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工程力学知识点总结
第0章
1. 力学：研究物体宏观机械运动的学科。机械运动：运动效应，变形效应。
2. 工程力学任务：A.分析结构的受力状态。B.研究构件的失效或破坏规律。C.分研究物体运动的几何规律D.研究力与运动的关系。
3. 失效：构件在外力作用下丧失正常功能的现象称为失效。三种失效模式：强度失效、刚度失效、稳定性失效。
第1章
1. 静力学：研究作用于物体上的力及其平衡的一般规律。
2.力系：是指作用于物体上的一组力。
分类：共线力系，汇交力系，平行力系，任意力系。
等效力系：如果作用在物体上的两个力系作用效果相同，则互为等效力系。
3. 投影：在直角坐标系中：投影的绝对值 ＝ 分力的大小；分力的方向与坐标轴一致时投影 为正；反之，为负。
4. 分力的方位角：力与x轴所夹的锐角α： 方向：由 Fx、Fy符号定。
5. 刚体：是指在力的作用下，其内部任意两点之间的距离始终保持不变。（刚体是理想化模型，实际不存在）
6. 力矩：度量力使物体在平面内绕一点转动的效果。
方向： 力使物体绕矩心作逆时针转动时，力矩为正；反之，为负
力矩等于0的两种情况： (1) 力等于零。(2) 力作用线过矩心。
力沿作用线移动时，力矩不会发生改变。力可以对任意点取矩。
7. 力偶：由大小相等、方向相反且不共线的两个平行力组成的力系，称为力偶。（例：不能单手握方向盘，不能单手攻丝）
特点： 1.力偶不能合成为一个合力，也不能用一个力来平衡，力偶只能有力偶来平衡。
2.力偶中两个力在任一坐标轴上的投影的代数和恒为零。
3.力偶对其作用面内任一点的矩恒等于力偶矩。即：力偶对物体转动效应与矩心无关。
三要素：大小，转向，作用面。
力偶的等效：同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼此等效。
推论1：力偶可以在作用面内任意转动和移动，而不影响它对刚体的作用。（只能在作用面内而不能脱离。）
推论2：只要保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，可以同时改变力偶中力和力偶臂的大小，而不改变对刚体的作用。
8. 静力学四大公理
A.力的平行四边形规则（矢量合成法则）：适用范围：物体。
B.二力平衡公理：适用范围：刚体 （对刚体充分必要，对变形体不充分。） 注：二力构件受力方向：沿两受力点连线。
C.加减平衡力系公理：适用范围：刚体
D.作用和反作用公理：适用范围：物体 特点：同时存在，大小相等，方向相反。 注：作用力与反作用力分别作用在两个物体上，因此，不能相互平衡。（即：作用力反作用力不是平衡力）

9.常见铰链约束及其性质
（大题）
第4章
1.材料力学的任务：a.足够的强度：构件抵抗破坏的能力 b.足够的刚度：构件抵抗变形的能力 c.足够的稳定性：构件维持其原有平衡状态的能力。
2.材料力学的基本变形：轴向拉压，剪切，扭转，弯曲
3.材料力学基本假定：a.均匀连续性假定 b.各向同性假定 c.小变形假定（弹性变形，塑性变形）
4.四种基本变形在工程背景上的应用：
轴向拉压：火车卧铺的撑杆 剪切：连轴器中的螺栓 扭转：汽车承重轴 弯曲：钻床摇臂
5. 组合变形的判断：拉压：力沿轴向方向 剪切：两个力的间距非常小且方向相反 扭转：右手螺旋定则判断力方向沿轴向（与轴向平行） 弯曲：右手螺旋定则判断力方向与轴向垂直。
（注意斜弯曲）
6. 基本变形的方向判断：
轴向拉压：拉力为正，压力为负。
扭转：右手螺旋定则判断，拇指背离截面的外力偶矩为正，指向截面的外力偶矩为负。

