2009年高考真题数学【文】(山东卷)（含解析版）.pdf

-1-2009 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷山东卷)文科数学文科数学 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。的。1.集合,若,则的值为()0,2,Aa21,Ba0,1,2,4,16AB aA.0 B.1 C.2 D.4 2.复数等于（）31iiA B.C.D.i 211 2i2i2i3.将函数的图象向左平移个单位,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式是()sin2yx4A.B.C.D.22cosyx22sinyx)42sin(1xycos2yx4.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为().A.B.C.D.22 342 32 3232 343 5.在 R 上定义运算:,则满足0 且 a1)有两个零点，x则实数 a 的取值范围是 .15.执行右边的程序框图，输出的 T=.16.某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品,甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件和 B 类产品 10 件,乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件.已知设备甲每天的租赁费为 200 元,设备乙每天的租赁费为 300 元,现该公司至少要生产 A 类产品 50 件,B 类产品 140 件,所需租赁费最少为_元.2 2 侧(左)视图 2 2 2 正(主)视图 1 x y 1 O A x y O 1 1 B x y O 1 1 C x y 1 1 D O A B C P 第 8 题图 开始 S=0,T=0,n=0 TS S=S+5 n=n+2 T=T+n 输出 T 结束 是 否 俯视图 -2-三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。17.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=2在处取最小值.)0(sinsincos2cossin2xxxx(1)求的值;(2)在ABC 中,分别是角 A,B,C 的对边,已知,求角 C.cba,2,1ba23)(Af18.（本小题满分 12 分）如图，在直四棱柱 ABCD-A B C D 中，底面 ABCD 为等腰梯形，AB/CD，AB=4,BC=CD=2,AA=2,11111E、E 分别是棱 AD、AA 的中点 11（）设 F 是棱 AB 的中点,证明：直线 EE/平面 FCC；11（）证明:平面 D1AC平面 BB1C1C.19.（本小题满分 12 分）一汽车厂生产 A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):轿车 A 轿车 B 轿车 C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A 类轿车 10 辆.（1）求 z 的值（2）用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本.将该样本看成一个总体,从中任取 2 辆,求至少有1 辆舒适型轿车的概率;（3）用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆,经检测它们的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这 8 辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5的概率.20.（本小题满分 12 分）等比数列的前 n 项和为，已知对任意的，点，均在函数且均nanSnN(,)nn S(0 xybr b1,bb r为常数)的图像上（1）求 r 的值；（11）当 b=2 时，记 求数列的前项和 1()4nnnbnNa nbnnT21.（本小题满分 12 分）已知函数,其中 321()33f xaxbxx0a（1）当满足什么条件时,取得极值?ba,)(xf（2）已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.0a)(xf(0,1ab22.（本小题满分 14 分）设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,动点的轨迹为 E.mR(,1)amx y(,1)bx yab(,)M x y（1）求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;（2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个交点 A,B,且(O41mOAOB为坐标原点),并求出该圆的方程;(3)已知,设直线 与圆 C:(1R0 且 a1)有两个零点,就是(0,xyaa1a yxax函数且与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当(0,xyaa1a yxa10 a时,因为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点（0，a）一定在点(0,1)的上方,所以一1a(1)xyaayxa定有两个交点.所以实数 a 的取值范围是 1|aa【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答.15.【解析】:按照程序框图依次执行为 S=5,n=2,T=2;S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12;S=20,n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30S,输出 T=30【命题立意】:本题主要考查了循环结构的程序框图,一般都可以 反复的进行运算直到满足条件结束,本题中涉及到三个变量,注意每个变量的运行结果和执行情况.16.【解析】:设甲种设备需要生产天,乙种设备需要生产天,该公司所需租赁费为元,则，xyz200300zxy甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品的情况为下表所示:-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m(m0)-4-产品 设备 A 类产品 (件)(50)B 类产品 (件)(140)租赁费 (元)甲设备 5 10 200 乙设备 6 20 300 则满足的关系为即:,565010201400,0 xyxyxy61052140,0 xyxyxy作出不等式表示的平面区域,当对应的直线过两直线的交点(4,5)时，目标函数200300zxy6105214xyxy取得最低为 2300 元.200300zxy【命题立意】:本题是线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,通过数形结合解答问题 17.解:（1）1 cos()2sincos sinsin2f xxxx sinsin coscos sinsinxxxx sin coscos sinxxsin()x因为函数 f(x)在处取最小值，所以,xsin()1 由诱导公式知,因为,所以.sin102（2）由（1）知()sin()cos2f xxx因为,且 A 为ABC 的内角,所以.3()cos2f AA6A又因为所以由正弦定理,得,2,1basinsinabAB也就是,sin12sin222bABa因为,所以或.ba4B43B当时,;4B76412C当时,.43B36412C综上所述，或 712C12C【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合.18.（）证明：在直四棱柱 ABCD-A B C D 中，取 A1B1的中点 F1，1111连接 A1D，C1F1，CF1，因为 AB=4,CD=2,且 AB/CD，所以 CDA1F1，A1F1CD 为平行四边形，所以 CF1/A1D，=/又因为 E、E 分别是棱 AD、AA 的中点，所以 EE1/A1D，11所以 CF1/EE1，又因为平面 FCC，平面 FCC，1EE 11CF 1所以直线 EE/平面 FCC.11（）连接 AC,在直棱柱中，CC1平面 ABCD,AC平面 ABCD,所以 CC1AC,因为底面 ABCD 为等腰梯形，AB=4,BC=2,F 是棱 AB 的中点,所以 CF=CB=BF，BCF 为正三角形，,ACF 为等腰三角形，且 60BCF30ACF所以 ACBC,又因为 BC 与 CC1都在平面 BB1C1C 内且交于点 C,所以 AC平面 BB1C1C,而平面 D1AC,AC 所以平面 D1AC平面 BB1C1C.