）AB总距离是2-（-12）=14，P在数轴上点A与B之间，BP=AB-AP=14-6=8，故答案为：8P在数轴上点A与B之间时，AP=AB-BP=14-2=12；当P不在数轴上点A与B之间时，因为AB=14，所以P只能在B右侧，此时BP=2，AP=AB+BP=14+2=16，故答案为：16（2）假设C为x，当C在A左侧时，AC=-12-x，BC=2-x，AC+BC=20，则-12-x+2-x=20，解得x=-15，当C在B右侧时，AC=x-（-12），BC=x-2，AC+BC=20，则x-（-12）+x-2=20，解得x=5，点C表示的数为-15或5；（3）当M在点N左侧时，2-8t-（-12-6t）=2，解得：t=6；当M在点N右侧时，-12-6t-（2-8t）=2，解得：t=8，MN=2时，t的值为6或8【点睛】本题考查了动点问题，一元一次方程的应用在充分理解题目要求的基础上，可借助数轴用数形结合的方法求解在解答过程中，注意动点问题的多解可能，并针对每一种可能进行讨论分析4已知，A，B在数轴上对应的数分用a，b表示，且，数轴上动点P对应的数用x表示.(1)在数轴上标出A、B的位置，并直接写出A、B之间的距离；(2)写出的最小值；(3)已知点C在点B的右侧且BC9，当数轴上有点P满足PB2PC时，求P点对应的数的值；数轴上另一动点Q从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，点Q能移动到与中的点P重合的位置吗？若都不能，请直接回答.若能，请直接指出，第几次移动可以重合。答案：（1）A、B位置见解析，AB=30；（2）30；（3）8或-4；能，第8次【分析】（1）求出a、b的值，在数轴表示即可，求出AB的距离；（2）|x-20|+|x+10|的最小值，就是数轴上解析：（1）A、B位置见解析，AB=30；（2）30；（3）8或-4；能，第8次【分析】（1）求出a、b的值，在数轴表示即可，求出AB的距离；（2）|x-20|+|x+10|的最小值，就是数轴上表示20的点，与表示-10的点之间的距离；（3）求出c的值，设出点P对应的数，用距离列方程求解即可；点Q移动时，每一次对应的数分别列举出来，发现规律，得出结论【详解】解：（1）|a-20|+（b+10）2=0，解得：a=20，b=-10；AB=20-（-10）=30；（2）|x-a|+|x-b|=|x-20|+|x+10|，当x位于点A与点B之间时，即，-10x20时，|x-20|+|x+10|的值最小，最小值为AB=30，答：|x-20|+|x+10|的最小值为30；（3）点C在点B的右侧且|BC|=9，因此点C所表示的数为-1，设点P表示的数为x，|x+10|=2|x+1|，解得x=8或x=-4；点Q每次移动对应在数轴上的数，第1次：-1，第3次：-3，第5次：-5，第2次：2，第4次：4，第6次：6，因此点Q能移动到与中的点P重合的位置，与8重合时，移动第8次，不可能与-4重合，答：点Q能移动到与中的点P重合的位置，移动的次数为8次【点睛】本题考查数轴表示数的意义和方法，理解数轴上两点之间距离的计算方法，是解决问题的关键5已知，如图，实数a、b、c在数轴上表示的点分别是点A、B、C,且a、b、c满足（1）求a、b、c的值；（2）若点A沿数轴向左以每秒1个单位的速度运动，点B和点C沿数轴向右运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒.设运动时间为t（秒）2秒后，点A、B、C表示的数分别是 ， ， ；运动t秒后，求点B和点C之间的距离（用“BC”表示）和点A和点B之间的距离（用“AB”表示）；（用含t的代数式表示）在的基础上，请问：3BC-AB的值是否随着时间t的变化而变化？若不变化，求这个不变的值；若变化，求这个值的变化范围；（3）若点A沿数轴向右以每秒1个单位的速度运动，点B和点C沿数轴向左运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒.设运动时间为t（秒）是否存在某一时刻，满足点A和点B之间的距离是点B和点C之间的距离的？