上海西南位育中学七年级下册数学期末试卷试卷(word版含答案).doc
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上海西南位育中学七年级下册数学期末试卷试卷(word版含答案) 一、解答题 1.如图,,点A、B分别在直线MN、GH上,点O在直线MN、GH之间,若,. (1)= ; (2)如图2,点C、D是、角平分线上的两点,且,求 的度数; (3)如图3,点F是平面上的一点,连结FA、FB,E是射线FA上的一点,若 ,,且,求n的值. 2.已知点C在射线OA上. (1)如图①,CDOE,若∠AOB=90°,∠OCD=120°,求∠BOE的度数; (2)在①中,将射线OE沿射线OB平移得O′E'(如图②),若∠AOB=α,探究∠OCD与∠BO′E′的关系(用含α的代数式表示) (3)在②中,过点O′作OB的垂线,与∠OCD的平分线交于点P(如图③),若∠CPO′=90°,探究∠AOB与∠BO′E′的关系. 3.已知,定点,分别在直线,上,在平行线,之间有一动点. (1)如图1所示时,试问,,满足怎样的数量关系?并说明理由. (2)除了(1)的结论外,试问,,还可能满足怎样的数量关系?请画图并证明 (3)当满足,且,分别平分和, ①若,则__________°. ②猜想与的数量关系.(直接写出结论) 4.已知,AB∥CD.点M在AB上,点N在CD上. (1)如图1中,∠BME、∠E、∠END的数量关系为: ;(不需要证明) 如图2中,∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为: ;(不需要证明) (2)如图3中,NE平分∠FND,MB平分∠FME,且2∠E+∠F=180°,求∠FME的度数; (3)如图4中,∠BME=60°,EF平分∠MEN,NP平分∠END,且EQ∥NP,则∠FEQ的大小是否发生变化,若变化,请说明理由,若不变化,求出∠FEQ的度数. 5.已知AB∥CD,∠ABE与∠CDE的角分线相交于点F. (1)如图1,若BM、DM分别是∠ABF和∠CDF的角平分线,且∠BED=100°,求∠M的度数; (2)如图2,若∠ABM=∠ABF,∠CDM=∠CDF,∠BED=α°,求∠M的度数; (3)若∠ABM=∠ABF,∠CDM=∠CDF,请直接写出∠M与∠BED之间的数量关系 二、解答题 6.为更好地理清平行线相关角的关系,小明爸爸为他准备了四根细直木条、、、,做成折线,如图1,且在折点B、C、D处均可自由转出. (1)如图2,小明将折线调节成,,,判断是否平行于,并说明理由; (2)如图3,若,调整线段、使得求出此时的度数,要求画出图形,并写出计算过程. (3)若,,,请直接写出此时的度数. 7.将两块三角板按如图置,其中三角板边,,,. (1)下列结论:正确的是_______. ①如果,则有; ②; ③如果,则平分. (2)如果,判断与是否相等,请说明理由. (3)将三角板绕点顺时针转动,直到边与重合即停止,转动的过程中当两块三角板恰有两边平行时,请直接写出所有可能的度数. 8.如图,,平分,设为,点E是射线上的一个动点. (1)若时,且,求的度数; (2)若点E运动到上方,且满足,,求的值; (3)若,求的度数(用含n和的代数式表示). 9.已知两条直线l1,l2,l1∥l2,点A,B在直线l1上,点A在点B的左边,点C,D在直线l2上,且满足. (1)如图①,求证:AD∥BC; (2)点M,N在线段CD上,点M在点N的左边且满足,且AN平分∠CAD; (Ⅰ)如图②,当时,求∠DAM的度数; (Ⅱ)如图③,当时,求∠ACD的度数. 10.已知,直角的边与直线a分别相交于O、G两点,与直线b分别交于E、F点,. (1)将直角如图1位置摆放,如果,则______; (2)将直角如图2位置摆放,N为AC上一点,,请写出与之间的等量关系,并说明理由. (3)将直角如图3位置摆放,若,延长AC交直线b于点Q,点P是射线GF上一动点,探究,与的数量关系,请直接写出结论. 三、解答题 11.如图,直线,、是、上的两点,直线与、分别交于点、,点是直线上的一个动点(不与点、重合),连接、. (1)当点与点、在一直线上时,,,则_____. (2)若点与点、不在一直线上,试探索、、之间的关系,并证明你的结论. 12.