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概率知识点总结及题型汇总
一、确定事件：包括必然事件和不可能事件
1、在一定条件下必然要发生的事件，叫做必然事件。必然事件是指一定能发生的事件，或者说发生的可能性是100%；如：从一包红球中，随便取出一个球， 一定是红球。
2、在一定条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件。不可能事件是指一定不能发生的事件，或者说发生的可能性是0，如：太阳从西边出来。这是不可能事件。
3、必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0
二、随机事件
在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。
一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同．
一个随机事件发生的可能性的大小用概率来表示。
三、例题：指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是随机事件，哪些是不可能事件，哪些是确定事件？
① 一个玻璃杯从一座高楼的第10层楼落到水泥地面上会摔破；
② 明天太阳从西方升起； ③掷一枚硬币，正面朝上；
④ 某人买彩票，连续两次中奖； ⑤ 今天天气不好，飞机会晚些到达．
解：必然事件是①； 随机事件是③④⑤； 不可能事件是②． 确定事件是①②
三、概率
1、一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ．
（1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。
2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ．
（1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个.
（3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等.
（4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。
（5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1
当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1
不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0
随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1
（6）可能性与概率的关系
事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0．

3、求概率的步骤：
(1)列举出一次试验中的所有结果(n个)；
(2)找出其中事件A发生的结果(m个)；
(3)运用公式求事件A的概率：P(A) = ．
5、在求概率时，一定要是发生的可能性是相等的，即等可能性事件
等可能性事件的两种特征：
（1）出现的结果有限多个; （2）各结果发生的可能性相等；
例1：图1指针在转动过程中，转到各区域的可能性相等，图3中的第一个图， 指针在转动过程中，转到各区域的可能性不相等，

由上图可知，在求概率时，一定是出现的可能性相等，反映到图上来说，一定是等分的。
例2、下列事件哪些是等可能性事件？哪些不是？
（1）抛掷一枚图钉，钉尖朝上或钉帽朝上或横卧。不是
（2）某运动员射击一次中靶心或不中靶心。不是
（3）从分别写有1，3，5，7中的一个数的四张卡片中任抽一张结果是1，或3或5或7。是
6、古典概率模型
在一次实验中,可能出现的结果有限多个，每个基本事件出现的可能性相等。将具有以上两个特点的概率模型成为古典概率模型，简称古典概型。
例题：（1）从标有数字1，2，3，4，5的5个小球（小球之间只有号码不同，其他均相同）中摸出一球，求摸出号码是2的概率．
（2）从标有数字1，2，2，3，4，5的6个小球（小球之间只有号码不同，其他均相同）中摸出一球，求摸出号码是2的概率．
此题考查概率的求法：如果一个试验有n种等可能的结果，事件A包含其中的m种结果，那么事件A的概率P（A）= ，解题时注意对概率意义的理解.
在（1）这次摸球实验中，共有5中可能的结果，事件A（摸出号码2这件事）包含其中的一种结果，那么摸出号码是2的概率．为1/5.
在（2）这次摸球实验中，共有6中可能的结果，事件A（摸出号码2这件事）包含其中的二种结果，那么摸出号码是2的概率．为2/6=1/3.
7、求概率的通用方法：
在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率，这种求概率的方法叫列举法．
列举法包括枚举法、列表法、树状图法
（1）枚举法（列举法）：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。
（2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。
（3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。
四、频率与概率
1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数
2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率
3、一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率 会稳定在某个常数p附近 ，那么，这个常数p就叫作事件A的概率 ，记为P（A）=P 。
五、概率公式中m、n之间的数量关系，P（A）的取值范围。
在概率公式P(A) = 中m、n取何值，m、n之间的数量关系，P（A）的取值范围。
0 ≤ m≤n, m、n为自然数
∵0 ≤ ≤ 1, ∴0≤P(A) ≤1.
当m=n时,A为必然事件，概率P(A)=1，
当m=0时,A为不可能事件，概率P(A)=0.
0≤P(A) ≤1
六、几何概率
1、如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。
（1）几何概型的特点:
1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. 2)每个基本事件出现的可能性相等.
（2）在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:

