计算方法复习题与答案.doc
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1、复习题与答案 复习题一 复习题一答案 复习题二 复习题二答案 复习题三 复习题三答案 复习题四 复习题四答案 自测题 复习题(一)一、填空题:1、求方程的根,要求结果至少具有6位有效数字。已知,则两个根为 , .(要有计算过程和结果)2、,则A的LU分解为 。3、,则 , .4、已知,则用抛物线(辛卜生)公式计算求得,用三点式求得 .5、,则过这三点的二次插值多项式中的系数为 ,拉格朗日插值多项式为 . 二、单项选择题:1、 Jacobi迭代法解方程组的必要条件是( ). AA的各阶顺序主子式不为零 B. C. D. 2、设,均差=( ) . A.3 B. -3 C. 5 D.0 3、设,则为
2、( ). A. 2 B. 5 C. 7 D. 34、三点的高斯求积公式的代数精度为( ). A. 2 B.5 C. 3 D. 45、幂法的收敛速度与特征值的分布( )。 A. 有关 B. 不一定 C. 无关三、计算题:1、用高斯-塞德尔方法解方程组 ,取,迭代四次(要求按五位有效数字计算).2、求A、B使求积公式的代数精度尽量高,并求其代数精度;利用此公式求(保留四位小数)。3、已知13452654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求的三次插值多项式,并求的近似值(保留四位小数).4、取步长,用预估-校正法解常微分方程初值问题 5、已知-2-101242135求的二次拟合曲线,并求的近似值。 6
3、、证明方程=0在区间(0,1)内只有一个根,并用迭代法(要求收敛)求根的近似值,五位小数稳定。复习题(一)参考答案一、 一、1、, 2、 3、,8 4、2.367 0.25 5、-1, 二、三、1、迭代格式 k000012.75003.8125 2.537520.20938 3.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.70192、是精确成立,即 得求积公式为当时,公式显然精确成立;当时,左=,右=。所以代数精度为3。 3、 差商表为一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-10 4、解: 即 n01234500.20.40.60.8
4、1.011.825.879610.713719.422435.0279 5、解:0-244-816-8161-121-11-2220100000313111334254816102001510034341正规方程组为 复习题(二)一、填空题:1、近似值关于真值有( )位有效数字;2、的相对误差为的相对误差的( )倍;3、设可微,求方程的牛顿迭代格式是( );4、对,差商( ),( );5、计算方法主要研究( )误差和( )误差;6、用二分法求非线性方程f (x)=0在区间(a,b)内的根时,二分n次后的误差限为( );7、求解一阶常微分方程初值问题= f (x,y),y(x0)=y0的改进的欧
5、拉公式为( );8、已知f(1)2,f(2)3,f(4)5.9,则二次Newton插值多项式中x2系数为( );9、两点式高斯型求积公式( ),代数精度为( );10、解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为( )。二、单项选择题: 1、求解线性方程组Ax=b的LLT分解法中,A须满足的条件是( )。A. 对称阵 B. 正定矩阵 C. 任意阵 D. 各阶顺序主子式均不为零 2、舍入误差是( )产生的误差。A. A. 只取有限位数 B.模型准确值与用数值方法求得的准确值C. 观察与测量 D.数学模型准确值与实际值 3、3.141580是的有( )位有效数字的近似值。 A. 6 B.
6、5 C. 4 D. 7 4、幂法是用来求矩阵( )特征值及特征向量的迭代法。A. 按模最大 B. 按模最小 C. 所有的 D. 任意一个 5、用 1+x近似表示ex所产生的误差是( )误差。A. 模型 B. 观测 C. 截断 D. 舍入 6、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是( )。A.控制舍入误差 B. 减小方法误差C.防止计算时溢出 D. 简化计算 7、解线性方程组Ax=b的迭代格式x(k+1)=Mx(k)+f收敛的充要条件是( )。A. B. C. D. 三、计算题:1、为了使的近似值的相对误差限小于0.1%,要取几位有效数字? 2、已知区间0.4,0.8的函数表0.4 0.5
7、 0.6 0.7 0.80.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736如用二次插值求的近似值,如何选择节点才能使误差最小?并求该近似值。3、构造求解方程的根的迭代格式,讨论其收敛性,并将根求出来,。 4利用矩阵的LU分解法解方程组 。 5对方程组 (1) 试建立一种收敛的Seidel迭代公式,说明理由;(2) 取初值,利用(1)中建立的迭代公式求解,要求。 6用复合梯形求积公式计算,则至少应将0,1分为多少等份才能保证所得积分的近似值有5位有效数字?复习题(二)参考答案一、1、2; 2、倍; 3、;4、; 5、截断,舍入;6、; 7、; 8、 0.15; 9、;
8、10、A的各阶顺序主子式均不为零。二、1、B 2、A 3、B 4、A、 5、C 6、A 7、D三、1、解:设有n位有效数字,由,知 令 , 取 , 故 1、 1、解: 应选三个节点,使误差 尽量小,即应使尽量小,最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点最好,实际计算结果, 且 3、解:令 .且,故在(0,1)内有唯一实根.将方程变形为 则当时,故迭代格式 收敛。取,计算结果列表如下:n012答:放大镜的中间厚,边缘薄,光线在透过放大镜时会产生折射,因此会把物图像放大。30.50.035 127 8720.096 424 7850.089 877 325n答:我们在水中可发现变形虫、鼓藻、草
9、履虫、船形硅藻等。4510、生物学家列文虎克于1632年出生在荷兰,他制成了世界上最早的可放大300倍的金属结构的显微镜。他用自制的显微镜发现了微生物。6718、建立自然保护区是保护生物多样性的有效方法,我国的九寨沟、长白山、四川卧龙等地都建立了自然保护区,自然保护区为物种的生存、繁衍提供了良好的场所。13、清洁的自来水被用来洗脸、刷牙、洗衣、拖地后就成了污水。0.090 595 9930.090 517 3400.090 525 950答:可以,馒头中也含有淀粉,淀粉在咀嚼的过程中发生了变化,变得有甜味了。0.090 525 0088、晶体的形状多种多样,但都很有规则。有的是立方体,有的像金
10、字塔,有的像一簇簇的针有的晶体较大,肉眼可见,有的较小,要在放大镜或显微镜下才能看见。且满足 .所以.4、解: 令得,得.7、对于生活中的一些废弃物,我们可以从垃圾中回收它们并重新加工利用。这样做不但能够减少垃圾的数量,而且能够节省大量的自然资源。5、解:调整方程组的位置,使系数矩阵严格对角占优故对应的高斯塞德尔迭代法收敛.迭代格式为8、铁生锈的原因是什么?人们怎样防止铁生锈?取,经7步迭代可得:答:火柴燃烧、铁钉生锈、白糖加热等。.6、解:当0x1时,ex,则 ,且有一位整数. 要求近似值有5位有效数字,只须误差 .由 ,只要 即可,解得 所以 ,因此至少需将 0,1 68等份。复习题(三)
11、一、填空题: 1、为了使计算 的乘除法次数尽量地少,应将该表达式改写为 ,为了减少舍入误差,应将表达式改写为 。 2、用二分法求方程在区间0,1内的根,进行一步后根的所在区间为 ,进行两步后根的所在区间为 . 3、设,则,. 4、计算积分,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ,用辛卜生公式计算求得的近似值为 ,梯形公式的代数精度为 ,辛卜生公式的代数精度为 。 5、求解方程组的高斯塞德尔迭代格式为 ,该迭代格式的迭代矩阵的谱半径= 。二、计算题: 1、已知下列实验数据xi1.361.952.16f(xi)16.84417.37818.435试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据.
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