高等数学习题详解-第1章-函数.doc

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习题1-1
1. 求下列函数的定义域：
(1) ; (2) ；
(3) ； 　(4) .
解：⑴ 要使式子有意义，x必须满足，由此解得，因此函数的定义域是。
⑵ 要使式子有意义，x必须满足 即 因此函数的定义域是。
⑶ 要使式子有意义，x必须满足即因此函数的定义域是。
⑷ 要使式子有意义，x必须满足即因此函数的定义域是

2. 判断下列各组函数是否相同?
(1) ，； (2) ，,
(3) ，； (4) , ．
解：(1) 因为的定义域是，但是的定义域是，两个函数的定义域不同，所以两个函数不同。
(2) 因为的定义域是，但是的定义域是，两个函数的定义域不同，所以两个函数不同。
(3) 两个函数的定义域相同，对应法则也相同，所以两个函数相同。
(4) 因为的定义域是，但是的定义域是，两个函数的定义域不同，所以两个函数不同。
3. 若，求，.
解：，
4. 若，求, .
解：令.则,从而，
所以，
。
5. 设，求，，。
解：，，。
6. 设，求f（-1）, f（0）, f（1）, f（x-1）.
解： ，，

7．作出下列函数的图形：
(1) ；　（2）　； (3)
8. 某运输公司规定货物的吨公里运价为: 在a公里以内,每公里k元, 超过部分公里为元. 求运价m和里程s之间的函数关系.
解：由题意可得
9.火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过50千克时，按基本运费计算.如从上海到某地每千克以0.15元计算基本运费，当超过50千克时，超重部分按每千克0.25元收费.试求上海到该地的行李费y（元）与重量x（千克）之间的函数关系式，并画出函数的图像.
解：由题意可得
习题1-2
1. 指出下列函数中哪些是奇函数，哪些是偶函数，哪些是非奇非偶函数？
(1) ； (2) ；　
（3）. (4)
解：(1) 的定义域是，
， 是奇函数。
(2) 的定义域是，
， 是偶函数。
⑶ 的定义域是，
，且，既不是奇函数也不是偶函数。
(4) 的定义域是，
，是奇函数。
2. 设下列函数的定义域均为,证明：
(1) 两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；
(2) 两个奇函数的积是偶函数，一奇一偶的乘积为奇函数；
(3) 任一函数都可表示为一个奇函数与一个偶函数的和.
证明：(1)设、是奇函数，令，
、是奇函数，即，
，因此两个奇函数的和仍为奇函数。
设、是偶函数，令，
、是偶函数，即，
，因此两个偶函数的和仍为偶函数。
(2) 设、是奇函数，令，
、是奇函数，即，
，因此两个奇函数的积为偶函数。
设是奇函数，是偶函数，令，
是奇函数，是偶函数，即，
，因此一奇一偶的乘积为奇函数。
(3) 设是任一函数，令，，
，即是偶函数
，即是奇函数，
又，
任一函数都可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。
3. 证明函数在内是单调增加的函数..
证明：在内任取两点任取两点且则

因为是内任意两点, 所以
又因为故，即
所以在内是单调增加的.
4. 设函数是周期的周期函数，试求函数的周期.
解：因为是周期的周期函数，所以，
即，因此的周期。
5．已知函数的周期为2，并且

试在上作出函数的图形.
6．验证函数在开区间 内无界，在开区间 内有界.
解：因为对任意，存在，使得，所以在开区间 内无界。
因为，所以，即，因此在开区间 内有界。
习题1-3
1. 求下列函数的反函数及其定义域：
(1) ； (2) ；
（3）；　 (4) ．
解：(1) 由解得，故所求反函数为，
反函数的定义域为。
(2) 由解得，故所求反函数为，
反函数的定义域为。
（3）由解得，可得，故所求反函数为，
反函数的定义域为。
(4) 由解得，可得，
故所求反函数为，反函数的定义域为。
2. 证明：和互为反函数.
证明：设，由此式可得，故的反函数是，
因此和互为反函数。
3. 已知符号函数
求的反函数.
解：由题意可得
由此式可解得
故的反函数为。
4.指出下列复合函数的复合过程?
(1) ； (2) ；(3) ．
解：(1) 由，复合而成。
(2) 由 复合而成。
(3) 由 复合而成。
5.设,求。
解：。
6.设函数