(1)如图1,∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E,AB∥CD,∠ADC=50°,∠ABC=40°,求∠AEC的度数; (2)如图2,∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E,∠ADC=α°,∠ABC=β°,求∠AEC的度数; (3)如图3,PQ⊥MN于点O,点A是平面内一点,AB、AC交MN于B、C两点,AD平分∠BAC交PQ于点D,请问的值是否发生变化?若不变,求出其值;若改变,请说明理由. 13.模型与应用. (模型) (1)如图①,已知AB∥CD,求证∠1+∠MEN+∠2=360°. (应用) (2)如图②,已知AB∥CD,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为 . 如图③,已知AB∥CD,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n的度数为 . (3)如图④,已知AB∥CD,∠AM1M2的角平分线M1 O与∠CMnMn-1的角平分线MnO交于点O,若∠M1OMn=m°. 在(2)的基础上,求∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+……+∠n-1的度数.(用含m、n的代数式表示) 14.如果三角形的两个内角与满足,那么我们称这样的三角形是“准互余三角形”. (1)如图1,在中,,是的角平分线,求证:是“准互余三角形”; (2)关于“准互余三角形”,有下列说法: ①在中,若,,,则是“准互余三角形”; ②若是“准互余三角形”,,,则; ③“准互余三角形”一定是钝角三角形. 其中正确的结论是___________(填写所有正确说法的序号); (3)如图2,,为直线上两点,点在直线外,且.若是直线上一点,且是“准互余三角形”,请直接写出的度数. 15.如图,,点A、B分别在直线MN、GH上,点O在直线MN、GH之间,若,. (1)= ; (2)如图2,点C、D是、角平分线上的两点,且,求 的度数; (3)如图3,点F是平面上的一点,连结FA、FB,E是射线FA上的一点,若 ,,且,求n的值. 【参考答案】 一、解答题 1.(1)100;(2)75°;(3)n=3. 【分析】 (1)如图:过O作OP//MN,由MN//OP//GH得∠NAO+∠POA=180°,∠POB+∠OBH=180°,即∠NAO+∠AOB+∠OB 解析:(1)100;(2)75°;(3)n=3. 【分析】 (1)如图:过O作OP//MN,由MN//OP//GH得∠NAO+∠POA=180°,∠POB+∠OBH=180°,即∠NAO+∠AOB+∠OBH=360°,即可求出∠AOB; (2)如图:分别延长AC、CD交GH于点E、F,先根据角平分线求得,再根据平行线的性质得到;进一步求得,,然后根据三角形外角的性质解答即可; (3)设BF交MN于K,由∠NAO=116°,得∠MAO=64°,故∠MAE=,同理∠OBH=144°,∠HBF=n∠OBF,得∠FBH=,从而,又∠FKN=∠F+∠FAK,得,即可求n. 【详解】 解:(1)如图:过O作OP//MN, ∵MN//GHl ∴MN//OP//GH ∴∠NAO+∠POA=180°,∠POB+∠OBH=180° ∴∠NAO+∠AOB+∠OBH=360° ∵∠NAO=116°,∠OBH=144° ∴∠AOB=360°-116°-144°=100°; (2)分别延长AC、CD交GH于点E、F, ∵AC平分且, ∴, 又∵MN//GH, ∴; ∵, ∵BD平分, ∴, 又∵ ∴; ∴; (3)设FB交MN于K, ∵,则; ∴ ∵, ∴,, 在△FAK中,, ∴, ∴. 经检验:是原方程的根,且符合题意. 【点睛】 本题主要考查平行线的性质及应用,正确作出辅助线、构造平行线、再利用平行线性质进行求解是解答本题的关键. 2.(1)150°;(2)∠OCD+∠BO′E′=360°-α;(3)∠AOB=∠BO′E′ 【分析】 (1)先根据平行线的性质得到∠AOE的度数,再根据直角、周角的定义即可求得∠BOE的度数; (2) 解析:(1)150°;(2)∠OCD+∠BO′E′=360°-α;(3)∠AOB=∠BO′E′ 【分析】 (1)先根据平行线的性质得到∠AOE的度数,再根据直角、周角的定义即可求得∠BOE的度数; (2)如图②,过O点作OF∥CD,根据平行线的判定和性质可得∠OCD、∠BO′E′的数量关系; (3)由已知推出CP∥OB,得到∠AOB+∠PCO=180°,结合角平分线的定义可推出∠OCD=2∠PCO=360°-2∠AOB,根据(2)∠OCD+∠BO′E′=360°-∠AOB,进而推出∠AOB=∠BO′E′. 