合肥备战中考数学二次函数(大题培优).doc

合肥备战中考数学二次函数(大题培优)

一、二次函数
1．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；y＝﹣x+1；（2）当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）；（3）在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3．
【解析】
【分析】
（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），进而可得出PF的值，由点C的坐标可得出点Q的坐标，进而可得出AQ的值，利用三角形的面积公式可得出S△APC＝﹣x2﹣x+3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C，N的坐标可得出点C，N关于抛物线的对称轴对称，令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，则此时△ANM周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM周长的最小值即可得出结论．
【详解】
（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；
设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），
将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：
，解得：，
∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1．
（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示．
设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），
∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点Q的坐标为（﹣2，0），
∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，
∴S△APC＝AQ•PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+ ．
∵﹣＜0，
∴当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣， ）．
（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴点N的坐标为（0，3）．
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．
令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示．
∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，
∴MN＝CM，
∴AM+MN＝AM+MC＝AC，
∴此时△ANM周长取最小值．
当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，
∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．
∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），
∴AC＝ ＝3，AN＝ ＝，
∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+．
∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3+．

【点睛】
本题考查待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式找出S△APC＝﹣x2﹣x+3的最值；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置．

2．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+n与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)过C、B两点，交x轴于另一点A，连接AC，且tan∠CAO=3．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是射线CB上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交抛物线于Q，设P点横坐标为t，线段PQ的长为d，求出d与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；
(3)在(2)的条件下，当点P在线段BC上时，设PH=e，已知d，e是以y为未知数的一元二次方程：y2－(m+3)y+(5m2－2m+13)="0" (m为常数)的两个实数根，点M在抛物线上，连接MQ、MH、PM，且．MP平分∠QMH，求出t值及点M的坐标．

【答案】(1) y=-x2+2x+3；(2)；（3）t=1，(1+，2)和(1－，2).
【解析】
【分析】
（1）当x=0时代入抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）就可以求出y=3而得出C的坐标，就可以得出直线的解析式，就可以求出B的坐标，在直角三角形AOC中，由三角形函数值就可以求出OA的值，得出A的坐标，再由待定系数法建立二元一次方程组求出其解就可以得出结论；
（2）分两种情况讨论，当点P在线段CB上时，和如图3点P在射线BN上时，就有P点的坐标为（t，-t+3），Q点的坐标为（t，-t2+2t+3），就可以得出d与t之间的函数关系式而得出结论；
（3）根据根的判别式就可以求出m的值，就可以求出方程的解而求得PQ和PH的值，延长MP至L，使LP=MP，连接LQ、LH，如图2，延长MP至L，使LP=MP，连接LQ、LH，就可以得出四边形LQMH是平行四边形，进而得出四边形LQMH是菱形，由菱形的性质就可以求出结论．
【详解】
（1）当x=0，则y=-x+n=0+n=n，y=ax2+bx+3=3，
∴OC=3=n．
当y=0，
∴-x+3=0，x=3=OB，
∴B（3，0）．
在△AOC中，∠AOC＝90°，tan∠CAO=，
∴OA=1，
∴A（-1，0）．
将A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3，
得
，
解得：
∴抛物线的解析式：y=-x2+2x+3；
(2) 如图1，

∵P点的横坐标为t 且PQ垂直于x轴 ∴P点的坐标为(t，－t+3)，
Q点的坐标为(t，－t2+2t+3).
∴PQ=|(－t+3)－(－t2+2t+3)|="|" t2－3t |
∴；
∵d，e是y2－(m+3)y+(5m2－2m+13)=0（m为常数）的两个实数根，
∴△≥0，即△=(m+3)2－4×(5m2－2m+13)≥0
整理得：△= －4(m－1)2≥0，∵－4(m－1)2≤0，
∴△=0，m=1，
∴ PQ与PH是y2－4y+4=0的两个实数根，解得y1=y2=2
∴ PQ=PH=2，∴－t+3=2，∴t="1,"
∴此时Q是抛物线的顶点，
延长MP至L，使LP=MP，连接LQ、LH，如图2，