求的表达式.
解：=。
7.设 ，求
解： ，
。
习题1-4
1. 求下列函数的定义域：
(1) ；　　　　　　
（2） ;
（3）；
（4）
解：(1) 要使表达式有意义，只须，解得，故的定义域是。
(2) 要使表达式有意义，只须，解得，故的定义域是。
(3) 要使表达式有意义，只须，解得，故的定义域是。
(4) 要使表达式有意义，只须，解得且，故的定义域是。
2. 将下列函数分解成简单函数的复合.
(1)
(2)
(3)
(4)
解：(1) 由，，复合而成。
(2) 由复合而成。
(3) 由复合而成。
(4) 由
复合而成。
习题1-5
1. 现有初始本金100元, 若银行年储蓄利率为7%, 问:
(1) 按单利计算, 3年末的本利加为多少?
(2) 按复利计算, 3年末的本利和为多少?
(3) 按复利计算, 需多少年能使本利和超过初始本金的一倍?
解：(1) 按单利计算, 3年末的本利加为元。
(2) 按复利计算, 3年末的本利和为元。
(3) 设需n年能使本利和超过初始本金的一倍，则，
解得，因此需11年才能使本利和超过初始本金的一倍。
2. 某种商品的供给函数和需求函数分别为

求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量.
解：令，即，解得，因此该商品的市场均衡价格为7，
，因此该商品的市场均衡数量为165.
3. 某批发商每次以160元/台的价格将500台电扇批发给零售商, 在这个基础上零售商每次多进100台电扇, 则批发价相应降低2元, 批发商最大批发量为每次1000台, 试将电扇批发价格表示为批发量的函数, 并求零售商每次进800台电扇时的批发价格.
解：设批发量为，电扇批发价格为，
由题意可知（），
当时，。
4. 某工厂生产某产品, 每日最多生产200单位. 它的日固定成本为150元, 生产一个单位产品的可变成本为16元. 求该厂日总成本函数及平均成本函数.
解：设该工厂的日产量为，则日总成本函数为（）
日平均成本函数为（）。
5.某工厂生产某产品年产量为x台, 每台售价500元, 当年产量超过800台时, 超过部分只能按9折出售. 这样可多售出200台, 如果再多生产，本年就销售不出去了. 求出本年的收益(入)函数.
解：由题意可知收益(入)函数为

。
6.已知某厂生产一个单位产品时，可变成本为15元，每天的固定成本为2000元，如这种产品出厂价为20元，求
（1）利润函数；
（2）若不亏本，该厂每天至少生产多少单位这种产品.
解：（1）设该厂每天生产单位产品，由题意可知利润函数为
（），
（2）要使不亏本，必须，即，因此该厂每天要至少生产400单位这种产品才能不亏本。
7.某企业生产一种新产品, 在定价时不单是根据生产成本而定, 还要请各销售单位来出价, 即他们愿意以什么价格来购买. 根据调查得出需求函数为 该企业生产该产品的固定成本是270000元, 而单位产品的变动成本为10元.
(1)求利润函数；
(2)为获得最大利润, 出厂价格应为多少?
解：(1) 由题意可知利润函数为

。
(2) 因为，所以出厂价格为30元时利润最大。
8.已知某产品的成本函数与收入函数分别是
，
其中x表示产量，试求该商品的盈亏平衡点, 并说明盈亏情况.
解：由题意可知利润函数为，
从而得到两个盈亏平衡点分别为 ，
易见当时亏损, 时盈利，而当时又转为亏损.

复习题1
（A）
1.下列函数不相等的是( D )
（A） ，；
（B） ，；
（C） ，；
（D），.
解：D中的与定义域不同。
2.求下列函数的定义域：
（1）；
（2） ;
（3）.
解：（1）要使式子有意义，x必须满足 即 ，因此函数的定义域是。
（2）要使式子有意义，x必须满足 即 ，因此函数的定义域是。
（3）要使式子有意义，x必须满足，即，
因此函数的定义域是。
3. 函数的定义域为 ，值域为 .
4. 设，则 .
解：.
5.判断下列函数的奇偶性：
（1） ；
（2） .
解：（1）因为 ，所以是偶函数。
（2） 因为，所以是奇函数。
6.判断下列函数在定义域内的有界性及单调。
(1) ； （2） .
解：(1) ①有界性：
因为所以 故，对一切都成立.因此函数在上是有界函数
②单调性：在内任取两点且则