【详解】 解:(1)∵CD∥OE, ∴∠AOE=∠OCD=120°, ∴∠BOE=360°-∠AOE-∠AOB=360°-90°-120°=150°; (2)∠OCD+∠BO′E′=360°-α. 证明:如图②,过O点作OF∥CD, ∵CD∥O′E′, ∴OF∥O′E′, ∴∠AOF=180°-∠OCD,∠BOF=∠E′O′O=180°-∠BO′E′, ∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=180°-∠OCD+180°-∠BO′E′=360°-(∠OCD+∠BO′E′)=α, ∴∠OCD+∠BO′E′=360°-α; (3)∠AOB=∠BO′E′. 证明:∵∠CPO′=90°, ∴PO′⊥CP, ∵PO′⊥OB, ∴CP∥OB, ∴∠PCO+∠AOB=180°, ∴2∠PCO=360°-2∠AOB, ∵CP是∠OCD的平分线, ∴∠OCD=2∠PCO=360°-2∠AOB, ∵由(2)知,∠OCD+∠BO′E′=360°-α=360°-∠AOB, ∴360°-2∠AOB+∠BO′E′=360°-∠AOB, ∴∠AOB=∠BO′E′. 【点睛】 此题考查了平行线的判定和性质,平移的性质,直角的定义,角平分线的定义,正确作出辅助线是解决问题的关键. 3.(1)∠AEP+∠PFC=∠EPF;(2)∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°;(3)①150°或30;②∠EPF+2∠EQF=360°或∠EPF=2∠EQF 【分析】 (1)由于点是平行线,之间 解析:(1)∠AEP+∠PFC=∠EPF;(2)∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°;(3)①150°或30;②∠EPF+2∠EQF=360°或∠EPF=2∠EQF 【分析】 (1)由于点是平行线,之间有一动点,因此需要对点的位置进行分类讨论:如图1,当点在的左侧时,,,满足数量关系为:; (2)当点在的右侧时,,,满足数量关系为:; (3)①若当点在的左侧时,;当点在的右侧时,可求得; ②结合①可得,由,得出;可得,由,得出. 【详解】 解:(1)如图1,过点作, , , , , , ; (2)如图2,当点在的右侧时,,,满足数量关系为:; 过点作, , , , , , ; (3)①如图3,若当点在的左侧时, , , ,分别平分和, ,, ; 如图4,当点在的右侧时, , , ; 故答案为:或30; ②由①可知:, ; , . 综合以上可得与的数量关系为:或. 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质,平行公理和及推论等知识点,作辅助线后能求出各个角的度数,是解此题的关键. 4.(1)∠BME=∠MEN﹣∠END;∠BMF=∠MFN+∠FND;(2)120°;(3)不变,30° 【分析】 (1)过E作EH∥AB,易得EH∥AB∥CD,根据平行线的性质可求解;过F作FH∥AB 解析:(1)∠BME=∠MEN﹣∠END;∠BMF=∠MFN+∠FND;(2)120°;(3)不变,30° 【分析】 (1)过E作EH∥AB,易得EH∥AB∥CD,根据平行线的性质可求解;过F作FH∥AB,易得FH∥AB∥CD,根据平行线的性质可求解; (2)根据(1)的结论及角平分线的定义可得2(∠BME+∠END)+∠BMF-∠FND=180°,可求解∠BMF=60°,进而可求解; (3)根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ=∠BME,进而可求解. 【详解】 解:(1)过E作EH∥AB,如图1, ∴∠BME=∠MEH, ∵AB∥CD, ∴HE∥CD, ∴∠END=∠HEN, ∴∠MEN=∠MEH+∠HEN=∠BME+∠END, 即∠BME=∠MEN﹣∠END. 如图2,过F作FH∥AB, ∴∠BMF=∠MFK, ∵AB∥CD, ∴FH∥CD, ∴∠FND=∠KFN, ∴∠MFN=∠MFK﹣∠KFN=∠BMF﹣∠FND, 即:∠BMF=∠MFN+∠FND. 