剪力：使截面处的微段梁产生左上右下错动的剪力为正。
弯矩：使梁截面上部纵向受压、下部纵向受拉的弯矩为正。

第5章
1. 轴力图（大题）

2.应力分析方法：
A.表面变形
B.平面假设：假设变形前的横截面变形后仍保持为平面 。
C.内部变形：设想杆由无数纵向纤维组成，各纤维伸长都相同，可知它们所受的力也相等 。
D.应力分布规律：轴力在横截面上均布，各点应力相同，垂直于截面，为正应力。
3.应力分布图： 若杆轴力为FN，横截面面积为
A，则横截面上各点的应力为：
4.材料力学性质实验（必考）
1.）实验过程：（以拉伸实验为例）将低碳钢试件装入试验机夹头内，然后开动机器加载。试件受到由0逐渐增加的拉力P的作用，同时发生拉伸形变。拉力P缓慢增加，直至试件拉断。
2.）各阶段及特点
A. 弹性阶段：OA' 产生弹性变形。OA点弹性极限σe（微弯线AA’，斜直线OA’）
特点：（1）应力与应变成正比，最高点 A 的应力称为比例极限σp。
（2）直线段斜率为材料的弹性模量E。反映了材料抵抗弹性变形的能力 。
B. 屈服阶段：ABC
特点： (1) 产生屈服（流动）现象：应力几乎不变，但应变却显著增加。
(2) 产生显著的塑性变形。滑移线 （与轴线约成450 ）

(3) 屈服极限σs：材料屈服时的应力，称为屈服极限(流动极限) 。衡量材料强度的重要指标。
C.强化阶段：CD
特点：（1）强化：材料重新具有抵抗变形的能力。
（2）绝大部分变形是塑性变形，试件的横向尺寸明显缩小。（塑性：材料能产生塑性变形的性质。）
（3）强度极限(抗拉强度) σb。是衡量材料的另一强度指标。
D.颈缩阶段：DE（局部变形阶段）
特点：横向尺寸急剧缩小，产生颈缩现象。
3. ）试件拉压形变面：
铸铁： 拉伸：曲线微弯，断裂时应力很小，断口平齐。 压缩：断面与轴线约成45°
低碳钢：拉伸：有明显的塑性破坏产生的光亮倾斜面，倾斜面倾角与试样轴线近似成杯状断口。 压缩：试件越压越扁，没有强度极限σb。
4. ）材料的塑性指标：（δ和ψ都表示材料拉断时其塑性变形所能达到的最大程度。其值愈大，说明材料的塑性愈好。）
延伸率： （l1是拉断后的标距长度。）
δ≥5％的材料为塑性材料。δ＜5％的材料为脆性材料。
截面收缩率： （A1是拉断后断口处横截面面积。）
4. ）卸载规律和冷作硬化：
卸载规律：当试件加载到强化阶段的任一点 f 后卸载，应力应变关系将沿着与弹性阶段几乎平行的直线回到h点。
冷作硬化：对预拉伸的试件短期内重新加载，到f 点的应力后， 才出现塑性变形。所以，这种预拉过的材料比例极限提高到f点，材料的强度提高，但是塑性降低。
（弹性应变hg，塑性应变Oh。）
5. ）其他塑性材料的拉伸
1、 都有弹性阶段，E值接近。
2、强度、塑性有别。
3、无明显屈服阶段，取有0.2％塑性应变时的应力为屈服极限。记为δ0.2。
5.拉压杆的胡克定律： （适用于弹性范围内，系数E与材料的性质有关，称为材料的拉、压弹性模量。）
第6章
1. 外力偶矩计算公式：
2. 圆轴扭转特点：主动轮上的力偶与轴的转动方向一致，从动轮上的力偶与轴的转动方向相反。
3. 圆轴扭转讨论应力方法（见下图）

4. 薄壁圆筒应力分布：

各点大小相等，沿壁厚均布，方向垂直半径。

5.薄壁圆筒圆轴扭转公式：
6.切应力互等定理：
A.在互相垂直截面的交线处，切应力成对出现。
B.切应力大小相等，垂直于交线。
C.切应力方向共同指向交线或背离交线。
7.剪切弹性模量计算公式：
8. 圆轴扭转的横截面切应力分布：
圆轴扭转时，横截面上的切应力与点到圆心距离成正比。即原点处切应力为0，边缘切应力最大；同圆上切应力相等；切应力垂直半径。
9. 实心/空心厚壁圆轴扭转横截面任意点应力：
（MT——横截面上的扭矩。ρ——横截面上点到圆心的距离。IP——横截面对圆心的极惯性矩。）
10. 实心/空心厚壁圆轴扭转横截面边缘各点应力：
WP 称为抗扭截面系数， 单位m3。
11.距离为l的两个截面在MT作用下旋转角度：
（GIP称为圆轴的抗扭刚度。反映了圆轴抵抗扭转变形的能力。）
12. 常见轴极惯性矩Ip和扭转截面模量Wp（记）
实心轴：Ip= Wp=

