极值点偏移问题.doc

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极值点偏移问题总结
一、 判定方法
1、极值点偏移的定义
对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，
（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；
（2） 若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；
（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏。
2、极值点偏移的判定定理
判定定理1 对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，方程的解分别为，且，
（1）若，则，即函数在区间上极大（小）值点右（左）偏；
（2）0若，则，即函数在区间上极大（小）值点左（右）偏。
证明：（1）因为可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，则函数的单调递增（减）区间为，单调递减（增）区间为，又，有由于，故，所以，即函数极大（小）值点右（左）偏。

判定定理2 对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，方程的解分别为，且，
（1）若，则，即函数在区间上极大（小）值点右（左）偏；
（2）若，则，即函数在区间上极大（小）值点左（右）偏。
证明：（1）因为对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，则函数的单调递增（减）区间为，单调递减（增）区间为，又，有，且，又，故，所以，即函数极大（小）值点右（左）偏.
结论（2）证明略。
二、 运用判定定理判定极值点偏移的方法
1.方法概述：
（1）求出函数的极值点；
（2）构造一元差函数
（3）确定函数的单调性；
（4）结合，判断的符号，从而确定的大小关系。
2.抽化模型
答题模板：若已知函数满足，为的极值点，求证：
（1）讨论函数的单调性并求出的极值点；
假设此处在上单调递减，在 上单调递增。
（2）构造；
注：此处根据题意需要还可以构造成
（3）通过求导谈论的单调性，判断处在某段区间上的正负，并得出与的大小关系；
假设此处在上单调递增，那么我们便可以得出，从而得到：时，
（4）不妨设，通过的单调性，，的大小关系得出结论；
接上述情况：由于时，且，故 ，又因为，且在上单调递减，从而得到，从而得证；
（5）若要证明还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证；
此处只需继续证明：因为故，由于在上单调递减，故
说明：
（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；
（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求的单调性、极值点，证明或的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如 或者的结论，让你给出证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题。
三、 例题
(一) 不含参数的的极值点偏移问题
例1：（2010 天津理21）已知函数
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）若，且，求证：

解答：
【法一】
（1），；增 减 极大值
（2） ，
； 减；增
时， 即
，不妨设，由（1）知，
， 在上增，
，即
【法二】
欲证，即证
由法一知，故
又因为 在上是单调递减的，只需证,
又因为，故也即证，
构造函数，
由
在上单调递增，
故原不等式成立
【法三】
由得，，化简得 ①
不妨设，由法一知，令，则，，
代入①得：，反解出：，则，
故要证即证，又因为，
等价于证明： ②
构造函数，则，，
故上单调递增，
从而上单调递增，
【法四】
由得，，化简得 ①，
两边同时取以e为底的对数：得，即，
从而，
令，则欲证等价于证明 ②，
构造，
则 ，
又令 则，
由于对恒成立，故，
在上单调递增，，
对恒成立，在上单调递增，
由洛必达法则知：
即，即证③式成立，也即原不等式成立
例2：（2013 湖南 文21），
（1）求函数的单调区间；
（2）证明：当时，

(二) 含参数的极值点偏移问题
含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元 基础上，有多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决，或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数。
例1已知函数有两个不同的零点，求证：
例2. 已知函数，为常数，若函数有两个不同的零点，求证：
例3：已知是函数的两个零点，且
（1）求证：
（2）
例4：已知函数，若存在（），使 求证：
变式训练：
1.设函数的图像与轴交于两点，
（1）证明：
（2）求证：
2.设函数，其图像在点处切线的斜率为，当时，令，设（）是方程的两个根，是的等差中项，求证：
3.已知函数
（1）若，求函数在上的零点个数；
（2）若有两零点（），求证：
4.已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）设，证明：时，
(三)
(四) 虫 虫字旁（蜘 蛛 蛙）饣 食字旁（饱 饭 馒）含对数式的极值点偏移问题

朋友=伙伴 仿佛=好像 喜欢=喜爱根据建立等式，通过消参、恒等变形转化为对数平均，捆绑构造函数，利用对数平均不等式链求解。
对数平均不等式的介绍与证明
两个整数和的对数平均定义： ，

慢——（快） （南）——（北） （古）——（今） 闲——（忙）对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：

例1：已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）设，证明：当时，；

④ 高兴——高高兴兴 大小——大大小小 多少——多多少少（3）若函数的图像与轴交于A,B两点，线段AB中点的横坐标为，证明：

(五) 含指数式的极值点偏移问题

很红很红的苹果 很多很多的小鸟 很美很美的花儿

八、“从”在句子中的使用例1（全国1卷 2016 理21）已知函数有两个零点，证明：

六、看图写话例2（天津 2010 理21）已知函数

（8）乌鸦看见一个瓶子，瓶子里有水。可是，瓶子里的水（不多），瓶口（又小）。乌鸦把（小石子）一个一个地放进瓶子里。瓶子里的水（升高）了，乌鸦就喝着水了。（1）求函数的单调区间和极值；
（2）若，且，求证：
例3.设函数的图像与轴交于两点，证明：

淘气的娃娃 美丽的夏夜 可口的松果 闷热的天气变式训练：
已知函数在 上有两个零点

弯弯的月亮像小船。 蓝蓝的天空像大海 。（1）求实数的取值范围；
（2）求证：；
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