故答案为∠BME=∠MEN﹣∠END;∠BMF=∠MFN+∠FND. (2)由(1)得∠BME=∠MEN﹣∠END;∠BMF=∠MFN+∠FND. ∵NE平分∠FND,MB平分∠FME, ∴∠FME=∠BME+∠BMF,∠FND=∠FNE+∠END, ∵2∠MEN+∠MFN=180°, ∴2(∠BME+∠END)+∠BMF﹣∠FND=180°, ∴2∠BME+2∠END+∠BMF﹣∠FND=180°, 即2∠BMF+∠FND+∠BMF﹣∠FND=180°, 解得∠BMF=60°, ∴∠FME=2∠BMF=120°; (3)∠FEQ的大小没发生变化,∠FEQ=30°. 由(1)知:∠MEN=∠BME+∠END, ∵EF平分∠MEN,NP平分∠END, ∴∠FEN=∠MEN=(∠BME+∠END),∠ENP=∠END, ∵EQ∥NP, ∴∠NEQ=∠ENP, ∴∠FEQ=∠FEN﹣∠NEQ=(∠BME+∠END)﹣∠END=∠BME, ∵∠BME=60°, ∴∠FEQ=×60°=30°. 【点睛】 本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义,作平行线的辅助线是解题的关键. 5.(1)65°;(2);(3)2n∠M+∠BED=360° 【分析】 (1)首先作EG∥AB,FH∥AB,连结MF,利用平行线的性质可得∠ABE+∠CDE=260°,再利用角平分线的定义得到∠ABF+ 解析:(1)65°;(2);(3)2n∠M+∠BED=360° 【分析】 (1)首先作EG∥AB,FH∥AB,连结MF,利用平行线的性质可得∠ABE+∠CDE=260°,再利用角平分线的定义得到∠ABF+∠CDF=130°,从而得到∠BFD的度数,再根据角平分线的定义和三角形外角的性质可求∠M的度数; (2)先由已知得到∠ABE=6∠ABM,∠CDE=6∠CDM,由(1)得∠ABE+∠CDE=360°-∠BED,∠M=∠ABM+∠CDM,等量代换即可求解; (3)由(2)的方法可得到2n∠M+∠BED=360°. 【详解】 解:(1)如图1,作,,连结, , , ,,,, , , , 和的角平分线相交于, , , 、分别是和的角平分线, ,, , ; (2)如图1,,, ,, 与两个角的角平分线相交于点, ,, , , , ; (3)由(2)结论可得,,, 则. 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质和四边形的内角和,关键在于掌握两直线平行同位角相等,内错角相等,同旁内角互补的性质. 二、解答题 6.(1)平行,理由见解析;(2)35°或145°,画图、过程见解析;(3)50°或130°或60°或120° 【分析】 (1)过点C作CF∥AB,根据∠B=50°,∠C=85°,∠D=35°,即可得C 解析:(1)平行,理由见解析;(2)35°或145°,画图、过程见解析;(3)50°或130°或60°或120° 【分析】 (1)过点C作CF∥AB,根据∠B=50°,∠C=85°,∠D=35°,即可得CF∥ED,进而可以判断AB平行于ED; (2)根据题意作AB∥CD,即可∠B=∠C=35°; (3)分别画图,根据平行线的性质计算出∠B的度数. 【详解】 解:(1)AB平行于ED,理由如下: 如图2,过点C作CF∥AB, ∴∠BCF=∠B=50°, ∵∠BCD=85°, ∴∠FCD=85°-50°=35°, ∵∠D=35°, ∴∠FCD=∠D, ∴CF∥ED, ∵CF∥AB, ∴AB∥ED; (2)如图,即为所求作的图形. ∵AB∥CD, ∴∠ABC=∠C=35°, ∴∠B的度数为:35°; ∵A′B∥CD, ∴∠ABC+∠C=180°, ∴∠B的度数为:145°; ∴∠B的度数为:35°或145°; (3)如图2,过点C作CF∥AB, ∵AB∥DE, ∴CF∥DE, ∴∠FCD=∠D=35°, ∵∠BCD=85°, ∴∠BCF=85°-35°=50°, ∴∠B=∠BCF=50°. 答:∠B的度数为50°. 如图5,过C作CF∥AB,则AB∥CF∥CD, ∴∠FCD=∠D=35°, ∵∠BCD=85°, ∴∠BCF=85°-35°=50°, ∵AB∥CF, ∴∠B+∠BCF=180°, ∴∠B=130°; 如图6,∵∠C=85°,∠D=35°, ∴∠CFD=180°-85°-35°=60°, ∵AB∥DE, ∴∠B=∠CFD=60°, 如图7,同理得:∠B=35°+85°=120°, 综上所述,∠B的度数为50°或130°或60°或120°. 