七、例题汇总
（一）确定三事件
例1 下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是不确定事件？哪些是确定事件？，分析其发生概率的大小
（1） 抛掷一枚均匀的骰子，6点朝上； （2）367人中有2人的出生日期相同；
（3）1+3＞2； （4）太阳从西边升起．
解析：根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．（1）抛掷一枚均匀的骰子，1，2，3，4，5，6点都有可能朝上，故6点不一定朝上；（2）一年有365（或366）天，故367人中必然有2人的出生日期相同；（3）1+3肯定大于2；（4）太阳不可能从西边升起．由以上分析知：
（1）是不确定事件， （2）（3）是必然事件， （4）是不可能事件．
（2）（3）（4）是确定事件
发生概率的大小判断，首先需要理解必然事件、不可能事件、不确定事件的意义．必然事件是指一定会发生的事件，发生的概率是1；不可能事件是指不可能发生的事件，发生的概率是0；不确定事件是指可能发生也可能不发生的事件，发生的概率介于0和1之间．
例2、下列事件属于必然事件的是（　　）
A.打开电视，正在播放新闻 B.我们班的同学将会有人成为航天员
C.实数a＜0，则2a＜0 D.新疆的冬天不下雪
解析：A是随机事件，因为可能是播新闻也可能是其它电视节目；B为随机事件，一个班有几十个学生当然有可能成为航天员；D是不可能事件，因为新疆气温低，每年都会下雪．故选C
例3、（福建龙岩）下列事件：①在足球赛中，弱队战胜强队；②抛掷一枚硬币，落地后正面朝上；③任取两个正整数，其和大于1；④长分别为3、5、9厘米的三条线段能围成一个三角形．其中确定事件的个数是（ ）．
A． B． C． D．
B 解析：③④是确定事件
（二）概率意义的理解
例1、 某商场举办购物有奖活动，在商场购满价值50元的商品可抽奖一次，丽丽在商场购物共花费120元，按规定抽了两张奖券，结果其中一张中了奖，能不能说商场的抽奖活动中奖率为50%？为什么？
解析：因为中奖是不确定事件，而计算中奖率应该是以中奖的奖券数除以奖券的总数，但这些数据在本题中没有给出，所以不能计算出这次抽奖活动的中奖率，所以不能说商场的抽奖活动中奖率为50%.
点评：概率是在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定常数的附近摆动，显示一定的稳定性，它是大量试验的结论．随机事件每次发生的结果是不可以预见的，但每次发生的概率是不变的．
例2、下列说法正确的是 （ ）
A.某市“明天降雨的概率是75％”，表示明天有75％的时间会降雨
B.随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后正面一定朝上
C.在一次抽奖活动中，“中奖的概率是”表示抽奖l00次就一定会中奖
D.在平面内，平行四边形的两条对角线一定相交
解析：明天降雨的概率是75％是说明明天有75%的可能性会降雨，而不是说明天有75%的时间在下雨；抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5，说的是在做大量的抛一枚硬币的试验中，有一半的可能性出现正面朝上，而随机抛一格硬币落地后正面不一定朝上；抽奖活动中，中奖的概率为，指的是每抽奖一次都有的可能性中奖；故A、B、C都错，因而选D.
（三） 利用简单枚举法求概率
例1 某小商店开展购物摸奖活动，声明：购物时每消费2元可获得一次摸奖机会，每次摸奖时，购物者从标有数字1，2，3，4，5的5个小球（小球之间只有号码不同，其他均相同）中摸出一球，若号码是2就中奖，奖品为一张精美图片．
（1）摸奖一次得到一张精美图片的概率是多少？
（2）一次，小聪购买了10元钱的物品，前4次摸奖都没有摸中，他想：“第5次摸奖我一定能摸中”，你同意他的想法吗？说说你的想法．
解析：（1）每次摸奖时，有5种情况，只有摸到号码是2的球才中奖，于是得到一张精美图片的概率是P=；
（2）不同意，因为小聪第5次得到一张精美图片的概率仍是，所以他第5次不一定中奖．
点评：此题考查概率的求法：如果一个试验有n种等可能的结果，事件A包含其中的m种结果，那么事件A的概率P（A）= ，解题时注意对概率意义的理解.
例2、随意地抛一粒豆子，恰好落在图中的方格中（每个方格除颜色外完全一样），那么这粒豆子停在黑色方格中的概率是 ．