∵LP=MP，PQ=PH，∴四边形LQMH是平行四边形，
∴LH∥QM，∴∠1=∠3，∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，
∴LH=MH，∴平行四边形LQMH是菱形，
∴PM⊥QH，∴点M的纵坐标与P点纵坐标相同，都是2，
∴在y=－x2+2x+3令y=2，得x2－2x－1=0，∴x1=1+，x2=1－
综上：t值为1，M点坐标为(1+，2)和(1－，2).

3．如图，抛物线y=ax2+bx过点B（1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A．
（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x的取值范围；
（2）在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣4x，自变量x的取值范图是0≤x≤4；（2）△PAB的面积=15．
【解析】
【分析】
（1）将函数图象经过的点B坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a和b；
（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-4x），证明△PFA∽△AEB,求出点P的坐标，将△PAB的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积．
【详解】
（1）由题意得，，
解得，
∴抛物线的解析式为y=x2-4x，
令y=0，得x2-2x=0，解得x=0或4，
结合图象知，A的坐标为（4，0），
根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x的取值范围是0≤x≤4；
（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，

设P（x，x2-4x）,
∵PA⊥BA
∴∠PAF+∠BAE=90°,
∵∠PAF+∠FPA=90°,
∴∠FPA=∠BAE
又∠PFA=∠AEB=90°
∴△PFA∽△AEB,
∴，即，
解得，x= −1，x=4（舍去）
∴x2-4x=-5
∴点P的坐标为（-1，-5），
又∵B点坐标为（1，-3），易得到BP直线为y=-4x+1
所以BP与x轴交点为（，0）
∴S△PAB=
【点睛】
本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键．

4．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.
(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？

【答案】（1）足球飞行的时间是s时，足球离地面最高，最大高度是4.5m；（2）能.
【解析】
试题分析：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，当t=时，y最大=4.5；
（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．
解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，
∴当t=时，y最大=4.5；
（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，
∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，
∴他能将球直接射入球门．
考点：二次函数的应用．

5．如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x＝3．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；
（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．

【答案】（1）；（2）当t＝3时，S△AMN有最大值3，此时M点坐标为（3，0）；（3）P点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）．
【解析】
【分析】
（1）先利用抛物线的对称性确定B（6，0），然后设交点式求抛物线解析式；
（2）设M（t，0），先其求出直线OA的解析式为直线AB的解析式为y=2x-12，直线MN的解析式为y=2x-2t，再通过解方程组得N（），接着利用三角形面积公式，利用S△AMN=S△AOM-S△NOM得到然后根据二次函数的性质解决问题；
（3）设Q，根据相似三角形的判定方法，当时，△PQO∽△COA，则；当时，△PQO∽△CAO，则，然后分别解关于m的绝对值方程可得到对应的P点坐标．
【详解】
解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x＝3，
∴B点坐标为（6，0），
设抛物线解析式为y＝ax（x﹣6），
把A（8，4）代入得a•8•2＝4，解得a＝，
∴抛物线解析式为y＝x（x﹣6），即y＝x2﹣x；
（2）设M（t，0），
易得直线OA的解析式为y＝x，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把B（6，0），A（8，4）代入得，解得，
∴直线AB的解析式为y＝2x﹣12，
∵MN∥AB，
∴设直线MN的解析式为y＝2x+n，
把M（t，0）代入得2t+n＝0，解得n＝﹣2t，
∴直线MN的解析式为y＝2x﹣2t，
解方程组得，则，
∴S△AMN＝S△AOM﹣S△NOM