【点睛】 本题考查了平行线的判定与性质,解决本题的关键是区分平行线的判定与性质,并熟练运用. 7.(1)②③;(2)相等,理由见解析;(3)30°或45°或75°或120°或135° 【分析】 (1)根据平行线的判定和性质分别判定即可; (2)利用角的和差,结合∠CAB=∠DAE=90°进行判断 解析:(1)②③;(2)相等,理由见解析;(3)30°或45°或75°或120°或135° 【分析】 (1)根据平行线的判定和性质分别判定即可; (2)利用角的和差,结合∠CAB=∠DAE=90°进行判断; (3)依据这两块三角尺各有一条边互相平行,分五种情况讨论,即可得到∠EAB角度所有可能的值. 【详解】 解:(1)①∵∠BFD=60°,∠B=45°, ∴∠BAD+∠D=∠BFD+∠B=105°, ∴∠BAD=105°-30°=75°, ∴∠BAD≠∠B, ∴BC和AD不平行,故①错误; ②∵∠BAC+∠DAE=180°, ∴∠BAE+∠CAD=∠BAE+∠CAE+∠DAE=180°,故②正确; ③若BC∥AD, 则∠BAD=∠B=45°, ∴∠BAE=45°, 即AB平分∠EAD,故③正确; 故答案为:②③; (2)相等,理由是: ∵∠CAD=150°, ∴∠BAE=180°-150°=30°, ∴∠BAD=60°, ∵∠BAD+∠D=∠BFD+∠B, ∴∠BFD=60°+30°-45°=45°=∠C; (3)若AC∥DE, 则∠CAE=∠E=60°, ∴∠EAB=90°-60°=30°; 若BC∥AD, 则∠B=∠BAD=45°, ∴∠EAB=45°; 若BC∥DE, 则∠E=∠AFB=60°, ∴∠EAB=180°-60°-45°=75°; 若AB∥DE, 则∠D=∠DAB=30°, ∴∠EAB=30°+90°=120°; 若AE∥BC, 则∠C=∠CAE=45°, ∴∠EAB=45°+90°=135°; 综上:∠EAB的度数可能为30°或45°或75°或120°或135°. 【点睛】 本题考查了平行线的判定和性质,角平分线的定义,解题的关键是理解题意,分情况画出图形,学会用分类讨论的思想思考问题. 8.(1)60°;(2)50°;(3)或 【分析】 (1)根据平行线的性质可得的度数,再根据角平分线的性质可得的度数,应用三角形内角和计算的度数,由已知条件,可计算出的度数; (2)根据题意画出图形,先 解析:(1)60°;(2)50°;(3)或 【分析】 (1)根据平行线的性质可得的度数,再根据角平分线的性质可得的度数,应用三角形内角和计算的度数,由已知条件,可计算出的度数; (2)根据题意画出图形,先根据可计算出的度数,由可计算出的度数,再根据平行线的性质和角平分线的性质,计算出的度数,即可得出结论; (3)根据题意可分两种情况,①若点运动到上方,根据平行线的性质由可计算出的度数,再根据角平分线的性质和平行线的性质,计算出的度数,再,,列出等量关系求解即可等处结论;②若点运动到下方,根据平行线的性质由可计算出的度数,再根据角平分线的性质和平行线的性质,计算出的度数,再,列出等量关系求解即可等处结论. 【详解】 解:(1),, , 平分, , , 又, ; (2)根据题意画图,如图1所示, ,, , , , , 又平分, , ; (3)①如图2所示, , , 平分, , , 又, , , 解得; ②如图3所示, , , 平分, , , 又, , , 解得. 综上的度数为或. 【点睛】 本题主要考查平行线的性质和角平分线的性质,两直线平行,同位角相等.两直线平行,同旁内角互补. 两直线平行,内错角相等.合理应用平行线的性质是解决本题的关键. 9.(1)证明见解析;(2)(Ⅰ);(Ⅱ). 【分析】 (1)先根据平行线的性质可得,再根据角的和差可得,然后根据平行线的判定即可得证; (2)(Ⅰ)先根据平行线的性质可得,从而可得,再根据角的和差可得 解析:(1)证明见解析;(2)(Ⅰ);(Ⅱ). 【分析】 (1)先根据平行线的性质可得,再根据角的和差可得,然后根据平行线的判定即可得证; (2)(Ⅰ)先根据平行线的性质可得,从而可得,再根据角的和差可得,然后根据即可得; (Ⅱ)设,从而可得,先根据角平分线的定义可得,再根据角的和差可得,然后根据建立方程可求出x的值,从而可得的度数,最后根据平行线的性质即可得. 