解析：1、这粒豆子落在每一个方格中的可能性是一样的，因此这粒豆子停在方格中的可能性共有12种，黑色方格的可能性有四种，所以黑色方格中的概率等于
2、黑色方格中的概率等于黑色方格的面积与所有方格的面积比．设每个方格的面积是1，则P（这粒豆子停在黑色方格）=．
点评：概率的大小与面积大小有关.事件发生的概率等于此事件所有可能结果所组成的图形面积除以所有可能结果组成的图形面积．
例3 、掷两枚硬币，求下列事件的概率
（1） 两枚硬币正面全部朝上；（2）两枚硬币反面全部朝上
（3）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上。
解：用枚举法（列举法）列出可能的结果是：正正、正反、反正、反反。所有结果共有4种。并且这四个结果出现的可能性相等。
用列表法：解:其中一枚硬币为A,另一枚硬币为B,则所有可能结果如表所示:

正

反

正
(正,正)
(正,反)

反
(反,正)
(反,反)

（1）所有的结果中，满足两枚硬币全部正面朝上（记为事件A）的结果只有一个，即“正正”所以P（A）=1/4
（2）所有的结果中，满足两枚硬币全部反面朝上（记为事件B）的结果只有一个，即“反反”所以P（B）=1/4
（3）所有的结果中，满足一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上（记为事件C）的结果共有2个，即“正反”“反正”所以P（C）=2/4=1/2
例4、一口袋中装有四根长度分别为1cm，3cm，4cm和5cm的细木棒，小明手中有一根长度为3cm的细木棒，现随机从袋内取出两根细木棒与小明手中的细木棒放在一起，回答下列问题：
（1）求这三根细木棒能构成三角形的概率；
（2）求这三根细木棒能构成直角三角形的概率；
（3）求这三根细木棒能构成等腰三角形的概率．
解析：从四根木棒中任选两根，共有以下六种情况：（1，3）、（1，4）、（1，5）、（3，4）、（3，5）、（4，5），其中与3cm长的线段构成三角形的有（1，3，3）、（3，3，4）、（3，3，5）、（3，4，5）四种；构成直角三角形的有（3，4，5）一种；构成等腰三角形的有（1，3，3）、（3，3，4）、（3，3，5）三种，所以有：
（1）P（构成三角形）=； 　 （2）P（构成直角三角形）=；　　
（3）P（构成等腰三角形）=．
（四） 列表法求概率
当试验涉及两个因素(例如两个转盘)并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有的结果，通常采用“列表法”。
例1、如图,袋中装有两个完全相同的球,分别标有数字“1”和“2”.小明设计了一个游戏:游戏者每次从袋中随机摸出一个球,并自由转动图中的转盘(转盘被分成相等的三个扇形).游戏规则是:如果所摸球上的数字与转盘转出的数字之和为2,那么游戏者获胜.求游戏者获胜的概率.
1
2
3
解:每次游戏时,所有可能出现的结果如下:

1
2
3
1
（1，1）
（1, 2）
（1, 3）
2
（2, 1）
（2, 2）
（2, 3）
总共有6种结果,每种结果出现的可能性相同,而所摸球上的数字与转盘转出的数字之和为2的结果只有一种:(1,1),因此游戏者获胜的概率为1/6.
例2、如图，甲转盘的三个等分区域分别写有数字1、2、3，乙转盘的四个等分区域分别写有数字4、5、6、7。现分别转动两个转盘，求指针所指数字之和为偶数的概率。
解：列表

4
5
6
甲
乙
1
2
3
4
5
6
7
7
1
（1,4）
（1,5）
（1,6）
（1,7）
2
（2,4）
（2,5）
（2,6）
（2,7）
3
（3,4）
（3,5）
（3,6）
（3,7）
共有12种不同结果，每种结果出现的可能性相同，其中数字和为偶数的有【 6 】 种
∴P（数字和为偶数）=6/12=1/2
例3、例、同时掷两个质地均匀的骰子,计算下列事件的概率:
(1)两个骰子的点数相同
(2)两个骰子点数之和是9
(3)至少有一个骰子的点数为2
分析：当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用列表法。
解: 两枚骰子分别记为第1枚和第2枚.列出所有可能的结果：

