初三数学一元二次方程组的专项培优-易错-难题练习题(含答案)及详细答案.doc

初三数学一元二次方程组的专项培优 易错 难题练习题(含答案)及详细答案一、一元二次方程1如图，在ABC中，AB6cm，BC7cm，ABC30，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动如果P、Q两点同时出发，经过几秒后PBQ的面积等于4cm2？【答案】经过2秒后PBQ的面积等于4cm2【解析】【分析】作出辅助线，过点Q作QEPB于E，即可得出SPQB=PBQE，有P、Q点的移动速度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案【详解】解：如图，过点Q作QEPB于E，则QEB90ABC30，2QEQBSPQBPBQE设经过t秒后PBQ的面积等于4cm2，则PB6t，QB2t，QEt根据题意， （6t）t4t26t+80t22，t24当t4时，2t8，87，不合题意舍去，取t2答：经过2秒后PBQ的面积等于4cm2【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，注意对所求的值进行检验，对于不合适的值舍去2已知关于x的方程x2（2k+1）x+k2+10（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k2，求该矩形的对角线L的长【答案】（1）k；（2）.【解析】【分析】（1）根据关于x的方程x2(2k1)xk210有两个不相等的实数根，得出0，再解不等式即可；（2）当k=2时，原方程x2-5x+5=0，设方程的两根是m、n，则矩形两邻边的长是m、n，利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=5，则矩形的对角线长为，利用完全平方公式进行变形即可求得答案.【详解】（1）方程x2(2k1)xk210有两个不相等的实数根，(2k1)241(k21)4k30，k；(2)当k2时，原方程为x25x50，设方程的两个根为m，n，mn5，mn5，矩形的对角线长为：.【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0时，方程有两个不相等的实数根；（2）=0时，方程有两个相等的实数根；（3）0时，方程没有实数根3解方程：（2x+1）2=2x+1【答案】x=0或x=.【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可.试题解析：（2x+1）2（2x+1）=0，（2x+1）（2x+11）=0，即2x（2x+1）=0，则x=0或2x+1=0，解得：x=0或x=4计算题 （1）先化简，再求值：（1+），其中x=2017 （2）已知方程x22x+m3=0有两个相等的实数根，求m的值【答案】（1）2018；（2）m=4【解析】分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.详解：（1）（1+）= = =x+1，当x=2017时，原式=2017+1=2018（2）解：方程x22x+m3=0有两个相等的实数根，=（2）241（m3）=0，解得，m=4 点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.5图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为ABC和DEF，其中B=90，A=45，BC=，F=90，EDF=30， EF=2将DEF的斜边DE与ABC的斜边AC重合在一起，并将DEF沿AC方向移动在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；（2）如图2，李晨同学连接FC，编制了如下问题，请你回答：FCD的最大度数为 ；当FCAB时，AD= ；当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD= ;FCD的面积s的取值范围是 .【答案】（1）2；（2） 60；.【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可得到AD的长.（2）当点E与点C重合时，FCD的角度最大，据此求解即可.过点F作FHAC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.过点F作FHAC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.设AD=x，把FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析：（1）B=90，A=45，BC=，AC=12.CD=10，AD=2. （2）F=90，EDF=30，DEF=60.当点E与点C重合时，FCD的角度最大，FCD的最大度数=DEF=60. 如图，过点F作FHAC于点H，EDF=30， EF=2，DF=. DH=3，FH=.FCAB，A=45，FCH=45. HC=. DC=DH+HC=.AC=12，AD=.如图，过点F作FHAC于点H，设AD=x，由知DH=3，FH=，则HC=.在RtCFH中，根据勾股定理，得.以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边，即，解得.设AD=x，易知，即.而，当时，；当时，.FCD的面积s的取值范围是.考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.6观察下列一组方程：；它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”若也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程；请写出第n个方程和它的根【答案】（1）x17，x28.（2）x1n1，x2n.【解析】【分析】（1）根据十字相乘的方法和“连根一元二次方程”的定义,找到56是7与8的乘积,确定k值即可解题,（2）找到规律,十字相乘的方法即可求解.【详解】解：(1)由题意可得k15，则原方程为x215x560，则(x7)(x8)0，解得x17，x28.(2)第n个方程为x2(2n1)xn(n1)0，(xn)(xn1)0，解得x1n1，x2n.【点睛】本题考查了用因式分解法求解一元二次方程,与十字相乘联系密切,连根一元二次方程是特殊的十字相乘,中等难度,会用十字相乘解题是解题关键.7已知关于x的一元二次方程若此方程有两个实数根，求m的最小整数值；若此方程的两个实数根为，且满足，求m的值【答案】（1）的最小整数值为；（2）【解析】【分析】（1）根据方程有两个实数根得,列式即可求解,（2）利用韦达定理即可解题.【详解】（1）解：方程有两个实数根，即 的最小整数值为（2）由根与系数的关系得：，由得： ， 【点睛】本题考查了根的判别式和韦达定理,中等难度,熟悉韦达定理是解题关键.8某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱为了促销，该水果店决定降价销售市场调查反映:若售价每降价1元，每星期可多卖10箱设该苹果每箱售价x元（40x60），每星期的销售量为y箱（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？（3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元?【答案】(1)y=-10x+780；(2) 57；(3)当售价为59元时，利润最大，为3610元【解析】【分析】（1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x元,则多销售的数量为60-x,（2）解一元二次方程即可求解,（3）表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解.