【详解】 (1), , 又, , ; (2)(Ⅰ), , , , 由(1)已得:, , ; (Ⅱ)设,则, 平分, , , , , 由(1)已得:, ,即, 解得, , 又, . 【点睛】 本题考查了平行线的判定与性质、角的和差、角平分线的定义、一元一次方程的几何应用等知识点,熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键. 10.(1)136°;(2)∠AOG+∠NEF=90°,理由见解析;(3)当点P在GF上时,∠OPQ=140°﹣∠POQ+∠PQF;当点P在线段GF的延长线上时,140°﹣∠POQ=∠OPQ+∠PQF. 解析:(1)136°;(2)∠AOG+∠NEF=90°,理由见解析;(3)当点P在GF上时,∠OPQ=140°﹣∠POQ+∠PQF;当点P在线段GF的延长线上时,140°﹣∠POQ=∠OPQ+∠PQF. 【分析】 (1)如图1,作CP∥a,则CP∥a∥b,根据平行线的性质可得∠AOG=∠ACP,∠BCP+∠CEF=180°,然后利用∠ACP+∠BCP=90°即可求得答案; (2)如图2,作CP∥a,则CP∥a∥b,根据平行线的性质可得∠AOG=∠ACP,∠BCP+∠CEF=180°,然后结合已知条件可得∠BCP=∠NEF,然后利用∠ACP+∠BCP=90°即可得到结论; (3)分两种情况,如图3,当点P在GF上时,过点P作PN∥OG,则NP∥OG∥EF,根据平行线的性质可推出∠OPQ=∠GOP+∠PQF,进一步可得结论;如图4,当点P在线段GF的延长线上时,同上面方法利用平行线的性质解答即可. 【详解】 解:(1)如图1,作CP∥a, ∵, ∴CP∥a∥b, ∴∠AOG=∠ACP,∠BCP+∠CEF=180°, ∴∠BCP=180°﹣∠CEF, ∵∠ACP+∠BCP=90°, ∴∠AOG+180°﹣∠CEF=90°, ∵∠AOG=46°, ∴∠CEF=136°, 故答案为136°; (2)∠AOG+∠NEF=90°. 理由如下:如图2,作CP∥a, 则CP∥a∥b, ∴∠AOG=∠ACP,∠BCP+∠CEF=180°, 而∠NEF+∠CEF=180°, ∴∠BCP=∠NEF, ∵∠ACP+∠BCP=90°, ∴∠AOG+∠NEF=90°; (3)如图3,当点P在GF上时,过点P作PN∥OG, ∴NP∥OG∥EF, ∴∠GOP=∠OPN,∠PQF=∠NPQ, ∴∠OPQ=∠GOP+∠PQF, ∴∠OPQ=140°﹣∠POQ+∠PQF; 如图4,当点P在线段GF的延长线上时,过点P作PN∥OG, ∴NP∥OG∥EF, ∴∠GOP=∠OPN,∠PQF=∠NPQ, ∵∠OPN=∠OPQ+∠QPN, ∴∠GOP=∠OPQ+∠PQF, ∴140°﹣∠POQ=∠OPQ+∠PQF. 【点睛】 本题考查了平行线的性质以及平行公理的推论等知识,属于常考题型,正确添加辅助线、灵活应用平行线的判定和性质是解题的关键. 三、解答题 11.(1)120°;(2)∠EPF =∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP,证明见详解. 【分析】 (1)根据题意,当点与点、在一直线上时,作出图形,由AB∥CD,∠FHP=60°,可以推出 解析:(1)120°;(2)∠EPF =∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP,证明见详解. 【分析】 (1)根据题意,当点与点、在一直线上时,作出图形,由AB∥CD,∠FHP=60°,可以推出=60°,计算∠PFD即可; (2)根据点P是动点,分三种情况讨论:①当点P在AB与CD之间时;②当点P在AB上方时;③当点P在CD下方时,分别求出∠AEP、∠EPF、∠CFP之间的关系即可. 【详解】 (1)当点与点、在一直线上时,作图如下, ∵AB∥CD,∠FHP=60°,, ∴=∠FHP=60°, ∴∠EFD=180°-∠GEP=180°-60°=120°, ∴∠PFD=120°, 故答案为:120°; (2)满足关系式为∠EPF =∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP. 