【命题立意】:本题主要考查直棱柱的概念、线面平行和线面垂直位置关系的判定.熟练掌握平行和垂直的判定定理.完成线线、线面位置关系的转化.19.解:(1).设该厂本月生产轿车为 n 辆,由题意得,所以 n=2000.z=2000-100-300-150-450-5010100300n600=400(2)设所抽样本中有 m 辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本,所以,解得 m=2 也就是抽取了 2 辆舒适型轿车,3 辆标准型轿车,分别记作 S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取 2 辆的所40010005m有基本事件为(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3)(S2,B1),(S2,B2),(S2,B3),(S1,S2),(B1,B2),(B2,B3),(B1,B3)共 10 个,其中至少有 1 辆舒适型轿车的基本事件有 7 个基本事件:(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3)(S2,B1),(S2,B2),(S2,B3),(S1,S2),所以从中任取 2 辆,至少有 1 辆舒适型轿车的概率为.710E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D -5-(3)样本的平均数为,1(9.48.69.29.68.79.39.08.2)98x 那么与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的数为 9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0 这 6 个数,总的个数为 8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率为.75.086【命题立意】:本题为概率与统计的知识内容,涉及到分层抽样以及古典概型求事件的概率问题.要读懂题意,分清类型,列出基本事件,查清个数.,利用公式解答.20.解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得nN(,)nn S(0 xybr b1,bb r,nnSbr当时,1n 11aSbr当时,2n 1111()(1)nnnnnnnnaSSbrbrbbbb 当 n=2 时，2(1)abb又因为为等比数列,所以，即解得 na21aba(1)b bbbr1r （2）由（1）知，,nN11(1)2nnnabb所以 1111144 22nnnnnnnba，234123412222nnnT 3451212341222222nnnnnT两式相减,得 23451212111112222222nnnnT31211(1)112212212nnn 12311422nnn所以 113113322222nnnnnnT【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,并运用错位相减法求出一等nSna比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前项和.nnT21.解:(1)由已知得,令,得,2()21fxaxbx0)(xf2210axbx 要取得极值,方程必须有解,)(xf2210axbx 所以,即,此时方程的根为 2440ba2ba2210axbx,2212442bbabbaxaa 2222442bbabbaxaa 所以 12()()()fxa xxxx当时,0ax(-,x1)x 1(x1,x2)x2(x2,+)()fx 0 0 ()f x增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 所以在 x 1,x2处分别取得极大值和极小值.)(xf当时,0ax(-,x2)x 2(x2,x1)x1(x1,+)()fx 0 0 ()f x减函数 极小值 增函数 极大值 减函数 所以在 x 1,x2处分别取得极大值和极小值.)(xf综上,当满足时,取得极值 ba,2ba)(xf(2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.)(xf(0,12()210fxaxbx(0,1即恒成立,所以 1,(0,122axbxx max1()22axbx 设,1()22axg xx 2221()1()222a xaag xxx 令得或(舍去),()0g x 1xa1xa 当时,当时,单调增函数;1a101a1(0,)xa()0g x 1()22axg xx 当时,单调减函数,1(,1xa()0g x 1()22axg xx-6-所以当时,取得最大,最大值为.1xa()g x1()gaa 所以 ba 当时,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当01a11a()0g x(0,11()22axg xx(0,11x 时最大,最大值为,所以()g x1(1)2ag 12ab 综上,当时,;当时,1aba 01a12ab【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.22.解:（1）因为,ab(,1)amx y(,1)bx y所以,即.2210a bmxy 221mxy当 m=0 时,方程表示两直线,方程为;1y当时,方程表示的是圆 1m 当且时,方程表示的是椭圆;0m1m当时,方程表示的是双曲线.0m(2).当时,轨迹 E 的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得41m2214xyykxt2214ykxtxy,即,224()4xkxt222(14)8440kxktxt要使切线与轨迹 E 恒有两个交点 A,B,则使=,2 222226416(14)(1)16(41)0k tktkt即,即,且 22410kt 2241tk12221228144414ktxxktx xk,222 22222212121212222(44)84()()()141414ktk ttky ykxt kxtk x xkt xxttkkk要使,需使,即,OAOB 12120 x xy y222222224445440141414ttktkkkk所以,即且,即恒成立.225440tk22544tk2241tk2244205kk所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,ykxt所以圆的半径为,所求的圆为.21trk222224(1)45115ktrkk2245xy当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足552x2214xy)552,552()552,552(.OAOB综上,存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且.2245xyOAOB (3)当时,轨迹 E 的方程为,设直线 的方程为,因为直线 与圆 C:(1R2)41m2214xylykxtl222xyR相切于 A1,由（2）知,即 21tRk222(1)tRk因为 与轨迹 E 只有一个公共点 B1,l由（2）知得,2214ykxtxy224()4xkxt即有唯一解 222(14)8440kxktxt则=,即,2 222226416(14)(1)16(41)0k tktkt22410kt 由得,此时 A,B 重合为 B1(x1,y1)点,2222223414RtRRkR由 中,所以,12221228144414ktxxktx xk 21xx 222122441616143tRxkRB1(x1,y1)点在椭圆上,所以,所以,22211214143RyxR 22211124|5OBxyR在 直 角 三 角 形 OA1B1中,因 为当 且 仅 当2222211112244|55()ABOBOARRRR2244RR-7-时取等号,所以,即 2(1,2)R 211|541AB当时|A1B1|取得最大值,最大值为 1.2(1,2)R【命题立意】:本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题.