【详解】解：（1）售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设该苹果每箱售价x元（40x60），则y=180+10（60-x）=-10x+780,(40x60),(2)依题意得：（x-40）(-10x+780)=3570,解得：x=57,当每箱售价为57元时，每星期的销售利润达到3570元.（3）设每星期的利润为w，W=（x-40）(-10x+780)=-10（x-59）2+3610,-100,二次函数向下,函数有最大值,当x=59时, 利润最大，为3610元.【点睛】本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,熟悉二次函数的实际应用是解题关键.9关于x的一元二次方程x22x(n1)0有两个不相等的实数根(1)求n的取值范围；(2)若n为取值范围内的最小整数，求此方程的根【答案】(1)n0；(2)x10，x22【解析】【分析】(1)根据方程有两个不相等的实数根可知 ，即可求出 的取值范围；（2）根据题意得出 的值，将其代入方程，即可求得答案.【详解】(1)根据题意知， 解之得：；(2) 且为取值范围内的最小整数，则方程为，即，解得【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，明确和掌握一元二次方程 的根与的关系（当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根）是解题关键.10某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？【答案】(1)2000；(2)2米【解析】【分析】（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程；（2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程【详解】解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，根据题意得：= 4解得：x=2000，经检验，x=2000是原方程的解;答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米； （2）设人行道的宽度为x米，根据题意得，（203x）（82x）=56 解得：x=2或x=（不合题意，舍去）答：人行道的宽为2米11已知关于x的一元二次方程x2mx20（1）若x1是方程的一个根，求m的值和方程的另一根；（2）对于任意实数m，判断方程的根的情况，并说明理由【答案】（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析.【解析】试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式与0的关系进行判断(1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=12-2=0另一根是2；(2)，方程有两个不相等的实数根考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根12已知：关于x的一元二次方程.（1）若此方程有两个实数根，求没的最小整数值；（2）若此方程的两个实数根为，且满足，求的值.【答案】（1）-4；（2）m=3【解析】【分析】（1）利用根的判别式的意义得到0，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；（2）利用根与系数的关系得到，然后解关于m的一元二次方程，即可确定m的值【详解】解：（1）有两个实数根，；m的最小整数值为：；（2）由根与系数的关系得：，由得： ，解得：或；，.【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根时，则，也考查了根的判别式解题的关键是熟练掌握根与系数的关系和根的判别式.13阅读下面内容：我们已经学习了二次根式和乘法公式，聪明的你可以发现：当a0，b0时：（）2=a2+b0a+b2，当且仅当a=b时取等号请利用上述结论解决以下问题：（1）请直接写出答案：当x0时，x+的最小值为 当x0时，x+的最大值为 ；（2）若y=，（x1），求y的最小值；（3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AOB、COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值【答案】（1）2；2（2）y的最小值为9；（3）四边形ABCD面积的最小值为25【解析】【分析】（1）当x0时，按照公式a+b2（当且仅当a=b时取等号）来计算即可；当x0时，x0，0，则也可以按公式a+b2（当且仅当a=b时取等号）来计算；（2）将y的分子变形，分别除以分母，展开，将含x的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；（3）设SBOC=x，已知SAOB=4，SCOD=9，由三角形面积公式可知：SBOC：SCOD=SAOB：SAOD，用含x的式子表示出SAOD，再表示出四边形的面积，根据题中所给公式求得最小值，加上常数即可【详解】（1）当x0时，x22；当x0时，x0，0x22，则x（x）2，当x0时，x的最小值为 2当x0时，x的最大值为2故答案为：2，2（2）x1，x+10，y=（x+1）525=4+5=9，y的最小值为9（3）设SBOC=x，已知SAOB=4，SCOD=9则由等高三角形可知：SBOC：SCOD=SAOB：SAOD，x：9=4：SAOD，SAOD，四边形ABCD面积=4+9+x13+225当且仅当x=6时，取等号，四边形ABCD面积的最小值为25【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用14已知关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围是否存在实数，使方程的两实数根互为相反数？【答案】(1)且；(2)不存在,理由见解析【解析】【分析】（1）因为方程（k1）x2+（2k3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2得出其判别式0，可解得k的取值范围；（2）假设存在两根的值互为相反数，根据根与系数的关系，列出对应的不等式即可求出k的值【详解】（1）方程（k1）x2+（2k3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2，可得：k10且=12k+130，解得：k且k1；（2）假设存在两根的值互为相反数，设为 x1，x2x1+x2=0，=0，k=又k且k1，k不存在【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=p，x1x2=q15将进货单价为40元的商品按50元售出，能售出500件，如果该商品涨价1元，其销售量就要减少10件，为了赚取8000元的利润，售价应定为多少元？这时应进货多少件？【答案】要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件【解析】【分析】设每件商品涨价元，能赚得8000元的利润；销售单价为元，销售量为件；每件的利润为根据为（50+x-40）元，根据总利润=销售量每个利润，可列方程求解【详解】解：设每件商品涨价元，则销售单价为元，销售量为件根据题意，得解得，经检验，都符合题意当时，；当时，所以，要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件【点睛】本题考查一元二次方程的应用，关键看到售价和销售量的关系，然后以利润做为等量关系列方程求解