空心轴：Ip= Wp=

矩形：Iy= Iz=

13. 工程实用中使用空心轴而不使用实心轴原因：
A.在相同扭矩作用下，对于相同材料的轴，强度相同时，空心轴节省材料。
B.对于相同材料的轴，横截面面积相同时，空心轴承载大。
（实心圆轴中心部分的材料承载能力没有充分发挥，从理论上讲，将这部分材料移到离中心较远的位置，可以充分发挥承载能力。）
第7章
1. 平面弯曲的受力特点及变性特点：
受力特点：外力（包括力偶）位于纵向对称面内。
变形特点：梁的轴线在纵向对称面内弯成一条平面曲线。

2.弯曲正应力
纯弯曲：横截面上只有弯矩而没有剪力的弯曲。
横力弯曲：横截面上即有弯矩又有剪力的弯曲。
3. 纯弯曲实验和假设
A. 表面变形
（2） 纵向线变成同心圆弧，顶侧缩短， 底侧伸长。
（1）横向线仍为直线，相对有转动，仍与纵向线正交，且在同一平面内。
B.假设
（1）平截面假设：横截面变形后保持平面，有相对转动，与梁轴线正交。
（2）单向受力假设：纵向纤维只承受单向拉、压，相互之间没有挤压。
C.内部变形
将梁视为无数平行底面的纵向纤维层（垂直纵向对称面） ，则：
（a）每层上的各条纤维伸、缩量相等。（同层上的纤维条受力相同）
（b）必然有一层纤维既不伸长，也不缩短，称为中性层。中性层与横截面的交线为中性轴。
注：中性轴 z 垂直于梁的纵向对称面（加载平面）
纯弯曲变形的特点：横截面绕中性轴产生相对转动。
4.平面弯曲时梁横截面上的正应力：
（σ——横截面上距中性轴为 y 的点的应力。M——横截面上的弯矩。Iz——横截面对中性轴 z 的惯性矩。）
注：绕z轴旋转动，边缘最大。
公式的适用范围：
A.理论和实验证明：对横力弯曲，当梁长l大于5倍梁高时，应用该公式计算误差很小。即该公式可用于横力弯曲。
B.适用于任何有竖向对称轴的截面梁，外力在该对称轴与轴线所确定的纵向对称面内（平面弯曲）。
D.只适用于平面弯曲。 E.在弹性范围内应用。
F.可近似用于曲率半径比梁高大的多的曲梁，以及变截面梁。
5. 弯曲正应力分布图
位于中性轴上正应力为0， ——上左下右（正）， ——上右下左

6.抗弯强度计算公式： 抗弯截面模量：

矩形截面

空心圆截面

7.挠曲线近似微分方程： （y” 与M 的符号总是相同。只讨论等截面直梁）

8. 转角方程和挠度方程
转角方程：

挠度方程： （每段梁有C、D两个积分常数。）

9. 边界条件（必考）
A.支座处：满足支座约束特点。
B.分段处：构件不断开，材料不重叠。（连续光滑条件）
固定端：y=0，y’=0（θ=0） 角支座：y=0，y’≠0（θ≠0）
例题：
边界条件：A点：x=0 y（0）=0，
B点：x=l y（l）=0