1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
5
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
6
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
由表可看出，同时投掷两个骰子，可能出现的结果有36种，它们出现的可能性相等。
（1）满足两个骰子点数相同（记为事件A）的结果有6种， P(A)=6/36=1/6
(2) 满足两个骰子点数和为9（记为事件B）的结果有4种，P(B)=4/36=1/9
(3) 满足至少有一个骰子的点数为2（记为事件C）的结果有11种，P(C)=11/36
思考题：如果把刚刚这个例题中的“同时掷两个骰子”改为“把一个骰子掷两次”,所得的结果有变化吗? 没有变化
（五）树形图法求概率
当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。
1、现有一项“抖空竹”的表演．已知有塑料、木质两种空竹，甲、乙、丙三名学生各自随机选用其中的一种空竹．求甲、乙、丙三名学生恰好选择同一种空竹的概率．
解：甲、乙、丙三名学生恰好选择同一种空竹为事件．塑料—A 木质—B
A
A
A
B
A
B
B
B
A
A
B
A
B
B
方法1： 方法2：
AAA，AAB， ABA，ABB，
BAA，BAB， BBA， BBB.

2、甲、乙、丙三个盒中分别装有大小、形状相同的卡片若干，甲盒中装有2张卡片，分别写有字母A和B；乙盒中装有3张卡片，分别写有字母C、D和E；丙盒中装有2张卡片，分别写有字母H和I；现要从3个盒中各随机取出一张卡片．求
（1）取出的3张卡片中恰好有1个，2个，3个写有元音字母的概率各是多少？
（2）取出的3张卡片上全是辅音字母的概率是多少？
H
I
丙盒
C
D
E
乙盒
A
B
甲盒

解：根据题意，我们可以画出如下“树形图”：甲
乙
丙
A

C
H
I
D
H
I
E
H
I
B

C
H
I
D
H
I
E
H
I

由树形图可以得到，所有可能出现的结果有12个，这些结果出现的可能性相等．
（1）只有一个元音字母的结果有5个，所以；
有两个元音字母的结果有4个，所以；
全部为元音字母的结果有1个，所以；
（2）全是辅音字母的结果有2个，所以．
3、小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”的游戏：图1是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形。游戏者同时转动两个转盘，如果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，那么他就赢了，因为红色和蓝色在一起配成了紫色。
（1）利用树状图或列表的方法表示游戏所有可能出现的结果。
（2）游戏者获胜的概率是多少？

解析：（1）所有可能出现的结果可用表1或图2表示。
表1
B
A
黄
蓝
绿
红
（红，黄）
（红，蓝）
（红，绿）
白
（白，黄）
（白，蓝）
（白，绿）

（2）所有可能出现的结果共有6种，配成紫色的结果只有1种，故游戏获胜的概率为。
这道题为两步试验的随机事件发生的概率计算，采用的方法是树状图法和列表法。接下来仍然以“配紫色”为主要情景进行游戏：，让同学们进一步经历用树状图法和列表法解决概率问题的过程。
用图3所示的转盘进行“配紫色”游戏。
小颖制作了图4，并据此求出游戏者获胜的概率为。

小亮则先把左边转盘的红色区域等分成2份，分别记作“红色1”“红色2”，然后制作了表2，据此求出游戏者获胜的概率也是。

红色
蓝色
红色1
（红1，红）
（红1，蓝）
红色2
（红2，红）
（红2，蓝）
蓝色
（蓝，红）
（蓝，蓝）
你认为谁做得对？说说你的理由。
解析：因为左边的转盘中红色部分和蓝色部分的面积不同，因而指针落在这两个区域的可能性不同，故小颖的做法不正确，而小亮的方法则是解决这一类问题的一种常用方法。
4、小明与父母从广州乘火车回北京，他们买到的火车票是同一排相邻的三个座位，那么小明恰好坐在父母中间的概率是多少？
解：为了方便起见，我们不妨设三个坐位号为1，2，3。可以看出坐在2号位上，则为中间位置。画出树状图如图4或图5或图6。
开始
父亲
母亲
1
2 3
2
1 3
3
1 2
图5
小明
3 2 3 1 2 1
开始
母亲
父亲
1
2 3
2
1 3
3
1 2
图6
小明
3 2 3 1 2 1
从图中可以看出，不论小明第几个坐，所有的可能能是6种，而小明坐2号位置的情况有2种（记为事件A），所以小明恰好坐在父母中间的概率是
P（A）=