证明:根据点P是动点,分三种情况讨论: ①当点P在AB与CD之间时, 过点P作PQ∥AB,如下图, ∵AB∥CD, ∴PQ∥AB∥CD, ∴∠AEP=∠EPQ,∠CFP=∠FPQ, ∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=∠AEP+∠CFP, 即∠EPF =∠AEP+∠CFP; ②当点P在AB上方时,如下图所示, ∵∠AEP=∠EPF+∠EQP, ∵AB∥CD, ∴∠CFP=∠EQP, ∴∠AEP=∠EPF+∠CFP; ③当点P在CD下方时, ∵AB∥CD, ∴∠AEP=∠EQF, ∴∠EQF=∠EPF+∠CFP, ∴∠AEP=∠EPF+∠CFP, 综上所述,∠AEP、∠EPF、∠CFP之间满足的关系式为:∠EPF =∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP, 故答案为:∠EPF =∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP. 【点睛】 本题考查了平行线的性质,外角的性质,掌握平行线的性质是解题的关键,注意分情况讨论问题. 12.(1)∠E=45°;(2)∠E=;(3)不变化, 【分析】 (1)由三角形内角和定理,可得∠D+∠ECD=∠E+∠EAD,∠B+∠EAB=∠E+∠ECB,由角平分线的性质,可得∠ECD=∠ECB=∠ 解析:(1)∠E=45°;(2)∠E=;(3)不变化, 【分析】 (1)由三角形内角和定理,可得∠D+∠ECD=∠E+∠EAD,∠B+∠EAB=∠E+∠ECB,由角平分线的性质,可得∠ECD=∠ECB=∠BCD,∠EAD=∠EAB=∠BAD,则可得∠E= (∠D+∠B),继而求得答案; (2)首先延长BC交AD于点F,由三角形外角的性质,可得∠BCD=∠B+∠BAD+∠D,又由角平分线的性质,即可求得答案. (3)由三角形内角和定理,可得,利用角平分线的性质与三角形的外角的性质可得答案. 【详解】 解:(1)∵CE平分∠BCD,AE平分∠BAD ∴∠ECD=∠ECB=∠BCD,∠EAD=∠EAB=∠BAD, ∵∠D+∠ECD=∠E+∠EAD,∠B+∠EAB=∠E+∠ECB, ∴∠D+∠ECD+∠B+∠EAB=∠E+∠EAD+∠E+∠ECB ∴∠D+∠B=2∠E, ∴∠E=(∠D+∠B), ∵∠ADC=50°,∠ABC=40°, ∴∠AEC= ×(50°+40°)=45°; (2)延长BC交AD于点F, ∵∠BFD=∠B+∠BAD, ∴∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D, ∵CE平分∠BCD,AE平分∠BAD ∴∠ECD=∠ECB=∠BCD,∠EAD=∠EAB=∠BAD, ∵∠E+∠ECB=∠B+∠EAB, ∴∠E=∠B+∠EAB-∠ECB=∠B+∠BAE-∠BCD =∠B+∠BAE-(∠B+∠BAD+∠D) = (∠B-∠D), ∠ADC=α°,∠ABC=β°, 即∠AEC= (3)的值不发生变化, 理由如下: 如图,记与交于,与交于, ①, ②, ①-②得: AD平分∠BAC, 【点睛】 此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质以及角平分线的定义.此题难度较大,注意掌握整体思想与数形结合思想的应用. 13.(1)证明见解析;(2)900° ,180°(n-1);(3)(180n-180-2m)° 【详解】 【模型】 (1)证明:过点E作EF∥CD, ∵AB∥CD, ∴EF∥AB, ∴∠1+∠MEF 解析:(1)证明见解析;(2)900° ,180°(n-1);(3)(180n-180-2m)° 【详解】 【模型】 (1)证明:过点E作EF∥CD, ∵AB∥CD, ∴EF∥AB, ∴∠1+∠MEF=180°, 同理∠2+∠NEF=180° ∴∠1+∠2+∠MEN=360° 【应用】 (2)分别过E点,F点,G点,H点作L1,L2,L3,L4平行于AB,利用(1)的方法可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180×5=900°; 由上面的解题方法可得:∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n=180°(n-1), 故答案是:900° , 180°(n-1); (3)过点O作SR∥AB, ∵AB∥CD, ∴SR∥CD, ∴∠AM1O=∠M1OR 