若存在，直接写出时间t的值；若不存在，说明理由答案：（1）；（2） ，；， ；不变，这个不变的值为；（3）存在，【分析】（1）根据平方与绝对值的和为0，可得平方与绝对值同时为0，可得a、b、c的值，根据两点间的距离，可得答案；（2）解析：（1）；（2） ，；， ；不变，这个不变的值为；（3）存在，【分析】（1）根据平方与绝对值的和为0，可得平方与绝对值同时为0，可得a、b、c的值，根据两点间的距离，可得答案；（2）2秒时A计算-8-2，B计算-2+22，C计算3+23即可,t秒时，点A表示-8-t，点B表示-2+2t，点C表示3+3t，根据根据两点间的距离公式计算BC=3+3t-(-2+2t)，AB=-2+2t-(-8-t),计算3BC-AB=3（5+t）-(8+3t)即可；（3）分类讨论先把A、B、C用t表示，点A表示-8+t，点B表示-2-2t，点C表示3-3t，BC=3-3t-(-2-2t)=3-3t+2+2t=5-t，AB=-2-2t-(-8+t)=-2-2t+8-t=6-3t，时5-t=2(6-3t)， 时5-t=2(3t-6)， t5时，t-5=2(3t-6)即可【详解】(1)依题意，=0，=0，=0所以，(2)2秒后，点A表示-8-2=-10， 点B表示-2+22=-2+4=2,点C表示3+23=3+6=9,2秒后，点A、B、C表示的数分别是-10，2， 9；t秒时，点A表示-8-t，点B表示-2+2t，点C表示3+3t，BC=3+3t-(-2+2t)=3+3t+2-2t=5+t，AB=-2+2t-(-8-t)=-2+2t+8+t=6+3t，3BC-AB=3（5+t）-(6+3t)=15+3t-6-3t=9不变化，这个不变的值为9；（3）t秒时，点A表示-8+t，点B表示-2-2t，点C表示3-3t，BC=3-3t-(-2-2t)=3-3t+2+2t=5-t，AB=-2-2t-(-8+t)=-2-2t+8-t=6-3t，时5-t=2(6-3t)，t=时5-t=2(3t-6)，t=t5时，t-5=2(3t-6),t=舍去存在，时间t的值为或【点睛】本题考查了实数与数轴，非负数的性质，列代数式，整式的加减，两点间的距离公式，分类构造方程是解题关键6同学们，我们在本期教材中曾经学习过绝对值的概念：在数轴上，表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记作；数轴上表示数的点与表示数2的点的距离可记作，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为点表示的数记为，则两点间的距离就可记作（学以致用）（1）数轴上表示1和的两点之间的距离是_；（2）数轴上表示与的两点和之间的距离为2，那么为_（解决问题）如图，已知分别为数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是50（3）现有一只蚂蚁从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时另一只蚂蚁恰好从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动求两只蚂蚁在数轴上相遇时所用的时间；求两只蚂蚁在数轴上距离10个单位长度时的时间（数学理解）（4）数轴上两点对应的数分别为，已知，点从出发向右以每秒3个单位长度的速度运动表达出秒后之间的距离_（用含的式子表示）答案：（1）；（2）或；（3）；或；（4）【分析】（1）直接利用两点间的距离公式进行计算即可得到答案；（2）由数轴上表示与的两点间的距离为，列方程再解方程可得答案；（3）由路程除以两只蚂蚁的解析：（1）；（2）或；（3）；或；（4）【分析】（1）直接利用两点间的距离公式进行计算即可得到答案；（2）由数轴上表示与的两点间的距离为，列方程再解方程可得答案；（3）由路程除以两只蚂蚁的速度和可得答案；设后两只蚂蚁在数轴上距离10个单位长度，再分别表示后对应的数为 对应的数为，用含的代数式表示 再列方程，解方程可得答案；（4）先求解的值，再表示后对应的数为，再利用两点间的距离公式表示之间的距离即可得到答案【详解】解：（1）数轴上表示1和的两点之间的距离是 故答案为： （2）由题意得： 或 或 故答案为：或 （3）由题意可得： 所以两只蚂蚁在数轴上相遇时所用的时间为： 