（六）概率与方程
1、（2011广西防城港 23，8分）一个不透明的纸盒中装有大小相同的黑、白两种颜色的围棋，其中白色棋子3个（分别用白A、白B、白C表示），若从中任意摸出一个棋子，是白色棋子的概率为．（1）求纸盒中黑色棋子的个数；
（2）第一次任意摸出一个棋子（不放回），第二次再摸出一个棋子，请用树状图或列表的方法，求两次摸到相同颜色棋子的概率．
解答：（1）∵3÷－3＝1 ∴黑色棋子有1个．
（2）∵
∴共12种情况，有6种情况两次摸到相同颜色棋子，所以概率为．
另外，本题还可以用树状图解答如下：

因为由上面树状图可知：共12种情况，有6种情况两次摸到相同颜色棋子，所以概率为．
2、湘潭是我家，爱护靠大家”．自我市开展整治“六乱”行动以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到绿灯的概率为（ ） A． B． C． D．
解：遇到绿灯的概率为1-1/3-1/9=5/9
【点评】所有情况的概率之和为1，用1减去其它情况的概率就是遇到绿灯的概率。
3、（2014?武威模拟）袋子里有10个红球和若干个蓝球，小明从袋子里有放回地任意摸球，共摸100次，其中摸到红球次数是25次，则袋子里蓝球大约有（ ）
A.20 B.30 C.40 D.50
【解析】∵共摸100次，其中摸到红球次数是25次，∴摸到红球的概率为=，
∵袋子里有10个红球和若干个蓝球，∴设篮球有x个，则=， 解得：x=30，故选B．
4、（2010铁岭）将红、黄、蓝三种除颜色不同外，其余都相同的球，放在不透明的纸箱里，其中红球4个，蓝球3个，黄球若干个.若每次只摸一球(摸出后放回)，摸出红球的概率是，则黄球有________个.
解析：设黄球有x个，则摸出红球的概率为，解得x＝3
5、（2010湖南衡阳）在不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的卡片，这些卡片除颜色外都相同，其中红色卡片2张，黄色卡片1张，现从中任意抽出一张是红色卡片的概率为.
⑴试求箱子里蓝色卡片的张数.
⑵第一次随机抽取一张卡片(不放回)，第二次再随机抽取一张，请用画树状图或列表格的方法，求两次抽到的都是红色卡片的概率.
分析:（1）设箱子里蓝色卡片的张数为x张，由,则，解关于x的方程即可求出箱子里蓝色卡片的张数.（2）要注意题目中的条件，第一次抽取后不放回.
解：（1）设箱子里有x张蓝色卡片，则有，解得：x=1.
（2）

从树状图图可知，一共有12种结果，两次抽到的都是红色的有两种．
∴Ｐ（两次抽到都是红色卡片）＝．
6、（2010湖北随州）甲、乙两同学投掷一枚骰子，用字母p、q分别表示两人各投掷一次的点数.（1）求满足关于x的方程有实数解的概率.
（2）求（1）中方程有两个相同实数解的概率.
分析:通过列表或画树状图，可以求出p、q的各种可能的取值；方程有实数解的条件是判别式≥0；方程有两个相同实数解的条件是判别式＝0.
解:通过列表或画树状图可得，两人投掷骰子后p、q的取值共有36种等可能情况，其中满足≥0的有、、、、、、、、、、、、、、、、、、以上19种情况，∴方程有实数解的概率为；其中满足＝0的有、以上2种情况，∴方程有两个相同实数解的概率为.
7、（2010茂名）已知一只纸箱中装有除颜色外完全相同的红色、黄色、蓝色乒乓球共100个．从纸箱中任意摸出一球，摸到红色球、黄色球的概率分别是0.2、0.3．
（1）试求出纸箱中蓝色球的个数；
（2）假设向纸箱中再放进红色球个，这时从纸箱中任意取出一个球是红色球的概率为0.5，试求的值．
解：(1)由已知得纸箱中蓝色球的个数为：（个）
(2) 方法一：根据题意得：
，解得：（个）．
方法二：由已知得红色球20个、黄色球30个，蓝色球50个，为使任意取出一个球是红色球的概率为0.5，所以纸箱中红色球的个数等于黄色球与蓝色球个数之和，得：
x+20=30+50，解得：（个）．
（七）几何概率
1、在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示，转盘被平均分成16份），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色 区域，那么顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物，如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券10元。
（1）求每转动一次转盘所获50元购物券的概率（2）求每转动一次转盘所获30元购物券的概率
（3）求每转动一次转盘所获20元购物券的概率（4）求每转动一次转盘所获购物券的概率
（5）求每转动一次转盘不获购物券的概率 （6）求每转动一次转盘所获购物券金额的平均数；
（7）如果你在该商场消费125元，你会选择转转盘还是直接获得购物券？说明理由。