同理∠C MnO=∠MnOR ∴∠A M1O+∠CMnO=∠M1OR+∠MnOR, ∴∠A M1O+∠CMnO=∠M1OMn=m°, ∵M1O平分∠AM1M2, ∴∠AM1M2=2∠A M1O, 同理∠CMnMn-1=2∠CMnO, ∴∠AM1M2+∠CMnMn-1=2∠AM1O+2∠CMnO=2∠M1OMn=2m°, 又∵∠A M1M2+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+……+∠n-1+∠CMnMn-1=180°(n-1), ∴∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n-1=(180n-180-2m)° 点睛:本题考查了平行线的性质,角平分线的定义,解决此类题目,过拐点作平行线是解题的关键,准确识图理清图中各角度之间的关系也很重要. 14.(1)见解析;(2)①③;(3)∠APB的度数是10°或20°或40°或110° 【分析】 (1)由和是的角平分线,证明即可; (2)根据“准互余三角形”的定义逐个判断即可; (3)根据“准互余三角 解析:(1)见解析;(2)①③;(3)∠APB的度数是10°或20°或40°或110° 【分析】 (1)由和是的角平分线,证明即可; (2)根据“准互余三角形”的定义逐个判断即可; (3)根据“准互余三角形”的定义,分类讨论:①2∠A+∠ABC=90°;②∠A+2∠APB=90°;③2∠APB+∠ABC=90°;④2∠A+∠APB=90°,由三角形内角和定理和外角的性质结合“准互余三角形”的定义,即可求出答案. 【详解】 (1)证明:∵在中,, ∴, ∵BD是的角平分线, ∴, ∴, ∴是“准互余三角形”; (2)①∵, ∴, ∴是“准互余三角形”, 故①正确; ②∵, , ∴, ∴不是“准互余三角形”, 故②错误; ③设三角形的三个内角分别为,且, ∵三角形是“准互余三角形”, ∴或, ∴, ∴, ∴“准互余三角形”一定是钝角三角形, 故③正确; 综上所述,①③正确, 故答案为:①③; (3)∠APB的度数是10°或20°或40°或110°; 如图①, 当2∠A+∠ABC=90°时,△ABP是“准直角三角形”, ∵∠ABC=50°, ∴∠A=20°, ∴∠APB=110°; 如图②,当∠A+2∠APB=90°时,△ABP是“准直角三角形”, ∵∠ABC=50°, ∴∠A+∠APB=50°, ∴∠APB=40°; 如图③,当2∠APB+∠ABC=90°时,△ABP是“准直角三角形”, ∵∠ABC=50°, ∴∠APB=20°; 如图④,当2∠A+∠APB=90°时,△ABP是“准直角三角形”, ∵∠ABC=50°, ∴∠A+∠APB=50°, 所以∠A=40°, 所以∠APB=10°; 综上,∠APB的度数是10°或20°或40°或110°时,是“准互余三角形”. 【点睛】 本题是三角形综合题,考查了三角形内角和定理,三角形的外角的性质,解题关键是理解题意,根据三角形内角和定理和三角形的外角的性质,结合新定义进行求解. 15.(1)100;(2)75°;(3)n=3. 【分析】 (1)如图:过O作OP//MN,由MN//OP//GH得∠NAO+∠POA=180°,∠POB+∠OBH=180°,即∠NAO+∠AOB+∠OB 解析:(1)100;(2)75°;(3)n=3. 【分析】 (1)如图:过O作OP//MN,由MN//OP//GH得∠NAO+∠POA=180°,∠POB+∠OBH=180°,即∠NAO+∠AOB+∠OBH=360°,即可求出∠AOB; (2)如图:分别延长AC、CD交GH于点E、F,先根据角平分线求得,再根据平行线的性质得到;进一步求得,,然后根据三角形外角的性质解答即可; (3)设BF交MN于K,由∠NAO=116°,得∠MAO=64°,故∠MAE=,同理∠OBH=144°,∠HBF=n∠OBF,得∠FBH=,从而,又∠FKN=∠F+∠FAK,得,即可求n. 【详解】 解:(1)如图:过O作OP//MN, ∵MN//GHl ∴MN//OP//GH ∴∠NAO+∠POA=180°,∠POB+∠OBH=180° ∴∠NAO+∠AOB+∠OBH=360° ∵∠NAO=116- 配套讲稿:
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