如图，设后两只蚂蚁在数轴上距离10个单位长度，由题意得：后对应的数为 对应的数为，或，或，经检验：或符合题意，所以当或两只蚂蚁在数轴上距离10个单位长度（4） ，且， 如图，秒后对应的数为：， 故答案为：【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，绝对值方程的应用，非负数的性质，一元一次方程的解法，整式的加减运算，掌握以上知识是解题的关键7已知数轴上点A对应的数为，点B在点A右侧，且两点间的距离为8点P为数轴上一动点，点C在原点位置（1）点B的数为_；（2）若点P到点A的距离比到点B的距离大2，点P对应的数为_；数轴上是否存在点P，使点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍？若存在，求出点P对应的数；若不存在，请说明理由；（3）已知在数轴上存在点P，当点P到点A的距离与点P到点C的距离之和等于点P到点B的距离时，点P对应的数为_；答案：（1）2；（2）-1；或10；（3）-8和-4【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离可得结果；（2）根据点P相对于A、B的不同位置分类讨论即可；分点P在点A的左侧，点P在A、B之间，解析：（1）2；（2）-1；或10；（3）-8和-4【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离可得结果；（2）根据点P相对于A、B的不同位置分类讨论即可；分点P在点A的左侧，点P在A、B之间，点P在点B右侧三种情况，列方程求解；（3）分点P在点A左侧，点P在A、O之间，点P在O、B之间，点P在点B右侧四种情况，列方程求解，根据结果进行判断【详解】解：（1）点A对应的数为-6，点B在点A右侧，A，B两点间的距离为8，-6+8=2，即点B表示的数为2；（2）设点P表示的数为x，当点P在点A的左侧，PAPB，不符合；当点P在A、B之间，x-（-6）=2-x+2，解得：x=-1；当点P在点B右侧，PA-PB=AB=8，不符合；故答案为：-1；当点P在点A的左侧，PAPB，不符合；当点P在A、B之间，x-（-6）=2（2-x），解得：x=；当点P在点B右侧，x-（-6）=2（x-2），解得：x=10；P对应的数为或10；（3）当点P在点A左侧时，-6-x+0-x=2-x，解得：x=-8；当点P在A、O之间时，x-（-6）+0-x=2-x，解得：x=-4；当点P在O、B之间时，x-（-6）+x-0=2-x，解得：x=，不符合；当点P在点B右侧时，x-（-6）+x-0=x-2，解得：x=-8，不符合；综上：点P表示的数为-8和-4【点睛】本题考查了一元一次的方程的应用，利用分类讨论和数形结合的思想解决问题是本题的关键8（概念提出）数轴上不重合的三个点，若其中一点到另外两点的距离的比值为n（n1），则称这个点是另外两点的n阶伴侣点如图，O是点A、B的1阶伴侣点；O是点A、C的2阶伴侣点；O也是点B、C的2阶伴侣点（初步思考）（1）如图，C是点A、B的 阶伴侣点；（2）若数轴上两点M、N分别表示1和4，则M、N的阶伴侣点所表示的数为 ；（深入探索）（3）若数轴上A、B、C三点表示的数分别为a、b、c，且点C是点A、B的n阶伴侣点，请直接用含a、b、n的代数式表示c答案：（1）3；（2）11，1，2，14；（3）当n1时，c，当n1时，点C在点A、B之间且靠近点B时，ca (ba)；点C在点A、B之间且靠近点A时，ca (ba)；点C在点A、B之解析：（1）3；（2）11，1，2，14；（3）当n1时，c，当n1时，点C在点A、B之间且靠近点B时，ca (ba)；点C在点A、B之间且靠近点A时，ca (ba)；点C在点A、B之外且靠近点B时，ca (ba)；点C在点A、B之外且靠近点A时，ca (ba)【分析】初步思考：（1）可根据n阶伴侣点的概念判断即可；（2）根据n阶伴侣点的概念分类讨论即可；深入探究：（3）根据n阶伴侣点的概念分类讨论即可【详解】解：（1）O是点A、B的1阶伴侣点；O是点A、C的2阶伴侣点；O也是点B、C的2阶伴侣点，OA=OB,OC=2OA,OC=2OB，AC=3BC，C是点A、B的3阶伴侣点；故答案是：3（2）设表示的数为x,由题意有：|x+1|=|x-4|，解得，x=1或x=-11，|x-4|=|x+1|，解得，x=2或x=14，综上所述，M、N的阶伴侣点所表示的数为11，1，2，14；（3）当n1时，c 