边界条件：A点：x=0 y（0）=0，
x=0 θ（0）=y’（0）=0

边界连续（积分常数）条件：
x1=0 y1（0）=0，x2=l y2（l）=0，
x1=x2=a y1（a）=y2（a），x1=x2=a θ1（a）=θ2（a）。
9. 工程实际中的刚度条件
吊车梁：【y】=（0.001~0.005） · l （l为梁的跨度）
普通机床主轴：【y】=（0.0001~0.0005） · l （l为支撑的跨度）
l
滑动轴承处：【θ】=0.001rad
向心轴承处：【θ】=0.005rad
安装齿轮处：【θ】=0.001rad
10.提高梁强度的措施（必考）
A.选用合理的截面 (增大抗弯截面模量）
在面积相等(即用材相等)的情况下，尽量增大抗弯截面模量。（即用最少的材料获取最好的抗弯效果。）

在满足所需弯曲截面系数的前提下，选择适当截面，尽量减少面积，以达到减轻自重节约材料的目的。

合理截面要符合材料的力学性能
塑性材料：【σt】=【σc】采用关于中性轴对称的截面
脆性材料：【σt】＜【σc】采用关于中性轴不对称的截面
B.采用变截面梁
C.合理安排梁的受力(降低最大弯矩）
11.提高梁的弯曲刚度措施（必考）
A.选择合理截面形状，增大惯性矩
B.改善梁的受力和支座位置
C.减小梁的长度或增加支座（约束）
第8章
1.脆性材料扭转问题
粉笔扭转的断口是45°斜截面破坏：原因：横截面上有Շmax，但在斜截面破坏。
塑性材料的杆拉伸屈服：横截面上有Շmax，但屈服时在45°方向出现滑移线。
脆性材料的杆受压：在45°斜截面上破坏。
2. 应力状态
材料的破坏面与该面上的应力密切相关，由内力的概念和拉压杆斜截面上的应力，可知：
（1）过受力构件一点任意斜截面上一般都存在应力。
（2）受力构件的破坏都与极值应力有关，而极值应力不一定作用在横截面上。
3.拉压杆应力公式：
4. 圆截面应力状态

5. 应力状态分类
A. 三向应力状态（不考）
B.二向应力状态：有二个主应力不为零的应力状态。（平面状态）
C.单向应力状态：只有一个主应力不为零的应力状态。
注：基本概念
A. 主单元体：相互垂直的各侧面上切应力为零
B. 主表面：切应力为零的面。
C. 主应力：主平面上的正应力，用σ1、σ2、σ3表示，且按代数值排列 σ1≥σ2≥σ3。
6. 斜截面应力公式

（互相垂直的斜截面上正应力之和为常量。）
7. 主平面方位
主值：-45°≤α0≤45°
两个互相垂直的平面上正应力有极值，即主应力。正应力的极值一个为极大，一个为极小。
8.主应力公式

求出主应力后，必须与已知主应力（ σ=0 ）按代数值排序，得出σ 1 、σ2 、σ3。
9.主应力表面方位确定
求出两个角度后，根据切应力的方向确定较大主应力的指向。Շx指向σmax

10.主应力方位角确定
由x轴正向指向法方向。

11. 圆轴扭转

A. 纯扭转的横截单元体是纯剪切单元体；该单元体状态是二向应力状态。
B. 圆轴扭转时，除轴线上的点，其他各点为纯剪切应力状态，最大拉、压应力在与轴线成45°斜截面上，它们数值均等于横截面上的切应力。
C. 对于塑性材料(如低碳钢)抗剪能力差，扭转破坏时，通常是横截面上的最大切应力使圆轴沿横截面剪断。
D.对于脆性材料(如铸铁、粉笔)抗拉性能差，扭转破坏时，通常沿与轴线成45°的螺旋面拉断。
12.最大剪应力公式：
13.广义胡克定律
平面应力状态

14. 强度理论
A. 第一强度理论：最大拉应力理论
B. 第二强度理论：最大伸长线应变理论
C. 第三强度理论：最大切应力理论
D. 第四强度理论：形状改变比能理论
注：σr为复杂应力状态下三个主应力的某种组合，称为相当应力。
第9章
1. 偏心拉压
载荷平行于杆件轴线，但不重合，称为偏心拉压。