，
当t＝3时，S△AMN有最大值3，此时M点坐标为（3，0）；
（3）设，
∵∠OPQ＝∠ACO，
∴当时，△PQO∽△COA，即，
∴PQ＝2PO，即，
解方程得m1＝0（舍去），m2＝14，此时P点坐标为（14，0）；
解方程得m1＝0（舍去），m2＝﹣2，此时P点坐标为（﹣2，0）；
∴当时，△PQO∽△CAO，即，
∴PQ＝PO，即，
解方程得m1＝0（舍去），m2＝8，此时P点坐标为（8，0）；
解方程得m1＝0（舍去），m2＝4，此时P点坐标为（4，0）；
综上所述，P点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．

6．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点A、B，抛物线经过点A和点B，与x轴的另一个交点为C，动点D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向O点运动，同时动点E从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向A点运动，设运动的时间为t秒，0﹤t﹤5.

（1）求抛物线的解析式；
（2）当t为何值时，以A、D、E为顶点的三角形与△AOB相似；
（3）当△ADE为等腰三角形时，求t的值；
（4）抛物线上是否存在一点F，使得以A、B、D、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出F点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）抛物线的解析式为；
（2）t的值为或；
（3）t的值为或或；
（4）符合条件的点F存在，共有两个（4，8），，-8）.
【解析】
（1）由B、C两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）利用△ADE∽△AOB和△AED∽△AOB即可求出t的值；（3）过E作EH⊥x轴于点H，过D作DM⊥AB于点M即可求出t的值；（4）分当AD为边时，当AD为对角线时符合条件的点F的坐标.
解：(1)A（6,0），B（0,8），依题意知，解得，
∴.
(2)∵ A（6,0），B（0,8），∴OA=6，OB=8，AB=10，∴AD=t，AE=10-2t，
①当△ADE∽△AOB时，，∴，∴；
②当△AED∽△AOB时，，∴，∴；
综上所述，t的值为或.
(3) ①当AD=AE时，t=10-2t，∴；
②当AE=DE时，过E作EH⊥x轴于点H，则AD=2AH，由△AEH∽△ABO得，AH=，∴，∴；
③当AD=DE时，过D作DM⊥AB于点M，则AE=2AM，由△AMD∽△AOB得，AM=，∴，∴；
综上所述，t的值为或或.
(4) ①当AD为边时，则BF∥x轴，∴，求得x=4，∴F（4，8）；
②当AD为对角线时，则，∴，解得，∵x﹥0，∴，∴.
综上所述，符合条件的点F存在，共有两个（4，8），，-8）.
“点睛”本题考查二次函数综合题、相似三角形等知识，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论，用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．

7．如图，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，D为抛物线对称轴上一动点，求D运动到什么位置时△DAC的周长最小；
（3）如图2，点E在第一象限抛物线上，AE与BC交于点F，若AF：FE＝2：1，求E点坐标；
（4）点M、N同时从B点出发，分别沿BA、BC方向运动，它们的运动速度都是1个单位/秒，当点M运动到点A时，点N停止运动，则当点N停止运动后，在x轴上是否存在点P，使得△PBN是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）（2）（3）点P的坐标P1（﹣1，0）或P2（7，0）或P3（﹣，0）或P4（，0）．
【解析】
【分析】
（1）直接待定系数法代入求解即可 （2）找到D点在对称轴时是△DAC周长最小的点，先求出直线BC，然后D点横坐标是1，直接代入直线BC求出纵坐标即可 （3）作EH∥AB交BC于H，则∠FAB＝∠FEH，∠FBA＝∠FHE，易证△ABF∽△EHF，得,得EH=2，设E（x，），则H（x﹣2，），yE＝yH，解出方程x＝1或x＝2，得到E点坐标 （4）△PBN是等腰三角形，分成三种情况，①BP＝BC时，利用等腰三角性质直接得到P1（﹣1，0）或P2（7，0），②当NB＝NP时，作NH⊥x轴，易得△NHB∽△COB，利用比例式得到NH、 BH从而得到 PH＝BH，BP，进而得到OP，即得到P点坐标，③当PN＝PB时，取NB中点K，作KP⊥BN，交x轴于点P，易得△NOB∽△PKB，利用比例式求出PB，进而得到OP，即求出P点坐标
【详解】
解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+4，
得
解得a＝，b＝，
∴抛物线的解析式；
（2）
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
∴D的横坐标为1，
由（1）可得C（0，4），
∵B（3，0），
∴直线BC：
∵DA＝DB，
△DAC的周长＝AC+CD+AD＝AC+CD+BD，
连接BC，与对称轴交于点D，

