2012年高考理科数学试题(天津卷)及参考答案.doc

2012年普通高等学校招生统一考试数学天津
（理科）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）i是虚数单位，复数=
（A） 2 + i （B）2 – i
（C）-2 + i （D）-2 – i
（2）设则“”是“为偶函数”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分与不必要条件

（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值
为-25时，输出x的值为
（A）-1 （B）1
（C）3 （D）9

（4）函数在区间(0,1)内的零点个数是
（A）0 （B）1
（C）2 （D）3
（5）在的二项展开式中，的系数为
（A）10 （B）-10
（C）40 （D）-40

（6）在中，内角A，B，C所对的边分别是，已知8b=5c，C=2B，则cosC=
（A） （B）
（C） （D）
（7）已知为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足，，
，若，则=
（A） （B）
（C） （D）
（8）设，若直线与圆相切，则m + n的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
（9）某地区有小学150所，中学75所，大学25所.
现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校
对学生进行视力调查，应从小学中抽取_________所
学校，中学中抽取________所学校.
（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），
则该几何体的体积为_________m3.
（11）已知集合，集合且则m =__________，n = __________.
（12）已知抛物线的参数方程为（t为参数）,其中p>0，焦点为F，准线为. 过抛物线上一点M作的垂线，垂足为E. 若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3，则p = _________.
（13）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D. 过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，
FB=1，EF=，则线段CD的长为____________.
（14）已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_________.
三．解答题：本大题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（15）（本小题满分13分）
已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值.
（16）（本小题满分13分）
现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
（Ⅲ）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.
（17）（本小题满分13分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，
AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.
（Ⅰ）证明PC⊥AD；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；
（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面
直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长.
（18）（本小题满分13分）
已知是等差数列，其前n项和为Sn，是等比数列，且，.
（Ⅰ）求数列与的通项公式；
（Ⅱ）记，，证明（）.
（19）（本小题满分14分）
设椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上且异于两点，为坐标原点.
（Ⅰ）若直线与的斜率之积为，求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若，证明直线的斜率 满足
（20）（本小题满分14分）
已知函数的最小值为0，其中
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若对任意的有≤成立，求实数的最小值；
（Ⅲ）证明（）.试卷解析
【试卷总评】今年天津市高考理科数学试卷所涉及的考点较去年变化不大，试题难度较去年有一定的下滑，着重考查学生的基础知识的掌握以及推导、运算和数形结合的能力。有如下特点：1.2012年的数学试题考点与去年几乎相同，而仅有的几处不同的考点在2007-2010年也相继考过，明细如下： 零点存在定理（小题）——2009年、2010年 线线垂直——2007年 错位相减法——2007年 ，解析几何之斜率问题（大题）。
2.2012年削弱了对数列的考察，小题不再涉及数列。而解答题18题是数列中极为传 统的考法——求等差等比数列的通项公式与错位相减法;而在第20题的第三问继续考查数列不等式的内容。
3.三角函数解答题在2011年考查了正切函数的性质和运算，而今年则回归了以往的考查方式，考查了正余弦函数的性质。
4.加大了解析几何的难度，在考查题数不变的情况下，将直线和圆放在了选择压轴题的位置，椭圆大题放在第数第二题(第19题)的位置。
5.函数大题难度与去年基本持平。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）i是虚数单位，复数=
（A） 2 + i （B）2 – i
（C）-2 + i （D）-2 – i
（2）设则“”是“为偶函数”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分与不必要条件

（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值
为-25时，输出x的值为
（A）-1 （B）1
（C）3 （D）9

（4）函数在区间(0,1)内的零点个数是
（A）0 （B）1
（C）2 （D）3
（5）在的二项展开式中，的系数为
（A）10 （B）-10
（C）40 （D）-40

（6）在中，内角A，B，C所对的边分别是，已知8b=5c，C=2B，则cosC=
（A） （B）
（C） （D）
（7）已知为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足，，
，若，则=
（A） （B）
（C） （D）
（8）设，若直线与圆相切，则m + n的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
应用.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
（9）某地区有小学150所，中学75所，大学25所.
现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校
对学生进行视力调查，应从小学中抽取_________所
学校，中学中抽取________所学校.

（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_________m3.
（11）已知集合，集合且则m =__________，n = __________.
（12）已知抛物线的参数方程为（t为参数）,其中p>0，焦点为F，准线为. 过抛物线上一点M作的垂线，垂足为E. 若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3，则p = _________.
【答案】2
【解析】由抛物线的参数方程可知其普通方程为为等边三角形，E的横坐标为的横坐标为3，
【考点定位】本题考查抛物线的方程、定义和其几何性质，考查学生的转化能力和计算能力.
（13）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作
圆的切线与AC的延长线相交于点D. 过点C作BD的
平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，
FB=1，EF=，则线段CD的长为____________.
（14）已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_________.
三．解答题：本大题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（15）（本小题满分13分）
已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值.
（16）（本小题满分13分）
现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
（Ⅲ）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.
【解析】依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.
设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件
则.

（17）（本小题满分13分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，
AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.
（Ⅰ）证明PC⊥AD；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；
（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面
直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长.
【考点定位】本小题主要考查空间两条直线的位置关系、二面角、异面直线所成德角、直线与平面垂直等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题相似，但底面是非特殊的四边形，一直线垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是第三问中点E的位置是不确定的，需要学生根据已知条件进行确定，如此说来就有难度，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好.
（18）（本小题满分13分）
已知是等差数列，其前n项和为Sn，是等比数列，且，.
（Ⅰ）求数列与的通项公式；
（Ⅱ）记，，证明（）.

（19）（本小题满分14分）
设椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上且异于两点，为坐标原点.
（Ⅰ）若直线与的斜率之积为，求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若，证明直线的斜率 满足

（20）（本小题满分14分）
已知函数的最小值为0，其中
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若对任意的有≤成立，求实数的最小值；
（Ⅲ）证明（）.

20 / 20