当n1时，无论ab或ab，均有下列四种情况：点C在点A、B之间且靠近点B时，ca (ba)；点C在点A、B之间且靠近点A时，ca (ba)； 点C在点A、B之外且靠近点B时，ca (ba)； 点C在点A、B之外且靠近点A时，ca (ba)【点睛】本题主要考查新定义“n阶伴侣点”， 解题的关键是灵活运用所学知识，结合分类讨论思想解决问题9已知：b是最小的正整数，且、b、c满足，请回答问题(1)请直接写出、b、c的值 (2)、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为，点P在0到2之间运动时(即0x2时)，请化简式子： (请写出化简过程)(3)在(1)(2)的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB请问：BCAB的值是否随着时间t的变化而改变?若变化，请说明理由；若不变，请求其值答案：（1）-1；1；5；（2）4x+10或2x+12；（3）不变，理由见解析【分析】（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b解析：（1）-1；1；5；（2）4x+10或2x+12；（3）不变，理由见解析【分析】（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b，c的值；（2）根据x的范围，确定x+1，x-3，5-x的符号，然后根据绝对值的意义即可化简；（3）先求出BC=3t+4，AB=3t+2，从而得出BC-AB=2【详解】解：（1）b是最小的正整数，b=1根据题意得：c-5=0且a+b=0，a=-1，b=1，c=5故答案是：-1；1；5；（2）当0x1时，x+10，x-10，x+50，则：|x+1|-|x-1|+2|x+5|=x+1-（1-x）+2（x+5）=x+1-1+x+2x+10=4x+10；当1x2时，x+10，x-10，x+50|x+1|-|x-1|+2|x+5|=x+1-（x-1）+2（x+5）=x+1-x+1+2x+10=2x+12；（3）不变理由如下：t秒时，点A对应的数为-1-t，点B对应的数为2t+1，点C对应的数为5t+5BC=（5t+5）-（2t+1）=3t+4，AB=（2t+1）-（-1-t）=3t+2，BC-AB=（3t+4）-（3t+2）=2，即BC-AB值的不随着时间t的变化而改变【点睛】本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想10如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，AOC30，将一直角三角板（D30）的直角顶点放在点O处，一边OE在射线OA上，另一边OD与OC都在直线AB的上方（1）将图1中的三角板绕点O以每秒5的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后，OD恰好平分BOC此时t的值为 ；（直接填空）此时OE是否平分AOC？请说明理由；（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒8的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分DOE？请说明理由；（3）在（2）问的基础上，经过多长时间OC平分DOB？