此时CD+BD最小，
∵AC为定值，
∴此时△DAC的周长，
当x＝1时，y＝﹣×1+4＝，
∴D（1，）；
（3）作EH∥AB交BC于H，则∠FAB＝∠FEH，∠FBA＝∠FHE，

∴△ABF∽△EHF，
∵AF：FE＝2：1，
∴，
∵AB＝4，
∴EH＝2，
设E（x，），则H（x﹣2，）
∵EH∥AB，
∴yE＝yH，
∴=
解得x＝1或x＝2，
y＝或4，
∴E（1，）或（2，4）；
（4）∵A（﹣1，0）、B（3，0），C（0，4）
∴AB＝4，OC＝4，
点M运动到点A时，BM＝AB＝4，
∴BN＝4，

∵△PBN是等腰三角形，
①BP＝BC时，
若P在点B左侧，OP＝PB﹣OB＝4﹣3＝1，
∴P1（﹣1，0），
若P在点B右侧，OP＝OB+BP＝4+3＝7，
∴P2（7，0）；
②当NB＝NP时，作NH⊥x轴，
△NHB∽△COB，
∴
∴NH＝OC＝＝，
BH＝BC＝，
∴PH＝BH＝，
BP＝，
∴OP＝BP﹣OB＝，
∴P3（﹣，0）；
③当PN＝PB时，
取NB中点K，作KP⊥BN，交x轴于点P，
∴△NOB∽△PKB，
∴
∴PB＝，
∴OP＝OB﹣PB＝3﹣＝
P4（，0）
综上，当△PBN是等腰三角形时，点P的坐标P1（﹣1，0）或P2（7，0）或P3（﹣，0）或P4（，0）．
【点睛】
本题考查二次函数、平行线性质、相似三角形、等腰三角形性质及最短距离等知识点，综合程度比较高，对综合能力要求比较高. 第一问比较简单，考查待定系数法；第二问最短距离，找到D点是解题关键；第三问证明出相似是关键；第四问能够分情况讨论是解题关键

8．如图1，二次函数的图像与轴交于两点(点在点的左侧)，与轴交于点.

（1）求二次函数的表达式及点、点的坐标;
（2）若点在二次函数图像上，且，求点的横坐标;
（3）将直线向下平移，与二次函数图像交于两点(在左侧)，如图2，过作轴，与直线交于点，过作轴，与直线交于点，当的值最大时，求点的坐标.
【答案】（1）y＝，A（﹣1，0），B（4，0）；（2）D点的横坐标为2+2，2﹣2，2；（3）M（，﹣）
【解析】
【分析】
（1）求出a，即可求解；
（2）求出直线BC的解析式，过点D作DH∥y轴，与直线BC交于点H，根据三角形面积的关系求解；
（3）过点M作MG∥x轴，交FN的延长线于点G，设M（m，m2﹣m﹣3），N（n，n2﹣n﹣3），判断四边形MNFE是平行四边形，根据ME＝NF，求出m+n＝4，再确定ME+MN＝﹣m2+3m+5﹣m＝﹣（m﹣）2+，即可求M；
【详解】
（1）y＝ax2﹣3ax﹣4a与y轴交于点C（0，﹣3），
∴a＝，
∴y＝x2﹣x﹣3，
与x轴交点A（﹣1，0），B（4，0）；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x﹣3；
过点D作DH∥y轴，与直线BC交于点H，
设H（x，x﹣3），D（x，x2﹣x﹣3），
∴DH＝|x2﹣3x|，
∵S△ABC＝，
∴S△DBC＝＝6，
∴S△DBC＝2×|x2﹣3x|＝6，
∴x＝2+2，x＝2﹣2，x＝2；
∴D点的横坐标为2+2，2﹣2，2；