解：(1)每转动一次转盘所获50元购物券的概率为：1/16
（2）每转动一次转盘所获30元购物券的概率为：2/16=1/8
（3）每转动一次转盘所获20元购物券的概率为：4/16=1/4
（4）每转动一次转盘所获购物券的概率：1/16+2/16+4/16=7/16
（5）每转动一次转盘不获购物券的概率：1-7/16=9/16(或者是空白区域除以16）
（6）50×+30×+20×=11.875（元）； （7）∵11.875元>10元， ∴选择转转盘。
2、某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图9所示），并规定：顾客每购买100元的商品，可转动两次转盘，当转盘停止后，看指针指向的数．获奖方法是：①指针两次都指向8时，顾客可以获得100元购物券；②指针两次中有一次指向8时，顾客可以获得50元购物券；③指针两次都不指向8，且所指两数之和又大于8时，顾客可以获得所指两数之和与8的差的10倍的购物券（如，获40元购物券）；④其余情况无奖．
（1）试用树状图或列表的方法，给出两次转动转盘指针所有可能指向的结果；
（2）试求顾客可获得100元购物券的概率； （3）试求顾客无奖的概率．

解：（1）列表得：

2
4
6
8
2
（2，2）
（2，4）
（2，6）
（2，8）
4
（4，2）
（4，4）
（4，6）
（4，8）
6
（6，2）
（6，4）
（6，6）
（6，8）
8
（8，2）
（8，4）
（8，6）
（8，8）

（2）因为两次转动转盘指针所有可能的结果共有16种，其中两次指针指向8的情况有一种，所以所求概率为1/16
（3）因为两次转动转盘指针所有可能的结果共有16种，其中无奖的情况有6种，所以所求概率为6/16=3/8
3、公共汽车在0～5分钟内随机地到达车站，求汽车在1～3分钟之间到达的概率。
分析：将0～5分钟这段时间看作是一段长度为5个单位长度的线段，则1～3分钟是这一线段中的2个单位长度。
解：设“汽车在1～3分钟之间到达”为事件A，则P(A)=(3-1)/5=2/5
所以“汽车在1～3分钟之间到达”的概率为2/5
4、取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大?
解：记“剪得两段绳子长都不小于1m”为事件A，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生。由于中间一段的长度等于绳子长的三分之一，所以事件A发生的概率P（A）=1/3。
5、在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率。
分析：点M随机地落在线段AB上，故线段AB为区域D。当点M位于图中的线段AC’上时，AM＜AC，故线段AC’即为区域d。
解： 在AB上截取AC’=AC，于是
P（AM＜AC）=P（AM＜AC’）=AC’/AB=AC/AB=√2/2
则AM小于AC的概率为√2/2
6、取一个边长为2a的正方形及其内切圆(如图),随机地向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的概率.
解:记“豆子落入圆内”为事件A,则
P(A)=圆的面积/正方形面积=πa2/4a2=π/4

7、在边长为a的正方形ABCD内随机取一点P，求：（1）∠APB ＞ 90°的概率．（2）∠APB＜90°的概率
解：如图，以正方形的边AB为直径作圆，根据直径所对的圆周角为直角，则有当点P在圆周上时,∠APB=90°，而点P在圆内时,∠APB＞90°，当点P在圆外时,∠APB＜90°
设AB=a,则正方形的面积为a²

所以，∠APB＞90°的概率p=(π*(a/2)²/2)÷a²=π/8
∠APB＜90°的概率为1-π/8
30m
20m
2 m
8、一海豚在水池中自由游弋，水池为长30m，宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸小于2m的概率．
解：设事件A“海豚嘴尖离岸边小于2m”（见阴影部分）
P（A）＝（30×20-26×16）÷30×20=0.31