当是内任意两点时, 则又因为故，即，所以在内是单调减少的.
当是内任意两点时, 则又因为故，即，所以在内是单调减少的.
当是内任意两点时, 则又因为故，即，所以在内是单调增加的.
（2） ①单调性：在内任取两点且则

因为故且，所以，即，所以在内是单调增加的.
②有界性：因为在内是单调增加的，所以在内无界。
7.设y=f(x)的定义域为[0，1]，求下列函数的定义域：
(1) ；　　　　　　　　　　　(2)　 ；
(3) ； (4) .
解：(1) 因为y=f(x)的定义域为[0，1]，所以，解得，故的定义域为.
(2) 因为y=f(x)的定义域为[0，1]，所以 ，解得，故的定义域为.
(3) 因为y=f(x)的定义域为[0，1]，所以，又因为，故可解得，因此的定义域为.
(4) 因为y=f(x)的定义域为[0，1]，所以，解得，
当时，可解得；当时，无解
故时，的定义域为，
时定义域为空集。
8. 设，，求，，和.
解：，，
，.
9.下列函数是由哪些简单函数复合而成的？
（1） ；
（2）.
解：（1） 由复合而成的。
（2）由复合而成的。
10.设定义在上，证明：
（1）为偶函数；
（2）为奇函数.
解：（1）设，则，
所以为偶函数。
（2）设，
则，所以为奇函数。
11.邮局规定国内的平信，每20g付邮资0.80元，不足20g按20g计算，信件重量不得超过2kg，试确定邮资y与重量x的关系.
解：由题意可知.
（B）
1. 求函数的定义域.
解：要使式子有意义，x必须满足 即 ，因此函数的定义域是.
2．设求函数的定义域.
解：由的定义域是，故，解得，所以函数的定义域为.
3．下列函数是奇函数的是 ( B )，是偶函数的是 ( A ).
A. ；
B. ；
C. ；
D. .
解：A. 的定义域是，是对称区间，
因为，
所以是偶函数。
B.的定义域是，是对称区间，
因为
所以，是上的奇函数.
C. 的定义域是，是对称区间，
因为，所以是非奇非偶函数。
D. 的定义域是，是对称区间，
因为，所以是非奇非偶函数。
4. 设 求
解：因为，所以.
5. 设函数为定义域上的奇函数，，且对任意满足

(1) 求与；
(2) 问为何值时，是以2为周期的函数.
解：(1) 因为，即，又因为函数为奇函数，故，所以，
.
(2) 若想要是以2为周期的函数，只要有，则只要
故当时，是以2为周期的函数.
6. 设函数的定义域为，证明必存在上的偶函数及奇函数 使得
证明：令，，

随着社会经济、文化的飞跃发展，人们正从温饱型步入小康型，崇尚人性和时尚，不断塑造个性和魅力的现代文化价值观念，已成为人们的追求目标。因此，顺应时代的饰品文化显示出强大的发展势头和越来越广的市场，从事饰品销售是有着广阔的市场空间。因为，，所以是偶函数，是奇函数

调研提纲：又，命题得证。
7．若对其定义域上的一切, 恒有则称对称于
证明: 若对称于及 则是以为周期的周期函数.
证明：因为对称于，则有又因为对称于，则有

我们女生之所以会钟爱饰品，也许是因为它的新颖，可爱，实惠，时尚，简单等。的确，手工艺品价格适中。也许还有更多理由和意义。那么大学生最喜欢哪种手工艺品呢?此次调查统计如下图（1-3）所以，

在我们学校大约有4000多名学生，其中女生约占90%以上。按每十人一件饰品计算，大概需要360多件。这对于开设饰品市场是很有利的。女生成为消费人群的主体。即是以为周期的周期函数.

（二）大学生对DIY手工艺品消费态度分析8. 已知, 求.
解：因为，
所以

在上海， 随着轨道交通的发展，地铁商铺应运而生，并且在重要的商业圈已经形成一定的气候，投资经营地铁商铺逐渐成为一大热门。在人民广场地下“的美”购物中心，有一家DIY自制饰品店---“碧芝自制饰品店”。9. 已知, , 求.

因为是连锁店，老板的“野心”是开到便利店那样随处可见。所以办了积分卡，方便女孩子到任何一家“漂亮女生”购物，以求便宜再便宜。解：由 ，解得.

（1）位置的优越性10. 设，求.
解：令，解得，则有，

经常光顾□ 偶尔会去□ 不会去□即，又因为，
可解得.

动漫书籍□ 化妆品□ 其他□

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