（3）过点M作MG∥x轴，交FN的延长线于点G，
设M（m，m2﹣m﹣3），N（n，n2﹣n﹣3），
则E（m，m﹣3），F（n，n﹣3），
∴ME＝﹣m2+3m，NF＝﹣n2+3n，
∵EF∥MN，ME∥NF，
∴四边形MNFE是平行四边形，
∴ME＝NF，
∴﹣m2+3m＝﹣n2+3n，
∴m+n＝4，
∴MG＝n﹣m＝4﹣2m，
∴∠NMG＝∠OBC，
∴cos∠NMG＝cos∠OBC＝,
∵B（4，0），C（0，﹣3），
∴OB＝4，OC＝3，
在Rt△BOC中，BC＝5，
∴MN＝（n﹣m）＝（4﹣2m）＝5﹣m，
∴ME+MN＝﹣m2+3m+5﹣m＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝时，ME+MN有最大值，
∴M（，﹣）
【点睛】
本题考查二次函数图象及性质，一次函数图象及性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，结合三角形的性质解题.

9．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．
①求线段PM的最大值；
②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．

【答案】（1）二次函数的表达式y=x2﹣2x﹣3；（2）①PM最大=；②P（2，﹣3）或（3-，2﹣4）．
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法，可得答案；
（2）①根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案．
【详解】
（1）将A，B，C代入函数解析式，
得，解得，
这个二次函数的表达式y=x2﹣2x﹣3；
（2）设BC的解析式为y=kx+b，
将B，C的坐标代入函数解析式，得
，解得，
BC的解析式为y=x﹣3，
设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），
PM=（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）=﹣n2+3n=﹣（n﹣）2+，
当n=时，PM最大=；
②当PM=PC时，（﹣n2+3n）2=n2+（n2﹣2n﹣3+3）2，
解得n1=0（不符合题意，舍），n2=2，
n2﹣2n﹣3=-3，
P（2，-3）；
当PM=MC时，（﹣n2+3n）2=n2+（n﹣3+3）2，
解得n1=0（不符合题意，舍），n2=3+（不符合题意，舍），n3=3-，
n2﹣2n﹣3=2-4，
P（3-，2-4）；
综上所述：P（2，﹣3）或（3-，2﹣4）．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，解题的关键是认真分析，弄清解题的思路有方法.

10．如图，在平面直角坐标系中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经
过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封
闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：（＜0）的顶点．

（1）求A、B两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当△BDM为直角三角形时，求的值．
【答案】（1）A（，0）、B（3，0）．
（2）存在．S△PBC最大值为
（3）或时，△BDM为直角三角形．
【解析】
【分析】
（1）在中令y=0，即可得到A、B两点的坐标．
（2）先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，由S△PBC = S△POC+ S△BOP–S△BOC得到△PBC面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．
（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m的值．
【详解】
解：（1）令y=0，则，
∵m＜0，∴，解得：，．
∴A（，0）、B（3，0）．
（2）存在．理由如下：
∵设抛物线C1的表达式为（），
把C（0，）代入可得，．
∴Ｃ1的表达式为：，即．
设P（p，），
∴ S△PBC = S△POC+ S△BOP–S△BOC=．
∵<0，∴当时,S△PBC最大值为．
（3）由C2可知： B（3，0），D（0，），M（1，），
∴BD2=，BM2=，DM2=．
∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：
当∠BMD=90°时，BM2+ DM2= BD2，即＋=，
解得：,(舍去)．
当∠BDM=90°时，BD2+ DM2= BM2，即＋=，
解得：，(舍去) ．
综上所述，或时，△BDM为直角三角形．

