2003年天津高考文科数学真题及答案.doc

2003年天津高考文科数学真题及答案
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）

参考公式：
如果事件 A、B 互斥，那么 球的表面积公式
P（A+B）=P（A）+P（B） S=4πR2
如果事件 A、B 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径
P（A·B）=P（A）·P（B） 球的体积公式

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P.

那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概
V = 4pR 3
3

率 其中 R 表示球的半径
P (k ) = C k Pk (1 - P)n-k
n n
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．不等式 4x - x 2 < x 的解集是
A．（0，2） B．（2，+∞）
（
）
C．（2，4） D．（－∞，0）∪（2，+∞）
2．抛物线 y=ax2 的准线方程是 y=2，则 a 的值为

（

）

1 1
A. B．－
8 8

C．8 D．－8

1 - 3i
( 3 + i)2

3． = （ ）

A． 1 + 3 i
4 4
p
B． - 1 - 3 i
4 4
4
C． 1 + 3 i
2 2
D． - 1 - 3 i
2 2

4. 已知 x Î (-
7
,0), cos x =
2
,则tan 2x = （ ）
5
7 24 24

A. B．－ C．
24 24 7
D．－
7

1
5．等差数列{an }中,已知a1 = 3 , a2 + a5 = 4, an = 33,则n为 （ ）
A．48 B．49 C．50 D．51
6. 双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为 F1，F2，∠F1MF2=120°，则双曲线的离心率为（ ）

3
6
6
3
A. B． C． D．
2 3 3

ìï2- x - 1, x £ 0,

í
7. 设函数 f (x) = 1
,
若 f (x0 ) > 1 ，则 x0 的取值范围是 （ ）

ïîx 2
x > 0

A．（－1，1） B．（－1，+∞） C．（－∞，－2）∪（0，+∞） D．（－∞，－1）∪（1，+∞）
8.O 是平面上一 定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足

OP = OA + l(


AB
| AB |


+ AC
| AC

×lÎ[0,+¥). 则 P 的轨迹一定通过△ABC 的 （ ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
x + 1

9. 函数 y = ln


x - 1
, x Î (1,+¥) 的反函数为 （ ）

A. y =
e x - 1

e x + 1

, x Î (0,+¥)

B. y =
e x + 1

e x - 1

, x Î (0,+¥)

C. y =
e x - 1

e x + 1
, x Î (-¥,0)
D. y =
e x + 1

e x - 1
, x Î (-¥,0)

10. 棱长为 a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）
a 3 a 3 a 3 a 3
A. B． C． D．
3 4 6 12
11．已知长方形的四个顶点 A（0，0），B（2，0），C（2，1）和 D（0，1）.一质点从 AB 的中点 P0 沿与 AB 夹角为θ的方向射到 BC 上的点 P1 后，依次反射到 CD、DA 和 AB 上的点 P2，P3 和 P4（入射角等于反射角）。若 P4 与 P0 重合，则 tanθ= （ ）

1 2 1
A． B． C．
2
3 5 2
D.1

12．一个四面体的所有棱长都为
，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）

A．3π B．4π C． 3 3p
D．6π

第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）

二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.答案填在题中横线上.

13． (x 2 -
1 )9 展开式中 x9 的系数是 .
2x

14. 某公司生产三种型号的轿车，产量分别为 1200 辆，6000 辆和 2000 辆，为检验该公司的
产品质量。现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取
， ， 辆。
15. 在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边 AB，AC 互相垂直，则 AB2+AC2=BC2.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的面面积与底面面积间的关系。可以得出的正确结论是：“设三棱锥 A—BCD 的三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两相互垂直，则 ”。

16. 将 3 种作物种植在如图 5 块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植 方法共有 种.（以数字答）
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分 12 分）
已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1.AB=1，AA1=2，点 E 为 CC1 中点，点 P 为 BD1 中点.
（1） 证明 EF 为 BD1 与 CC1 的公垂线；
（2） 求点 D1 到面 BDE 的距离.

18．（本小题满分 12 分）
已知抛物线 C1：y=x2+2x 和 C：y=－x2+a，如果直线 l 同时是 C1 和 C2 的切线，称 l 是 C1
和 C2 的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.
（Ⅰ）a 取什么值时，C1 和 C2 有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；
（Ⅱ）若 C1 和 C2 有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.

19．（本题满分 12 分） 已知数列{an
}满足a1
= 1, an
= 3n-1 + a

n-1
(n ³ 2).

（Ⅰ）求 a2 , a3 ;
（Ⅱ）证明 an =
3n - 1
.
2

20．（本小题满分 12 分）
在三种产品，合格率分别是 0.90,0.95 和 0.95，各抽取一件进行检验.
（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；
（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率. （精确到 0.001）

21．（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) = sin(wx +j)(w> 0,0 £ j£ p) 是 R 上的偶函数，其图象关于点

M (3p,0) 对称，且在区间
4

[0,
p
] 上是单调函数.求j和w的值.
2

22．（本小题满分 14 分）
已知常数 a>0，向量 c=（0，a），i=（1，0），经过原点 O 以 c+λi 为方向向量的直线与经过定点 A（0，a）以 i－2λc 为方向向量的直线相交于点 P，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点 E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出 E、F 的坐标；若不存在，说明理由.

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 60 分。
1．C 2．B 3．B 4．D 5．C 6．B 7．D 8．B 9．B 10．C 11．C 12．A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 4 分，满分 16 分。

-
21
13．

14．6，30，10 15．S2 ABC+ S2 ACD + S2 ADB = S2 BCD 16．42

2
三、解答题
△ △ △ △

17. 本小题主要考查线面关系和四棱柱等基础知识，考查空间想象能力和推理能力，满分 12
分。
（1）证法一：取 BD 中点 M.连结 MC，FM .

1
∵F 为 BD1 中点 ， ∴FM∥D1D 且 FM=
2
1

D1D .

又 EC
2
CC1 且 EC⊥MC ，∴四边形 EFMC 是矩形

∴EF⊥CC1. 又 CM⊥面 DBD1 .∴EF⊥面 DBD1 .
∵BD1 Ì 面 DBD1 . ∴EF⊥BD1 . 故 EF 为 BD1 与 CC1 的公垂线. 证法二：建立如图的坐标系，得

1
B（0，1，0），D1（1，0，2），F（
2
1
， ，1），C1（0，0，2），E（0，0，1）.
2

\ EF =
( 1 ,
2
1
2 ,0), CC1


= (0,0,2).\ BD1
= (1,-1,2).

\ EF × CC1 = 0, BD1 × EF = 0,
即 EF⊥CC1，EF⊥BD1 . 故 EF 是为 BD1 与 CC1 的公垂线.
（Ⅱ）解：连结 ED1，有 VE－DBD1=VD1－DBE .
由（Ⅰ）知 EF⊥面 DBD1 ，设点 D1 到面 BDE 的距离为 d.

2
1
则SDDBE × d = SDDBD
× EF.Q AA1 = 2, AB = 1.

\ BD = BE = ED =
2, EF =
2 ,\ S
2

DDBD1
= 1 ×
2
× 2 = 2.

2
´ 2

SDDBE
= 1 ×
2
3 × (
2
2)2 =
3 ×\ d =
2
2 = 2 3 .
3 3
2