9、射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”。奥运会的比赛靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm，运动员在70m外射．假设射箭都能中靶，且射中靶面内任意一点都是等可能的，那么射中靶心的概率有多大？
P(A)=（1/4π×12.22）÷（1/4π×1222）=0.01
10、某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.
解：设A={等待的时间不多于10分钟}.我们所关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内,因此由几何概型的求概率的公式得
P(A)=10/60=1/6
（八） 设计公平的游戏规则
例1 有一个小正方体，正方体的每个面分别标有1，2，3，4，5，6这六个数字．现在有甲、乙两位同学做游戏，游戏规则是：任意掷出正方体后，如果朝上的数字是6，甲是胜利者；如果朝上的数字不是6，乙是胜利者．你认为这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？为什么？如果不公平，你打算怎样修改才能使游戏规则对甲、乙双方公平？
解析：看游戏是否公平，主要看双方是否具有均等的获胜机会，如果机会是均等的，那就公平，否则，则不公平；可以改变已知条件，使游戏对双方获得的机会是均等的就可以了．
（1）这个游戏不公平．因为正方体的每个面分别标有1，2，3，4，5，6这六个数字，其中数字6只有1个，也就是甲胜利的概率是；不是6的数字有5个，也就是说乙胜利的概率是，双方的胜利的机会不是均等的，所以说这个游戏不公平.
（2）可以把游戏规则改为：任意掷出正方体后，如果朝上的数字是奇数（1，3，5），甲是胜利者；如果朝上的数字是偶数（2，4，6），乙是胜利者，按这样的游戏规则就公平了．
点评：本题考查游戏公平性的判断，判断游戏规则是否公平，就要计算每个参与者取胜的概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平.
（九）概率的实际应用
例1某同学午觉醒来发现钟表停了，他打开收音机想听电台整点报时，则他等待的时间不超过15分钟的概率是（ ）
A. B. C. D.
解析：电台每小时报时一次时间，此人打开收音机时处于两次报时之间．例如在13：00至14：00之间，而且取各点的可能性一样．要等待的时间不超过15分钟，只有当他打开收音机的时间处于13：45至14：00之间才有可能，因此相应的概率应是．本题选C．
点评：对于一个随机事件来说，它发生可能性大小的度量是由它们自身决定的，并且是客观存在的，就如同一块土地有面积一样.概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件自身的一个属性．
误区点拨
一、基本概念的理解有误
例1 有下列说法：①随机事件A发生的概率是频率的稳定值；②任意事件A发生的概率P（A）满足0＜P（A）＜1；③若事件A发生的概率为0.000 001，则事件A是不可能事件．其中正确的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
错解：选D.
剖析：本题致错原因是不理解一些基本概念.频率是较少数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律．在大量重复试验时，频率具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数叫做这个事件的概率．随机事件A发生的概率是频率的稳定值，①正确；由于必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，随机事件发生的概率大于0小于1，所以任意事件A发生的概率P（A）满足0≤P（A）≤1，②错误；若事件A发生的概率为0.000 001，则事件A发生的可能性很小，但也有可能发生，③错误.
正解：选B.
二、错误理解概率
例2 某同学掷一枚硬币，结果是一连9次都掷出正面朝上，请问他第10次掷出硬币时出现正面朝上的概率为（　　）
A．小于 B．大于 C． D．不能确定
错解：选B.
剖析：无论哪一次抛掷硬币，都有2种情况，即正面、反面，与第几次抛掷硬币无关，故第10次掷出硬币时出现正面朝上的概率为．
正解：选C．
三、求概率时没有注意等可能性
例3 如图，把一个圆形转盘按1︰2︰3︰4的比例分成A，B，C，D四个扇形区域，自由转动转盘，求转盘停止后落在B区域的概率．

错解： .
剖析：错解中没有注意各部分所占的比例，也就是说落到每一部分不是等可能性的，解题时首先确定在图中B区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向B区域的概率．
正解：由于该圆形转盘按1︰2︰3︰4的比例分成A，B，C，D四个扇形区域，于是圆被等分成10份，其中B区域占2份，所以落在B区域的概率==．
跟踪训练
1. 下列事件中，属于不确定事件的是（　　）
A．通常水加热到100 ℃时沸腾
B．测量聊城某天的最低气温，结果为-150 ℃
C．一个袋中装有5个黑球，从中摸出一个是黑球
D．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
2.绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：
每批粒数n
100
300
400
600
1000
2000
3000
发芽的粒数m
96
282
382
570
948
1912
2850
发芽的频率
0.960
0.940
0.955
0.950
0.948
0.956
0.950
则绿豆发芽的概率估计值是（ ）
A．0.96 B．0.95