11．如图，若b是正数，直线l：y=b与y轴交于点A；直线a：y=x﹣b与y轴交于点B；抛物线L：y=﹣x2+bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D．

（1）若AB=8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；
（2）当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；
（3）设x0≠0，点（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点（x0，0）与点D间的距离；
（4）在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b=2019和b=2019.5时“美点”的个数．
【答案】（1）b=4，（2，﹣2 ）；（2）1；（3）；（4）当b=2019时“美点”的个数为4040个，b=2019.5时“美点”的个数为1010个．
【解析】
【分析】
（1）求出A、B 的坐标，由AB=8，可求出b的值．从而得到L的解析式，找出L的对称轴与a的交点即可；
（2）通过配方，求出L的顶点坐标，由于点C在l下方，则C与l的距离，配方即可得出结论；
（3）由題意得y1+y2=2y3，进而有b+x0﹣b=2（﹣x02+bx0）解得x0的值，求出L与x轴右交点为D的坐标，即可得出结论；
（4）①当b=2019时，抛物线解析式L：y=﹣x2+2019x直线解析式a：y=x﹣2019，美点”总计4040个点，②当b=2019.5时，抛物线解析式L：y=﹣x2+2019.5x，直线解析式a：y=x﹣2019.5，“美点”共有1010个．
【详解】
（1）当x=0吋，y=x﹣b=﹣b，∴B （0，﹣b）．
∵AB=8，而A（0，b），∴b﹣（﹣b）=8，∴b=4，∴L：y=﹣x2+4x，∴L的对称轴x=2，当x=2时，y=x﹣4=﹣2，∴L的对称轴与a的交点为（2，﹣2 ）；
（2）y=﹣（x）2，∴L的顶点C（，）．
∵点C在l下方，∴C与l的距离b（b﹣2）2+1≤1，∴点C与l距离的最大值为1；
（3）∵y3是y1，y2的平均数，∴y1+y2=2y3，∴b+x0﹣b=2（﹣x02+bx0），解得：x0=0或x0=b．
∵x0≠0，∴x0=b，对于L，当y=0吋，0=﹣x2+bx，即0=﹣x（x﹣b），解得：x1=0，x2=b．
∵b＞0，∴右交点D（b，0），∴点（x0，0）与点D间的距离b﹣（b）．
（4）①当b=2019时，抛物线解析式L：y=﹣x2+2019x，直线解析式a：y=x﹣2019．
联立上述两个解析式可得：x1=﹣1，x2=2019，∴可知每一个整数x的值都对应的一个整数y值，且﹣1和2019之间（包括﹣1和﹣2019）共有2021个整数；
∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，∴线段和抛物线上各有2021个整数点，∴总计4042个点．
∵这两段图象交点有2个点重复，∴美点”的个数：4042﹣2=4040（个）；
②当b=2019.5时，抛物线解析式L：y=﹣x2+2019.5x，直线解析式a：y=x﹣2019.5，联立上述两个解析式可得：x1=﹣1，x2=2019.5，∴当x取整数时，在一次函数y=x﹣2019.5上，y取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，在二次函数y=x2+2019.5x图象上，当x为偶数时，函数值y可取整数，可知﹣1到2019.5之 间有1010个偶数，因此“美点”共有1010个．
故b=2019时“美点”的个数为4040个，b=2019.5时“美点”的个数为1010个．
【点睛】
本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式是解题的关键．