请画图并说明理由答案：（1）3，是，理由见解析；（2）t5秒或69秒时，OC平分DOE；理由见解析；（3）经秒时，OC平分DOB画图说明理由见解析【分析】（1）根据题意可直接求解；根据题意易得C解析：（1）3，是，理由见解析；（2）t5秒或69秒时，OC平分DOE；理由见解析；（3）经秒时，OC平分DOB画图说明理由见解析【分析】（1）根据题意可直接求解；根据题意易得COEAOE，问题得证；（2）根据题意先求出射线OC绕点O旋转一周的时间，设经过x秒时，OC平分DOE，然后由题意分类列出方程求解即可；（3）由（2）可得OD比OC早与OB重合，设经过x秒时，OC平分DOB，根据题意可列出方程求解【详解】（1）AOC30，AOB180，BOCAOBAOC150，OD平分BOC，BODBOC75，t；故答案为3；是，理由如下：转动3秒，AOE15，COEAOCAOE15，COEAOE，即OE平分AOC（2）三角板旋转一周所需的时间为72（秒），射线OC绕O点旋转一周所需的时间为45（秒），设经过x秒时，OC平分DOE，由题意：8x5x4530，解得：x5，8x5x36030+45，解得：x12545，不合题意，射线OC绕O点旋转一周所需的时间为45（秒），45秒后停止运动，OE旋转345时，OC平分DOE，t69（秒），综上所述，t5秒或69秒时，OC平分DOE（3）如图3中，由题意可知，OD旋转到与OB重合时，需要90518（秒），OC旋转到与OB重合时，需要（18030）8（秒），所以OD比OC早与OB重合，设经过x秒时，OC平分DOB，由题意：8x（18030）（5x90），解得：x，所以经秒时，OC平分DOB【点睛】本题主要考查角的和差关系及角平分线的定义，关键是根据线的运动得到角的等量关系，然后根据题意列出式子计算即可11如图1，为直线上一点，过点作射线，将一直角三角板（）的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方（注：本题旋转角度最多）（1）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转如图2，经过秒后，_度（用含的式子表示），若恰好平分，则_秒（直接写结果）（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，如图3，经过秒后，_度（用含的式子表示）若平分，求为多少秒？（3）若（2）问的条件不变，那么经过秒平分？（直接写结果）答案：（1），5；（2），；（3）经过秒平分【分析】（1）根据图形和题意得出，再除以每秒速度，即可得出；（2）根据图形和题意得出，再根据转动速度从而得出答案；（3）分别根据转动速度关系和平分画图即解析：（1），5；（2），；（3）经过秒平分【分析】（1）根据图形和题意得出，再除以每秒速度，即可得出；（2）根据图形和题意得出，再根据转动速度从而得出答案；（3）分别根据转动速度关系和平分画图即可【详解】（1）平分，解得：秒（2）度，平分解得：秒（3）如图：，由题可设为，为解得：秒答：经过秒平分【点睛】此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键12如图 1，射线OC 在AOB 的内部，图中共有 3 个角：AOB 、AOC 和BOC ，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC 是AOB 的奇妙线（1）一个角的角平分线 这个角的奇妙线（填是或不是）（2）如图 2，若MPN = 60 ，射线 PQ 绕点 P 从 PN 位置开始，以每秒10 的速度逆时针旋转， 当QPN 首次等于180 时停止旋转，设旋转的时间为t(s) 当t 为何值时，射线 PM 是QPN 的奇妙线？ 若射线 PM 同时绕点 P 以每秒6 的速度逆时针旋转，并与 PQ 同时停止旋转请求出当射线 PQ 是MPN 的奇妙线时t 的值 答案：（1）是；（2）9或12或18；或或 【分析】（1）根据奇妙线定义即可求解；（2）分3种情况，QPN=2MPN；MPN=2QPM；QPM =2MPN列出方程求解即可；分解析：（1）是；（2）9或12或18；或或 【分析】（1）根据奇妙线定义即可求解；（2）分3种情况，QPN=2MPN；MPN=2QPM；QPM =2MPN列出方程求解即可；分3种情况，MPN=2QPN；MPQ=2QPN；QPN =2MPQ列出方程求解即可【详解】（1）设被角平分线分成的两个角为1和2，则有=21，一个角的平分线是这个角的“奇妙线”；故答案是：是；（2）由题意可知射线 PM 在QPN的内部，QPN=（10t），QPM=（10t-60）， （a）当QPN=2MPN时，10t=260，解得t=12；（b）当MPN=2QPM时，60=2（10t-60），解得t=9；（c）当QPM =2MPN时，（10t-60）=260，解得t=18故当t为9或12或18时，射线PM是QPN的“奇妙线”；由题意可知射线 PQ 在MPN的内部，QPN=（10t），MPN=（60+6t），QPM=MPN-QPN=（60-4t），（a）当MPN=2QPN时，60+6t=210t，解得t=；（b）当MPQ=2QPN时，60-4t=210t，解得t=；（c）当QPN =2MPQ时，10t=2（60-4t），解得t=故当射线PQ是MPN的奇妙线时t的值为或或【点睛】本题考查了角之间的关系及一元一次方程的应用，奇妙线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力理解“奇妙线”的定义是解题的关键13如图，点O在直线AB上，（1）如图，当的一边射线OC在直线AB上（即OC与OA重合），另一边射线OD在直线AB上方时，OF是的平分线，则的度数为_（2）在图的基础上，将绕着点O顺时针方向旋转（旋转角度小于），OE是的平分线，OF是的平分线，试探究的大小如图，当的两边射线OC、OD都在直线AB的上方时，求的度数小红、小英对该问题进行了讨论：小红：先求出与的和，从而求出与的和，就能求出的度数小英：可设为x度，用含x的代数式表示、的度数，也能求出的度数请你根据她们的讨论内容，求出的度数如图，当的一边射线OC在直线AB的上方，另一边射线OD在直线AB的下方时，小红和小英认为也能求出的度数你同意她们的看法吗?若同意，请求出的度数；若不同意，请说明理由如图，当的两边射线OC、OD都在直线AB的下方时，能否求出的度数?若不能求出，请说明理由；若能求出，请直接写出的度数答案：（1）；（2）；同意，；能求出，【分析】（1）由得，再由角平分线的性质求出的度数，由即可求出结果；（2）根据小红和小英的方法，利用角的互补关系和角平分线的性质去求解角度；用同上的方解析：（1）；（2）；同意，；能求出，【分析】（1）由得，再由角平分线的性质求出的度数，由即可求出结果；（2）根据小红和小英的方法，利用角的互补关系和角平分线的性质去求解角度；用同上的方法去求出结果；设，则，由角平分线的性质表示出和，根据即可求出结果【详解】解：（1），OF平分，故答案是： ；（2）方法1：， OE平分，OF平分， 方法2：设为x度，OE平分， ， OF平分，；同意，方法1：，OE平分， ， OF平分， 方法2：设为x度，OE平分， ，OF平分， ， 能求出，理由：设，则，OE平分，OF平分，【点睛】本题考查角度求解，解题的关键是掌握角平分线的性质，角度互补和互余的性质14已知将一副三角尺（直角三角尺和）的两个顶点重合于点，（1）如图1，将三角尺绕点逆时针方向转动，当恰好平分时，求的度数；（2）如图2，当三角尺摆放在内部时，作射线平分，射线平分，如果三角尺在内绕点任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由答案：（1）；（2）不变【分析】（1）根据平分，求出BOC，再用角的和差求AOC即可；（2）根据角平分线的性质，求出DON和COM的和是BOD和AOC和的一半即可【详解】解：（1解析：（1）；（2）不变【分析】（1）根据平分，求出BOC，再用角的和差求AOC即可；（2）根据角平分线的性质，求出DON和COM的和是BOD和AOC和的一半即可【详解】解：（1）平分，； 图1 图2（2）不变平分，平分，【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练运用角平分线的性质，结合角的和差进行计算是解题关键15（学习概念） 如图1，在AOB的内部引一条射线OC，则图中共有3个角，分别是AOB、AOC和BOC若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是AOB的“好好线”（理解运用）（1）如图2，若MPQNPQ，则射线PQ MPN的“好好线”（填“是”或“不是”）；若MPQNPQ，MPQ，且射线PQ是MPN的“好好线”，请用含的代数式表示MPN；（拓展提升） （2）如图3，若MPN120，射线PQ绕点