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二次函数解决实际问题归纳及练习
一、应用二次函数解决实际问题的基本思路和步骤：
1、基本思路：理解问题→分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系→用函数关系式表示它们的关系→用数学方法求解→检验结果的合理性；
2、基本步骤：审题→建模(建立二次函数模型) →解模(求解) →回答(用生活语言回答，即问什么答什么)。
二、利用二次函数解决实际问题的类型
1、用二次函数解决几类典型问题

叙述
具体方法
代数问题
在日常生活、生产中，常遇到求什么情况下时间最少、费用最低、效率最高等，其中一些问题可归结为求二次函数的最大值（或最小值）
根据题意或几何图形特点求出二次函数表达式，再通过配方配成顶点式或利用顶点坐标公式求出二次函数的顶点坐标，其纵标即为函数的最大值或最小值
几何问题
何时面积最大、周长最长等几何问题，可借助二次函数求最大（小）
牢记
（1）二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)可化为y= a(x+)2+，当x=-时，y有最大值或最小值，即y最大（小）值 = ；
（2）若顶点的横坐标不在自变量的取值范围之内，就不能用抛物线的顶点坐标求出图形的最大值或最小值，应根据实际情况进行确定；
（3）求函数的最值时不要忽视了自变量的取值范围；
（4）关于营销方面的几个公式：①销售额=销售单价×销售量；②利润=销售额-成本=单件利润×销售量；③单件利润=销售单价-成本单价
巧记
实际问题要解决，正确建模是关键；根据题意的函数，提取配方定顶点；
抛物线有对称轴，增减特性可看图；线轴交点是顶点，顶点纵标最值出。
解决最值问题应用题思路区别于一般应用题有两点：①设未知数在“当某某为何值时，什么最大（最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；②问的求解依靠配方法或最值公式而不是解方程。
（1）利用二次函数解决利润最大问题
此类问题围绕总利润=单件利润×销售总量，设未知数时，总利润必然是因变量y，而自变量有两种情况：①自变量x是所涨价多少或降价多少；②自变量x是最终销售价格。
例：商场销售M型服装时，标价75元/件，按8折销售仍可获利50%，现搞促销活动，每件在8折的基础上再降价x元，已知每天销售数量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式为y=20+4x(x﹥0)
①求M型服装的进价
②求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值。
（2）利用二次函数解决面积最值
例：已知正方形ABCD边长为8，E、F、P分别是AB、CD、AD上的点（不与正方形顶点重合），且PE⊥PF，PE=PF
问当AE为多长时，五边形EBCFP面积最小，最小面积多少？
2、用二次函数解抛物线形问题

常见情形
具体方法
抛物线形建筑物问题
几种常见的抛物线形建筑物有拱形桥洞、涵洞、隧道洞口、拱形门窗等
（1）建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放到坐标系之中；
（2）从已知和图象中获得求二次函数表达式所需条件；
（3）利用待定系数法求出抛物线的表达式；
（4）运用已求出抛物线的表达式去解决相关问题。
运动路线（轨迹）问题
运动员空中跳跃轨迹、球类飞行轨迹、喷头喷出水的轨迹等
牢记
（1）解决这类问题的关键首先在于建立二次函数模型，将实际问题转化为数学问题，其次是充分运用已知的条件利用待定系数法求出抛物线的表达式；
（2）把哪一点当作原点建立坐标系，将会直接关系到解题的难易程度或是否可解；
（3）一般把抛物线形的顶点作为坐标系的原点建立坐标系，这样得出的二次函数的表达式最为简单。
巧记
实际问题要解决，正确建模是关键；根据题意的函数，提取配方定顶点；
抛物线有对称轴，增减特性可看图；线轴交点是顶点，顶点纵标最值出。
练习

1：某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？

2：某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物，大门底部宽AB=4m，顶部C离地面的高度为4.4m，现有载满货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.7m，装货宽度为2.4m。这辆汽车能否顺利通过大门?若能，请你通过计算加以说明；若不能，请简要说明理由.
3、某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元．
（1）求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？
4、某公司试销某种“上海世博会”纪念品,每件按30元销售，可获利50％，设每件纪念品的成本为a 元。（1）试求a 的值；
（2）公司在试销过程中进行了市场调查，发现试销量y（件）与每件售价x（元）满足关系式y=–10x+800.设每天销售利润为W(元)，求每天销售利润W(元) 与每件售价x（元）之间的函数关系式；当每件售价为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？