12．如图，抛物线y=﹣（x﹣1）2+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（﹣1，0）．

（1）求点B，C的坐标；
（2）判断△CDB的形状并说明理由；
（3）将△COB沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE与△CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
【答案】(Ⅰ)B(3，0)；C(0，3)；(Ⅱ)为直角三角形；(Ⅲ).
【解析】
【分析】
（1）首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点B，C的坐标．
（2）分别求出△CDB三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定△CDB为直角三角形．
（3）△COB沿x轴向右平移过程中，分两个阶段：
①当0＜t≤时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形；
②当＜t＜3时，如答图3所示，此时重叠部分为一个三角形．
【详解】
解：(Ⅰ)∵点在抛物线上，
∴，得
∴抛物线解析式为：，
令，得，∴；
令，得或，∴.
(Ⅱ)为直角三角形.理由如下：
由抛物线解析式，得顶点的坐标为.
如答图1所示，过点作轴于点M，
则，，.
过点作于点，则，.
在中，由勾股定理得：；
在中，由勾股定理得：；
在中，由勾股定理得：.
∵，
∴为直角三角形.

(Ⅲ)设直线的解析式为，
∵，
∴，
解得，
∴，
直线是直线向右平移个单位得到，
∴直线的解析式为：；
设直线的解析式为，
∵，
∴，解得：，
∴.
连续并延长，射线交交于，则.
在向右平移的过程中：
(1)当时，如答图2所示：

设与交于点，可得，.
设与的交点为，则：.
解得，
∴.

.
(2)当时，如答图3所示：

设分别与交于点、点.
∵，
∴，.
直线解析式为，令，得，
∴.

.
综上所述，与的函数关系式为：.

13．如图，抛物线经过x轴上的点A（1，0）和点B及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为．
①求抛物线的解析式．
②点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．
③过点A作于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．

【答案】①；②当时，△PBE的面积最大，最大值为；③点N的横坐标为：4或或．
【解析】
【分析】
①点B、C在直线为上，则B（﹣n，0）、C（0，n），点A（1，0）在抛物线上，所以，解得，，因此抛物线解析式：；
②先求出点P到BC的高h为，于是，当时，△PBE的面积最大，最大值为；
③由①知，BC所在直线为：，所以点A到直线BC的距离，过点N作x轴的垂线交直线BC于点P，交x轴于点H．设，则、，易证△PQN为等腰直角三角形，即，，Ⅰ．，所以解得（舍去），，Ⅱ．，解得，（舍去），Ⅲ．，，解得（舍去），．
【详解】
解：①∵点B、C在直线为上，
∴B（﹣n，0）、C（0，n），
∵点A（1，0）在抛物线上，
∴，
∴，，
∴抛物线解析式：；
②由题意，得，
，，
由①知，，
∴点P到BC的高h为，
∴，
当时，△PBE的面积最大，最大值为；
③由①知，BC所在直线为：，
∴点A到直线BC的距离，
过点N作x轴的垂线交直线BC于点P，交x轴于点H．
设，则、，
易证△PQN为等腰直角三角形，即，
∴，
Ⅰ．，
∴
解得，，
∵点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴；
Ⅱ．，
∴
解得，，
∵点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，
，
∴，
Ⅲ．，
∴，
解得，，
∵点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，
，
∴，
综上所述，若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，点N的横坐标为：4或或．
【点睛】
本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质、平行四边形的判定与性质是解题的关键．

14．如图，已知直线与抛物线： 相交于和点两点.

⑴求抛物线的函数表达式；
⑵若点是位于直线上方抛物线上的一动点，以为相邻两边作平行四边形,当平行四边形的面积最大时，求此时四边形的面积及点的坐标；
⑶在抛物线的对称轴上是否存在定点,使抛物线上任意一点到点的距离等于到直线的距离，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】⑴；⑵当 ，□MANB=△= ，此时；⑶存在. 当时，无论取任何实数，均有. 理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法，将A，B的坐标代入y=ax2+2x+c即可求得二次函数的解析式；
（2）过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，求出直线AB的解析式，设点M（a，-a2+2a+3），则K（a，a+1），利用函数思想求出MK的最大值，再求出△AMB面积的最大值，可推出此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；
（3）如图2，分别过点B，C作直线y=的垂线，垂足为N，H，设抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=