2021年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅲ）（含解析版）.docx

2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）
理科数学
一、选择题
1.设集合，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
由图知，.

2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论不正确的是（ ）
A.该地农户家庭年收入低于万元的农户比率估计为
B.该地农户家庭年收入不低于万元的农户比率估计为
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过万元
D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于万元至万元之间
答案：
C
解析：
A.低于万元的比率估计为，正确.
B.不低于万元的比率估计为，正确.
C.平均值为
万元，不正确.
D.万到万的比率为，正确.
3.已知，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
.
4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为，则其视力的小数记录法的数据约为（）（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
代入，知，故.
5.已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：
记，，由及，得，，又由余弦定理知，得，从而.
6.在一个正方体中，过顶点的三条棱的中点分别为，，，该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）

A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
由题可得直观图，如下图.

故选D.
7.等比数列的公比为，前项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案：
B
解析：
若，则.①，则单调递增；②，则单调递减，∴甲乙，又若单调递增，则恒成立，∴恒成立，∴，，∴甲乙.综上：甲乙，选B.
8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为（单位:)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．右图是三角高程测量法的一个示意图，现有，，三点，且，，在同一水平面上的投影，，满足，.由点测得点的仰角为，与的差为:由点测得点的仰角为,则，两点到水平面的高度差约为（ ）（）

A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
过C作的垂线交于点M，过B作的垂线交于点N，
由题意得，，，即.
所以
，
所以
.得A，C两点到水平面的高度差约为，故选B。

9.若，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：
.

∴
∴
∴.
又∵.如图，.

10.将个和个随机排成一行，则个不相邻的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解析：
把位置依次标为到.
总数：先排个，有种，再排个，有一种，故共有种.
满足题设的排法：先排个，有种.其间有个空，选个空插入有种.故.
满足题设排法的另一种解释：的位置有，，，，，，，，，，共种.

11.已知是半径为的球的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：
记为所在圆面的圆心，则.

又，所以
.
所以.故选A.

12.设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解析：
∵为奇函数，∴关于中心对称，∴.
因为偶函数，故关于轴对称，周期为.
∴，.即，.
，.
故
.
故选D.

二、填空题
13.曲线在点处的切线方程为 .
答案：
.
解析：
，，.
切线：.

14.已知向量，，.若，则 .
答案：

解析：
，.所以.
15.已知，为椭圆的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 .
答案：

解析：
如图，由及椭圆对称性可知，四边形为矩形.
设，，则，得.所以，四边形面积为.

16.已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数为 .

答案：

解析：
由图可知，的最小正周期，∴.
∵，∴，∴，.
∴，∴，.
∴或.
结合图像可知，满足的离轴最近的正数区间，无正数；
的离轴最近的正数区间为，最小正整数.

三、解答题
（1）必考题
17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分別用两台机床各生产了件产品，产品的质量情况统计如下表：

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：，

答案：
见解析
解析：
（1）由表格数据得：
甲机床生产的产品中一级品的频率为；
乙机床生产的产品中一级品的频率为；
（2）由题意.
所以有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.

18.已知数列的各项均为正数，记为的前项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列是等差数列：②数列是等差数列：③.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分，①，
答案：
见解析
解析：
①，,证明：设等差数列的公差为.因为，所以，
则.所以，所以
.所以是首项为，公差为的等差数列.
19.已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点，.
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？

答案：
见解析；
解析:
（1）
连，取中点连，，
由为，的中点，则，
又，，则共面，故面.
又在侧面中，则
又，则.

（2），则.
又则.
如图以为原点建立坐标轴，则，，，，.

设则.
则面法向量为，对面设法向量为，则
，
则.
要求最小正弦值则求最大余弦值.
当时二面角余弦值最大，则时二面角正弦值最小.
20.抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，且，已知点，且与相切.
（1）求，的方程；
（2）设，，是上的三个点，直线，均与相切，判断直线，与的位置关系，并说明理由.
答案：
见解析；
解析：
（1）， .
（2）设，，.
，所以
①.
，所以
②.
所以，是方程的两根.
又，所以
.
所以，即直线与相切.
21.已知且，函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围.
答案：
见解析；
解析：
（1）时，，
.
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
故在上单调递增，在上单调递减.
（2）由题知在有两个不等根；
.
令，，在单调递增，在单调递减.
又，，.
所以且.
四、选考题（2选1）
22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）将的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点的直角坐标为，为上的动点，点满足，写出的轨迹的参数方程，并判断与是否有公共点.
答案：
见解析
解析：
（1）.
（2）设，，由
.
又在上，所以
.
则为为圆心，半径为的圆，所以
所以，两圆为内含关系，所以，圆与圆无公共点.

23.已知函数，.
（1）画出和的图象；
（2）若，求的取值范围.

答案：
见解析；
解析：
（1）；

（2）当时，恒不满足，此时；
当时，恒成立，必有
.
当时，
时，，，所以.
时，，，令，所以.
时，，.
，所以.
所以，.