单向偏心拉压：当外力在纵向对称面时，杆件为单向偏心拉压。

双向偏心拉压：当外力不在纵向对称面时，杆件为双向偏心拉压。

2. 弯扭组合变形的强度计算

机械中的轴一般都采用塑性材料制成，因此，应采用第三或第四强度理论进行强度计算。
平面应力状态下：
适用范围：拉（压）、扭组合；弯、扭组合；拉（压）、弯、扭组合
圆截面弯扭组合：
适用范围：只适用于圆截面弯扭组合。
W 为截面的抗弯截面模量。 M、MT 为危险截面的弯矩和扭矩。
第10章
1. 剪切（单剪、双剪）
受力特点：外力大小相等，方向相反，作用线平行且靠近。
变性特点：相邻的两部分产生相对错动。
剪切面：产生相对错动的面(即可能被剪断的截面)叫剪切面。
2. 挤压
在联接件产生剪切变形的同时，联接件与被联接件在其相互接触的表面上，将发生彼此间的承压现象。这种局部受压的情况称为挤压。
3. 剪切与挤压的工程实用计算
剪切：
切应力：A为剪切面面积 剪切面上内力：剪力FQ=F
剪切强度条件：Շ=≤【Շ】
挤压：
挤压应力： Abs为挤压面积
挤压面积的计算：
（1）接触面为柱面，计算挤压面为投影面。Abs= d×δ
（2）接触面为平面，计算挤压面为接触面。
挤压强度条件：σbs=≤【σbs】
注：当两者的材料不相同时，应对其中许用挤压应力较低的构件进行挤压强度计算。
例题（填空）：

第11章
1. 轴向拉压杆的强度失效
塑性材料σlim＝σs，过大塑性变形；脆性材料σlim ＝σb，断裂
强度条件： （适用拉杆、粗短压杆）
直杆受压变弯的现象，称为失稳。
2. 压杆的稳定性
指压杆受轴向压力后，其直线平衡状态的稳定性。（Pcr是临界载荷，P＞Pcr压杆失效）
结论：1、临界载荷是压杆保持稳定平衡的最大力，也是使压杆失稳的最小力。
2、要保证压杆的稳定性，必须使压杆所受的轴向压力小于临界载荷。
3.两端铰支细长压杆的临界载荷

挠曲线方程： A为挠曲线中点的挠度。
临界载荷：
4. 细长压杆的临界载荷公式（欧拉公式）
μ为长度因数，μl为相当长度。

1、Pcr∝EI
2、杆端约束越强，Pcr越大。

5. 临界应力
临界状态时压杆横截面上的应力：
6. 柔度（长细比）
A.无量纲。综合反映了杆长、约束、截面形状与几何尺寸对Pcr的影响。
B.相同材料制成的压杆，稳定性取决于λ。 λ大，稳定性差。
C.在不同的纵向平面内约束、惯性矩不相同， 则λ不同，计算临界载荷（应力）时，取较大的λ值。
D.若要使压杆在不同的纵向平面内稳定性相同，应使
7. 欧拉公式适用范围
=λp
当λ＞λp时才可用欧拉公式计算临界载荷。
注：对于用A3钢（Q235）制成的压杆，当 λ ＞100 时才可用欧拉公式计算临界载荷。
8. 弹塑性稳定
实际中的压杆，λ往往小于λp。 当λ< λp，σcr>σp，欧拉公式不成立。材料进入弹塑性阶段，此时的稳定问题属于弹塑性稳定。
临界应力常常采用直线公式： （a、b为材料常数，单位MPa.）
当 即 =λs（材料常数）
当λs≤λ≤λp，可用直线公式
9. 压杆分类
小柔度杆（粗短杆）—λ＜λs；中柔度杆—λs ≤ λ ≤ λp；大柔度杆（细长杆）—λ＞λp
10. 提高压杆稳定性的措施
A.尽量减小压杆的长度
B.加强约束的牢固性
杆端约束越强，μ值越小，临界载荷越大。

C.选择合理的截面形状
（1）压杆在各纵向平面约束相同时
a、各方向惯性矩I相等：采用正方形、圆形截面。b、增大惯性矩I：采用空心截面。
（2） 压杆在各纵向平面约束不同时：
采用两个主惯性矩不同的截面，如矩形、工字形等。
尽量使杆在两纵向平面内稳定性相同或接近。λy=λz
D.合理选用材料
选用优质钢材对细长杆意义不大。对非细长杆，可提高临界载荷。
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